Erster und zweiter Strahlensatz einfach erklärt: Formeln

Stell dir vor, du stehst an einem breiten Fluss und möchtest wissen, wie weit es bis zum anderen Ufer ist. Du hast aber kein Boot und kannst nicht hinüberschwimmen. Wie misst du die Entfernung?

Schon in der Antike nutzten Baumeister und Landvermesser dafür einen genialen Trick: Sie steckten Stöcke in den Boden und peilten über sie hinweg. Durch das Vergleichen von kurzen und langen Strecken konnten sie unzugängliche Entfernungen einfach ausrechnen. Genau dieses Prinzip lernst du jetzt kennen: Den ersten und zweiten Strahlensatz. Sie sind wie ein magisches Werkzeug, mit dem du fehlende Längen in geometrischen Figuren ganz leicht berechnen kannst!

Vorwissen

• Parallele Geraden: Zwei gerade Linien, die überall den exakt gleichen Abstand zueinander haben und sich niemals schneiden. Beispiel: Die gegenüberliegenden Kanten deines Schreibtisches sind parallel.
• Bruchgleichungen lösen: Wenn die gesuchte Zahl (z. B. $x$) oben im Bruch steht, multiplizieren wir einfach mit der Zahl, die unten steht. Beispiel: $\frac{x}{4} = 3 \quad | \cdot 4 \quad \to \quad x = 12$

Aufgabentyp 1: Länge einer Strecke bestimmen - Erster Strahlensatz

Bevor wir rechnen, müssen wir die Figuren erkennen, um die es geht. Ein Strahlensatz funktioniert immer dann, wenn sich zwei gerade Linien in einem Zentrum (Z) schneiden und von zwei parallelen Geraden durchkreuzt werden. Dabei entstehen zwei typische Bilder:

1. Die V-Figur: Das Zentrum liegt ganz außen. Die Linien breiten sich wie ein V aus.
2. Die X-Figur: Das Zentrum liegt in der Mitte. Die Linien kreuzen sich wie ein X.

Der Erste Strahlensatz wird benutzt, wenn wir Längen auf den Strahlen (den Linien, die sich in Z treffen) berechnen wollen. Die Längen der parallelen Geraden sind hierbei völlig egal!

Die Regel ist sehr logisch: Das Verhältnis der Abschnitte auf dem einen Strahl ist genauso groß wie das Verhältnis der entsprechenden Abschnitte auf dem anderen Strahl.

Wir vergleichen den vorderen Abschnitt mit dem hinteren Abschnitt. Die Formel lautet:

$\frac{\textcolor{#08BFFF}{b}}{\textcolor{#08BFFF}{a}} = \frac{\textcolor{#9570FF}{d}}{\textcolor{#9570FF}{c}}$

Ein wichtiger Rechentrick: Wenn du eine Aufgabe löst, stelle den Bruch immer so auf, dass deine gesuchte Zahl oben steht. Wenn du zum Beispiel $\textcolor{#08BFFF}{a}$ suchst, darfst du einfach beide Brüche auf den Kopf stellen: $\frac{\textcolor{#08BFFF}{a}}{\textcolor{#08BFFF}{b}} = \frac{\textcolor{#9570FF}{c}}{\textcolor{#9570FF}{d}}$. Das macht das Ausrechnen viel leichter!

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Figur und gesuchte Strecke prüfen: Schau dir die Zeichnung an. Handelt es sich um eine V-Figur oder eine X-Figur? Liegt die gesuchte Strecke auf einem der Strahlen?
2. Gleichung aufstellen (Trick anwenden): Beginne immer mit der gesuchten Strecke $x$ oben im ersten Bruch. Schreibe die Strecke, die auf demselben Strahl liegt, darunter. Auf die andere Seite kommen die entsprechenden Strecken des anderen Strahls.
3. Gleichung lösen: Da dein $x$ oben steht, musst du die Gleichung nur noch mit der Zahl unter dem $x$ multiplizieren.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Die beiden senkrechten Geraden in der Abbildung sind parallel. Berechne die fehlende Länge $x$.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

3 / 3

1. 1
   Schritt 1
   Figur und gesuchte Strecke prüfen

   Wir sehen eine X-Figur. Die gesuchte Strecke $x$ liegt auf einem der Strahlen. Wir nutzen also den Ersten Strahlensatz.

