Was ist eine Exponentialfunktion der Form f(t) = a · e^(kt)?

Eine Exponentialfunktion der Form f(t) = a · e^(kt) beschreibt natürliche Wachstums- und Zerfallsprozesse. a ist der Anfangswert zum Zeitpunkt t = 0 , weil f(0) = a · e⁰ = a gilt. k ist die Wachstums- oder Zerfallskonstante, und t steht meist für die Zeit. Die entscheidende Eigenschaft: Die Änderungsrate f'(t) ist stets proportional zum aktuellen Wert – es gilt f'(t) = k · f(t) .

Wie leitest du eine e-Funktion mit der Kettenregel ab?

Du leitest eine e-Funktion nach der Kettenregel ab: äußere Ableitung mal innere Ableitung. Für f(t) = a · e^(kt) ist die äußere Funktion e^(…) und die innere Funktion kt . Die Ableitung der inneren Funktion ist k . Das Ergebnis lautet: Schreibe f'(t) = a · e^(kt) · k . Sortiere um: f'(t) = k · (a · e^(kt)) . Erkenne, dass der Klammerausdruck gleich f(t) ist: f'(t) = k · f(t) .

Wie berechnest du die prozentuale Veränderung pro Zeiteinheit?

Den Änderungsfaktor pro Einheit berechnest du als e^k , wobei k die Konstante aus dem Exponenten ist. Bei Wachstum ( k > 0 ) gilt: prozentuale Zunahme = (e^k − 1) · 100 % . Bei Zerfall ( k < 0 ) gilt: prozentuale Abnahme = (1 − e^k) · 100 % . Beispiel: Für k = −0,023 ergibt sich ein Faktor von ca. 0,977, also eine Abnahme von ca. 2,27 % pro Jahr.

Was ist der Unterschied zwischen Wachstumskonstante und Anfangswert?

Der Anfangswert a gibt an, wie groß der Bestand zum Startzeitpunkt t = 0 ist. Die Wachstumskonstante k bestimmt dagegen, wie schnell der Bestand wächst oder zerfällt. Ein großes a bedeutet einen hohen Startwert, ein großes |k| bedeutet eine steile Kurve. Beide Parameter zusammen legen die gesamte Form der Exponentialfunktion fest.

Wann spricht man bei einer Exponentialfunktion von Zerfall statt Wachstum?

Von exponentiellem Zerfall spricht man, wenn die Konstante k im Exponenten negativ ist ( k < 0 ). Dann ist der Änderungsfaktor e^k < 1 , der Bestand nimmt also mit der Zeit ab. Typische Beispiele sind radioaktiver Zerfall, die Abnahme eines Medikaments im Blut oder der Wertverlust eines Autos. Ist k > 0 , liegt Wachstum vor.

Exponentialfunktionen analysieren einfach

Q: Was ist der Unterschied zwischen Wachstumskonstante und Anfangswert?

Der Anfangswert a gibt an, wie groß der Bestand zum Startzeitpunkt t = 0 ist. Die Wachstumskonstante k bestimmt dagegen, wie schnell der Bestand wächst oder zerfällt. Ein großes a bedeutet einen hohen Startwert, ein großes |k| bedeutet eine steile Kurve. Beide Parameter zusammen legen die gesamte Form der Exponentialfunktion fest.

Q: Wann spricht man bei einer Exponentialfunktion von Zerfall statt Wachstum?

Von exponentiellem Zerfall spricht man, wenn die Konstante k im Exponenten negativ ist ( k < 0 ). Dann ist der Änderungsfaktor e^k < 1 , der Bestand nimmt also mit der Zeit ab. Typische Beispiele sind radioaktiver Zerfall, die Abnahme eines Medikaments im Blut oder der Wertverlust eines Autos. Ist k > 0 , liegt Wachstum vor.

