Was ist die Modellierung mit Exponentialfunktionen?

Die Modellierung mit Exponentialfunktionen beschreibt reale Wachstums- und Zerfallsprozesse mithilfe von Funktionen der Form f(t) = C · e^(kt) + D . Typische Anwendungen sind das Abkühlen von Objekten, der Abbau von Medikamenten im Blut, radioaktiver Zerfall oder das Wachstum von Populationen. Der Vorteil: Alle diese Prozesse folgen denselben mathematischen Regeln, sodass du mit einem einzigen Funktionstyp sehr viele verschiedene Situationen beschreiben kannst.

Wie berechnest du die Halbwertszeit bei einer Exponentialfunktion?

Die Halbwertszeit t_H berechnest du in drei Schritten. Zuerst setzt du M(t) = ½ · M₀ in die Gleichung M(t) = M₀ · e^(kt) ein. Dann teilst du beide Seiten durch M₀ , sodass 0,5 = e^(kt) übrig bleibt. Schließlich wendest du den natürlichen Logarithmus an und erhältst t_H = ln(0,5) / k . Bei bekannter Zerfallskonstante k reicht eine einfache Division.

Was bedeutet die Asymptote bei einem Exponentialmodell?

Die Asymptote y = D ist der Wert, dem sich die Funktion langfristig annähert, ohne ihn je zu erreichen. Im Sachzusammenhang steht sie oft für eine physikalische Grenze – zum Beispiel die Raumtemperatur beim Abkühlen eines Gegenstands oder die Kapazitätsgrenze eines Ökosystems. Du erkennst sie am konstanten Term D in der Funktionsgleichung f(t) = C · e^(kt) + D .

Wann ist die Zerfallskonstante k negativ oder positiv?

Die Zerfallskonstante k bestimmt die Richtung des Prozesses. Wenn k < 0 ist, handelt es sich um einen Zerfalls- oder Abkühlungsprozess – die Funktion fällt mit der Zeit. Wenn k > 0 ist, liegt ein Wachstumsprozess vor – die Funktion steigt. Je größer der Betrag von k , desto schneller verläuft der Prozess. Beim Vergleich zweier Modelle wächst dasjenige mit dem größeren k -Wert prozentual schneller.

Wie löst du eine Gleichung, bei der die Unbekannte im Exponenten steht?

Wenn die Unbekannte im Exponenten steht, verwendest du den natürlichen Logarithmus (ln) . Das Grundprinzip: Isoliere zunächst den e-Term auf einer Seite der Gleichung. Dann wendest du ln auf beide Seiten an und nutzt die Regel ln(e^x) = x , um den Exponenten herunterzuholen. Danach ist die Gleichung eine gewöhnliche lineare Gleichung, die du durch einfaches Umstellen lösen kannst.

Modellierung mit Exponentialfunktionen

Hast du dich jemals gefragt, wie Ärzte die genaue Dosis eines Medikaments bestimmen? Wenn du eine Tablette nimmst, steigt die Konzentration im Blut schnell an und nimmt dann langsam wieder ab. Wenn sie zu schnell abfällt, wirkt sie nicht. Wenn sie zu langsam abfällt, kann sie gefährlich werden. Genau dieser Prozess – das Abklingen – wird mit e-Funktionen beschrieben. Sie sind das „Betriebssystem" für natürliche Prozesse wie Abkühlung, Wachstum oder eben den Abbau von Stoffen im Körper. Wenn du die Modellierung mit Exponentialfunktionen verstehst, verstehst du die unsichtbaren Regeln, die unsere Welt steuern. Das ist kein reiner Schulstoff, das ist ein Einblick in den Code der Natur.