2. 2
   Schritt 2
   Gleichung aufstellen

   Wir fangen mit dem gesuchten $x$ an und schreiben es oben in den Bruch. Darunter kommt die $3$, weil sie auf demselben Strahl liegt. Auf die rechte Seite kommt der andere Strahl. Weil das $x$ auf der rechten Seite vom Zentrum liegt, muss oben rechts auch die Zahl stehen, die rechts vom Zentrum liegt (die $8$). $\frac{\textcolor{#08BFFF}{x}}{\textcolor{#08BFFF}{3}} = \frac{\textcolor{#9570FF}{8}}{\textcolor{#9570FF}{4}}$

3. 3
   Schritt 3 · Ergebnis
   Gleichung lösen

   Wir multiplizieren mit der Zahl unter dem $x$ (also mit $3$), damit $x$ alleine steht. $\frac{x}{3} = \frac{8}{4} \quad | \cdot 3$ $x = \frac{8}{4} \cdot 3$ Da $\frac{8}{4}$ genau $2$ ergibt, rechnen wir: $x = 2 \cdot 3 = 6$

Ergebnis:

Die gesuchte Länge ist $x = 6$.

Aufgabentyp 2: Parallelität zweier Geraden nachweisen

Manchmal hast du eine Zeichnung mit allen Längen, aber du weißt nicht sicher, ob die beiden quer verlaufenden Geraden wirklich parallel sind. Das bloße Auge kann sich täuschen!

Hier hilft uns die Umkehrung des 1. Strahlensatzes. Die Regel ist simpel: Wenn die Seitenverhältnisse auf beiden Strahlen exakt gleich sind, dann müssen die Geraden parallel sein.

Wir prüfen das, indem wir die Brüche aufstellen und ausrechnen:

• Verhältnis auf dem oberen Strahl: $\frac{4}{2} = 2$
• Verhältnis auf dem unteren Strahl: $\frac{6}{3} = 2$

Da auf beiden Seiten genau das Gleiche herauskommt ($2 = 2$), ist der mathematische Beweis erbracht: Die Geraden sind parallel!

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Verhältnisse aufstellen: Stelle die Brüche für den ersten Strahlensatz auf (äußerer Abschnitt geteilt durch innerer Abschnitt).
2. Brüche ausrechnen: Rechne beide Seiten der Gleichung getrennt voneinander aus.
3. Ergebnisse vergleichen: Sind beide Ergebnisse identisch, sind die Geraden parallel.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Überprüfe rechnerisch, ob die Geraden $h$ und $i$ in der Abbildung parallel zueinander sind.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

2 / 2

1. 1
   Schritt 1
   Verhältnisse aufstellen

   Wir stellen die Brüche für den Ersten Strahlensatz auf (äußerer Abschnitt geteilt durch innerer Abschnitt): $\frac{12}{6} = \frac{16}{8}$

2. 2
   Schritt 2 · Ergebnis
   Brüche ausrechnen

   Wir rechnen beide Seiten getrennt aus:

   • Linke Seite: $12 : 6 = 2$
   • Rechte Seite: $16 : 8 = 2$

Ergebnis:

Da $2 = 2$ eine wahre Aussage ist, gilt der Strahlensatz. Ja, die Geraden $h$ und $i$ sind parallel zueinander.

Aufgabentyp 3: Länge einer Strecke bestimmen - Zweiter Strahlensatz

Was ist, wenn wir nicht die Längen auf den Strahlen suchen, sondern die Länge einer der parallelen Geraden? Dann brauchen wir den Zweiten Strahlensatz.

Die Regel lautet: Das Verhältnis der beiden Parallelen ist genauso groß wie das Verhältnis der beiden Strecken auf einem Strahl.