Exponentialfunktionen analysieren gehört zu den zentralen Themen in der Oberstufe – und steckt hinter überraschend vielen Alltagsphänomenen. Wie bestimmen Wissenschaftler das Alter von Fossilien? Wie breitet sich ein Virus aus? Wie wächst ein Kapital bei kontinuierlicher Verzinsung? Hinter all diesen Fragen steckt dieselbe mathematische Struktur: die e-Funktion der Form $f(t) = a \cdot e^{k \cdot t}$ . Sie ist gewissermaßen das Betriebssystem für Wachstum und Zerfall in Natur und Wirtschaft. Wenn du lernst, sie zu lesen und zu rechnen, kannst du nicht nur deine Mathe-Aufgaben lösen, sondern auch die Welt um dich herum besser verstehen.

Schnellantwort

Eine Exponentialfunktion der Form $f(t) = a \cdot e^{k \cdot t}$ beschreibt natürliche Wachstums- und Zerfallsprozesse. Der Parameter $a$ ist der Anfangswert zum Zeitpunkt $t = 0$ , und $k$ ist die Wachstums- ( $k > 0$ ) bzw. Zerfallskonstante ( $k < 0$ ). Die entscheidende Eigenschaft: Die Änderungsrate ist stets proportional zum aktuellen Bestand – $f'(t) = k \cdot f(t)$ .

Vorwissen

Bevor wir starten, wiederholen wir kurz die Grundlagen:

Die e-Funktion: Eine spezielle Exponentialfunktion mit der Basis $e \approx 2{,}718$ . Sie beschreibt natürliche Wachstums- und Zerfallsprozesse.
- Beispiel: $f(x) = e^x$ . Der Wert an der Stelle $x=2$ ist $f(2) = e^2 \approx 7{,}39$ .
Ableitung als Änderungsrate: Die erste Ableitung $f'(x)$ einer Funktion gibt an, wie schnell sich der Funktionswert an einer bestimmten Stelle ändert.
- Beispiel: Wenn $f(t)$ die zurückgelegte Strecke in Metern nach $t$ Sekunden ist, dann ist $f'(t)$ die Geschwindigkeit in m/s.
Kettenregel für e-Funktionen: Die Ableitung einer e-Funktion mit einem Term im Exponenten wird nach der Regel „äußere Ableitung mal innere Ableitung" gebildet.
- Formel: Für $f(x) = e^{g(x)}$ ist die Ableitung $f'(x) = e^{g(x)} \cdot g'(x)$ .
- Beispiel: Die Ableitung von $f(x) = e^{3x}$ ist $f'(x) = e^{3x} \cdot 3$ .
Prozentuale Veränderung: Gibt an, um wie viel Prozent ein Wert zu- oder abnimmt.
- Beispiel: Wenn ein Preis von 100 € auf 80 € sinkt, ist der neue Preis das 0,8-fache des alten. Die Reduzierung beträgt $1 - 0{,}8 = 0{,}2$ , also $20\%$ .

Aufgabentyp 1: Modellierung mit der e-Funktion und ihrer Ableitung

Viele Prozesse in Natur und Technik lassen sich durch eine Funktion der Form $f(t) = a \cdot e^{k \cdot t}$ beschreiben. Dabei haben die einzelnen Teile eine feste Bedeutung:

$a$ : Der Anfangswert zum Zeitpunkt $t=0$ . Denn $f(0) = a \cdot e^{k \cdot 0} = a \cdot e^0 = a \cdot 1 = a$ .
$k$ : Die Wachstums- oder Zerfallskonstante. Ist $k$ positiv, haben wir Wachstum. Ist $k$ negativ, haben wir Zerfall.
$t$ : Steht meist für die Zeit oder eine andere unabhängige Variable (z. B. Tiefe, Entfernung).

Die wichtigste Eigenschaft: Die Änderungsrate (also die Ableitung) ist bei diesen Funktionen immer direkt proportional zum aktuellen Bestand. Das bedeutet: Je mehr da ist, desto schneller wächst oder zerfällt es.