Vorwissen

Bevor wir starten, wiederholen wir kurz ein paar Grundlagen:

Exponentialfunktion: Eine Funktion, bei der die Variable im Exponenten steht. Sie beschreibt prozentuales Wachstum oder Zerfall.
- Formel: $f(x) = a \cdot b^x$
- Beispiel: Eine Bakterienkultur verdoppelt sich jede Stunde: $f(t) = 100 \cdot 2^t$ (startet mit 100 Bakterien).
Die Eulersche Zahl e: Eine besondere Zahl in der Mathematik, ungefähr $2{,}718$ . Sie wird für die Beschreibung von stetigen, natürlichen Wachstums- und Zerfallsprozessen verwendet.
- Beispiel: $e^1 \approx 2{,}718$ , $e^0 = 1$ , $e^{-1} \approx 0{,}368$ .
Natürlicher Logarithmus (ln): Die Umkehroperation zur e-Funktion. Er hilft uns, Gleichungen zu lösen, bei denen die Unbekannte im Exponenten steht.
- Regel: $ln(e^x) = x$ und $e^{ln(x)} = x$ .
- Beispiel: Um $e^t = 5$ zu lösen, rechnet man $t = ln(5) \approx 1{,}61$ .
Asymptote: Eine Linie, der sich der Graph einer Funktion immer weiter annähert, sie aber nie berührt oder schneidet.
- Beispiel: Die Funktion $f(x) = (\frac{1}{2})^x$ nähert sich für große x-Werte immer mehr der x-Achse ( $y=0$ ) an. Die x-Achse ist die Asymptote.

Aufgabentyp 1: Modelle mit e-Funktionen analysieren und vergleichen

Viele reale Prozesse, wie das Abkühlen eines heißen Objekts, folgen nicht dem einfachen exponentiellen Zerfall bis auf Null. Stattdessen nähern sie sich einem Endwert an, z. B. der Raumtemperatur. Solche Prozesse werden durch eine verschobene e-Funktion beschrieben.

Die allgemeine Form lautet:

$f(t) = C \cdot e^{kt} + D$

Jeder Teil hat eine klare Bedeutung im Sachzusammenhang:

$D$ ist die horizontale Asymptote. Das ist der Wert, dem sich die Funktion langfristig annähert (z. B. die Umgebungstemperatur oder ein stabiler Endzustand).
Der Anfangswert zum Zeitpunkt $t=0$ ist nicht nur $C$ , sondern $f(0) = C \cdot e^0 + D = C + D$ .
$k$ $k$ ist die Wachstums- oder Zerfallskonstante.
- Wenn $k > 0$ , beschreibt die Funktion einen Wachstumsprozess (z. B. Erwärmung).
- Wenn $k < 0$ , beschreibt die Funktion einen Zerfallsprozess (z. B. Abkühlung).

Um solche Modelle zu analysieren, berechnen wir Schlüsselwerte und interpretieren die Parameter.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Anfangswert bestimmen: Setze $t=0$ in die Funktionsgleichung ein. Da $e^0=1$ ist, vereinfacht sich der Term oft schnell. Dieser Wert ist der Startpunkt des Prozesses auf der y-Achse.
Langzeitverhalten und Asymptote bestimmen: Überlege, was passiert, wenn die Zeit $t$ sehr groß wird ( $t \to \infty$ ). Bei Zerfallsprozessen ( $k<0$ ) wird der Term $e^{kt}$ zu Null – der Funktionswert nähert sich dem Wert $D$ an. Die Asymptote ist die Gerade $y = D$ . Bei Wachstumsprozessen ( $k>0$ ) wächst der Term $e^{kt}$ ins Unendliche.
Spezifische Werte berechnen: Setze den gegebenen Zeitwert für $t$ in die Funktion ein und berechne das Ergebnis mit dem Taschenrechner.
Parameter im Kontext deuten und Modelle vergleichen: Erkläre die Bedeutung der Zahlen im realen Kontext. Was bedeutet der Anfangswert? Was ist der Grenzwert $D$ ? Welches Modell ist realistischer, basierend auf diesen Werten? Ein Objekt kann z. B. nicht kälter werden als seine Umgebung.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Ein heißer Kaffee kühlt in einem Raum ab. Die Temperatur $T$ in °C nach $t$ Minuten wird durch das Modell $T(t) = 70 \cdot e^{-0{,}05t} + 20$ beschrieben.

