Was sind die Strahlensätze?

Die Strahlensätze sind Regeln der Geometrie, die gelten, wenn zwei Strahlen sich in einem Punkt S schneiden und von zwei parallelen Geraden geschnitten werden. Der erste Strahlensatz setzt die Abschnitte auf den Strahlen ins Verhältnis: b/a = d/c . Der zweite Strahlensatz bezieht zusätzlich die Längen der parallelen Abschnitte selbst mit ein. Mit ihnen lassen sich unbekannte Längen in solchen Figuren berechnen – zum Beispiel Baumhöhen, Schattengrößen oder Abstände.

Wie erkenne ich, ob ich den ersten oder zweiten Strahlensatz anwenden soll?

Schau dir an, wo die gesuchte Strecke liegt . Liegt sie auf einem der Strahlen , verwendest du den ersten Strahlensatz ( b/a = d/c ). Ist die gesuchte Strecke dagegen einer der parallelen Abschnitte selbst, brauchst du den zweiten Strahlensatz . Bei der V-Figur lautet die Formel dann y/x = (a+b)/a , bei der X-Figur vereinfacht sich das zu y/x = b/a .

Was ist der Unterschied zwischen V-Figur und X-Figur beim Strahlensatz?

Bei der V-Figur liegen beide parallelen Geraden auf derselben Seite des Scheitelpunkts S – die Figur sieht wie ein V aus. Bei der X-Figur liegen die Parallelen auf verschiedenen Seiten von S, sodass die Strahlen ein X bilden. Der wichtigste Unterschied in der Rechnung: Bei der V-Figur addierst du im zweiten Strahlensatz die Strahlenabschnitte ( a + b ), bei der X-Figur nimmst du die Abschnitte direkt, ohne Addition.

Wie weise ich mit dem Strahlensatz nach, dass zwei Geraden parallel sind?

Du verwendest die Umkehrung des ersten Strahlensatzes . Setze die gegebenen Längen in beide Seiten der Gleichung b/a = d/c ein und berechne die Brüche getrennt. Kommen auf beiden Seiten gleiche Werte heraus, sind die Geraden parallel. Sind die Werte unterschiedlich, sind die Geraden nicht parallel. Zum Beispiel: 6/12 = 1/2 und 8/16 = 1/2 – gleich, also parallel.

Warum muss ich beim zweiten Strahlensatz in der V-Figur immer vom Scheitelpunkt S aus messen?

Beim zweiten Strahlensatz in der V-Figur lautet die Formel y/x = (a+b)/a . Die Strahlenabschnitte a und a+b werden beide vom Scheitelpunkt S aus gemessen. Würdest du stattdessen nur den Abschnitt zwischen den Parallelen nehmen, stimmten die Verhältnisse nicht mehr. Der Scheitelpunkt S ist der Ausgangspunkt beider Strahlen – nur von dort aus sind die Abstände zu beiden Parallelen vergleichbar und die Formel gilt.

Strahlensätze einfach erklärt

Stell dir vor, du willst die Höhe eines riesigen Baumes messen, ohne hochzuklettern, oder du designst ein 3D-Modell am Computer und musst es perfekt vergrößern. Genau hier kommen die Strahlensätze ins Spiel. Sie sind wie ein geometrischer „Cheat Code": Mit einer simplen Formel kannst du unbekannte Längen in bestimmten Figuren blitzschnell berechnen. Anstatt zu raten oder kompliziert zu messen, setzt du einfach ein paar bekannte Längen in ein Verhältnis und rechnest die Lösung aus. Das ist der Trick, den Architekten, Spieleentwickler und sogar Astronomen nutzen, um Größenverhältnisse zu meistern. In diesem Artikel lernst du den ersten und zweiten Strahlensatz – für V-Figur und X-Figur – sowie die Umkehrung zum Nachweis von Parallelität.

