Was sind Schnittpunkte quadratischer Funktionen?

Schnittpunkte quadratischer Funktionen sind die Punkte im Koordinatensystem, an denen sich die Graphen der Funktionen berühren oder schneiden. An diesen Stellen haben beide Funktionen denselben x-Wert und denselben y-Wert. Man findet sie, indem man die Funktionsterme gleichsetzt und die entstehende Gleichung löst.

Wie berechnet man den Schnittpunkt von Parabel und Gerade?

Um den Schnittpunkt einer Parabel und einer Geraden zu berechnen, setzt du zuerst beide Funktionsterme gleich. Bringe dann alle Terme auf eine Seite, sodass die Gleichung die Form ax² + bx + c = 0 hat. Diese quadratische Gleichung löst du mit der Mitternachtsformel (abc-Formel). Die gefundenen x-Werte setzt du in die Geradengleichung ein, um die y-Koordinaten zu erhalten.

Wann haben zwei Parabeln keinen Schnittpunkt?

Zwei Parabeln haben keinen Schnittpunkt, wenn die Gleichung, die beim Gleichsetzen entsteht, keine reelle Lösung hat. Das erkennst du daran, dass der Wert unter der Wurzel (die Diskriminante ) bei der Mitternachtsformel negativ ist. Grafisch bedeutet das, dass die Parabeln komplett aneinander vorbeilaufen, zum Beispiel wenn eine nach oben und die andere nach unten geöffnet ist, ohne sich zu berühren.

Warum muss man die Funktionen gleichsetzen?

Du musst die Funktionen gleichsetzen , weil ein Schnittpunkt bedeutet, dass beide Graphen an dieser Stelle exakt denselben y-Wert für denselben x-Wert haben. Aus f(x) = y und g(x) = y folgt logisch f(x) = g(x) . Durch das Gleichsetzen machst du aus zwei Funktionen eine einzige Gleichung, die du nach x auflösen kannst.

Schnittpunkte quadratischer Funktionen

Hast du dich jemals gefragt, wie ein Navigationssystem den genauen Treffpunkt zweier Routen berechnet oder wie in einem Videospiel die exakte Kollision zwischen einem geworfenen Objekt und dem Boden erkannt wird? Das ist keine Magie, sondern reine Mathematik! Das Berechnen von Schnittpunkten quadratischer Funktionen ist der Schlüssel, um solche Probleme zu lösen. Wenn du weißt, wie man die Gleichungen für die Flugbahn (Parabel) und den Boden (Gerade) aufstellt, kannst du den exakten Aufprallort vorhersagen. Dieses Wissen ist ein mächtiges Werkzeug, nicht nur für die Schule, sondern auch, um die Logik hinter der digitalen Welt zu verstehen. Lass uns diesen Code knacken!

Vorwissen

Bevor wir starten, wiederholen wir kurz die wichtigsten Werkzeuge, die du brauchst:

Gleichungen umformen: Das Ziel ist es, eine Gleichung so zu verändern, dass die gesuchte Variable (meistens $x$ $x$ ) allein auf einer Seite steht. Das machst du, indem du auf beiden Seiten der Gleichung dieselbe Rechenoperation durchführst.
- Beispiel: Um $3x - 5 = 10$ zu lösen, rechnest du zuerst $+ 5$ und dann $\div 3$ , um $x=5$ zu erhalten.
Mitternachtsformel (abc-Formel): Dies ist die universelle Lösungsformel für quadratische Gleichungen der Form $\textcolor{#08BFFF}{a}x^2 + \textcolor{#53E5D6}{b}x + \textcolor{#9570FF}{c} = 0$ $a x^{2} + b x + c = 0$ .
- Formel: $x_{1,2} = \frac{-\textcolor{#53E5D6}{b} \pm \sqrt{\textcolor{#53E5D6}{b}^2 - 4\textcolor{#08BFFF}{a}\textcolor{#9570FF}{c}}}{2\textcolor{#08BFFF}{a}}$
- Beispiel: Für $2x^2 - 4x - 6 = 0$ ist $\textcolor{#08BFFF}{a=2}$ , $\textcolor{#53E5D6}{b=-4}$ und $\textcolor{#9570FF}{c=-6}$ . Einsetzen in die Formel ergibt die Lösungen $x_1 = 3$ und $x_2 = -1$ .
Satz vom Nullprodukt: Wenn ein Produkt (eine Mal-Rechnung) den Wert Null ergibt, muss mindestens einer der Faktoren Null sein.
- Regel: Wenn $\textcolor{#08BFFF}{A} \cdot \textcolor{#53E5D6}{B} = 0$ , dann ist $\textcolor{#08BFFF}{A}=0$ oder $\textcolor{#53E5D6}{B}=0$ .
- Beispiel: Die Gleichung $x(x-7)=0$ hat die Lösungen $x_1=0$ und $x_2=7$ , weil entweder der erste Faktor ( $x$ ) oder der zweite Faktor ( $x-7$ ) Null sein muss.