a) Was ist die Anfangstemperatur des Kaffees? b) Was ist die Raumtemperatur? Begründe deine Antwort. c) Berechne die Temperatur nach 10 Minuten.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Anfangswert bestimmen
Wir setzen $t=0$ in die Gleichung ein:

$T(0) = 70 \cdot e^{-0{,}05 \cdot 0} + 20$

$T(0) = 70 \cdot e^0 + 20$

$T(0) = 70 \cdot 1 + 20 = 90$

Die Anfangstemperatur des Kaffees beträgt 90 °C.
Schritt 2
Langzeitverhalten und Asymptote bestimmen
Für sehr große $t$ nähert sich der Term $e^{-0{,}05t}$ dem Wert 0. Die Temperatur nähert sich also dem Wert $20$ an.

$T(t) \to 70 \cdot 0 + 20 = 20$

Die Raumtemperatur beträgt 20 °C, da dies der Grenzwert ist, dem sich der Kaffee beim Abkühlen annähert.
Schritt 3 · Ergebnis
Spezifische Werte berechnen
Wir setzen $t=10$ in die Gleichung ein:

$T(10) = 70 \cdot e^{-0{,}05 \cdot 10} + 20$

$T(10) = 70 \cdot e^{-0{,}5} + 20$

$T(10) \approx 70 \cdot 0{,}6065 + 20$

$T(10) \approx 42{,}46 + 20 = 62{,}46$

Ergebnis:

Nach 10 Minuten beträgt die Temperatur des Kaffees ca. 62,5 °C.

Beispiel 2

Aufgabe

Das Wachstum einer Fischpopulation in einem Teich wird durch $N(t) = 500 - 450 \cdot e^{-0{,}1t}$ modelliert, wobei $N$ die Anzahl der Fische und $t$ die Zeit in Monaten ist.

a) Wie viele Fische wurden anfangs ausgesetzt? b) Was ist die maximale Anzahl an Fischen, die der Teich langfristig ernähren kann (die Kapazitätsgrenze)? c) Wie viele Fische gibt es nach einem Jahr?

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Anfangswert bestimmen
Wir setzen $t=0$ ein:

$N(0) = 500 - 450 \cdot e^{-0{,}1 \cdot 0}$

$N(0) = 500 - 450 \cdot e^0$

$N(0) = 500 - 450 \cdot 1 = 50$

Anfangs wurden 50 Fische ausgesetzt.
Schritt 2
Langzeitverhalten und Asymptote bestimmen
Für sehr große $t$ wird $e^{-0{,}1t}$ zu 0. Die Anzahl der Fische nähert sich also dem Wert $500$ an.

$N(t) \to 500 - 450 \cdot 0 = 500$

Die Kapazitätsgrenze des Teiches liegt bei 500 Fischen.
Schritt 3 · Ergebnis
Spezifische Werte berechnen
Ein Jahr hat 12 Monate, also setzen wir $t=12$ ein:

$N(12) = 500 - 450 \cdot e^{-0{,}1 \cdot 12}$

$N(12) = 500 - 450 \cdot e^{-1{,}2}$

$N(12) \approx 500 - 450 \cdot 0{,}3012$

$N(12) \approx 500 - 135{,}54 = 364{,}46$

Ergebnis:

Nach einem Jahr gibt es ungefähr 364 Fische im Teich.

Beispiel 3

Aufgabe

Ein kalter Gegenstand mit 5 °C wird in einen 180 °C heißen Ofen gelegt. Seine Temperatur $T$ nach $t$ Minuten wird durch $T(t) = 180 - 175 \cdot e^{-0{,}2t}$ beschrieben.

a) Zeige, dass die Anfangstemperatur des Modells mit der Angabe übereinstimmt. b) Was ist die Ofentemperatur laut Modell? c) Nach welcher Zeit erreicht der Gegenstand 100 °C?