Schnellantwort

Die Strahlensätze gelten, wenn zwei Geraden (Strahlen), die sich in einem Punkt $S$ schneiden, von zwei parallelen Geraden gekreuzt werden. Der erste Strahlensatz vergleicht die Abschnitte auf den Strahlen: $\frac{b}{a} = \frac{d}{c}$ . Der zweite Strahlensatz bezieht die Längen der parallelen Abschnitte selbst mit ein: $\frac{y}{x} = \frac{a+b}{a}$ (V-Figur) bzw. $\frac{y}{x} = \frac{b}{a}$ (X-Figur). Je nachdem, ob du eine V-Figur oder eine X-Figur vor dir hast und ob die gesuchte Strecke auf einem Strahl oder auf einer Parallelen liegt, wählst du die passende Formel.

Vorwissen

Bevor wir starten, wiederholen wir kurz ein paar Grundlagen:

Parallele Geraden: Das sind zwei Geraden, die immer den gleichen Abstand zueinander haben und sich niemals schneiden. Stell sie dir wie Bahngleise vor.
- Beispiel: In der Abbildung sind die Geraden $g$ und $h$ parallel.

Gleichungen umformen: Das Lösen einer Gleichung, indem du auf beiden Seiten dieselbe Rechenoperation durchführst, um die gesuchte Variable zu isolieren.
- Beispiel: Um $3x = 12$ nach $x$ aufzulösen, teilst du beide Seiten durch 3: $x = \frac{12}{3} = 4$ .
Bruchrechnung: Das Rechnen mit Brüchen, insbesondere das Kürzen und das Multiplizieren/Dividieren.
- Beispiel: $\frac{8}{16}$ kann man mit 8 kürzen zu $\frac{1}{2}$ . Dividieren durch einen Bruch ist dasselbe wie mit dem Kehrwert zu multiplizieren: $6 \div \frac{3}{4} = 6 \cdot \frac{4}{3} = 8$ .

Aufgabentyp 1: Länge einer Strecke bestimmen – Erster Strahlensatz (V-Figur)

Die Strahlensätze gelten, wenn zwei Geraden (Strahlen), die sich in einem Punkt $S$ schneiden, von zwei parallelen Geraden gekreuzt werden.

Die V-Figur

Liegen die beiden parallelen Geraden auf derselben Seite vom Scheitelpunkt $S$ , nennt man das eine V-Figur.

V-Figur mit Scheitelpunkt S und zwei parallelen Geraden

Der erste Strahlensatz

Der erste Strahlensatz setzt die Längen der Abschnitte auf den beiden Strahlen ins Verhältnis. Er besagt:

Das Verhältnis eines kurzen Abschnitts zu seinem anliegenden Abschnitt auf dem einen Strahl ist gleich dem Verhältnis des entsprechenden kurzen Abschnitts zum anliegenden Abschnitt auf dem anderen Strahl.

Formel:

$\frac{b}{a} = \frac{d}{c}$

Man kann auch die Gesamtstrecken ins Verhältnis setzen:

$\frac{a + b}{a} = \frac{c + d}{c}$

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Figur und gesuchte Strecke analysieren: Handelt es sich um eine V-Figur oder eine X-Figur? Liegt die gesuchte Strecke auf einem der Strahlen oder ist sie eine der Parallelen?
Passenden Satz und Formel auswählen: Da die gesuchte Strecke auf einem Strahl liegt, verwende den Ersten Strahlensatz. Meist ist die kurze Form $\frac{b}{a} = \frac{d}{c}$ am einfachsten.
Werte aus der Abbildung zuordnen und einsetzen: Identifiziere, welche Längen in der Zeichnung den Variablen $a, b, c, d$ in der Formel entsprechen, und setze die Zahlenwerte ein.
Gleichung nach der Unbekannten auflösen: Forme die Gleichung so um, dass die gesuchte Variable alleine auf einer Seite steht, und berechne das Ergebnis.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Die Geraden $g$ und $h$ sind parallel. Berechne die fehlende Länge $x$ .

