Was ist Ähnlichkeit in Figuren?

Zwei Figuren sind ähnlich , wenn sie die gleiche Form, aber nicht unbedingt die gleiche Größe haben. Man kann die eine Figur durch Vergrößern, Verkleinern oder Drehen in die andere überführen. Das Prinzip steckt hinter jeder Skalierung – von Google Maps bis zu Sneaker-Designs. Entscheidend ist, dass alle zugehörigen Seitenverhältnisse (und bei Vierecken auch alle Winkel) übereinstimmen.

Wie prüfst du zwei Dreiecke auf Ähnlichkeit?

Um zwei Dreiecke auf Ähnlichkeit zu prüfen, gehst du so vor: Finde die zugehörigen Seiten (kürzeste mit kürzester usw.). Bestimme alle Seitenlängen , z. B. durch Kästchen zählen. Berechne die Verhältnisse aller drei Seitenpaare. Vergleiche: Sind alle drei Quotienten gleich, sind die Dreiecke ähnlich .

Warum reicht bei Vierecken das Prüfen der Seitenverhältnisse allein nicht aus?

Bei Vierecken gilt: Gleiche Seitenverhältnisse allein beweisen keine Ähnlichkeit. Ein Quadrat und ein langes, schmales Rechteck haben zum Beispiel alle Winkel 90° – aber ihre Seitenverhältnisse sind verschieden. Umgekehrt könnten zwei Figuren gleiche Seitenverhältnisse haben, aber unterschiedliche Winkel. Deshalb müssen bei Polygonen mit mehr als drei Ecken beide Bedingungen gleichzeitig erfüllt sein: gleiche Winkel und gleiche Seitenverhältnisse.

Was ist der Ähnlichkeitsfaktor k und wie berechnest du ihn?

Der Ähnlichkeitsfaktor k gibt an, um welchen Faktor eine Figur vergrößert oder verkleinert wurde. Du berechnest ihn, indem du eine Seitenlänge der einen Figur durch die zugehörige Seitenlänge der anderen Figur teilst. Gilt k > 1 , ist es eine Vergrößerung; gilt k < 1 , eine Verkleinerung; gilt k = 1 , sind die Figuren kongruent.

Was ist der Unterschied zwischen ähnlichen und kongruenten Figuren?

Ähnliche Figuren haben dieselbe Form, können aber unterschiedlich groß sein – der Ähnlichkeitsfaktor k ist ungleich 1. Kongruente Figuren sind ein Sonderfall der Ähnlichkeit: Sie sind form- und größengleich, d. h. k = 1 . Kongruente Figuren lassen sich durch Verschieben, Drehen oder Spiegeln zur Deckung bringen, ohne sie zu skalieren.

Ähnlichkeit in Figuren prüfen

Q: Was ist der Unterschied zwischen ähnlichen und kongruenten Figuren?

Ähnliche Figuren haben dieselbe Form, können aber unterschiedlich groß sein – der Ähnlichkeitsfaktor k ist ungleich 1. Kongruente Figuren sind ein Sonderfall der Ähnlichkeit: Sie sind form- und größengleich, d. h. k = 1 . Kongruente Figuren lassen sich durch Verschieben, Drehen oder Spiegeln zur Deckung bringen, ohne sie zu skalieren.

Hast du schon mal ein Bild auf dem Handy mit den Fingern vergrößert? Du erwartest, dass es größer wird, aber die Form gleich bleibt – ein Gesicht soll ja nicht plötzlich zu einer langen Nudel werden. Genau das ist Ähnlichkeit in Figuren! Dieses Prinzip steckt hinter jeder Skalierung: von Google Maps über das Design deines Lieblingssneakers bis hin zu Special Effects im Kino. Wenn du verstehst, wie man zwei Figuren auf Ähnlichkeit untersucht, verstehst du die Regel, die dafür sorgt, dass die Welt auf unseren Bildschirmen nicht komisch und verzerrt aussieht.