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Anfangswert bestimmen
Wir setzen $t=0$ ein:

$T(0) = 180 - 175 \cdot e^{-0{,}2 \cdot 0}$

$T(0) = 180 - 175 \cdot 1 = 5$

Die Anfangstemperatur im Modell ist 5 °C, was mit der Angabe übereinstimmt.
Schritt 2
Langzeitverhalten und Asymptote bestimmen
Für große $t$ wird $e^{-0{,}2t}$ zu 0. Die Temperatur nähert sich dem Wert $180$ an.

$T(t) \to 180 - 175 \cdot 0 = 180$

Die Ofentemperatur beträgt 180 °C.
Schritt 3 · Ergebnis
Zeit für einen spezifischen Wert berechnen
Wir setzen $T(t) = 100$ und lösen nach $t$ auf:

$100 = 180 - 175 \cdot e^{-0{,}2t}$

$-80 = -175 \cdot e^{-0{,}2t}$

$\frac{-80}{-175} = e^{-0{,}2t}$

$\frac{16}{35} = e^{-0{,}2t}$

Jetzt verwenden wir den natürlichen Logarithmus (ln):

$ln\!\left(\frac{16}{35}\right) = -0{,}2t$

$-0{,}783 \approx -0{,}2t$

$t = \frac{-0{,}783}{-0{,}2} \approx 3{,}915$

Ergebnis:

Der Gegenstand erreicht nach ca. 3,9 Minuten eine Temperatur von 100 °C.

Beispiel 4

Aufgabe

Zwei Bakterienkulturen A und B wachsen exponentiell. Ihre Populationen werden beschrieben durch:

Modell A: $P_A(t) = 1000 \cdot e^{0{,}02t}$

Modell B: $P_B(t) = 800 \cdot e^{0{,}025t}$

a) Welche Kultur hatte zu Beginn mehr Bakterien? b) Welche Kultur wächst prozentual schneller? Begründe. c) Berechne die Population beider Kulturen nach 24 Stunden.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Anfangswert bestimmen
Für Modell A ( $t=0$ ): $P_A(0) = 1000 \cdot e^0 = 1000$ . Startpopulation ist 1000.

Für Modell B ( $t=0$ ): $P_B(0) = 800 \cdot e^0 = 800$ . Startpopulation ist 800.

Kultur A hatte zu Beginn mehr Bakterien.
Schritt 4
Parameter im Kontext deuten (Wachstumsrate)
Die Wachstumsrate wird durch den Faktor $k$ im Exponenten bestimmt.

Für Modell A: $k_A = 0{,}02$

Für Modell B: $k_B = 0{,}025$

Da $0{,}025 > 0{,}02$ , wächst Kultur B prozentual schneller.
Schritt 3 · Ergebnis
Spezifische Werte berechnen
Wir setzen $t=24$ in beide Modelle ein:

Für Modell A:

$P_A(24) = 1000 \cdot e^{0{,}02 \cdot 24} = 1000 \cdot e^{0{,}48} \approx 1000 \cdot 1{,}616 \approx 1616$

Für Modell B:

$P_B(24) = 800 \cdot e^{0{,}025 \cdot 24} = 800 \cdot e^{0{,}6} \approx 800 \cdot 1{,}822 \approx 1458$

Ergebnis:

Nach 24 Stunden hat Kultur A ca. 1616 Bakterien und Kultur B ca. 1458 Bakterien.

Beispiel 5

Aufgabe

Der Wert eines Autos $W$ in Euro nach $t$ Jahren wird durch zwei Modelle beschrieben:

Modell 1: $W_1(t) = 25000 \cdot e^{-0{,}15t} + 1000$

Modell 2: $W_2(t) = 26000 \cdot e^{-0{,}18t}$

a) Was ist der Neupreis des Autos laut beiden Modellen? b) Welchen Restwert sagen die Modelle langfristig voraus? c) Welches Modell ist realistischer und warum?

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Anfangswert bestimmen (Neupreis)
Modell 1 ( $t=0$ ): $W_1(0) = 25000 \cdot e^0 + 1000 = 25000 + 1000 = 26000$ €.

