Logarithmusgesetze einfach erklärt: Regeln & Beispiele

Im Argument des Logarithmus steht das Produkt $16 \cdot 8$.

Wir wandeln die Multiplikation in eine Addition um: $\log_2(16 \cdot 8) = \log_2(16) + \log_2(8)$

Jetzt berechnen wir die einzelnen Logarithmen:

• $\log_2(16)$ ist 4, weil $2^4 = 16$.
• $\log_2(8)$ ist 3, weil $2^3 = 8$.

Also: $\log_2(16) + \log_2(8) = 4 + 3 = 7$

Wir haben eine Summe von zwei Logarithmen mit der gleichen Basis 10. Wir können das Produktgesetz also rückwärts anwenden.

Wir wandeln die Addition in eine Multiplikation innerhalb eines Logarithmus um: $\log_{10}(25) + \log_{10}(4) = \log_{10}(25 \cdot 4)$

Wir berechnen das Produkt in der Klammer: $\log_{10}(25 \cdot 4) = \log_{10}(100)$

Das Ergebnis ist 2, da $10^2 = 100$.

Das Argument ist das Produkt $x \cdot y^2$.

Wir spalten den Logarithmus in eine Summe auf: $\log_b(x \cdot y^2) = \log_b(x) + \log_b(y^2)$

Der erste Term $\log_b(x)$ kann nicht weiter vereinfacht werden. Der zweite Term enthält eine Potenz, die wir mit einem anderen Gesetz (dem Potenzgesetz) noch weiter zerlegen könnten. Fürs Erste ist das die Anwendung des Produktgesetzes.

Die linke Seite der Gleichung ist eine Summe von Logarithmen mit der Basis 3. Wir fassen sie zusammen.

$\log_3(x) + \log_3(9) = \log_3(x \cdot 9)$

Die Gleichung lautet jetzt: $\log_3(9x) = 4$

Wir schreiben die Logarithmusgleichung als Potenzgleichung um: $3^4 = 9x$

$81 = 9x$

Wir teilen durch 9: $x = 9$

Wir sehen auf der rechten Seite im Nenner den Term $\log_2(8) + \log_2(c)$. Das ist die zerlegte Form nach dem Produktgesetz.

Wir fassen den Nenner auf der rechten Seite zusammen: $\log_2(8) + \log_2(c) = \log_2(8c)$

Die Gleichung wird zu: $5x \div \log_2(8c) = \frac{10}{\log_2(8c)}$

Wir multiplizieren beide Seiten mit $\log_2(8c)$: $5x = 10$

Jetzt teilen wir durch 5: $x = 2$

Im Argument des Logarithmus steht der Bruch $\frac{81}{3}$.

Wir wandeln die Division in eine Subtraktion um: $\log_3\!\left(\frac{81}{3}\right) = \log_3(81) - \log_3(3)$

Jetzt berechnen wir die einzelnen Logarithmen:

• $\log_3(81)$ ist 4, weil $3^4 = 81$.
• $\log_3(3)$ ist 1, weil $3^1 = 3$.

Also: $\log_3(81) - \log_3(3) = 4 - 1 = 3$

Wir haben eine Differenz von zwei Logarithmen mit der gleichen Basis 5. Wir können das Quotientengesetz rückwärts anwenden.

Wir wandeln die Subtraktion in eine Division innerhalb eines Logarithmus um: $\log_5(100) - \log_5(4) = \log_5\!\left(\frac{100}{4}\right)$

Wir berechnen den Bruch in der Klammer: $\log_5\!\left(\frac{100}{4}\right) = \log_5(25)$

Das Ergebnis ist 2, da $5^2 = 25$.

Das Argument ist der Bruch $\frac{x}{49}$.

Wir spalten den Logarithmus in eine Differenz auf: $\log_7\!\left(\frac{x}{49}\right) = \log_7(x) - \log_7(49)$

Der erste Term $\log_7(x)$ kann nicht weiter vereinfacht werden. Den zweiten Term können wir berechnen: $\log_7(49) = 2$, da $7^2 = 49$.

Das Endergebnis ist: $\log_7(x) - 2$.

Die linke Seite der Gleichung ist eine Differenz von Logarithmen mit der Basis 2. Wir fassen sie zusammen.

$\log_2(x) - \log_2(8) = \log_2\!\left(\frac{x}{8}\right)$

Die Gleichung lautet jetzt: $\log_2\!\left(\frac{x}{8}\right) = 1$

Wir schreiben die Logarithmusgleichung als Potenzgleichung um: $2^1 = \frac{x}{8}$

$2 = \frac{x}{8}$

Wir multiplizieren mit 8: $x = 16$

Wir sehen auf der rechten Seite den Term $\log_5\!\left(\frac{5}{k}\right)$. Diesen können wir mit dem Quotientengesetz zerlegen.

Wir zerlegen den Term: $\log_5\!\left(\frac{5}{k}\right) = \log_5(5) - \log_5(k)$

Da $\log_5(5) = 1$ ist, wird der Term zu $1 - \log_5(k)$.

Die Gleichung wird zu: $1-\log_5(k) = (1 - \log_5(k)) \cdot 2x$

Wir teilen beide Seiten durch den Ausdruck $(1 - \log_5(k))$. Da $k>0$ und $k \neq 5$ sein muss, damit der Ausdruck nicht null wird, ist dies erlaubt. $1 = 2x$

Jetzt teilen wir durch 2: $x = \frac{1}{2}$

Im Argument des Logarithmus steht die Potenz $4^5$.