Schnellantwort

Zwei Figuren sind ähnlich, wenn sie die gleiche Form, aber nicht unbedingt die gleiche Größe haben. Man kann die eine Figur durch Vergrößern, Verkleinern oder Drehen in die andere überführen. Bei Dreiecken reicht es, alle drei Seitenverhältnisse zu vergleichen. Bei Figuren mit mehr als drei Ecken müssen zusätzlich alle zugehörigen Winkel übereinstimmen. Den Faktor, um den eine Figur vergrößert oder verkleinert wird, nennt man Ähnlichkeitsfaktor k.

Vorwissen

Bevor wir starten, frischen wir kurz ein paar Grundlagen auf:

Verhältnis (Quotient): Ein Verhältnis gibt an, wie sich zwei Zahlen zueinander verhalten. Man berechnet es durch Teilen (Division).
- Beispiel: Das Verhältnis von 8 zu 4 ist $8 \div 4 = 2$ . Die Zahl 8 ist also doppelt so groß wie die 4.
Zugehörige Seiten: Wenn man zwei Figuren vergleicht, sind zugehörige Seiten diejenigen, die sich in der Form entsprechen, auch wenn eine Figur gedreht oder vergrößert ist. Oft hilft es, die kürzeste Seite mit der kürzesten, die längste mit der längsten usw. zu vergleichen.

Zwei Figuren mit markierten zugehörigen Seiten

Winkel im Rechteck: In einem Rechteck sind alle vier Innenwinkel immer genau 90 Grad (rechte Winkel).

Rechteck mit eingezeichneten 90-Grad-Winkeln

Aufgabentyp 1: Untersuchen auf Ähnlichkeit in Dreiecken

Um zwei Dreiecke auf Ähnlichkeit zu untersuchen, nutzt du die Verhältnisse der Seitenlängen. Zwei Figuren sind ähnlich, wenn sie die gleiche Form, aber nicht unbedingt die gleiche Größe haben. Man kann die eine Figur durch Vergrößern, Verkleinern oder Drehen in die andere überführen.

Bei Dreiecken gibt es einen super Trick: Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn die Verhältnisse aller drei zugehörigen Seitenpaare gleich sind.

Das bedeutet: Wenn du die Länge einer Seite des ersten Dreiecks durch die Länge der zugehörigen Seite des zweiten Dreiecks teilst und bei allen drei Seitenpaaren dieselbe Zahl herauskommt, sind die Dreiecke ähnlich. Diese Zahl nennt man den Ähnlichkeitsfaktor k.

Wenn k > 1, handelt es sich um eine Vergrößerung.
Wenn k < 1, handelt es sich um eine Verkleinerung.
Wenn k = 1, sind die Dreiecke kongruent (deckungsgleich).

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Identifiziere die zugehörigen Seiten: Paare kürzeste mit kürzester, mittlere mit mittlerer, längste mit längster. Drehe ein Dreieck im Kopf, wenn nötig.
Bestimme alle Seitenlängen: Zähle Kästchen auf dem Gitter oder lies die Längen aus der Aufgabe ab.
Berechne die Verhältnisse: Teile für jedes Seitenpaar die Länge des einen Dreiecks durch die zugehörige Länge des anderen. Halte die Reihenfolge konsequent ein.
Vergleiche die Ergebnisse: Prüfe, ob alle drei Quotienten exakt denselben Wert ergeben – das ist der Ähnlichkeitsfaktor k.
Ziehe die Schlussfolgerung: Sind alle drei Verhältnisse gleich → ähnlich. Weicht eines ab → nicht ähnlich.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Untersuche, ob das Dreieck ABC und das Dreieck DEF zueinander ähnlich sind.