Leiten wir die Funktion allgemein ab:

$f(t) = a \cdot e^{k t}$

Mit der Kettenregel erhalten wir:

$f'(t) = a \cdot e^{k t} \cdot k$

Wenn wir das umsortieren, sehen wir etwas Besonderes:

$f'(t) = k \cdot (a \cdot e^{k t})$

Da der Teil in der Klammer genau unsere ursprüngliche Funktion $f(t)$ ist, gilt:

$f'(t) = k \cdot f(t)$

Die Änderungsrate $f'(t)$ ist also immer das $k$ -fache des aktuellen Werts $f(t)$ . Die Konstante $k$ ist der Proportionalitätsfaktor.

Prozentuale Veränderung pro Einheit: Um die prozentuale Veränderung pro Zeiteinheit (z. B. pro Jahr) zu finden, vergleicht man den Wert $f(t+1)$ mit $f(t)$ . Der Faktor, um den sich der Wert ändert, ist immer $e^k$ .

$\frac{f(t+1)}{f(t)} = \frac{a \cdot e^{k(t+1)}}{a \cdot e^{kt}} = \frac{e^{kt+k}}{e^{kt}} = e^k$

Bei Wachstum ( $k>0$ ) ist $e^k > 1$ . Die prozentuale Zunahme ist $(e^k - 1) \cdot 100\%$ .
Bei Zerfall ( $k<0$ ) ist $e^k < 1$ . Die prozentuale Abnahme ist $(1 - e^k) \cdot 100\%$ .

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Funktion und Aufgabenstellung analysieren: Lies die Aufgabe genau. Identifiziere die gegebene e-Funktion und die gesuchten Größen (Änderungsrate, prozentuale Abnahme, konkreter Wert).
Änderungsrate bestimmen (Ableiten): Leite die Funktion mit der Kettenregel ab: $(e^{g(x)})' = e^{g(x)} \cdot g'(x)$ . Sortiere danach um, um die Proportionalität $f'(x) = k \cdot f(x)$ zu zeigen.
Prozentuale Veränderung berechnen: Berechne den Änderungsfaktor $e^k$ für eine Einheit. Für Wachstum ( $k>0$ ): Zunahme $= (e^k - 1) \cdot 100\%$ . Für Zerfall ( $k<0$ ): Abnahme $= (1 - e^k) \cdot 100\%$ .
Konkreten Funktionswert berechnen: Setze den gegebenen Wert in die ursprüngliche Funktionsgleichung ein und berechne das Ergebnis mit dem Taschenrechner.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Der radioaktive Zerfall von Cäsium-137 wird durch die Funktion $N(t) = 100 \cdot e^{-0{,}023t}$ beschrieben, wobei $N(t)$ die verbleibende Menge in Gramm nach $t$ Jahren ist.

a) Zeige, dass die Zerfallsrate proportional zur vorhandenen Menge ist, und bestimme die Proportionalitätskonstante.

b) Berechne, um wie viel Prozent die Menge pro Jahr abnimmt.

c) Wie viel Gramm sind nach 50 Jahren noch vorhanden?

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Funktion und Aufgabenstellung analysieren
Gegebene Funktion: $N(t) = 100 \cdot e^{-0{,}023t}$ . Gesucht: Proportionalität der Änderungsrate, jährliche prozentuale Abnahme, Menge nach 50 Jahren. Der Anfangswert ist $a=100$ g, die Zerfallskonstante ist $k=-0{,}023$ .
Schritt 2
Änderungsrate bestimmen (Ableiten)
Wir leiten $N(t)$ nach $t$ ab. Die innere Funktion im Exponenten ist $-0{,}023t$ , ihre Ableitung ist $-0{,}023$ .

$N'(t) = 100 \cdot e^{-0{,}023t} \cdot (-0{,}023)$

Jetzt sortieren wir den Ausdruck um:

$N'(t) = -0{,}023 \cdot (100 \cdot e^{-0{,}023t})$

Wir erkennen, dass der Ausdruck in der Klammer genau unsere ursprüngliche Funktion $N(t)$ ist.

