Extremwertprobleme bei quadratischen Funktionen erklärt

Die Funktion lautet $f(x) = -0{,}02x^2 + 0{,}8x$. Der Leitkoeffizient $a = -0{,}02$ ist negativ, also ist die Parabel nach unten geöffnet. Wir suchen ein Maximum.

Wir setzen $f(x) = 0$:

$-0{,}02x^2 + 0{,}8x = 0$

Wir können $x$ ausklammern:

$x \cdot (-0{,}02x + 0{,}8) = 0$

Nach dem Satz vom Nullprodukt ist die erste Nullstelle $x_1 = 0$.

Für die zweite Nullstelle lösen wir die Klammer auf:

$-0{,}02x + 0{,}8 = 0 \quad | -0{,}8$

$-0{,}02x = -0{,}8 \quad | :(-0{,}02)$

$x_2 = 40$

Wir berechnen die Mitte der Nullstellen $x_1 = 0$ und $x_2 = 40$:

$x_S = \frac{0 + 40}{2} = 20$

Der Ball erreicht seine maximale Höhe bei einer horizontalen Entfernung von 20 Metern.

Wir setzen $x_S = 20$ in die Funktion $f(x)$ ein:

$f(20) = -0{,}02 \cdot (20)^2 + 0{,}8 \cdot (20)$

$f(20) = -0{,}02 \cdot 400 + 16$

$f(20) = -8 + 16 = 8$

Die Gewinnfunktion ist $G(x) = -5x^2 + 300x - 2500$. Da $a = -5$ negativ ist, suchen wir ein Maximum.

Wir setzen $G(x) = 0$ und verwenden die Mitternachtsformel für $ax^2+bx+c=0$:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Hier ist $a=-5$, $b=300$, $c=-2500$.

$x_{1,2} = \frac{-300 \pm \sqrt{300^2 - 4 \cdot (-5) \cdot (-2500)}}{2 \cdot (-5)}$

$x_{1,2} = \frac{-300 \pm \sqrt{90000 - 50000}}{-10}$

$x_{1,2} = \frac{-300 \pm \sqrt{40000}}{-10}$

$x_{1,2} = \frac{-300 \pm 200}{-10}$

Die Nullstellen sind:

$x_1 = \frac{-300 + 200}{-10} = \frac{-100}{-10} = 10$

$x_2 = \frac{-300 - 200}{-10} = \frac{-500}{-10} = 50$

Die Mitte der Nullstellen $x_1 = 10$ und $x_2 = 50$ ist:

$x_S = \frac{10 + 50}{2} = 30$

Wir setzen $x_S = 30$ in $G(x)$ ein:

$G(30) = -5 \cdot (30)^2 + 300 \cdot (30) - 2500$

$G(30) = -5 \cdot 900 + 9000 - 2500$

$G(30) = -4500 + 9000 - 2500 = 2000$

Die Funktion ist $T(t) = -0{,}5t^2 + 12t - 52$. Der Koeffizient $a = -0{,}5$ ist negativ, also suchen wir ein Maximum.

Wir setzen $T(t) = 0$:

$-0{,}5t^2 + 12t - 52 = 0$

Wir verwenden die Mitternachtsformel mit $a=-0{,}5$, $b=12$, $c=-52$.

$t_{1,2} = \frac{-12 \pm \sqrt{12^2 - 4 \cdot (-0{,}5) \cdot (-52)}}{2 \cdot (-0{,}5)}$

$t_{1,2} = \frac{-12 \pm \sqrt{144 - 104}}{-1}$

$t_{1,2} = \frac{-12 \pm \sqrt{40}}{-1}$

$t_{1,2} = \frac{-12 \pm 6{,}32}{-1}$

Die Nullstellen sind ungefähr:

$t_1 = \frac{-12 + 6{,}32}{-1} \approx 5{,}68$

$t_2 = \frac{-12 - 6{,}32}{-1} \approx 18{,}32$

Die Mitte der Nullstellen ist:

$t_S = \frac{5{,}68 + 18{,}32}{2} = \frac{24}{2} = 12$

Wir setzen $t_S = 12$ in $T(t)$ ein:

$T(12) = -0{,}5 \cdot (12)^2 + 12 \cdot (12) - 52$

$T(12) = -0{,}5 \cdot 144 + 144 - 52$

$T(12) = -72 + 144 - 52 = 20$

Die Funktion ist $h(t) = -5t^2 + 10t + 15$. Da $a = -5$ negativ ist, suchen wir ein Maximum.

Wir setzen $h(t) = 0$:

$-5t^2 + 10t + 15 = 0 \quad | :(-5)$

$t^2 - 2t - 3 = 0$

Wir verwenden die Mitternachtsformel mit $a=1$, $b=-2$, $c=-3$.