Zwei rechtwinklige Dreiecke ABC und DEF im Gitter

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Zugehörige Seiten finden
Beide Dreiecke sind rechtwinklig. Wir vergleichen die jeweils kürzeren Katheten, die längeren Katheten und die Hypotenusen (die langen, schrägen Seiten).
- Kürzere Kathete: Seite AB gehört zu Seite DE.
- Längere Kathete: Seite AC gehört zu Seite DF.
- Hypotenuse: Seite BC gehört zu Seite EF.
2
Schritt 2
Seitenlängen bestimmen
Wir zählen die Kästchen auf dem Gitter:
- Dreieck ABC: $AB = 3$ , $AC = 4$ . Die Länge von BC müssen wir nicht berechnen, wenn die Kathetenverhältnisse stimmen.
- Dreieck DEF: $DE = 6$ , $DF = 8$ .
Schritt 3
Verhältnisse der Seitenpaare berechnen
Wir bilden die Quotienten der zugehörigen Seiten (immer „groß durch klein"):

Verhältnis 1 (kürzere Katheten): $k_1 = \frac{\text{Länge von DE}}{\text{Länge von AB}} = \frac{6}{3} = 2$

Verhältnis 2 (längere Katheten): $k_2 = \frac{\text{Länge von DF}}{\text{Länge von AC}} = \frac{8}{4} = 2$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnisse vergleichen
Beide berechneten Verhältnisse sind gleich: $k_1 = k_2 = 2$ . Da bei rechtwinkligen Dreiecken die Winkel an den Katheten den Rest festlegen, sind die Dreiecke ähnlich.

Ergebnis:

Da die Verhältnisse der zugehörigen Seiten gleich sind, sind die Dreiecke ABC und DEF zueinander ähnlich.

Beispiel 2

Aufgabe

Sind die Dreiecke GHI und JKL ähnlich?

Zwei gleichschenklige Dreiecke GHI und JKL im Gitter

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Zugehörige Seiten finden
Beide Dreiecke sind gleichschenklig. Die Basis (untere Seite) des einen Dreiecks gehört zur Basis des anderen. Die beiden gleich langen Schenkel gehören ebenfalls zusammen.
- Basis: Seite GI gehört zu Seite JL.
- Schenkel: Seite GH gehört zu JK und HI zu KL.
2
Schritt 2
Seitenlängen bestimmen
Wir zählen die Kästchen:
- Dreieck GHI: $GI = 5$ .
- Dreieck JKL: $JL = 3$ .
Die Längen der Schenkel sind nicht durch einfaches Zählen zu bestimmen. Wir prüfen daher die Winkel oder die Verhältnisse von Höhe zu Basis.

Höhe von GHI (von H auf GI): 4 Kästchen. Höhe von JKL (von K auf JL): 2 Kästchen.
Schritt 3
Verhältnisse berechnen
Verhältnis der Basen: $k_1 = \frac{\text{Länge von GI}}{\text{Länge von JL}} = \frac{5}{3} \approx 1{,}67$

Verhältnis der Höhen: $k_2 = \frac{\text{Höhe von GHI}}{\text{Höhe von JKL}} = \frac{4}{2} = 2$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnisse vergleichen
Die Verhältnisse sind unterschiedlich: $1{,}67 \neq 2$ .

Ergebnis:

Da die Verhältnisse nicht übereinstimmen, sind die Dreiecke GHI und JKL nicht ähnlich.

Beispiel 3

Aufgabe

Prüfe die Dreiecke MNO und PQR auf Ähnlichkeit.

Zwei gleichschenklige Dreiecke MNO und PQR im Gitter

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Zugehörige Seiten finden
Beide Dreiecke sind gleichschenklig. Wir vergleichen Basis mit Basis und Schenkel mit Schenkel.
- Basis: Seite MO gehört zu Seite PR.
- Schenkel: Seite MN gehört zu PQ.
2
Schritt 2
Seitenlängen bestimmen
Wir zählen die Kästchen:
- Dreieck MNO: Basis $MO = 4$ . Höhe ist 4.
- Dreieck PQR: Basis $PR = 2$ . Höhe ist 2.
Schritt 3
Verhältnisse berechnen
Verhältnis der Basen: $k_1 = \frac{\text{Länge von MO}}{\text{Länge von PR}} = \frac{4}{2} = 2$

Verhältnis der Höhen: $k_2 = \frac{\text{Höhe von MNO}}{\text{Höhe von PQR}} = \frac{4}{2} = 2$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnisse vergleichen
Beide Verhältnisse sind gleich: $k_1 = k_2 = 2$ . Da das Verhältnis von Basis zu Höhe in beiden Dreiecken gleich ist ( $4/4 = 1$ und $2/2 = 1$ ), sind die Winkel gleich und die Dreiecke somit ähnlich.

