Logarithmen und Exponentialgleichungen einfach erklärt

Wir suchen die Antwort auf die Frage: „2 hoch was ist 16?"

Als Gleichung: $2^x = 16$.

Wir probieren die Potenzen von 2 durch:

$2^1 = 2$

$2^2 = 4$

$2^3 = 8$

$2^4 = 16$ $\to$ Treffer!

Der Exponent ist 4. Also ist $x=4$.

Die Frage lautet: „10 hoch was ist 1000?"

Als Gleichung: $10^x = 1000$.

Bei der Basis 10 ist das einfach die Anzahl der Nullen:

$10^1 = 10$

$10^2 = 100$

$10^3 = 1000$ $\to$ Treffer!

Der Exponent ist 3. Also ist $x=3$.

Die Frage lautet: „5 hoch was ist 1?"

Als Gleichung: $5^x = 1$.

Hier müssen wir eine wichtige Potenzregel kennen: Jede Zahl (außer 0) hoch 0 ergibt 1.

$5^0 = 1$ $\to$ Treffer!

Der Exponent ist 0. Also ist $x=0$.

Die Frage lautet: „4 hoch was ist 2?"

Als Gleichung: $4^x = 2$.

Wir sehen, dass das Ergebnis (2) kleiner ist als die Basis (4). Das ist ein Hinweis auf eine Wurzel!

Wir wissen, dass die Quadratwurzel aus 4 gleich 2 ist: $\sqrt{4} = 2$.

Und wir wissen aus den Potenzgesetzen, dass man eine Wurzel als Bruch-Exponent schreiben kann: $\sqrt{4} = 4^{\frac{1}{2}}$.

Also: $4^{\frac{1}{2}} = 2$ $\to$ Treffer!

Der Exponent ist $\frac{1}{2}$. Also ist $x=\frac{1}{2}$.

Die Frage lautet: „3 hoch was ist $\frac{1}{9}$?"

Als Gleichung: $3^x = \frac{1}{9}$.

Ein Bruch als Ergebnis ist ein starker Hinweis auf einen negativen Exponenten. Wir ignorieren zuerst den Bruch und schauen uns nur den Nenner an: 9.

$3^2 = 9$.

Jetzt nutzen wir die Potenzregel $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

Also ist $3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$. $\to$ Treffer!

Der Exponent ist -2. Also ist $x=-2$.

Die Basen sind 3 und 81. Wir können 81 als Potenz von 3 schreiben.

Wir rechnen: $3^1=3$, $3^2=9$, $3^3=27$, $3^4=81$. Also ist $81 = 3^4$.

Wir setzen das in die Gleichung ein:

$3^{x+1} = 3^4$

Die Basen sind jetzt gleich (beide 3). Also können wir die Exponenten gleichsetzen:

$x+1 = 4$

Wir lösen die einfache lineare Gleichung:

$x+1 = 4 \quad | -1$

$x = 3$

Die Basen sind 7 und $\frac{1}{49}$. Wir wissen, dass $49 = 7^2$ ist. Der Bruch deutet auf einen negativen Exponenten hin.

Wir formen die rechte Seite um: $\frac{1}{49} = \frac{1}{7^2} = 7^{-2}$.

Die Gleichung lautet nun:

$7^{2x} = 7^{-2}$

Die Basen sind gleich (beide 7). Wir setzen die Exponenten gleich:

$2x = -2$

Wir lösen nach $x$ auf:

$2x = -2 \quad | \div 2$

$x = -1$

Die Basen sind 4 und 8. Wir können 8 nicht als einfache Potenz von 4 schreiben ($4^1=4$, $4^2=16$). Aber wir können beide Zahlen als Potenz einer kleineren Basis, nämlich 2, schreiben.

Wir schreiben beide Seiten mit der Basis 2:

• $4 = 2^2$
• $8 = 2^3$

Jetzt setzen wir das in die Gleichung ein und nutzen das Potenzgesetz $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(2^2)^x = 2^3$

$2^{2x} = 2^3$

Die Basen sind jetzt gleich (beide 2). Wir setzen die Exponenten gleich:

$2x = 3$

$2x = 3 \quad | \div 2$

$x = \frac{3}{2}$ oder $1{,}5$

Die Basen sind 9 und $\sqrt{3}$. Wir können beide als Potenz der Basis 3 schreiben.