$N'(t) = -0{,}023 \cdot N(t)$

Dies zeigt, dass die Zerfallsrate $N'(t)$ direkt proportional zur Menge $N(t)$ ist. Die Proportionalitätskonstante ist $-0{,}023$ .
Schritt 3
Prozentuale Veränderung berechnen
Die Zerfallskonstante ist $k=-0{,}023$ . Der jährliche Zerfallsfaktor ist $e^k$ .

Faktor $= e^{-0{,}023} \approx 0{,}97726$

Das bedeutet, dass nach einem Jahr noch ca. $97{,}73\%$ der Menge übrig ist. Die prozentuale Abnahme ist:

Abnahme $= (1 - 0{,}97726) \cdot 100\%$

$= 0{,}02274 \cdot 100\% = 2{,}274\%$

Die Menge nimmt pro Jahr um ca. $2{,}27\%$ ab.
Schritt 4 · Ergebnis
Konkreten Funktionswert berechnen
Wir setzen $t=50$ in die Funktion $N(t)$ ein:

$N(50) = 100 \cdot e^{-0{,}023 \cdot 50}$

$N(50) = 100 \cdot e^{-1{,}15}$

$N(50) \approx 100 \cdot 0{,}3166$

$N(50) \approx 31{,}66$

Ergebnis:

Nach 50 Jahren sind noch ca. 31,66 Gramm Cäsium-137 vorhanden.

Beispiel 2

Aufgabe

Eine Bakterienkultur wächst exponentiell nach der Formel $P(t) = 500 \cdot e^{0{,}12t}$ , wobei $P(t)$ die Anzahl der Bakterien nach $t$ Stunden ist.

a) Bestimme die Wachstumsrate in Abhängigkeit von der Population $P(t)$ .

b) Um wie viel Prozent wächst die Kultur pro Stunde?

c) Wie viele Bakterien gibt es nach 6 Stunden?

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Funktion und Aufgabenstellung analysieren
Funktion: $P(t) = 500 \cdot e^{0{,}12t}$ . Gesucht: Wachstumsrate, stündliches prozentuales Wachstum, Anzahl nach 6 Stunden. Die Wachstumskonstante ist $k=0{,}12$ .
Schritt 2
Änderungsrate bestimmen (Ableiten)
Wir leiten $P(t)$ ab:

$P'(t) = 500 \cdot e^{0{,}12t} \cdot 0{,}12$

Wir sortieren um und setzen $P(t)$ ein:

$P'(t) = 0{,}12 \cdot (500 \cdot e^{0{,}12t})$

$P'(t) = 0{,}12 \cdot P(t)$

Die Wachstumsrate ist das 0,12-fache der aktuellen Population.
Schritt 3
Prozentuale Veränderung berechnen
Der stündliche Wachstumsfaktor ist $e^k$ mit $k=0{,}12$ .

Faktor $= e^{0{,}12} \approx 1{,}1275$

Die prozentuale Zunahme ist:

Zunahme $= (1{,}1275 - 1) \cdot 100\%$

$= 0{,}1275 \cdot 100\% = 12{,}75\%$

Die Kultur wächst pro Stunde um ca. $12{,}75\%$ .
Schritt 4 · Ergebnis
Konkreten Funktionswert berechnen
Wir setzen $t=6$ in $P(t)$ ein:

$P(6) = 500 \cdot e^{0{,}12 \cdot 6}$

$P(6) = 500 \cdot e^{0{,}72}$

$P(6) \approx 500 \cdot 2{,}0544$

$P(6) \approx 1027{,}2$

Ergebnis:

Nach 6 Stunden gibt es ca. 1027 Bakterien.