V-Figur mit fehlender Länge x auf einem Strahl

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Figur und gesuchte Strecke analysieren
Es handelt sich um eine V-Figur. Die gesuchte Strecke $x$ liegt auf einem der Strahlen.
Schritt 2
Passenden Satz und Formel auswählen
Wir verwenden den Ersten Strahlensatz. Die Formel lautet:

$\frac{b}{a} = \frac{d}{c}$
3
Schritt 3
Werte aus der Abbildung zuordnen und einsetzen
Wir ordnen die Werte aus der Abbildung den Variablen zu:
- $a = x$
- $b = 8 \text{ cm}$
- $c = 12 \text{ cm}$
- $d = 16 \text{ cm}$
Einsetzen in die Formel:

$\frac{8}{x} = \frac{16}{12}$
Schritt 4 · Ergebnis
Gleichung nach der Unbekannten auflösen
Wir lösen die Gleichung nach $x$ auf.

$\frac{8}{x} = \frac{16}{12} \quad | \cdot x$

$8 = \frac{16}{12} \cdot x \quad | \cdot 12$

$8 \cdot 12 = 16 \cdot x$

$96 = 16 \cdot x \quad | \div 16$

$x = \frac{96}{16}$

$x = 6$

Ergebnis:

Die fehlende Länge beträgt $x = 6 \text{ cm}$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Die Geraden $g$ und $h$ sind parallel. Berechne die fehlende Länge $x$ .

V-Figur mit fehlender Länge x auf dem unteren Strahl

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Figur und gesuchte Strecke analysieren
Es handelt sich um eine V-Figur. Die gesuchte Strecke $x$ liegt auf dem unteren Strahl.
Schritt 2
Passenden Satz und Formel auswählen
Wir verwenden den Ersten Strahlensatz.

$\frac{b}{a} = \frac{d}{c}$
3
Schritt 3
Werte aus der Abbildung zuordnen und einsetzen
Wir ordnen die Werte zu:
- $a = 5 \text{ cm}$
- $b = 10 \text{ cm}$
- $c = 4 \text{ cm}$
- $d = x$
Einsetzen in die Formel:

$\frac{10}{5} = \frac{x}{4}$
Schritt 4 · Ergebnis
Gleichung nach der Unbekannten auflösen
Wir lösen die Gleichung nach $x$ auf.

$\frac{10}{5} = \frac{x}{4}$

$2 = \frac{x}{4} \quad | \cdot 4$

$x = 2 \cdot 4$

$x = 8$

Ergebnis:

Die fehlende Länge beträgt $x = 8 \text{ cm}$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Ein Förster will die Höhe eines Baumes bestimmen. Er stellt einen 2 m hohen Stab senkrecht auf den Boden. Der Stab ist 15 m vom Baum entfernt. Der Förster legt sich so auf den Boden, dass sein Auge (Punkt S) in einer Linie mit der Spitze des Stabes und der Spitze des Baumes liegt. Sein Auge ist 3 m vom Stab entfernt.

Angepasste Aufgabe: Berechne die Entfernung von der Baumspitze zur Stabspitze ( $x$ ). Die Entfernung von der Stabspitze zum Auge beträgt 3,6 m. Die Entfernung vom Auge zum Stabfuß ist 3 m, vom Stabfuß zum Baumfuß 15 m.

Förster-Aufgabe mit V-Figur aus Sichtlinie und Boden

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Figur und gesuchte Strecke analysieren
Die Anordnung von Auge, Stab und Baum bildet eine V-Figur. Die gesuchte Strecke $x$ liegt auf einem der Strahlen.
Schritt 2
Passenden Satz und Formel auswählen
Wir verwenden den Ersten Strahlensatz.

$\frac{b}{a} = \frac{d}{c}$
3
Schritt 3
Werte aus der Abbildung zuordnen und einsetzen
- $a = 3{,}6 \text{ m}$
- $b = x$
- $c = 3 \text{ m}$
- $d = 15 \text{ m}$
Einsetzen:

$\frac{x}{3{,}6} = \frac{15}{3}$
Schritt 4 · Ergebnis
Gleichung nach der Unbekannten auflösen
$\frac{x}{3{,}6} = 5 \quad | \cdot 3{,}6$

$x = 5 \cdot 3{,}6$

$x = 18$

Ergebnis:

Die Entfernung von der Baumspitze zur Stabspitze beträgt $18 \text{ m}$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Gegeben ist eine V-Figur. Die Geraden $g$ und $h$ sind parallel. Berechne die Gesamtlänge $x$ des oberen Strahlabschnitts.

