Ähnliche Figuren: Winkel und Längen berechnen

Wir drehen das Dreieck ABC im Kopf, sodass es die gleiche Ausrichtung wie DEF hat. Die Hypotenusen (längste Seiten) sind b' und e. Die kürzeren Katheten sind a' und f. Die längeren Katheten sind c' und d.

Entsprechende Winkel sind:

• $\alpha$ und $\phi$
• $\beta$ und $\epsilon$
• $\gamma$ und $\delta$

Da die Dreiecke ähnlich sind, sind die entsprechenden Winkel gleich groß.

• $\alpha = \phi = 36,87°$
• $\gamma = \delta = 53,13°$

(Probe: $36,87° + 53,13° + 90° = 180°$. Passt!)

Wir kennen beide Längen des Seitenpaars b' = 5 und e = 10.

$k = \frac{\text{große Seite}}{\text{kleine Seite}} = \frac{e}{b'} = \frac{10}{5}$

$k = 2$

Das große Dreieck ist also doppelt so groß wie das kleine.

Wir suchen die kleinen Seiten a' und c'. Also teilen wir die entsprechenden großen Seiten durch k.

• Berechnung von a' (entspricht f = 6): $a' = \frac{f}{k} = \frac{6}{2} = 3$

• Berechnung von c' (entspricht d = 8): $c' = \frac{d}{k} = \frac{8}{2} = 4$

Die Seiten entsprechen sich nach ihrer Größe. Die längste Seite des kleinen Dreiecks (6 cm) entspricht der längsten Seite des großen Dreiecks (18 cm).

Nicht erforderlich, da nur Seitenlängen gesucht sind.

Wir verwenden das bekannte Seitenpaar (die längsten Seiten).

$k = \frac{\text{große Seite}}{\text{kleine Seite}} = \frac{18 \text{ cm}}{6 \text{ cm}}$

$k = 3$

Wir suchen die beiden anderen Seiten des großen Dreiecks. Dazu multiplizieren wir die entsprechenden kleinen Seiten mit $k$.

• Zweite Seite (entspricht 5 cm): $Seite = k \cdot 5 \text{ cm} = 3 \cdot 5 \text{ cm} = 15 \text{ cm}$

• Dritte Seite (entspricht 4 cm): $Seite = k \cdot 4 \text{ cm} = 3 \cdot 4 \text{ cm} = 12 \text{ cm}$

Die Höhe des Menschen (1,5 m) entspricht der Höhe des Baumes (h). Die Länge des Schattens des Menschen (2 m) entspricht der Länge des Schattens des Baumes (12 m).

Nicht erforderlich.

Wir verwenden die Längen der Schatten, da wir beide kennen.

$k = \frac{\text{großer Schatten}}{\text{kleiner Schatten}} = \frac{12 \text{ m}}{2 \text{ m}}$

$k = 6$

Wir suchen die Höhe des Baumes $h$, was die große Seite ist. Wir multiplizieren die Höhe des Menschen mit $k$.

$h = k \cdot \text{Höhe des Menschen}$

$h = 6 \cdot 1,5 \text{ m}$

$h = 9 \text{ m}$

• Der Winkel $\beta$ im großen Dreieck entspricht dem Winkel 57° im kleinen Dreieck.
• Die Seite mit Länge 8 im kleinen Dreieck entspricht der Seite x im großen Dreieck.
• Die Seite mit Länge 10 im kleinen Dreieck entspricht der Seite 12 im großen Dreieck. (Wir nehmen an, dass dies die längsten Seiten sind, um ein Paar zu haben.)

Da die Winkel in ähnlichen Dreiecken gleich sind, gilt:

$\beta = 57°$

Wir verwenden das Seitenpaar, bei dem beide Längen bekannt sind (10 und 12).

$k = \frac{\text{große Seite}}{\text{kleine Seite}} = \frac{12}{10}$

$k = 1,2$

Wir suchen die Seite $x$, eine Seite des großen Dreiecks. Wir multiplizieren die entsprechende kleine Seite (8) mit $k$.

$x = k \cdot 8$

$x = 1,2 \cdot 8$

$x = 9,6$

• Die Höhe des kleinen Segels (3 m) entspricht der Höhe des großen Segels (4,5 m).
• Die Basis des kleinen Segels (2 m) entspricht der gesuchten Basis (b) des großen Segels.

Nicht erforderlich.

Wir verwenden die beiden bekannten Höhen.

$k = \frac{\text{große Höhe}}{\text{kleine Höhe}} = \frac{4,5 \text{ m}}{3 \text{ m}}$

$k = 1,5$

Wir suchen die Basis des großen Segels. Wir multiplizieren die Basis des kleinen Segels mit $k$.

$b = k \cdot \text{kleine Basis}$

$b = 1,5 \cdot 2 \text{ m}$

$b = 3 \text{ m}$

Wir verwenden das linke Dreieck (nennen wir es D1) und das rechte Dreieck (D2). Laut Aufgabenstellung sind sie ähnlich. In D1 kennen wir beide Katheten (6 und 6). In D2 kennen wir eine Kathete (6) und suchen die andere (x).

