Logarithmen und Exponentialgleichungen einfach erklärt

Stell dir vor, du lädst ein Video hoch und es geht viral. Es startet mit $5$ Aufrufen und die Zahl verdreifacht sich jede Stunde. Es ist leicht zu berechnen, wie viele Aufrufe es nach $4$ Stunden hat. Aber was, wenn wir wissen wollen, wann genau das Video $1.000.000$ Aufrufe erreicht?

Hier suchen wir nach der Zeit, also nach einem unbekannten Exponenten. Genau dafür brauchen wir bei Logarithmen und Exponentialgleichungen ein neues mathematisches Werkzeug: den Logarithmus! Er hilft uns, Gleichungen zu lösen, bei denen das gesuchte $x$ oben im Exponenten feststeckt.

Vorwissen

• Potenzen: Eine Zahl wird mehrfach mit sich selbst multipliziert. Beispiel: $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$.
• Wurzeln als Exponenten: Eine Wurzel kann als Bruch im Exponenten geschrieben werden. Beispiel: $\sqrt{5} = 5^{\frac{1}{2}}$.
• Exponentielles Wachstum: Beschreibt, wie eine Menge über die Zeit wächst oder schrumpft. Formel: $B(t) = b \cdot a^t$. Beispiel: Ein Startkapital von $100 \text{ Euro}$ wächst jährlich um $5 \text{ \%}$. Nach $t$ Jahren ist das Kapital $B(t) = 100 \cdot 1{,}05^t$.

Aufgabentyp 1: Logarithmen im Kopf berechnen

Bisher haben wir Potenzen berechnet, bei denen die Basis und der Exponent bekannt waren. Wenn wir aber den Exponenten suchen, verwenden wir den Logarithmus. Er ist die Umkehroperation zum Potenzieren. Er beantwortet die Frage: „Mit welcher Zahl muss ich die Basis hochnehmen, um den gewünschten Wert zu erhalten?“

Die grundlegende Definition lautet:

$\log_{\textcolor{#08BFFF}{a}}(\textcolor{#53E5D6}{b}) = \textcolor{#9570FF}{x} \Leftrightarrow \textcolor{#08BFFF}{a}^{\textcolor{#9570FF}{x}} = \textcolor{#53E5D6}{b}$

Dabei ist:

• $\textcolor{#08BFFF}{a}$ die Basis (die Zahl, die mit sich selbst multipliziert wird).
• $\textcolor{#53E5D6}{b}$ der Potenzwert (das Ergebnis, das herauskommen soll).
• $\textcolor{#9570FF}{x}$ der Exponent (die gesuchte Anzahl der Multiplikationen).

Um einen einfachen Logarithmus wie $\log_2(8)$ im Kopf zu berechnen, formen wir ihn in eine Potenzgleichung um: $2^x = 8$. Wir fragen uns: „Wie oft muss ich die $2$ mit sich selbst multiplizieren, damit $8$ herauskommt?“

Da $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ ist, wissen wir, dass $2^3 = 8$. Also ist $\log_2(8) = 3$.

Durchgerechnete Beispiele

Aufgabentyp 2: Exponentialgleichung durch Exponentenvergleich lösen

Eine Gleichung, bei der die gesuchte Variable (wie $x$) im Exponenten steht, nennt man Exponentialgleichung. Manchmal können wir solche Gleichungen ganz ohne Logarithmus lösen, indem wir beide Seiten der Gleichung so umformen, dass sie dieselbe Basis haben.

Wenn auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens Potenzen mit der gleichen Basis stehen, müssen auch ihre Exponenten gleich sein, damit die Gleichung stimmt. Das nennt man Exponentenvergleich.

Regel: Wenn $\textcolor{#08BFFF}{a}^{\textcolor{#9570FF}{f(x)}} = \textcolor{#08BFFF}{a}^{\textcolor{#9570FF}{g(x)}}$, dann gilt $\textcolor{#9570FF}{f(x)} = \textcolor{#9570FF}{g(x)}$.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Gleiche Basis herstellen: Forme die Zahlen auf beiden Seiten der Gleichung so um, dass sie als Potenzen mit derselben Basis geschrieben sind. Nutze dabei auch die Regel für Wurzeln (z. B. $\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}$).
2. Exponenten gleichsetzen: Da die Basen nun gleich sind, kannst du sie „weglassen“ und nur noch die beiden Exponenten mit einem Gleichheitszeichen verbinden.
3. Gleichung lösen: Löse die neu entstandene, einfache Gleichung nach $x$ auf.

Durchgerechnete Beispiele

Aufgabentyp 3: Exponentialgleichungen mit dem Logarithmus berechnen

Oft lassen sich die Zahlen in einer Exponentialgleichung nicht auf dieselbe Basis bringen (zum Beispiel bei $4^x = 5$). In diesem Fall nutzen wir den Logarithmus, um das $x$ aus dem Exponenten „herunterzuholen“.

Dabei helfen uns zwei wichtige Regeln:

1. Potenzregel: $\log_c(a^x) = x \cdot \log_c(a)$. Der Exponent wird als Faktor vor den Logarithmus gezogen.
2. Gleiche Basis: $\log_a(a) = 1$.