Modell 2 ( $t=0$ ): $W_2(0) = 26000 \cdot e^0 = 26000$ €.

Beide Modelle gehen von einem Neupreis von 26.000 € aus.
Schritt 2
Langzeitverhalten und Asymptote bestimmen (Restwert)
Modell 1 ( $t \to \infty$ ): $e^{-0{,}15t} \to 0$ , also $W_1(t) \to 25000 \cdot 0 + 1000 = 1000$ €.

Modell 2 ( $t \to \infty$ ): $e^{-0{,}18t} \to 0$ , also $W_2(t) \to 26000 \cdot 0 = 0$ €.

Modell 1 sagt einen langfristigen Restwert von 1000 € voraus, Modell 2 einen Restwert von 0 €.
Schritt 4 · Ergebnis
Modelle vergleichen
Modell 1 ist realistischer. Ein Auto verliert zwar an Wert, wird aber fast immer einen gewissen Restwert (z. B. Schrottwert oder Wert für Ersatzteile) behalten und nicht komplett wertlos (0 €) werden. Der Term $+1000$ in Modell 1 repräsentiert diesen minimalen Restwert.

Ergebnis:

Modell 1 liefert die realistischere Prognose, da es einen Mindestrestwert von 1000 € berücksichtigt.

Aufgabentyp 2: Halbwertszeit und Anfangswert bestimmen

Bei vielen Zerfallsprozessen, insbesondere beim radioaktiven Zerfall, ist die Halbwertszeit eine zentrale Größe bei der Modellierung mit Exponentialfunktionen. Sie gibt an, wie lange es dauert, bis nur noch die Hälfte der ursprünglichen Menge vorhanden ist.

Die Funktionsgleichung für solche Prozesse hat oft die Form:

$M(t) = M_0 \cdot e^{kt}$

Hierbei gilt:

$M_0$ ist die Anfangsmenge zum Zeitpunkt $t=0$ .
$k$ ist die Zerfallskonstante (bei Zerfall ist $k$ immer negativ).

Die Halbwertszeit $t_H$ ist die Zeit, für die gilt:

$M(t_H) = \frac{1}{2} \cdot M_0$

Um die Halbwertszeit zu berechnen, setzt man diese Bedingung in die Funktionsgleichung ein und löst nach $t_H$ auf. Das erfordert den natürlichen Logarithmus.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Anfangsmenge identifizieren: Lies die Anfangsmenge $M_0$ direkt aus der Funktionsgleichung $M(t) = M_0 \cdot e^{kt}$ ab. Es ist der Faktor vor der e-Funktion.
Gleichung für die Halbwertszeit aufstellen: Setze die Funktionsgleichung gleich der Hälfte der Anfangsmenge: $\frac{1}{2} M_0 = M_0 \cdot e^{kt}$ .
Gleichung nach der Zeit t auflösen: Teile beide Seiten durch $M_0$ – übrig bleibt $\frac{1}{2} = e^{kt}$ . Wende den natürlichen Logarithmus (ln) an: $ln\!\left(\frac{1}{2}\right) = ln(e^{kt})$ . Vereinfache mit der Regel $ln(e^x)=x$ : $ln\!\left(\frac{1}{2}\right) = kt$ . Teile durch $k$ : $t_H = \frac{ln(0{,}5)}{k}$ .
Menge zu einem bestimmten Zeitpunkt berechnen: Setze den gegebenen Wert für die Zeit $t$ in die ursprüngliche Funktionsgleichung ein und berechne das Ergebnis.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Die Menge eines radioaktiven Stoffes wird durch $N(t) = 200 \cdot e^{-0{,}01t}$ beschrieben, wobei $N$ die Masse in Gramm und $t$ die Zeit in Jahren ist.