Aufgabentyp 1: Schnittpunkt von Gerade und Hyperbel

Um die Schnittpunkte einer Geraden $g(x)$ und einer Hyperbel $h(x)$ (eine gebrochen-rationale Funktion wie $h(x) = \frac{k}{x}$ ) zu finden, setzen wir ihre Funktionsterme gleich: $\textcolor{#08BFFF}{g(x)} = \textcolor{#53E5D6}{h(x)}$ .

Die besondere Herausforderung hier ist der Bruch in der Hyperbel-Gleichung. Um ihn aufzulösen, multiplizieren wir die gesamte Gleichung mit dem Nenner des Bruchs. Dadurch erhalten wir eine quadratische Gleichung, die wir wie gewohnt lösen können.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Funktionen gleichsetzen: Schreibe die Gleichung $\textcolor{#08BFFF}{g(x)} = \textcolor{#53E5D6}{h(x)}$ auf, indem du die beiden Funktionsterme einsetzt.
Gleichung umformen: Multipliziere die gesamte Gleichung mit dem Nenner der Hyperbel, um den Bruch aufzulösen. Bringe anschließend alle Terme auf eine Seite.
x-Koordinaten berechnen: Löse die quadratische Gleichung mit der Mitternachtsformel, um die x-Koordinaten der Schnittpunkte zu finden.
y-Koordinaten berechnen: Setze jeden gefundenen x-Wert in die Geradengleichung ein, um die zugehörigen y-Koordinaten zu berechnen.
Schnittpunkte angeben: Schreibe die Schnittpunkte als Koordinatenpaare $S(x|y)$ auf.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 0

Aufgabe

Berechne die Schnittpunkte der Hyperbel $\textcolor{#53E5D6}{h(x) = \frac{1}{x}}$ mit der Geraden $\textcolor{#08BFFF}{g(x) = 0,5x + 0,5}$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Funktionen gleichsetzen
Wir setzen die beiden Funktionsterme gleich: $\textcolor{#08BFFF}{0,5x + 0,5} = \textcolor{#53E5D6}{\frac{1}{x}}$
Schritt 2
Gleichung umformen
Wir multiplizieren mit $x$ , um den Bruch aufzulösen, und bringen alles auf eine Seite. $0,5x + 0,5 = \frac{1}{x} \quad | \cdot x$ $0,5x^2 + 0,5x = 1 \quad | - 1$ $0,5x^2 + 0,5x - 1 = 0$
Schritt 3
x-Koordinaten berechnen
Wir verwenden die Mitternachtsformel mit $\textcolor{#1E90FF}{a=0,5}$ , $\textcolor{#1E90FF}{b=0,5}$ und $\textcolor{#1E90FF}{c=-1}$ . $x_{1,2} = \frac{-0,5 \pm \sqrt{0,5^2 - 4 \cdot 0,5 \cdot (-1)}}{2 \cdot 0,5}$ $x_{1,2} = \frac{-0,5 \pm \sqrt{0,25 + 2}}{1}$ $x_{1,2} = -0,5 \pm \sqrt{2,25}$ $x_{1,2} = -0,5 \pm 1,5$ Die beiden x-Werte sind: $x_1 = -0,5 - 1,5 = -2$ $x_2 = -0,5 + 1,5 = 1$
Schritt 4 · Ergebnis
y-Koordinaten berechnen
Wir setzen $x_1$ und $x_2$ in die Geradengleichung $\textcolor{#08BFFF}{g(x) = 0,5x + 0,5}$ ein. Für $x_1 = -2$ : $y_1 = g(-2) = 0,5 \cdot (-2) + 0,5 = -1 + 0,5 = -0,5$ Für $x_2 = 1$ : $y_2 = g(1) = 0,5 \cdot 1 + 0,5 = 0,5 + 0,5 = 1$

Ergebnis:

Die Schnittpunkte sind $S_1(-2|-0,5)$ und $S_2(1|1)$ .