V-Figur mit gesuchter Gesamtlänge x eines Strahlabschnitts

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Figur und gesuchte Strecke analysieren
Es handelt sich um eine V-Figur. Gesucht ist die Gesamtlänge $x$ eines Strahlabschnitts vom Scheitelpunkt $S$ aus.
Schritt 2
Passenden Satz und Formel auswählen
Wir verwenden den Ersten Strahlensatz in seiner erweiterten Form:

$\frac{a + b}{a} = \frac{c + d}{c}$
3
Schritt 3
Werte aus der Abbildung zuordnen und einsetzen
- $a + b = x$
- $a = 6 \text{ cm}$
- $c = 5 \text{ cm}$
- $d = 2 \text{ cm}$
Einsetzen:

$\frac{x}{6} = \frac{5 + 2}{5}$
Schritt 4 · Ergebnis
Gleichung nach der Unbekannten auflösen
$\frac{x}{6} = \frac{7}{5}$

$\frac{x}{6} = 1{,}4 \quad | \cdot 6$

$x = 1{,}4 \cdot 6$

$x = 8{,}4$

Ergebnis:

Die Gesamtlänge des oberen Strahlabschnitts beträgt $x = 8{,}4 \text{ cm}$ .

Beispiel 5

Aufgabe

Die Geraden $g$ und $h$ sind parallel. Berechne die fehlende Länge $x$ .

V-Figur mit fehlender Länge x auf dem oberen Strahl

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Figur und gesuchte Strecke analysieren
Es ist eine V-Figur. Die gesuchte Strecke $x$ liegt auf dem oberen Strahl.
Schritt 2
Passenden Satz und Formel auswählen
Wir nutzen den Ersten Strahlensatz.

$\frac{b}{a} = \frac{d}{c}$
3
Schritt 3
Werte aus der Abbildung zuordnen und einsetzen
- $a = 2{,}5 \text{ cm}$
- $b = x$
- $c = 4 \text{ cm}$
- $d = 8 \text{ cm}$
Einsetzen:

$\frac{x}{2{,}5} = \frac{8}{4}$
Schritt 4 · Ergebnis
Gleichung nach der Unbekannten auflösen
$\frac{x}{2{,}5} = 2 \quad | \cdot 2{,}5$

$x = 2 \cdot 2{,}5$

$x = 5$

Ergebnis:

Die fehlende Länge beträgt $x = 5 \text{ cm}$ .

Aufgabentyp 2: Länge einer Strecke bestimmen – Erster Strahlensatz (X-Figur)

Die X-Figur

Liegen die beiden parallelen Geraden auf unterschiedlichen Seiten vom Scheitelpunkt $S$ , sodass die Strahlen eine Art „X" bilden, nennt man das eine X-Figur.

X-Figur mit Scheitelpunkt S und zwei parallelen Geraden

Der erste Strahlensatz bei der X-Figur

Auch hier setzt der erste Strahlensatz die Längen der Abschnitte auf den Strahlen ins Verhältnis. Die Formel ist identisch zur V-Figur, aber die Abschnitte liegen sich gegenüber.

Das Verhältnis eines Abschnitts auf der einen Seite von S zu seinem gegenüberliegenden Abschnitt auf dem gleichen Strahl ist gleich dem Verhältnis der entsprechenden Abschnitte auf dem anderen Strahl.

Formel:

$\frac{b}{a} = \frac{d}{c}$

Wichtig: Bei der X-Figur gibt es keine „Gesamtstrecke" wie $a+b$ , da die Abschnitte in entgegengesetzte Richtungen gehen.