$t_{1,2} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1}$

$t_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

$t_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}$

Die Nullstellen sind:

$t_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3$

$t_2 = \frac{2 - 4}{2} = -1$

(Die negative Zeit ist physikalisch nicht sinnvoll, aber mathematisch korrekt für die Berechnung.)

Die Mitte der Nullstellen ist:

$t_S = \frac{3 + (-1)}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Wir setzen $t_S = 1$ in $h(t)$ ein:

$h(1) = -5 \cdot (1)^2 + 10 \cdot (1) + 15$

$h(1) = -5 + 10 + 15 = 20$

Die Funktion ist $K(t) = -1 \cdot t^2 + 8t$. Der Koeffizient $a = -1$ ist negativ, also suchen wir ein Maximum.

Wir setzen $K(t) = 0$:

$-t^2 + 8t = 0$

Wir klammern $t$ aus:

$t \cdot (-t + 8) = 0$

Die Nullstellen sind $t_1 = 0$ und (aus $-t+8=0$) $t_2 = 8$.

Die Mitte der Nullstellen ist:

$t_S = \frac{0 + 8}{2} = 4$

Wir setzen $t_S = 4$ in $K(t)$ ein:

$K(4) = -(4)^2 + 8 \cdot (4)$

$K(4) = -16 + 32 = 16$

Das Produkt $P$ zweier Zahlen $x$ und $y$ soll maximal werden.

Zielfunktion: $P(x,y) = x \cdot y$

Die Summe der beiden Zahlen ist 20.

Nebenbedingung: $x + y = 20$

Wir lösen die Nebenbedingung nach $y$ auf:

$y = 20 - x$

Nun setzen wir dies in die Zielfunktion ein:

$P(x) = x \cdot (20 - x)$

$P(x) = 20x - x^2 = -x^2 + 20x$

Die Funktion $P(x) = -x^2 + 20x$ ist eine nach unten geöffnete Parabel ($a=-1$), also suchen wir ein Maximum. Wir finden die Nullstellen:

$-x^2 + 20x = 0 \implies x(-x+20) = 0$

Die Nullstellen sind $x_1 = 0$ und $x_2 = 20$.

Der x-Wert des Scheitelpunkts ist die Mitte:

$x_S = \frac{0+20}{2} = 10$

Eine Zahl ist $x=10$. Die andere Zahl finden wir mit der umgeformten Nebenbedingung:

$y = 20 - x = 20 - 10 = 10$

Das Produkt $P$ zweier Zahlen $x$ und $y$ soll minimal werden.

Zielfunktion: $P(x,y) = x \cdot y$

Die Differenz der Zahlen ist 8.

Nebenbedingung: $x - y = 8$

Wir lösen nach $y$ auf:

$y = x - 8$

Einsetzen in die Zielfunktion:

$P(x) = x \cdot (x - 8)$

$P(x) = x^2 - 8x$

Die Funktion $P(x) = x^2 - 8x$ ist eine nach oben geöffnete Parabel ($a=1$), also suchen wir ein Minimum. Wir finden die Nullstellen:

$x^2 - 8x = 0 \implies x(x-8) = 0$

Die Nullstellen sind $x_1 = 0$ und $x_2 = 8$.

Der x-Wert des Scheitelpunkts ist:

$x_S = \frac{0+8}{2} = 4$

Eine Zahl ist $x=4$. Die andere ist:

$y = x - 8 = 4 - 8 = -4$

Das Produkt $P$ der Zahlen $x$ und $y$ soll maximal werden.

Zielfunktion: $P(x,y) = x \cdot y$

Das Doppelte von $x$ plus $y$ ist 30.

Nebenbedingung: $2x + y = 30$

Wir lösen nach $y$ auf:

$y = 30 - 2x$

Einsetzen in die Zielfunktion:

$P(x) = x \cdot (30 - 2x)$

$P(x) = 30x - 2x^2 = -2x^2 + 30x$

Die Funktion $P(x) = -2x^2 + 30x$ ist eine nach unten geöffnete Parabel ($a=-2$). Wir suchen die Nullstellen:

$-2x^2 + 30x = 0 \implies x(-2x+30) = 0$

Die Nullstellen sind $x_1 = 0$ und (aus $-2x+30=0$) $x_2 = 15$.

Der x-Wert des Scheitelpunkts ist:

$x_S = \frac{0+15}{2} = 7{,}5$

Eine Zahl ist $x=7{,}5$. Die andere ist:

$y = 30 - 2x = 30 - 2 \cdot 7{,}5 = 30 - 15 = 15$

Die Summe der Quadrate $S$ von $x$ und $y$ soll minimal werden.