Quiz zu Schnittpunkte quadratischer Funktionen berechnen: Teste dein Wissen

Löse eine kostenlose Quizfrage zu Schnittpunkte quadratischer Funktionen berechnen und prüfe, ob du die wichtigsten Schritte verstanden hast.

Quizfrage 1 zu Schnittpunkte quadratischer Funktionen berechnen

Wie lauten die Lösungen der Gleichung $x(x-7)=0$ laut dem Satz vom Nullprodukt?

Quizfrage 2 zu Schnittpunkte quadratischer Funktionen berechnen

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Welcher Schritt ist notwendig, um die Gleichung $0{,}5x + 0{,}5 = \frac{1}{x}$ aufzulösen?

Übungsaufgabe zu Schnittpunkte quadratischer Funktionen berechnen

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Beispiel 1

Aufgabe

Bestimme die Schnittpunkte der Funktionen $\textcolor{#53E5D6}{h(x) = \frac{-4}{x}}$ und $\textcolor{#08BFFF}{g(x) = -x + 3}$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Funktionen gleichsetzen
$\textcolor{#08BFFF}{-x + 3} = \textcolor{#53E5D6}{\frac{-4}{x}}$
Schritt 2
Gleichung umformen
$-x + 3 = \frac{-4}{x} \quad | \cdot x$ $-x^2 + 3x = -4 \quad | + 4$ $-x^2 + 3x + 4 = 0$
Schritt 3
x-Koordinaten berechnen
Mitternachtsformel mit $\textcolor{#1E90FF}{a=-1}$ , $\textcolor{#1E90FF}{b=3}$ und $\textcolor{#1E90FF}{c=4}$ . $x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 4}}{2 \cdot (-1)}$ $x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{-2}$ $x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{-2}$ $x_{1,2} = \frac{-3 \pm 5}{-2}$ $x_1 = \frac{-3 - 5}{-2} = \frac{-8}{-2} = 4$ $x_2 = \frac{-3 + 5}{-2} = \frac{2}{-2} = -1$
Schritt 4 · Ergebnis
y-Koordinaten berechnen
Wir setzen in $\textcolor{#08BFFF}{g(x) = -x + 3}$ ein. $y_1 = g(4) = -4 + 3 = -1$ $y_2 = g(-1) = -(-1) + 3 = 1 + 3 = 4$

Ergebnis:

Die Schnittpunkte sind $S_1(4|-1)$ und $S_2(-1|4)$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Gibt es Schnittpunkte zwischen $\textcolor{#53E5D6}{h(x) = \frac{1}{2x}}$ und $\textcolor{#08BFFF}{g(x) = -x - 2}$ ? Berechne sie, falls vorhanden.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Funktionen gleichsetzen
$\textcolor{#08BFFF}{-x - 2} = \textcolor{#53E5D6}{\frac{1}{2x}}$
Schritt 2
Gleichung umformen
Wir multiplizieren mit $2x$ . $-x - 2 = \frac{1}{2x} \quad | \cdot 2x$ $-2x^2 - 4x = 1 \quad | - 1$ $-2x^2 - 4x - 1 = 0$
Schritt 3
x-Koordinaten berechnen
Mitternachtsformel mit $\textcolor{#1E90FF}{a=-2}$ , $\textcolor{#1E90FF}{b=-4}$ und $\textcolor{#1E90FF}{c=-1}$ . $x_{1,2} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot (-2) \cdot (-1)}}{2 \cdot (-2)}$ $x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{-4}$ $x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{-4}$ $x_1 = \frac{4 + \sqrt{8}}{-4} \approx -1,71$ $x_2 = \frac{4 - \sqrt{8}}{-4} \approx -0,29$
Schritt 4 · Ergebnis
y-Koordinaten berechnen
Wir setzen in $\textcolor{#08BFFF}{g(x) = -x - 2}$ ein. $y_1 = g(-1,71) = -(-1,71) - 2 = 1,71 - 2 = -0,29$ $y_2 = g(-0,29) = -(-0,29) - 2 = 0,29 - 2 = -1,71$