Wir müssen die Dreiecke orientieren. Im linken Dreieck (D1) sind die Katheten 6 und 6. Da es gleichschenklig ist, sind die Winkel an der Hypotenuse je 45°. Im rechten Dreieck (D2) ist eine Kathete 6 und die andere x. Da es zu D1 ähnlich ist, muss es auch gleichschenklig sein. Die Kathete, die der Seite mit Länge 6 in D1 entspricht, ist die Seite mit Länge x in D2. Die andere Kathete von D1 (auch 6) entspricht der Kathete mit Länge 6 in D2.

Einfacher gesagt: Die vertikale Kathete von D1 (Länge 6) entspricht der horizontalen Kathete von D2 (Länge x). Die horizontale Kathete von D1 (Länge 6) entspricht der vertikalen Kathete von D2 (Länge 6).

Wir setzen die Verhältnisse der entsprechenden Seiten gleich.

$\frac{\text{vertikale Kathete D1}}{\text{horizontale Kathete D1}} = \frac{\text{entspr. Kathete D2}}{\text{entspr. Kathete D2}}$

$\frac{6}{6} = \frac{6}{x}$

Zuerst vereinfachen wir die linke Seite.

$1 = \frac{6}{x}$

Jetzt multiplizieren wir mit x.

$1 \cdot x = 6$

$x = 6$

Wir haben das kleine Dreieck ADE und das große Dreieck ABC. Sie sind ähnlich, weil sie den Winkel bei A teilen und die Winkel bei D und B (sowie E und C) gleich sind (Stufenwinkel an Parallelen).

• Die Seite AD im kleinen Dreieck entspricht der Seite AB im großen Dreieck.
• Die Seite DE im kleinen Dreieck entspricht der Seite BC im großen Dreieck.

Die Länge von AB ist die Summe von AD und DB: $AB = 5 + 3 = 8$.

Wir setzen das Verhältnis von Höhe zu Basis in beiden Dreiecken gleich.

$\frac{\text{Seite AD}}{\text{Seite DE}} = \frac{\text{Seite AB}}{\text{Seite BC}}$

$\frac{5}{6} = \frac{8}{x}$

Wir multiplizieren über Kreuz (oder multiplizieren mit 6x).

$5 \cdot x = 8 \cdot 6$

$5x = 48$

Jetzt teilen wir durch 5.

$x = \frac{48}{5}$

$x = 9,6$

Wir betrachten das große Dreieck ABC und eines der kleinen, z.B. das Dreieck ADC. Sie sind ähnlich.

Zuerst brauchen wir die Hypotenuse des großen Dreiecks mit dem Satz des Pythagoras: $c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$, also $c=10$. Die Hypotenuse AB ist 10 cm lang.

Im großen Dreieck ABC:

• Kürzere Kathete: AC = 6
• Längere Kathete: BC = 8
• Hypotenuse: AB = 10

Im kleinen Dreieck ADC:

• Längere Kathete: h
• Hypotenuse: AC = 6

Wir setzen das Verhältnis von längerer Kathete zu Hypotenuse in beiden Dreiecken gleich.

$\frac{\text{längere Kathete}}{\text{Hypotenuse}} \text{ im großen Dreieck} = \frac{\text{längere Kathete}}{\text{Hypotenuse}} \text{ im kleinen Dreieck}$

$\frac{8}{10} = \frac{h}{6}$

Wir multiplizieren mit 6.

$h = \frac{8}{10} \cdot 6$

$h = 0,8 \cdot 6$

$h = 4,8$

Wir haben das obere Dreieck ABC und das untere Dreieck DEC. Sie sind ähnlich, weil die Winkel bei C Scheitelwinkel sind (also gleich) und die anderen Winkel Wechselwinkel an Parallelen sind (z.B. Winkel bei A = Winkel bei D).

• Die Seite AC im oberen Dreieck entspricht der Seite DC im unteren Dreieck.
• Die Seite AB im oberen Dreieck entspricht der Seite DE im unteren Dreieck.

Wir stellen die Verhältnisse auf.

$\frac{\text{Seite AC}}{\text{Seite AB}} = \frac{\text{Seite DC}}{\text{Seite DE}}$

$\frac{4}{5} = \frac{6}{x}$

Wir multiplizieren über Kreuz.

$4 \cdot x = 6 \cdot 5$

$4x = 30$

Wir teilen durch 4.

$x = \frac{30}{4}$

$x = 7,5$

Wir haben ein kleines Dreieck, gebildet aus Fotograf, Boden und Mastspitze (Dreieck ABC). Wir haben ein großes Dreieck, gebildet aus Fotograf, Boden und Turmspitze (Dreieck ADE). Diese sind ähnlich, da sie beide rechtwinklig sind und den Winkel beim Fotografen teilen.

• Die Höhe des Mastes (4 m) entspricht der Höhe des Turms (20 m).
• Der Abstand zum Mast (5 m) entspricht dem Abstand zum Turm (d).

Wir setzen das Verhältnis von Höhe zu Abstand in beiden Dreiecken gleich.

$\frac{\text{Höhe Mast}}{\text{Abstand Mast}} = \frac{\text{Höhe Turm}}{\text{Abstand Turm}}$

$\frac{4}{5} = \frac{20}{d}$

Wir multiplizieren über Kreuz.

$4 \cdot d = 20 \cdot 5$

$4d = 100$

Wir teilen durch 4.

$d = 25$