⚠️ Achtung, hier passiert der häufigste Fehler! Beim Zweiten Strahlensatz darfst du auf dem Strahl niemals nur das hintere, abgetrennte Stück nehmen. Du musst immer vom Zentrum (Z) aus messen! Du vergleichst also die kurze Strecke (vom Zentrum bis zur ersten Parallele) mit der gesamten langen Strecke (vom Zentrum bis zur zweiten Parallele).

Die Formel lautet:

$\frac{\textcolor{#53E5D6}{\text{kurze Parallele}}}{\textcolor{#53E5D6}{\text{lange Parallele}}} = \frac{\textcolor{#08BFFF}{\text{kurzer Strahl (von Z)}}}{\textcolor{#08BFFF}{\text{langer Strahl (von Z)}}}$

In Buchstaben ausgedrückt:

$\frac{\textcolor{#53E5D6}{x}}{\textcolor{#53E5D6}{y}} = \frac{\textcolor{#08BFFF}{a}}{\textcolor{#08BFFF}{a+b}}$

Auch hier gilt unser Rechentrick: Wenn du die lange Parallele $y$ suchst, drehst du einfach beide Brüche um, damit das $y$ oben steht!

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Figur und gesuchte Strecke prüfen: Suchst du die Länge einer der parallelen Geraden, nutzt du den zweiten Strahlensatz.
2. Längen vom Zentrum aus bestimmen: Bestimme die kurze Strecke (bis zur ersten Parallele) und die lange Strecke (bis zur zweiten Parallele).
3. Gleichung aufstellen: Schreibe die gesuchte Variable nach oben in den ersten Bruch und die andere Parallele darunter. Setze auf der anderen Seite die entsprechenden Strecken des Strahls ein.
4. Gleichung lösen: Multipliziere mit dem Nenner, um die gesuchte Variable zu isolieren.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Die beiden senkrechten Geraden sind parallel. Berechne die fehlende Länge $y$.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

4 / 4

1. 1
   Schritt 1
   Figur und gesuchte Strecke prüfen

   Wir suchen die Länge $y$. Diese liegt auf einer der parallelen Geraden. Wir müssen also den Zweiten Strahlensatz benutzen.

2. 2
   Schritt 2
   Längen vom Zentrum aus bestimmen

   Wir schauen uns den unteren Strahl an.

   • Der kurze Strahl vom Zentrum bis zur ersten Parallele ist $\textcolor{#08BFFF}{4}$ lang.
   • Der lange Strahl vom Zentrum bis zur zweiten Parallele ist $\textcolor{#08BFFF}{4 + 3 = 7}$ lang.
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   Schritt 3
   Gleichung aufstellen

   Wir wenden unseren Trick an und schreiben das gesuchte $y$ nach oben. Darunter kommt die andere Parallele (die $6$). Auf der rechten Seite müssen wir nun auch die lange Strecke nach oben schreiben (die $7$) und die kurze nach unten (die $4$). $\frac{\textcolor{#53E5D6}{y}}{\textcolor{#53E5D6}{6}} = \frac{\textcolor{#08BFFF}{7}}{\textcolor{#08BFFF}{4}}$

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   Schritt 4 · Ergebnis
   Gleichung lösen

   Wir multiplizieren mit $6$, damit $y$ alleine steht. $\frac{y}{6} = \frac{7}{4} \quad | \cdot 6$ $y = \frac{7}{4} \cdot 6$ $y = \frac{42}{4}$ $y = 10{,}5$

Ergebnis:

Die gesuchte Länge ist $y = 10{,}5$.

Wichtige Erkenntnisse

• 1. Strahlensatz: Nutzt du, wenn du Längen auf den Strahlen suchst (Abschnitt zu Abschnitt).
• 2. Strahlensatz: Nutzt du, wenn du Längen der Parallelen suchst.
• Die goldene Regel für den 2. Strahlensatz: Miss auf den Strahlen immer vom Zentrum aus! (Kurzer Strahl zu langem Strahl).
• Rechentrick: Stelle deine Brüche immer so auf, dass deine gesuchte Variable oben steht. Du darfst dafür beide Seiten der Gleichung einfach umdrehen.