Ergebnis:

Die Schnittpunkte sind ca. $S_1(-1,71|-0,29)$ und $S_2(-0,29|-1,71)$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Untersuche, ob sich die Hyperbel $\textcolor{#53E5D6}{h(x) = \frac{-1}{x}}$ und die Gerade $\textcolor{#08BFFF}{g(x) = 2x + 2}$ schneiden.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Funktionen gleichsetzen
$\textcolor{#08BFFF}{2x + 2} = \textcolor{#53E5D6}{\frac{-1}{x}}$
Schritt 2
Gleichung umformen
$2x + 2 = \frac{-1}{x} \quad | \cdot x$ $2x^2 + 2x = -1 \quad | + 1$ $2x^2 + 2x + 1 = 0$
Schritt 3 · Ergebnis
x-Koordinaten berechnen
Wir prüfen den Ausdruck unter der Wurzel in der Mitternachtsformel (die Diskriminante) mit $\textcolor{#1E90FF}{a=2}$ , $\textcolor{#1E90FF}{b=2}$ und $\textcolor{#1E90FF}{c=1}$ . $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 4 - 8 = -4$ Da die Diskriminante negativ ist ( $-4 < 0$ ), kann man die Wurzel nicht ziehen. Es gibt keine reellen Lösungen für $x$ .

Ergebnis:

Da es keine x-Werte gibt, an denen sich die Funktionen treffen, gibt es keine Schnittpunkte.

Beispiel 4

Aufgabe

Eine Firma hat Fixkosten von 2000 € und variable Kosten von 5 € pro Stück. Die durchschnittlichen Kosten pro Stück werden durch $\textcolor{#53E5D6}{A(x) = \frac{2000}{x} + 5}$ beschrieben. Der Verkaufspreis pro Stück ist durch die Funktion $\textcolor{#08BFFF}{P(x) = 25}$ gegeben. Bei welcher Stückzahl sind die durchschnittlichen Kosten gleich dem Verkaufspreis?

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Funktionen gleichsetzen
Wir suchen den Punkt, an dem $A(x) = P(x)$ ist. $\textcolor{#08BFFF}{25} = \textcolor{#53E5D6}{\frac{2000}{x} + 5}$
Schritt 2
Gleichung umformen
Dies ist keine quadratische, sondern eine lineare Gleichung nach der Umformung. $25 = \frac{2000}{x} + 5 \quad | - 5$ $20 = \frac{2000}{x} \quad | \cdot x$ $20x = 2000 \quad | \div 20$ $x = 100$
Schritt 3 & 4 · Ergebnis
Ergebnis interpretieren
Die x-Koordinate ist $x=100$ . Die y-Koordinate ist durch den Preis $P(x)=25$ bereits gegeben.

Ergebnis:

Der Schnittpunkt liegt bei $(100|25)$ . Das bedeutet, bei einer Produktion von 100 Stück sind die durchschnittlichen Kosten pro Stück (25 €) genau so hoch wie der Verkaufspreis (25 €). Dies ist die Gewinnschwelle.

Aufgabentyp 2: Schnittpunkt von Gerade und Parabel

Um die Schnittpunkte einer Geraden $g(x)$ und einer Parabel $p(x)$ zu finden, ist der Ansatz derselbe: Wir setzen die Funktionsterme gleich: $\textcolor{#08BFFF}{g(x)} = \textcolor{#9570FF}{p(x)}$ .

Das Ergebnis dieser Gleichsetzung ist immer eine quadratische Gleichung. Je nach Lage der Gerade zur Parabel gibt es drei Möglichkeiten:

Zwei Schnittpunkte: Die Gerade ist eine Sekante. Die quadratische Gleichung hat zwei Lösungen.
Ein Schnittpunkt: Die Gerade ist eine Tangente. Die quadratische Gleichung hat genau eine Lösung.
Kein Schnittpunkt: Die Gerade ist eine Passante. Die quadratische Gleichung hat keine Lösung.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Funktionen gleichsetzen: Schreibe die Gleichung $\textcolor{#08BFFF}{g(x)} = \textcolor{#9570FF}{p(x)}$ auf.
Gleichung zur Normalform umformen: Bringe alle Terme auf eine Seite, um die quadratische Gleichung in die Form $\textcolor{#1E90FF}{a}x^2 + \textcolor{#1E90FF}{b}x + \textcolor{#1E90FF}{c} = 0$ zu bringen.
x-Koordinaten berechnen: Löse die quadratische Gleichung mit der Mitternachtsformel, um die x-Werte der Schnittpunkte zu finden.
y-Koordinaten berechnen: Setze die gefundenen x-Werte in die einfachere Geradengleichung ein, um die zugehörigen y-Werte zu erhalten.
Schnittpunkte angeben: Notiere die Schnittpunkte als Koordinatenpaare $S(x|y)$ .

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 0

Aufgabe

Berechne die Schnittpunkte der Parabel $\textcolor{#9570FF}{p(x) = x^2 - 2x + 1}$ mit der Geraden $\textcolor{#08BFFF}{g(x) = x + 1}$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Funktionen gleichsetzen
$\textcolor{#9570FF}{x^2 - 2x + 1} = \textcolor{#08BFFF}{x + 1}$
Schritt 2
Gleichung umformen
$x^2 - 2x + 1 = x + 1 \quad | - x$ $x^2 - 3x + 1 = 1 \quad | - 1$ $x^2 - 3x = 0$
Schritt 3
x-Koordinaten berechnen
Hier können wir den Satz vom Nullprodukt anwenden, indem wir $x$ ausklammern. $x(x - 3) = 0$ Die Lösungen sind $x_1 = 0$ und $x_2 = 3$ .
Schritt 4 · Ergebnis
y-Koordinaten berechnen
Wir setzen in $\textcolor{#08BFFF}{g(x) = x + 1}$ ein. $y_1 = g(0) = 0 + 1 = 1$ $y_2 = g(3) = 3 + 1 = 4$

Ergebnis:

Die Schnittpunkte sind $S_1(0|1)$ und $S_2(3|4)$ .

Beispiel 1

Aufgabe

Bestimme den Schnittpunkt der Parabel $\textcolor{#9570FF}{p(x) = -x^2 + 4x - 2}$ und der Geraden $\textcolor{#08BFFF}{g(x) = 2x}$ .

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Funktionen gleichsetzen
$\textcolor{#9570FF}{-x^2 + 4x - 2} = \textcolor{#08BFFF}{2x}$
Schritt 2
Gleichung umformen
$-x^2 + 4x - 2 = 2x \quad | - 2x$ $-x^2 + 2x - 2 = 0$
Schritt 3 · Ergebnis
x-Koordinaten berechnen
Wir verwenden die Mitternachtsformel mit $\textcolor{#1E90FF}{a=-1}$ , $\textcolor{#1E90FF}{b=2}$ und $\textcolor{#1E90FF}{c=-2}$ . Wir prüfen die Diskriminante: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-2) = 4 - 8 = -4$ Die Diskriminante ist negativ. Es gibt keine reellen Lösungen für $x$ .

Ergebnis:

Die Parabel und die Gerade haben keine Schnittpunkte.

Beispiel 2

Aufgabe

Zeige, dass die Gerade $\textcolor{#08BFFF}{g(x) = 4x - 4}$ eine Tangente an die Parabel $\textcolor{#9570FF}{p(x) = x^2}$ ist und berechne den Berührpunkt.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Funktionen gleichsetzen
$\textcolor{#9570FF}{x^2} = \textcolor{#08BFFF}{4x - 4}$
Schritt 2
Gleichung umformen
$x^2 = 4x - 4 \quad | - 4x + 4$ $x^2 - 4x + 4 = 0$
Schritt 3
x-Koordinaten berechnen
Dies ist eine binomische Formel: $(x-2)^2 = 0$ . Man kann aber auch die Mitternachtsformel nutzen mit $\textcolor{#1E90FF}{a=1}$ , $\textcolor{#1E90FF}{b=-4}$ und $\textcolor{#1E90FF}{c=4}$ . $x_{1,2} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$ $x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2} = \frac{4 \pm 0}{2}$ Es gibt nur eine Lösung: $x = 2$ .
Schritt 4 · Ergebnis
y-Koordinate berechnen
Wir setzen $x=2$ in $\textcolor{#08BFFF}{g(x) = 4x - 4}$ ein. $y = g(2) = 4 \cdot 2 - 4 = 8 - 4 = 4$