Um eine Gleichung zu lösen, isolieren wir zuerst die Potenz. Dann wenden wir auf beiden Seiten der Gleichung den Logarithmus an. Wenn wir als Basis für den Logarithmus genau die Basis der Potenz wählen, vereinfacht sich die Rechnung enorm, da der Teil $\log_a(a)$ einfach zu $1$ wird und wegfällt.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Potenz isolieren: Bringe alle Zahlen, die nicht zur Potenz gehören, durch einfache Umformungen (wie Teilen oder Multiplizieren) auf die andere Seite der Gleichung.
2. Logarithmus anwenden: Wende auf beiden Seiten der Gleichung den Logarithmus an. Wähle als Basis für den Logarithmus genau die Basis der isolierten Potenz.
3. Exponenten befreien: Nutze die Potenzregel des Logarithmus, um den Exponenten nach vorne zu ziehen: $\log_b(a^x) = x \cdot \log_b(a)$. Da $\log_a(a) = 1$ ist, fällt dieser Teil weg.
4. Nach der Variablen auflösen: Löse die restliche Gleichung nach $x$ auf und berechne das Ergebnis mit dem Taschenrechner.

Durchgerechnete Beispiele

Aufgabentyp 4: Logarithmen im Sachkontext anwenden

Viele Vorgänge in der echten Welt, wie das Wachstum von Bakterien oder die Zinsen auf einem Bankkonto, verlaufen exponentiell. Wir nutzen dafür die allgemeine Formel für exponentielles Wachstum: $B(t) = b \cdot a^t$.

Wenn wir wissen wollen, wann ein bestimmter Zielwert erreicht ist (wir suchen also die Zeit $t$), setzen wir die bekannten Werte in die Formel ein. Dadurch entsteht eine Exponentialgleichung, die wir genau wie im vorherigen Abschnitt mit dem Logarithmus lösen können.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Werte aus dem Text ablesen: Finde den Anfangsbestand $b$, den Wachstums- oder Zerfallsfaktor $a$ und den Zielwert $B(t)$ im Text. Denke daran, dass ein prozentuales Wachstum (z. B. $3 \text{ \%}$) als Faktor $a = 1 + 0{,}03 = 1{,}03$ geschrieben wird.
2. Gleichung aufstellen: Setze die gefundenen Werte in die Formel $B(t) = b \cdot a^t$ ein.
3. Gleichung lösen: Isoliere die Potenz (teile durch den Anfangsbestand) und wende den Logarithmus an, um die Zeit $t$ zu berechnen.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Ein Leichtathlet legt einen Gewinn von $1200 \text{ Euro}$ auf ein Sparkonto mit einem Zinssatz von $3 \text{ \%}$ pro Jahr an. Er plant, das Geld für einen Urlaub zu nutzen, sobald es sich verdoppelt hat.

In wie vielen Jahren wird sich das angelegte Geld verdoppelt haben? Runde auf zwei Nachkommastellen.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

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   Schritt 1
   Werte aus dem Text ablesen
   • Anfangsbestand: $b = 1200$
   • Wachstumsfaktor: $3 \text{ \%}$ Zinsen bedeuten $a = 1 + 0{,}03 = 1{,}03$
   • Zielwert: Das Geld soll sich verdoppeln, also $B(t) = 1200 \cdot 2 = 2400$
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   Schritt 2
   Gleichung aufstellen

   Wir setzen die Werte in die Formel $B(t) = b \cdot a^t$ ein: $2400 = 1200 \cdot 1{,}03^t$

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   Schritt 3 · Ergebnis
   Gleichung lösen

   Wir isolieren die Potenz, indem wir durch $1200$ teilen: $2 = 1{,}03^t$ Nun wenden wir auf beiden Seiten den Logarithmus zur Basis $1{,}03$ an: $\log_{1{,}03}(2) = \log_{1{,}03}(1{,}03^t)$ Wir ziehen den Exponenten $t$ nach vorne: $\log_{1{,}03}(2) = t \cdot \log_{1{,}03}(1{,}03)$ Da $\log_{1{,}03}(1{,}03) = 1$ ist, bleibt übrig: $\log_{1{,}03}(2) = t$ Mit dem Taschenrechner berechnet: $t \approx 23{,}45$

Ergebnis:

Es dauert ca. $23{,}45$ Jahre, bis sich das Geld verdoppelt hat. Das Ergebnis ist logisch, da $3 \text{ \%}$ Zinsen ein langsames Wachstum bedeuten und eine Verdopplung daher einige Zeit in Anspruch nimmt.

Wichtige Erkenntnisse

• Der Logarithmus ist die Umkehroperation zum Potenzieren. Er berechnet den Exponenten: $\log_a(b) = x$ bedeutet genau das Gleiche wie $a^x = b$.
• Exponentenvergleich: Wenn zwei Potenzen die gleiche Basis haben ($a^{f(x)} = a^{g(x)}$), kannst du einfach ihre Exponenten gleichsetzen ($f(x) = g(x)$).
• Logarithmus anwenden: Um eine Variable aus dem Exponenten zu holen, isolierst du die Potenz und wendest den passenden Logarithmus an. Die Potenzregel hilft dabei: $\log_b(a^x) = x \cdot \log_b(a)$.