Anwendung der Strahlensätze einfach erklärt

Wir berechnen die beiden Längen nacheinander.

Um x zu berechnen, betrachten wir die vordere dreieckige Seitenfläche der Pyramide. Diese bildet eine V-Figur. Die Pyramidenspitze ist das Zentrum Z. Die seitlichen Kanten sind die Strahlen. Die Strecke x und die Grundkante mit der Länge 20 sind die parallelen Linien.

Wir zeichnen das Dreieck als 2D-Figur.

Da die Längen der parallelen Linien (x und 20) benötigt werden, verwenden wir den 2. Strahlensatz.

Die Formel lautet: $\frac{\text{kurze Parallele}}{\text{lange Parallele}} = \frac{\text{kurzer Strahl von Z}}{\text{langer Strahl von Z}}$

Wir setzen die Werte ein:

• Kurze Parallele: $x$
• Lange Parallele: $20$
• Kurzer Strahl von Z: $12$
• Langer Strahl von Z: $12 + 18 = 30$

$\frac{x}{20} = \frac{12}{30}$

Wir multiplizieren mit 20, um x zu isolieren.

$x = \frac{12}{30} \cdot 20$

$x = \frac{240}{30}$

$x = 8$

Für y betrachten wir ein anderes Dreieck: dasjenige, das durch die linke Seitenkante und eine gedachte Linie durch die Mitte der Pyramide aufgespannt wird. Dies ist ebenfalls eine V-Figur.

Da wir nur Längen auf den beiden Strahlen haben und die Parallelen nicht gegeben oder gesucht sind, verwenden wir den 1. Strahlensatz.

Die Formel lautet: $\frac{\text{oberer Abschnitt auf Strahl 1}}{\text{unterer Abschnitt auf Strahl 1}} = \frac{\text{oberer Abschnitt auf Strahl 2}}{\text{unterer Abschnitt auf Strahl 2}}$

Wir setzen die Werte ein:

$\frac{y}{16} = \frac{12}{18}$

Wir multiplizieren mit 16.

$y = \frac{12}{18} \cdot 16$

Wir können $\frac{12}{18}$ zu $\frac{2}{3}$ kürzen.

$y = \frac{2}{3} \cdot 16$

$y = \frac{32}{3}$

Der Längsschnitt durch den Kegel ist ein Dreieck. Dies ist eine klassische V-Figur. Die Spitze des Kegels ist das Zentrum Z.

Die Skizze ist der 2D-Längsschnitt des Kegels. Wir können auch nur die Hälfte des symmetrischen Dreiecks betrachten.

Die Radien sind Teile der parallelen Linien. Also verwenden wir den 2. Strahlensatz.

$\frac{\text{kurze Parallele}}{\text{lange Parallele}} = \frac{\text{kurzer Strahl von Z}}{\text{langer Strahl von Z}}$

In unserem Fall sind die „Strahlen" die Höhenabschnitte.

$\frac{r}{15} = \frac{10}{25}$

Wir multiplizieren mit 15.

$r = \frac{10}{25} \cdot 15$

Wir kürzen $\frac{10}{25}$ zu $\frac{2}{5}$.

$r = \frac{2}{5} \cdot 15$

$r = \frac{30}{5}$

$r = 6 \text{ cm}$

Die Anordnung bildet eine V-Figur. Das Auge der Person ist das Zentrum Z. Der Stab und der Baum sind die parallelen Linien. Die Sichtlinie und der Boden sind die Strahlen.

Die Aufgabenstellung liefert bereits eine perfekte 2D-Skizze.

Die Höhe des Baumes h ist eine der parallelen Linien. Wir verwenden den 2. Strahlensatz.

$\frac{\text{lange Parallele}}{\text{kurze Parallele}} = \frac{\text{langer Abstand von Z}}{\text{kurzer Abstand von Z}}$

Wir setzen die Werte ein. Achtung: Die Höhe des Stabes über Augenhöhe ist $2 \text{ m} - 1{,}80 \text{ m} = 0{,}2 \text{ m}$. Die Höhe des Baumes über Augenhöhe ist $h - 1{,}80 \text{ m}$.

$\frac{h - 1{,}80}{0{,}2} = \frac{15}{3}$

$\frac{h - 1{,}80}{0{,}2} = 5$

Wir multiplizieren mit 0,2.

$h - 1{,}80 = 5 \cdot 0{,}2$

$h - 1{,}80 = 1$

Wir addieren 1,80.

$h = 2{,}80 \text{ m}$

Hier sind zwei V-Figuren versteckt, die sich den Boden als gemeinsame Basis teilen. Betrachten wir die Figur, die vom linken, 8 m hohen Mast, dem Boden und dem rechten Seil gebildet wird.

Die Skizze in der Aufgabe ist bereits ideal. Wir nennen den Abstand vom linken Mast zum Kreuzungspunkt $x_1$ und den restlichen Abstand $x_2$. Es gilt $x_1 + x_2 = 20$.

Die Höhe h ist eine Parallele zu den Masten. Wir nutzen den 2. Strahlensatz für beide V-Figuren.

Für die linke V-Figur (Zentrum am Fuß des 12m-Mastes): $\frac{h}{8} = \frac{x_2}{20}$

Für die rechte V-Figur (Zentrum am Fuß des 8m-Mastes): $\frac{h}{12} = \frac{x_1}{20}$

Wir lösen beide Gleichungen nach $x_1$ und $x_2$ auf: $x_2 = \frac{20h}{8} = \frac{5h}{2}$ $x_1 = \frac{20h}{12} = \frac{5h}{3}$

Wir wissen $x_1 + x_2 = 20$. Wir setzen ein: $\frac{5h}{3} + \frac{5h}{2} = 20$

Wir bringen die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner (6): $\frac{10h}{6} + \frac{15h}{6} = 20$

$\frac{25h}{6} = 20$

Wir multiplizieren mit 6 und dividieren durch 25: $25h = 120$

$h = \frac{120}{25} = 4{,}8 \text{ m}$

Durch die Verlängerung der Seiten entsteht eine große V-Figur mit dem Zentrum P. Die parallelen Trapezseiten CD und AB sind die parallelen Linien.

Die Skizze in der Aufgabe zeigt die V-Figur perfekt.

Die Längen der parallelen Linien (10 cm und 18 cm) sind gegeben. Die Höhen sind ebenfalls parallel zueinander. Wir verwenden den 2. Strahlensatz.

$\frac{\text{kurze Parallele}}{\text{lange Parallele}} = \frac{\text{kurze Höhe von P}}{\text{lange Höhe von P}}$

• Kurze Parallele: $10$
• Lange Parallele: $18$
• Kurze Höhe von P: $h$
• Lange Höhe von P: $h + 7$

$\frac{10}{18} = \frac{h}{h + 7}$

Wir kürzen den Bruch $\frac{10}{18}$ zu $\frac{5}{9}$.

$\frac{5}{9} = \frac{h}{h+7}$

Jetzt multiplizieren wir über Kreuz: $5 \cdot (h+7) = 9 \cdot h$

$5h + 35 = 9h$

Wir subtrahieren $5h$.

$35 = 4h$

Wir dividieren durch 4.

$h = \frac{35}{4} = 8{,}75 \text{ cm}$