Ergebnis:

Da es nur eine Lösung gibt, ist die Gerade eine Tangente. Der Berührpunkt ist $B(2|4)$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Die Flugbahn eines Golfballs wird durch $\textcolor{#9570FF}{h(x) = -0,01x^2 + x}$ beschrieben, wobei $h$ die Höhe in Metern und $x$ die horizontale Entfernung in Metern ist. Ein Baum steht bei $x=80$ Meter. Die Krone des Baumes kann durch die Gerade $\textcolor{#08BFFF}{g(x) = 15}$ angenähert werden. Schneidet der Ball die Baumkrone?

Fortschritt

1 / 1

Schritt 1 · Ergebnis
Höhe des Balls berechnen
Wir setzen $x=80$ in die Flugbahn-Funktion $\textcolor{#9570FF}{h(x)}$ ein. $h(80) = -0,01 \cdot (80)^2 + 80$ $h(80) = -0,01 \cdot 6400 + 80$ $h(80) = -64 + 80 = 16$

Ergebnis:

Die Höhe des Balls bei $x=80$ Metern ist 16 Meter. Die Baumkrone ist auf einer Höhe von 15 Metern. Da $16 > 15$ , fliegt der Ball über die Baumkrone. Er schneidet sie nicht.

Beispiel 4

Aufgabe

Finde die Schnittpunkte der Parabel $\textcolor{#9570FF}{p(x) = 2x^2 + 3x - 5}$ und der Geraden $\textcolor{#08BFFF}{g(x) = -x - 7}$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Funktionen gleichsetzen
$\textcolor{#9570FF}{2x^2 + 3x - 5} = \textcolor{#08BFFF}{-x - 7}$
Schritt 2
Gleichung umformen
$2x^2 + 3x - 5 = -x - 7 \quad | + x + 7$ $2x^2 + 4x + 2 = 0$
Schritt 3
x-Koordinaten berechnen
Wir können die Gleichung durch 2 teilen, um sie zu vereinfachen. $x^2 + 2x + 1 = 0$ Das ist die 1. binomische Formel: $(x+1)^2 = 0$ . Es gibt also nur eine Lösung bei $x = -1$ .
Schritt 4 · Ergebnis
y-Koordinate berechnen
Wir setzen $x=-1$ in $\textcolor{#08BFFF}{g(x) = -x - 7}$ ein. $y = g(-1) = -(-1) - 7 = 1 - 7 = -6$

Ergebnis:

Die Gerade ist eine Tangente an die Parabel. Der Berührpunkt ist $B(-1|-6)$ .

Aufgabentyp 3: Schnittpunkt von zwei Parabeln

Um die Schnittpunkte von zwei Parabeln, $\textcolor{#08BFFF}{f(x)}$ und $\textcolor{#53E5D6}{g(x)}$ , zu finden, verwenden wir wieder den gleichen Ansatz: $\textcolor{#08BFFF}{f(x)} = \textcolor{#53E5D6}{g(x)}$ .

Wenn wir diese Gleichung umformen, können zwei Hauptfälle auftreten:

Die $x^2$ -Terme heben sich nicht auf: Das Ergebnis ist eine quadratische Gleichung der Form $ax^2+bx+c=0$ . Diese lösen wir mit der Mitternachtsformel oder durch Ausklammern. Es kann 0, 1 oder 2 Schnittpunkte geben.
Die $x^2$ -Terme heben sich gegenseitig auf: Dies passiert, wenn der Koeffizient vor $x^2$ in beiden Funktionen gleich ist (z.B. $2x^2...$ und $2x^2...$ ). Übrig bleibt eine lineare Gleichung der Form $bx+c=0$ , die genau eine Lösung hat. Die Parabeln haben dann nur einen Schnittpunkt.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Funktionen gleichsetzen: Setze die beiden Parabelgleichungen gleich: $\textcolor{#08BFFF}{f(x)} = \textcolor{#53E5D6}{g(x)}$ .
Gleichung vereinfachen: Bringe alle Terme auf eine Seite, um eine Gleichung der Form ... = 0 zu erhalten. Fasse die Terme zusammen.
Lösungsverfahren anwenden: Nutze die Mitternachtsformel für quadratische Gleichungen, klammere x aus oder löse lineare Gleichungen direkt nach x auf.
y-Koordinaten berechnen: Setze die gefundenen x-Werte in eine der beiden ursprünglichen Parabelgleichungen ein.
Schnittpunkte angeben: Schreibe die Schnittpunkte als Koordinatenpaare $S(x|y)$ auf.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 0