a) Was ist die Anfangsmasse des Stoffes? b) Berechne die Halbwertszeit des Stoffes auf eine Dezimalstelle genau.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Anfangsmenge identifizieren
Die Anfangsmenge $M_0$ ist der Faktor vor der e-Funktion. Hier ist $M_0 = 200$ g.
Schritt 2
Gleichung für die Halbwertszeit aufstellen
Die Hälfte der Anfangsmenge ist $\frac{1}{2} \cdot 200 = 100$ g. Wir setzen $N(t) = 100$ :

$100 = 200 \cdot e^{-0{,}01t}$
Schritt 3 · Ergebnis
Gleichung nach der Zeit t auflösen
Wir teilen durch 200:

$\frac{100}{200} = e^{-0{,}01t}$

$0{,}5 = e^{-0{,}01t}$

Wir wenden den natürlichen Logarithmus an:

$ln(0{,}5) = -0{,}01t$

$-0{,}693 \approx -0{,}01t$

Wir teilen durch $-0{,}01$ :

$t = \frac{-0{,}693}{-0{,}01} \approx 69{,}3$

Ergebnis:

Die Halbwertszeit beträgt ca. 69,3 Jahre.

Beispiel 2

Aufgabe

Die Konzentration eines Medikaments im Blut (in mg/L) folgt der Funktion $K(t) = 15 \cdot e^{-0{,}25t}$ , wobei $t$ die Zeit in Stunden ist.

a) Was war die höchste Konzentration des Medikaments? b) Berechne die Halbwertszeit des Medikaments. c) Wie hoch ist die Konzentration nach 6 Stunden?

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Anfangsmenge identifizieren
Die höchste Konzentration ist die Anfangskonzentration bei $t=0$ . $M_0 = 15$ mg/L.
Schritt 2 & 3
Halbwertszeit berechnen
Wir suchen die Zeit $t$ , für die $K(t) = \frac{1}{2} \cdot 15 = 7{,}5$ ist.

$7{,}5 = 15 \cdot e^{-0{,}25t}$

$0{,}5 = e^{-0{,}25t}$

$ln(0{,}5) = -0{,}25t$

$-0{,}693 \approx -0{,}25t$

$t = \frac{-0{,}693}{-0{,}25} \approx 2{,}77$

Die Halbwertszeit beträgt ca. 2,8 Stunden.
Schritt 4 · Ergebnis
Menge zu einem bestimmten Zeitpunkt berechnen
Wir setzen $t=6$ in die Funktion ein:

$K(6) = 15 \cdot e^{-0{,}25 \cdot 6}$

$K(6) = 15 \cdot e^{-1{,}5}$

$K(6) \approx 15 \cdot 0{,}223 = 3{,}345$

Ergebnis:

Nach 6 Stunden beträgt die Konzentration ca. 3,35 mg/L.

Beispiel 3

Aufgabe

Der Wert eines Gebrauchtwagens sinkt exponentiell nach der Formel $W(t) = 18000 \cdot e^{kt}$ . Nach 3 Jahren ist das Auto noch 12000 € wert.

a) Bestimme die Zerfallskonstante $k$ . b) Was ist die Halbwertszeit des Werts dieses Autos?

Fortschritt

1 / 1

Schritt 2 & 3 · Ergebnis
Halbwertszeit berechnen
Wir verwenden die Formel $t_H = \frac{ln(0{,}5)}{k}$ mit unserem berechneten $k$ .

$t_H = \frac{ln(0{,}5)}{-0{,}135}$

$t_H = \frac{-0{,}693}{-0{,}135} \approx 5{,}13$

Ergebnis:

Die Halbwertszeit des Werts beträgt ca. 5,1 Jahre.

Beispiel 4

Aufgabe

Die Anzahl der Follower eines auslaufenden Social-Media-Kanals sinkt gemäß $F(t) = 50000 \cdot e^{-0{,}05t}$ , mit $t$ in Wochen.

a) Wie viele Follower hatte der Kanal zu Beginn des Rückgangs? b) Nach wie vielen Wochen hat der Kanal die Hälfte seiner Follower verloren? c) Wie viele Follower sind nach einem halben Jahr (26 Wochen) noch übrig?