Wir ziehen den Exponenten 5 nach vorne: $\log_2(4^5) = 5 \cdot \log_2(4)$

Wir berechnen den verbleibenden Logarithmus: $\log_2(4) = 2$, da $2^2 = 4$.

Jetzt multiplizieren wir: $5 \cdot 2 = 10$

Im Argument steht die Potenz $f^{32}$.

Wir ziehen den Exponenten 32 nach vorne: $\log_f(f^{32}) = 32 \cdot \log_f(f)$

Wir wissen, dass der Logarithmus, bei dem Basis und Argument gleich sind, immer 1 ist: $\log_f(f) = 1$.

Also: $32 \cdot 1 = 32$

Vor dem Logarithmus steht der Faktor $3$. Wir können das Potenzgesetz rückwärts anwenden.

Wir verschieben den Faktor als Exponent in den Logarithmus: $3 \cdot \log_b(x) = \log_b(x^3)$

Der Term ist nun als einzelner Logarithmus geschrieben.

Auf der linken Seite steht die Potenz $x^4$ im Logarithmus.

Wir ziehen den Exponenten 4 nach vorne: $4 \cdot \log_3(x) = 8$

Wir teilen beide Seiten durch 4: $\log_3(x) = 2$

Jetzt schreiben wir die Gleichung als Potenz um: $3^2 = x$

$x = 9$

Zuerst schreiben wir die Wurzel als Potenz um. Die Quadratwurzel entspricht dem Exponenten $\frac{1}{2}$. $\log_b(\sqrt{b}) = \log_b\!\left(b^{\frac{1}{2}}\right)$

Wir ziehen den Exponenten $\frac{1}{2}$ nach vorne: $\log_b\!\left(b^{\frac{1}{2}}\right) = \frac{1}{2} \cdot \log_b(b)$

Da $\log_b(b) = 1$ ist, erhalten wir: $\frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$

Wir erkennen ein Produkt und wenden das Produktgesetz an. $\log_b(b^3 \cdot b^7) = \log_b(b^3) + \log_b(b^7)$

Jetzt wenden wir auf beide Terme das Potenzgesetz an. $= 3 \cdot \log_b(b) + 7 \cdot \log_b(b)$

Wir wissen $\log_b(b) = 1$. $= 3 \cdot 1 + 7 \cdot 1 = 3 + 7 = 10$

Methode 2: Erst innen vereinfachen

Wir vereinfachen das Argument mit dem Potenzgesetz $b^m \cdot b^n = b^{m+n}$. $b^3 \cdot b^7 = b^{3+7} = b^{10}$

Der Term wird zu $\log_b(b^{10})$.

Jetzt wenden wir das Potenzgesetz für Logarithmen an. $\log_b(b^{10}) = 10 \cdot \log_b(b) = 10 \cdot 1 = 10$

Beide Wege führen zum selben Ergebnis!

Wir wenden zuerst das Quotientengesetz an. $\log_a\!\left(\frac{x^4}{\sqrt{y}}\right) = \log_a(x^4) - \log_a(\sqrt{y})$

Wir schreiben die Wurzel als Potenz: $\sqrt{y} = y^{\frac{1}{2}}$. $= \log_a(x^4) - \log_a\!\left(y^{\frac{1}{2}}\right)$

Wir ziehen die Exponenten nach vorne. $= 4 \cdot \log_a(x) - \frac{1}{2} \cdot \log_a(y)$

Wir verschieben die Faktoren als Exponenten in die Logarithmen. $\log_3(x^2) + \log_3(y) - \log_3(z^3)$

Wir fassen die Addition als Multiplikation zusammen. $\log_3(x^2 \cdot y) - \log_3(z^3)$

Wir fassen die Subtraktion als Division zusammen. $\log_3\!\left(\frac{x^2 \cdot y}{z^3}\right)$

Wir fassen die linke Seite zu einem Logarithmus zusammen. $\log_2(x \cdot (x+2)) = 3$

$\log_2(x^2 + 2x) = 3$

$2^3 = x^2 + 2x$

$8 = x^2 + 2x$

Wir bringen alles auf eine Seite: $x^2 + 2x - 8 = 0$

Mit der p-q-Formel oder durch Raten finden wir die Lösungen $x_1 = 2$ und $x_2 = -4$.

Der Logarithmus ist nur für positive Argumente definiert.

• Für $x=2$: $\log_2(2)$ und $\log_2(2+2)=\log_2(4)$ sind beide gültig.
• Für $x=-4$: $\log_2(-4)$ ist nicht definiert.

Daher ist die einzige gültige Lösung $x=2$.

Wir fassen die Summe zu einem Logarithmus zusammen, da die einzelnen Logarithmen schwer im Kopf zu berechnen sind. $\log_{10}(500) + \log_{10}(2) = \log_{10}(500 \cdot 2)$

Wir berechnen das Produkt in der Klammer. $\log_{10}(1000)$

Wir fragen uns: „10 hoch was ist 1000?" Die Antwort ist 3, da $10^3 = 1000$.

Das Ergebnis ist also 3.