Wir formen beide Seiten um:

• $9 = 3^2$
• $\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$

Wir setzen das in die Gleichung ein:

$(3^2)^{x-1} = 3^{\frac{1}{2}}$

$3^{2 \cdot (x-1)} = 3^{\frac{1}{2}}$

$3^{2x-2} = 3^{\frac{1}{2}}$

Die Basen sind gleich (beide 3). Wir setzen die Exponenten gleich:

$2x-2 = \frac{1}{2}$

$2x-2 = \frac{1}{2} \quad | +2$

$2x = \frac{1}{2} + 2 = \frac{1}{2} + \frac{4}{2} = \frac{5}{2}$

$2x = \frac{5}{2} \quad | \div 2$

$x = \frac{5}{4}$ oder $1{,}25$

Die Basen sind 5 und 1. Wir müssen die 1 als Potenz mit der Basis 5 schreiben.

Wir nutzen die Regel $b^0 = 1$. Also ist $1 = 5^0$.

Die Gleichung lautet nun:

$5^{3x} = 5^0$

Die Basen sind gleich (beide 5). Wir setzen die Exponenten gleich:

$3x = 0$

$3x = 0 \quad | \div 3$

$x = 0$

Der Term $3^x$ steht bereits alleine auf der linken Seite. Dieser Schritt ist also schon erledigt.

$3^x = 10$

Wir wenden den Logarithmus zur Basis 3 auf beiden Seiten an:

$\log_3(3^x) = \log_3(10)$

Wir ziehen das $x$ aus dem Exponenten nach vorne:

$x \cdot \log_3(3) = \log_3(10)$

Wir wissen, dass $\log_3(3) = 1$ ist. Die Gleichung vereinfacht sich also zu:

$x \cdot 1 = \log_3(10)$

$x = \log_3(10)$

Wir geben $\log_3(10)$ in den Taschenrechner ein.

$x \approx 2{,}0959...$

Der Term $2^x$ ist nicht allein. Wir müssen zuerst durch 5 teilen.

$5 \cdot 2^x = 80 \quad | \div 5$

$2^x = 16$

(Anmerkung: Ab hier könnte man auch per Exponentenvergleich lösen, da $16=2^4$. Wir rechnen aber mit dem Logarithmus weiter, um die Methode zu üben.)

Wir wenden den Logarithmus zur Basis 2 an:

$\log_2(2^x) = \log_2(16)$

$x \cdot \log_2(2) = \log_2(16)$

Da $\log_2(2) = 1$ ist:

$x = \log_2(16)$

Wir wissen aus dem Kopfrechnen, dass $2^4=16$ ist, also muss $\log_2(16)=4$ sein. Der Taschenrechner bestätigt das.

Der Term $1{,}05^t$ steht bereits alleine. Der Schritt ist erledigt.

Wir wenden den Logarithmus zur Basis 1,05 an:

$\log_{1{,}05}(1{,}05^t) = \log_{1{,}05}(2)$

$t \cdot \log_{1{,}05}(1{,}05) = \log_{1{,}05}(2)$

Da $\log_{1{,}05}(1{,}05) = 1$ ist:

$t = \log_{1{,}05}(2)$

$t \approx 14{,}2066...$

Der Term $7^{x+1}$ steht bereits alleine.

Wir wenden den Logarithmus zur Basis 7 an:

$\log_7(7^{x+1}) = \log_7(100)$

Der gesamte Exponent $(x+1)$ wird nach vorne gezogen. Wichtig: Klammern setzen!

$(x+1) \cdot \log_7(7) = \log_7(100)$

Da $\log_7(7) = 1$ ist:

$x+1 = \log_7(100)$

Jetzt noch die 1 subtrahieren:

$x = \log_7(100) - 1$

$x \approx 2{,}3666... - 1$

$x \approx 1{,}3666...$

Wir haben auf beiden Seiten Potenzterme. Der Schritt ist quasi erledigt.

Da wir zwei verschiedene Basen haben, ist es egal, welche wir für den Logarithmus wählen. Nehmen wir den Zehnerlogarithmus ($\log$ ohne Basis auf dem Taschenrechner, also $\log_{10}$).

$\log(4^{2x-1}) = \log(3^x)$

Wir ziehen auf beiden Seiten die Exponenten nach vorne (Klammern nicht vergessen!):

$(2x-1) \cdot \log(4) = x \cdot \log(3)$

Das ist eine lineare Gleichung. Wir müssen alle Terme mit $x$ auf eine Seite bringen.

$2x \cdot \log(4) - 1 \cdot \log(4) = x \cdot \log(3)$

$2x \cdot \log(4) - \log(4) = x \cdot \log(3) \quad | +\log(4) \quad | -x \cdot \log(3)$

$2x \cdot \log(4) - x \cdot \log(3) = \log(4)$

Jetzt $x$ ausklammern:

$x \cdot (2 \cdot \log(4) - \log(3)) = \log(4)$

Und zum Schluss teilen:

$x = \frac{\log(4)}{2 \cdot \log(4) - \log(3)}$

$x = \frac{0{,}602...}{2 \cdot 0{,}602... - 0{,}477...} = \frac{0{,}602...}{1{,}204... - 0{,}477...} = \frac{0{,}602...}{0{,}727...}$

$x \approx 0{,}828...$

Die Anzahl verdoppelt sich pro Zeiteinheit, das ist klassisches exponentielles Wachstum. Die Formel lautet: $B(t) = B_0 \cdot a^t$.