Beispiel 3

Aufgabe

Der Wert eines Autos nimmt gemäß der Funktion $W(t) = 25000 \cdot e^{-0{,}15t}$ ab, wobei $W(t)$ der Wert in Euro nach $t$ Jahren ist.

a) Gib die Rate des Wertverlusts in Abhängigkeit vom aktuellen Wert an.

b) Wie hoch ist der jährliche prozentuale Wertverlust?

c) Was ist das Auto nach 4 Jahren noch wert?

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Funktion und Aufgabenstellung analysieren
Funktion: $W(t) = 25000 \cdot e^{-0{,}15t}$ . Gesucht: Rate des Wertverlusts, jährlicher prozentualer Verlust, Wert nach 4 Jahren. Die Zerfallskonstante ist $k=-0{,}15$ .
Schritt 2
Änderungsrate bestimmen (Ableiten)
Wir leiten $W(t)$ ab:

$W'(t) = 25000 \cdot e^{-0{,}15t} \cdot (-0{,}15)$

Umsortieren und $W(t)$ einsetzen:

$W'(t) = -0{,}15 \cdot (25000 \cdot e^{-0{,}15t})$

$W'(t) = -0{,}15 \cdot W(t)$

Die Rate des Wertverlusts beträgt -0,15 mal der aktuelle Wert.
Schritt 3
Prozentuale Veränderung berechnen
Der jährliche Wertminderungsfaktor ist $e^k$ mit $k=-0{,}15$ .

Faktor $= e^{-0{,}15} \approx 0{,}8607$

Die prozentuale Abnahme ist:

Abnahme $= (1 - 0{,}8607) \cdot 100\%$

$= 0{,}1393 \cdot 100\% = 13{,}93\%$

Der jährliche Wertverlust beträgt ca. $13{,}93\%$ .
Schritt 4 · Ergebnis
Konkreten Funktionswert berechnen
Wir setzen $t=4$ in $W(t)$ ein:

$W(4) = 25000 \cdot e^{-0{,}15 \cdot 4}$

$W(4) = 25000 \cdot e^{-0{,}6}$

$W(4) \approx 25000 \cdot 0{,}5488$

$W(4) \approx 13720{,}28$

Ergebnis:

Nach 4 Jahren ist das Auto noch ca. 13720,28 € wert.

Beispiel 4

Aufgabe

Die Konzentration eines Medikaments im Blut sinkt nach der Formel $K(t) = 12 \cdot e^{-0{,}5t}$ , wobei $K(t)$ die Konzentration in mg/L nach $t$ Stunden ist.

a) Zeige, dass die Abnahmegeschwindigkeit proportional zur Konzentration ist.

b) Um wie viel Prozent sinkt die Konzentration pro Stunde?

c) Welche Konzentration liegt nach 2,5 Stunden vor?

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Funktion und Aufgabenstellung analysieren
Funktion: $K(t) = 12 \cdot e^{-0{,}5t}$ . Gesucht: Proportionalität der Abnahmegeschwindigkeit, stündliche prozentuale Abnahme, Konzentration nach 2,5 Stunden. Die Zerfallskonstante ist $k=-0{,}5$ .
Schritt 2
Änderungsrate bestimmen (Ableiten)
Wir leiten $K(t)$ ab:

$K'(t) = 12 \cdot e^{-0{,}5t} \cdot (-0{,}5)$

Umsortieren und $K(t)$ einsetzen:

$K'(t) = -0{,}5 \cdot (12 \cdot e^{-0{,}5t})$

$K'(t) = -0{,}5 \cdot K(t)$

Die Abnahmegeschwindigkeit ist proportional zur Konzentration mit dem Faktor -0,5.
Schritt 3
Prozentuale Veränderung berechnen
Der stündliche Faktor ist $e^k$ mit $k=-0{,}5$ .