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Anfangsmenge identifizieren
Die anfängliche Followerzahl war $M_0 = 50000$ .
Schritt 2 & 3
Halbwertszeit berechnen
Wir suchen die Zeit, bis nur noch 25000 Follower da sind.

$25000 = 50000 \cdot e^{-0{,}05t}$

$0{,}5 = e^{-0{,}05t}$

$ln(0{,}5) = -0{,}05t$

$-0{,}693 \approx -0{,}05t$

$t = \frac{-0{,}693}{-0{,}05} \approx 13{,}86$

Nach ca. 13,9 Wochen hat der Kanal die Hälfte der Follower verloren.
Schritt 4 · Ergebnis
Menge zu einem bestimmten Zeitpunkt berechnen
Wir setzen $t=26$ ein:

$F(26) = 50000 \cdot e^{-0{,}05 \cdot 26}$

$F(26) = 50000 \cdot e^{-1{,}3}$

$F(26) \approx 50000 \cdot 0{,}2725 \approx 13627$

Ergebnis:

Nach 26 Wochen sind noch ca. 13.627 Follower übrig.

Beispiel 5

Aufgabe

Die Intensität von Licht $I$ nimmt ab, je tiefer es in einen See eindringt. Die Formel lautet $I(x) = I_0 \cdot e^{-0{,}4x}$ , wobei $x$ die Tiefe in Metern ist und $I_0$ die Intensität an der Oberfläche.

a) In welcher Tiefe hat sich die Lichtintensität halbiert? b) Wenn die Intensität an der Oberfläche 100% ist, wie viel Prozent der Intensität erreicht eine Tiefe von 5 Metern?

Fortschritt

2 / 2

Schritt 2 & 3
Halbwertszeit (hier Tiefe) berechnen
Wir suchen die Tiefe $x$ , bei der $I(x) = 0{,}5 \cdot I_0$ ist.

$0{,}5 I_0 = I_0 \cdot e^{-0{,}4x}$

$0{,}5 = e^{-0{,}4x}$

$ln(0{,}5) = -0{,}4x$

$-0{,}693 \approx -0{,}4x$

$x = \frac{-0{,}693}{-0{,}4} \approx 1{,}73$

In einer Tiefe von ca. 1,73 Metern hat sich die Lichtintensität halbiert.

b) Intensität in 5 Metern Tiefe
Schritt 4 · Ergebnis
Menge zu einem bestimmten Zeitpunkt (hier Tiefe) berechnen
Wir setzen $I_0 = 1$ (für 100%) und $x=5$ .

$I(5) = 1 \cdot e^{-0{,}4 \cdot 5}$

$I(5) = e^{-2}$

$I(5) \approx 0{,}1353$

Ergebnis:

In 5 Metern Tiefe kommen nur noch ca. 13,5% der Lichtintensität an.

Wichtige Erkenntnisse

Die allgemeine Form für exponentielle Modelle mit Grenzwert ist $f(t) = C \cdot e^{kt} + D$ .
Der Anfangswert bei $t=0$ ist immer $C + D$ .
Der Grenzwert (Asymptote) für Zerfallsprozesse ist $D$ . Dies ist oft die Umgebungsbedingung (z. B. Raumtemperatur).
Bei Zerfall ist die Konstante $k$ negativ, bei Wachstum ist sie positiv.
Die Halbwertszeit $t_H$ ist die Zeit, nach der nur noch die Hälfte der Anfangsmenge übrig ist. Man berechnet sie mit $t_H = \frac{ln(0{,}5)}{k}$ .
Um eine Gleichung nach einer Variablen im Exponenten aufzulösen, verwendet man den natürlichen Logarithmus (ln).

Modellierung mit Exponentialfunktionen einfach erklärt

Vorwissen

Aufgabentyp 1: Modelle mit e-Funktionen analysieren und vergleichen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 2: Halbwertszeit und Anfangswert bestimmen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Wichtige Erkenntnisse

Häufige Fragen

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