Aufgabe

Berechne die Schnittpunkte der Parabeln $\textcolor{#08BFFF}{f(x) = 2x^2 - x}$ und $\textcolor{#53E5D6}{g(x) = -x^2 + 2x}$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Funktionen gleichsetzen
$\textcolor{#08BFFF}{2x^2 - x} = \textcolor{#53E5D6}{-x^2 + 2x}$
Schritt 2
Gleichung vereinfachen
$2x^2 - x = -x^2 + 2x \quad | + x^2 - 2x$ $3x^2 - 3x = 0$
Schritt 3
Lösungsverfahren anwenden
Wir klammern $3x$ aus (Satz vom Nullprodukt). $3x(x - 1) = 0$ Die Lösungen sind $x_1 = 0$ und $x_2 = 1$ .
Schritt 4 · Ergebnis
y-Koordinaten berechnen
Wir setzen in $\textcolor{#08BFFF}{f(x) = 2x^2 - x}$ ein. $y_1 = f(0) = 2(0)^2 - 0 = 0$ $y_2 = f(1) = 2(1)^2 - 1 = 2 - 1 = 1$

Ergebnis:

Die Schnittpunkte sind $S_1(0|0)$ und $S_2(1|1)$ .

Beispiel 1

Aufgabe

Bestimme die Schnittpunkte von $\textcolor{#08BFFF}{f(x) = x^2 + 2x + 3}$ und $\textcolor{#53E5D6}{g(x) = 2x^2 + 1}$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Funktionen gleichsetzen
$\textcolor{#08BFFF}{x^2 + 2x + 3} = \textcolor{#53E5D6}{2x^2 + 1}$
Schritt 2
Gleichung vereinfachen
$x^2 + 2x + 3 = 2x^2 + 1 \quad | - x^2 - 2x - 3$ $0 = x^2 - 2x - 2$
Schritt 3
Lösungsverfahren anwenden
Wir nutzen die Mitternachtsformel mit $\textcolor{#1E90FF}{a=1}$ , $\textcolor{#1E90FF}{b=-2}$ und $\textcolor{#1E90FF}{c=-2}$ . $x_{1,2} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1}$ $x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2}$ $x_1 = \frac{2 + \sqrt{12}}{2} \approx 2,73$ $x_2 = \frac{2 - \sqrt{12}}{2} \approx -0,73$
Schritt 4 · Ergebnis
y-Koordinaten berechnen
Wir setzen in $\textcolor{#53E5D6}{g(x) = 2x^2 + 1}$ ein. $y_1 = g(2,73) = 2(2,73)^2 + 1 \approx 2(7,45) + 1 = 14,9 + 1 = 15,9$ $y_2 = g(-0,73) = 2(-0,73)^2 + 1 \approx 2(0,53) + 1 = 1,06 + 1 = 2,06$

Ergebnis:

Die Schnittpunkte sind ca. $S_1(2,73|15,9)$ und $S_2(-0,73|2,06)$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Finde den Schnittpunkt der Parabeln $\textcolor{#08BFFF}{f(x) = 0,5x^2 - 3x + 4}$ und $\textcolor{#53E5D6}{g(x) = 0,5x^2 + x - 4}$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Funktionen gleichsetzen
$\textcolor{#08BFFF}{0,5x^2 - 3x + 4} = \textcolor{#53E5D6}{0,5x^2 + x - 4}$
Schritt 2
Gleichung vereinfachen
Wir subtrahieren $0,5x^2$ auf beiden Seiten. Die $x^2$ -Terme heben sich auf. $-3x + 4 = x - 4 \quad | - x - 4$ $-4x = -8$
Schritt 3
Lösungsverfahren anwenden
Dies ist eine lineare Gleichung. Wir lösen nach $x$ auf. $-4x = -8 \quad | \div (-4)$ $x = 2$
Schritt 4 · Ergebnis
y-Koordinate berechnen
Wir setzen $x=2$ in $\textcolor{#53E5D6}{g(x) = 0,5x^2 + x - 4}$ ein. $y = g(2) = 0,5(2)^2 + 2 - 4 = 0,5 \cdot 4 + 2 - 4 = 2 + 2 - 4 = 0$