Faktor $= e^{-0{,}5} \approx 0{,}6065$

Die prozentuale Abnahme ist:

Abnahme $= (1 - 0{,}6065) \cdot 100\%$

$= 0{,}3935 \cdot 100\% = 39{,}35\%$

Die Konzentration sinkt pro Stunde um ca. $39{,}35\%$ .
Schritt 4 · Ergebnis
Konkreten Funktionswert berechnen
Wir setzen $t=2{,}5$ in $K(t)$ ein:

$K(2{,}5) = 12 \cdot e^{-0{,}5 \cdot 2{,}5}$

$K(2{,}5) = 12 \cdot e^{-1{,}25}$

$K(2{,}5) \approx 12 \cdot 0{,}2865$

$K(2{,}5) \approx 3{,}438$

Ergebnis:

Nach 2,5 Stunden beträgt die Konzentration ca. 3,44 mg/L.

Beispiel 5

Aufgabe

Ein Kapital von 5000 € wird mit Zinseszins angelegt, wobei die Verzinsung kontinuierlich erfolgt. Der Betrag nach $t$ Jahren wird durch $A(t) = 5000 \cdot e^{0{,}025t}$ beschrieben.

a) Bestimme die Rate, mit der das Kapital wächst, in Abhängigkeit vom Kapital selbst.

b) Wie hoch ist der effektive Jahreszinssatz (prozentuales Wachstum pro Jahr)?

c) Wie hoch ist das Kapital nach 10 Jahren?

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Funktion und Aufgabenstellung analysieren
Funktion: $A(t) = 5000 \cdot e^{0{,}025t}$ . Gesucht: Wachstumsrate, effektiver Jahreszinssatz, Kapital nach 10 Jahren. Die Wachstumskonstante ist $k=0{,}025$ .
Schritt 2
Änderungsrate bestimmen (Ableiten)
Wir leiten $A(t)$ ab:

$A'(t) = 5000 \cdot e^{0{,}025t} \cdot 0{,}025$

Umsortieren und $A(t)$ einsetzen:

$A'(t) = 0{,}025 \cdot (5000 \cdot e^{0{,}025t})$

$A'(t) = 0{,}025 \cdot A(t)$

Die Wachstumsrate des Kapitals ist immer 2,5 % des aktuellen Kapitals.
Schritt 3
Prozentuale Veränderung berechnen
Der jährliche Wachstumsfaktor ist $e^k$ mit $k=0{,}025$ .

Faktor $= e^{0{,}025} \approx 1{,}025315$

Die prozentuale Zunahme (effektiver Jahreszinssatz) ist:

Zunahme $= (1{,}025315 - 1) \cdot 100\%$

$= 0{,}025315 \cdot 100\% = 2{,}5315\%$

Der effektive Jahreszinssatz beträgt ca. $2{,}53\%$ .
Schritt 4 · Ergebnis
Konkreten Funktionswert berechnen
Wir setzen $t=10$ in $A(t)$ ein:

$A(10) = 5000 \cdot e^{0{,}025 \cdot 10}$

$A(10) = 5000 \cdot e^{0{,}25}$

$A(10) \approx 5000 \cdot 1{,}2840$

$A(10) \approx 6420{,}13$

Ergebnis:

Nach 10 Jahren beträgt das Kapital ca. 6420,13 €.

Wichtige Erkenntnisse

Funktionen der Form $f(x) = a \cdot e^{kx}$ beschreiben exponentielles Wachstum ( $k>0$ ) oder Zerfall ( $k<0$ ).
Die Ableitung ist immer proportional zur Funktion selbst: $f'(x) = k \cdot f(x)$ . Die Konstante $k$ aus dem Exponenten ist der Proportionalitätsfaktor.
Der Änderungsfaktor pro Einheit ist immer $e^k$ . Daraus lässt sich die prozentuale Veränderung berechnen: Zunahme $(e^k - 1) \cdot 100\%$ , Abnahme $(1 - e^k) \cdot 100\%$ .

Exponentialfunktionen analysieren: Anfangswert & Halbwertszeit

Schnellantwort

Vorwissen

Aufgabentyp 1: Modellierung mit der e-Funktion und ihrer Ableitung

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Wichtige Erkenntnisse

Häufige Fragen

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