Ergebnis:

Die Dreiecke MNO und PQR sind ähnlich.

Beispiel 4

Aufgabe

Untersuche die beiden Dreiecke STU und VWZ auf Ähnlichkeit. Das Dreieck VWZ ist gedreht.

Zwei rechtwinklige Dreiecke STU und VWZ, VWZ gedreht

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Zugehörige Seiten finden
Wir drehen das Dreieck VWZ im Kopf, damit es die gleiche Ausrichtung wie STU hat. Die Ecke W ist der rechte Winkel, genau wie S.
- Kürzere Kathete: Seite WZ (Länge 4) gehört zu Seite SU (Länge 4).
- Längere Kathete: Seite VW (Länge 3) gehört zu Seite ST (Länge 6).
2
Schritt 2
Seitenlängen bestimmen
Wir zählen die Kästchen:
- Dreieck STU: $ST = 6$ , $SU = 4$ .
- Dreieck VWZ: $VW = 3$ , $WZ = 4$ .
Schritt 3
Verhältnisse der Seitenpaare berechnen
Verhältnis 1 (längere Katheten): $k_1 = \frac{\text{Länge von ST}}{\text{Länge von VW}} = \frac{6}{3} = 2$

Verhältnis 2 (kürzere Katheten): $k_2 = \frac{\text{Länge von SU}}{\text{Länge von WZ}} = \frac{4}{4} = 1$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnisse vergleichen
Die Verhältnisse sind unterschiedlich: $k_1 = 2$ und $k_2 = 1$ .

Ergebnis:

Da die Verhältnisse der zugehörigen Seiten nicht gleich sind, sind die Dreiecke STU und VWZ nicht ähnlich.

Beispiel 5

Aufgabe

Sind die beiden abgebildeten Dreiecke ähnlich?

Zwei rechtwinklige Dreiecke im Gitter mit Katheten 2/4 und 4/8

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Zugehörige Seiten finden
Beide Dreiecke sind rechtwinklig. Wir vergleichen die entsprechenden Katheten.
- Horizontale Kathete: Seite mit Länge 2 gehört zu Seite mit Länge 4.
- Vertikale Kathete: Seite mit Länge 4 gehört zu Seite mit Länge 8.
2
Schritt 2
Seitenlängen bestimmen
Wir zählen die Kästchen:
- Dreieck 1: horizontale Seite = 2, vertikale Seite = 4.
- Dreieck 2: horizontale Seite = 4, vertikale Seite = 8.
Schritt 3
Verhältnisse der Seitenpaare berechnen
Verhältnis 1 (horizontale Katheten): $k_1 = \frac{4}{2} = 2$

Verhältnis 2 (vertikale Katheten): $k_2 = \frac{8}{4} = 2$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnisse vergleichen
Beide Verhältnisse sind gleich: $k_1 = k_2 = 2$ .

Ergebnis:

Die Verhältnisse der zugehörigen Seiten sind gleich, also sind die beiden Dreiecke ähnlich.

Aufgabentyp 2: Untersuchen auf Ähnlichkeit in Figuren mit mehr als drei Ecken

Bei Figuren mit mehr als drei Ecken wird die Prüfung auf Ähnlichkeit strenger – der Trick mit den Seitenverhältnissen allein reicht hier nicht mehr aus. Bei Figuren mit mehr als drei Ecken (z. B. Vierecke, Fünfecke) müssen zwei Bedingungen gleichzeitig erfüllt sein:

Alle zugehörigen Winkel müssen gleich groß sein.
Die Verhältnisse aller zugehörigen Seiten müssen gleich sein.

Warum ist das so? Stell dir ein Quadrat und ein langes, dünnes Rechteck vor. Bei beiden sind alle Winkel 90°. Die erste Bedingung ist also erfüllt. Aber die Seitenverhältnisse sind total unterschiedlich. Sie haben nicht die gleiche Form, sind also nicht ähnlich.

Quadrat und Rechteck mit gleichen Winkeln, aber unterschiedlichen Seitenverhältnissen