• Anfangsbestand $B_0 = 500$
• Endbestand $B(t) = 128.000$
• Wachstumsfaktor $a = 2$ (da Verdopplung)
• Gesucht ist die Zeit $t$ in Stunden.

$128.000 = 500 \cdot 2^t$

Zuerst den Potenzterm isolieren:

$128.000 = 500 \cdot 2^t \quad | \div 500$

$256 = 2^t$

Jetzt logarithmieren (oder per Exponentenvergleich, da $2^8 = 256$):

$\log_2(256) = \log_2(2^t)$

$8 = t \cdot \log_2(2)$

$t = 8$

Nach 8 Stunden sind es 128.000 Bakterien.

Der Wertverlust ist prozentual, also exponentieller Zerfall. Die Formel ist $B(t) = B_0 \cdot a^t$.

• Anfangswert $B_0 = 30.000$
• Endwert $B(t) = 10.000$
• Zerfallsfaktor $a = 1 - 15\% = 1 - 0{,}15 = 0{,}85$
• Gesucht ist die Zeit $t$ in Jahren.

$10.000 = 30.000 \cdot 0{,}85^t$

Potenzterm isolieren:

$10.000 = 30.000 \cdot 0{,}85^t \quad | \div 30.000$

$\frac{1}{3} = 0{,}85^t$

Logarithmieren:

$\log_{0{,}85}\!\left(\frac{1}{3}\right) = \log_{0{,}85}(0{,}85^t)$

$\log_{0{,}85}\!\left(\frac{1}{3}\right) = t \cdot \log_{0{,}85}(0{,}85)$

$t = \log_{0{,}85}\!\left(\frac{1}{3}\right)$

Mit dem Taschenrechner:

$t \approx 6{,}75$ Jahre

Die Frage lautet, nach wie vielen ganzen Jahren der Wert weniger als 10.000 € beträgt. Nach 6 Jahren ist er noch drüber, nach 6,75 Jahren ist er genau 10.000 €. Also ist er nach 7 Jahren definitiv darunter.

Exponentielles Wachstum: $B(t) = B_0 \cdot a^t$.

• Anfangsbestand $B_0 = 6{,}1$ (im Jahr 2000)
• Endbestand $B(t) = 7{,}8$ (im Jahr 2020)
• Zeit $t = 2020 - 2000 = 20$ Jahre
• Gesucht ist der Wachstumsfaktor $a$, um daraus die Rate $p$ zu berechnen.

$7{,}8 = 6{,}1 \cdot a^{20}$

Diesmal ist $a$ gesucht, nicht $t$. Wir brauchen den Logarithmus hier nicht, sondern die Wurzel.

$7{,}8 = 6{,}1 \cdot a^{20} \quad | \div 6{,}1$

$\frac{7{,}8}{6{,}1} = a^{20}$

Um $a$ zu bekommen, ziehen wir die 20. Wurzel:

$a = \sqrt[20]{\frac{7{,}8}{6{,}1}}$

$a \approx 1{,}0123...$

Der Wachstumsfaktor ist $a \approx 1{,}0123$. Die Wachstumsrate $p$ ist der Teil nach der 1.

$p = (a - 1) \cdot 100 = (1{,}0123 - 1) \cdot 100 = 0{,}0123 \cdot 100 = 1{,}23\%$

Exponentieller Zerfall: $B(t) = B_0 \cdot a^t$.

• Wir kennen den Zerfallsfaktor nicht direkt, aber die Halbwertszeit. Nach $t=4$ Stunden ist der Bestand $B(4) = 0{,}5 \cdot B_0$.
• Wir können damit zuerst $a$ berechnen.
• Zeit $t = 4$ Stunden
• Endbestand $B(4) = 0{,}5 \cdot B_0$

$0{,}5 \cdot B_0 = B_0 \cdot a^4 \quad | \div B_0$

$0{,}5 = a^4$

$a = \sqrt[4]{0{,}5} \approx 0{,}8409$

Der stündliche Zerfallsfaktor ist also ca. 0,8409.

Jetzt wollen wir wissen, wie viel nach 24 Stunden übrig ist. Wir nutzen die volle Formel mit $t=24$.

$B(24) = B_0 \cdot (0{,}8409)^{24}$

$B(24) \approx B_0 \cdot 0{,}0156$

Nach 24 Stunden sind noch ca. 0,0156 des Anfangsbestandes $B_0$ übrig. In Prozent sind das $0{,}0156 \cdot 100 = 1{,}56\%$.