Zielfunktion: $S(x,y) = x^2 + y^2$

Die Summe der Zahlen ist -12.

Nebenbedingung: $x + y = -12$

Wir lösen nach $y$ auf:

$y = -12 - x$

Einsetzen in die Zielfunktion:

$S(x) = x^2 + (-12 - x)^2$

$S(x) = x^2 + (144 + 24x + x^2)$ (2. Binomische Formel)

$S(x) = 2x^2 + 24x + 144$

Die Funktion $S(x) = 2x^2 + 24x + 144$ ist eine nach oben geöffnete Parabel ($a=2$). Wir berechnen die Nullstellen:

$x_{1,2} = \frac{-24 \pm \sqrt{24^2 - 4 \cdot 2 \cdot 144}}{2 \cdot 2} = \frac{-24 \pm \sqrt{576 - 1152}}{4}$. Die Wurzel ist negativ, es gibt keine Nullstellen. Wir müssen die Scheitelpunktform durch quadratische Ergänzung finden:

$S(x) = 2(x^2 + 12x) + 144$

$S(x) = 2(x^2 + 12x + 6^2 - 6^2) + 144$

$S(x) = 2((x+6)^2 - 36) + 144$

$S(x) = 2(x+6)^2 - 72 + 144$

$S(x) = 2(x+6)^2 + 72$

Der Scheitelpunkt ist bei $S(-6|72)$. Der x-Wert ist also $x_S = -6$.

Eine Zahl ist $x=-6$. Die andere ist:

$y = -12 - x = -12 - (-6) = -6$

Die Fläche $A$ eines Rechtecks mit Länge $l$ und Breite $b$ soll maximal werden.

Zielfunktion: $A(l,b) = l \cdot b$

Der Umfang des Rechtecks entspricht der Zaunlänge von 100 m.

Nebenbedingung: $2l + 2b = 100$

Wir lösen die Nebenbedingung nach $b$ auf:

$2b = 100 - 2l \quad | :2$

$b = 50 - l$

Einsetzen in die Zielfunktion:

$A(l) = l \cdot (50 - l) = 50l - l^2 = -l^2 + 50l$

Die Funktion $A(l) = -l^2 + 50l$ ist eine nach unten geöffnete Parabel. Wir finden die Nullstellen:

$l(-l+50) = 0$

Die Nullstellen sind $l_1 = 0$ und $l_2 = 50$.

Der l-Wert des Scheitelpunkts ist:

$l_S = \frac{0+50}{2} = 25$

Die optimale Länge ist 25 m.

Wir setzen $l=25$ in die umgeformte Nebenbedingung ein:

$b = 50 - l = 50 - 25 = 25$

Die optimale Breite ist ebenfalls 25 m. Die maximale Fläche ist:

$A_{max} = 25 \text{ m} \cdot 25 \text{ m} = 625 \text{ m}^2$

Die Fläche $A$ mit Länge $l$ (parallel zur Mauer) und Breite $b$ soll maximal werden.

Zielfunktion: $A(l,b) = l \cdot b$

Es werden nur drei Seiten eingezäunt: eine Länge $l$ und zwei Breiten $b$. Die Zaunlänge ist 40 m.

Nebenbedingung: $l + 2b = 40$

Wir lösen nach $l$ auf:

$l = 40 - 2b$

Einsetzen in die Zielfunktion:

$A(b) = (40 - 2b) \cdot b = 40b - 2b^2 = -2b^2 + 40b$

Die Funktion $A(b) = -2b^2 + 40b$ ist eine nach unten geöffnete Parabel. Nullstellen:

$b(-2b+40) = 0$

Die Nullstellen sind $b_1 = 0$ und $b_2 = 20$.

Der Scheitelpunkt liegt bei:

$b_S = \frac{0+20}{2} = 10$

Die optimale Breite ist 10 m.

Wir setzen $b=10$ in die umgeformte Nebenbedingung ein:

$l = 40 - 2b = 40 - 2 \cdot 10 = 20$

Die optimale Länge ist 20 m. Die maximale Fläche ist:

$A_{max} = 20 \text{ m} \cdot 10 \text{ m} = 200 \text{ m}^2$

Die Fläche $A$ eines Rechtecks mit den Seiten $a$ und $b$ soll maximal sein.

Zielfunktion: $A(a,b) = a \cdot b$

Der Umfang des Rechtecks ist die Drahtlänge von 120 cm.

Nebenbedingung: $2a + 2b = 120$

Wir lösen nach $b$ auf:

$2b = 120 - 2a \quad | :2$

$b = 60 - a$

Einsetzen in die Zielfunktion:

$A(a) = a \cdot (60 - a) = 60a - a^2 = -a^2 + 60a$

Die Funktion $A(a) = -a^2 + 60a$ ist eine nach unten geöffnete Parabel. Nullstellen:

$a(-a+60) = 0$

Die Nullstellen sind $a_1 = 0$ und $a_2 = 60$.