Ergebnis:

Es gibt nur einen Schnittpunkt: $S(2|0)$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Haben die Parabeln $\textcolor{#08BFFF}{f(x) = x^2 + 2}$ und $\textcolor{#53E5D6}{g(x) = -x^2 - 2}$ Schnittpunkte?

Fortschritt

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Schritt 1
Funktionen gleichsetzen
$\textcolor{#08BFFF}{x^2 + 2} = \textcolor{#53E5D6}{-x^2 - 2}$
Schritt 2
Gleichung vereinfachen
$x^2 + 2 = -x^2 - 2 \quad | + x^2 + 2$ $2x^2 + 4 = 0$
Schritt 3 · Ergebnis
Lösungsverfahren anwenden
Wir versuchen, nach $x$ aufzulösen. $2x^2 = -4$ $x^2 = -2$ Eine Quadratzahl kann niemals negativ sein. Es gibt keine reelle Zahl, deren Quadrat -2 ist.

Ergebnis:

Es gibt keine Lösung für $x$ , also haben die beiden Parabeln keine Schnittpunkte. (Die eine Parabel ist nach oben geöffnet mit Scheitelpunkt bei (0|2), die andere nach unten geöffnet mit Scheitelpunkt bei (0|-2)).

Beispiel 4

Aufgabe

Zwei Unternehmen modellieren ihren Gewinn (in Tausend €) in Abhängigkeit von der Werbeausgabe $x$ (in Tausend €). Firma A: $\textcolor{#08BFFF}{P_A(x) = -x^2 + 10x - 5}$ . Firma B: $\textcolor{#53E5D6}{P_B(x) = -0,5x^2 + 6x}$ . Bei welcher Werbeausgabe erzielen beide Firmen den gleichen Gewinn?

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Funktionen gleichsetzen
$\textcolor{#08BFFF}{-x^2 + 10x - 5} = \textcolor{#53E5D6}{-0,5x^2 + 6x}$
Schritt 2
Gleichung vereinfachen
$-x^2 + 10x - 5 = -0,5x^2 + 6x \quad | + x^2 - 10x + 5$ $0 = 0,5x^2 - 4x + 5$
Schritt 3 · Ergebnis
Lösungsverfahren anwenden
Wir nutzen die Mitternachtsformel mit $\textcolor{#1E90FF}{a=0,5}$ , $\textcolor{#1E90FF}{b=-4}$ und $\textcolor{#1E90FF}{c=5}$ . $x_{1,2} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 0,5 \cdot 5}}{2 \cdot 0,5}$ $x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 10}}{1} = 4 \pm \sqrt{6}$ $x_1 = 4 + \sqrt{6} \approx 6,45$ $x_2 = 4 - \sqrt{6} \approx 1,55$

Ergebnis:

Bei Werbeausgaben von ca. 1.550 € und ca. 6.450 € erzielen beide Firmen den gleichen Gewinn.

Wichtige Erkenntnisse

Der goldene erste Schritt: Um Schnittpunkte zu finden, setze die Funktionsterme immer gleich: $f(x) = g(x)$ .
Das Ziel: Forme die Gleichung immer so um, dass auf einer Seite Null steht (z.B. $ax^2+bx+c=0$ ).
Das Hauptwerkzeug: Die Mitternachtsformel ist dein bester Freund für quadratische Gleichungen. Lerne sie auswendig!
Die Abkürzung: Wenn eine quadratische Gleichung keinen konstanten Term hat (z.B. $3x^2 - 6x = 0$ ), ist Ausklammern (Satz vom Nullprodukt) viel schneller als die Mitternachtsformel.
Zwei Schritte zum Ziel: Vergiss nicht, nach der Berechnung der x-Werte auch die zugehörigen y-Werte zu berechnen, um die vollständigen Koordinaten der Schnittpunkte $S(x|y)$ anzugeben.

Schnittpunkte quadratischer Funktionen berechnen: So geht's