Der Scheitelpunkt liegt bei:

$a_S = \frac{0+60}{2} = 30$

Die optimale Seitenlänge $a$ ist 30 cm.

Wir setzen $a=30$ in die umgeformte Nebenbedingung ein:

$b = 60 - a = 60 - 30 = 30$

Die zweite Seitenlänge $b$ ist ebenfalls 30 cm. Das Rechteck ist ein Quadrat.

Sei die Seite mit dem Weg die Länge $l$ und die andere Seite die Breite $b$. Die Fläche soll maximal werden.

Zielfunktion: $A(l,b) = l \cdot b$

Die Umrandung besteht aus einer Seite $l$, zwei Seiten $b$ und einem Teil der vierten Seite, nämlich $(l-4)$.

Nebenbedingung: $l + 2b + (l-4) = 16$

$2l + 2b - 4 = 16 \quad | +4$

$2l + 2b = 20 \quad | :2$

$l + b = 10$

Wir lösen nach $b$ auf: $b = 10 - l$.

Einsetzen in die Zielfunktion:

$A(l) = l \cdot (10 - l) = 10l - l^2 = -l^2 + 10l$

Die Funktion $A(l) = -l^2 + 10l$ ist eine nach unten geöffnete Parabel. Nullstellen:

$l(-l+10) = 0$

Die Nullstellen sind $l_1 = 0$ und $l_2 = 10$.

Der Scheitelpunkt liegt bei:

$l_S = \frac{0+10}{2} = 5$

Die optimale Länge ist 5 m.

Wir setzen $l=5$ in die umgeformte Nebenbedingung ein:

$b = 10 - l = 10 - 5 = 5$

Die optimale Breite ist 5 m.

Das Fassungsvermögen (Volumen) ist proportional zur Querschnittsfläche. Wir maximieren also die Querschnittsfläche $A$. Die Länge der Rinne ist konstant.

Zielfunktion (Querschnittsfläche): $A(b,h) = b \cdot h$

Die Gesamtbreite des Blechs von 30 cm setzt sich aus dem Boden $b$ und den beiden hochgebogenen Seiten $h$ zusammen.

Nebenbedingung: $h + b + h = 30 \implies b + 2h = 30$

Wir lösen nach $b$ auf: $b = 30 - 2h$.

Einsetzen in die Zielfunktion:

$A(h) = (30 - 2h) \cdot h = 30h - 2h^2 = -2h^2 + 30h$

Die Funktion $A(h) = -2h^2 + 30h$ ist eine nach unten geöffnete Parabel. Nullstellen:

$h(-2h+30) = 0$

Die Nullstellen sind $h_1 = 0$ und $h_2 = 15$.

Der Scheitelpunkt liegt bei:

$h_S = \frac{0+15}{2} = 7{,}5$

Die optimale Höhe ist 7,5 cm.

Die Breite ist: $b = 30 - 2 \cdot 7{,}5 = 30 - 15 = 15$ cm.

Die maximale Querschnittsfläche ist $A_{max} = 15 \cdot 7{,}5 = 112{,}5$ cm².

Das Volumen ist Grundfläche mal Länge. Da die Länge konstant ist (1 m = 100 cm), müssen wir die Querschnittsfläche $A$ maximieren. Sei die Breite $b$ und die Höhe $h$.

Zielfunktion (Fläche): $A(b,h) = b \cdot h$

Der Umfang des rechteckigen Querschnitts ist 20 cm.

Nebenbedingung: $2b + 2h = 20$

Wir lösen nach $h$ auf:

$2h = 20 - 2b \quad | :2$

$h = 10 - b$

Einsetzen in die Zielfunktion:

$A(b) = b \cdot (10 - b) = 10b - b^2 = -b^2 + 10b$

Die Funktion $A(b) = -b^2 + 10b$ ist eine nach unten geöffnete Parabel. Nullstellen:

$b(-b+10) = 0$

Die Nullstellen sind $b_1 = 0$ und $b_2 = 10$.

Der Scheitelpunkt liegt bei:

$b_S = \frac{0+10}{2} = 5$

Die optimale Breite ist 5 cm.

Die Höhe ist: $h = 10 - b = 10 - 5 = 5$ cm.

Der Querschnitt muss ein Quadrat mit 5 cm Seitenlänge sein. Das maximale Volumen ist dann $V = (5 \text{ cm} \cdot 5 \text{ cm}) \cdot 100 \text{ cm} = 2500 \text{ cm}^3$.