Was sind Schnittpunkte quadratischer Funktionen?

Schnittpunkte quadratischer Funktionen sind die Punkte, an denen zwei Graphen gleichzeitig denselben x- und y-Wert besitzen. Um sie zu finden, setzt man die beiden Funktionsterme gleich ( f(x) = g(x) ), formt die entstehende Gleichung auf die Normalform ax² + bx + c = 0 um und löst sie – meist mit der Mitternachtsformel. Zum Schluss berechnet man die y-Koordinate durch Einsetzen des x-Werts in eine der ursprünglichen Gleichungen.

Wie berechnet man den Schnittpunkt einer Parabel mit einer Geraden?

Du gehst in fünf Schritten vor: Gleichsetzen ( p(x) = g(x) ), alle Terme auf eine Seite bringen, Mitternachtsformel anwenden, um die x-Koordinaten zu finden, die x-Werte in die Geradengleichung einsetzen, um die y-Koordinaten zu erhalten, und schließlich die vollständigen Schnittpunkte S(x|y) angeben. Wenn die Diskriminante negativ ist, schneiden sich Parabel und Gerade gar nicht.

Was ist der Unterschied zwischen einem Schnittpunkt und einem Berührpunkt?

Bei einem Schnittpunkt kreuzen sich die beiden Graphen – die Diskriminante ist größer als Null, es gibt zwei verschiedene x-Werte. Bei einem Berührpunkt (Tangentenpunkt) liegt die Diskriminante genau bei Null: Die Gleichung hat nur eine einzige Lösung, und der Graph der Geraden oder Parabel berührt den anderen Graphen, ohne ihn zu durchqueren.

Wann hat eine quadratische Gleichung beim Gleichsetzen keine Lösung?

Wenn die Diskriminante D = b² − 4ac unter der Wurzel in der Mitternachtsformel negativ ist, gibt es keine reelle Lösung – die beiden Graphen haben keinen gemeinsamen Punkt. Im Koordinatensystem bedeutet das: Die Parabel liegt vollständig ober- oder unterhalb der Geraden bzw. der anderen Parabel, ohne sie zu berühren oder zu schneiden.

Schnittpunkte quadratischer Funktionen

Q: Wie geht man bei Schnittpunkten einer Hyperbel mit einer Geraden vor?

Bei einer Hyperbel steht x im Nenner. Nach dem Gleichsetzen ( h(x) = g(x) ) multiplizierst du die gesamte Gleichung mit dem Nenner, um den Bruch aufzulösen. Dadurch entsteht eine quadratische Gleichung, die du wie gewohnt mit der Mitternachtsformel löst. Wichtig: Die Lösung x = 0 ist ungültig, weil die Hyperbel an dieser Stelle nicht definiert ist.

Schnittpunkte quadratischer Funktionen zu berechnen gehört zu den wichtigsten Aufgaben im Mathe-Unterricht der Mittelstufe und Oberstufe. Ob eine Parabel eine Gerade schneidet, sich zwei Parabeln berühren oder eine Hyperbel mit einer Geraden einen gemeinsamen Punkt hat – der Trick ist jedes Mal derselbe: Gleichsetzen, umformen, lösen, einsetzen. Wer diesen Masterplan einmal verstanden hat, löst alle drei Aufgabentypen souverän. In diesem Artikel erklären wir dir die Methode einfach und anschaulich, zeigen dir eine Schritt-für-Schritt-Anleitung für jeden Typ und rechnen viele Beispiele vollständig durch.

Schnellantwort

Schnittpunkte zweier Funktionen sind die Punkte, an denen beide Graphen denselben x- und y-Wert besitzen. Um sie zu finden, setzt du die beiden Funktionsterme gleich ( $f(x) = g(x)$ ), formst die entstehende Gleichung auf die Normalform $ax^2 + bx + c = 0$ um und löst sie – meist mit der Mitternachtsformel. Zum Schluss berechnest du die y-Koordinate, indem du den gefundenen x-Wert in eine der ursprünglichen Gleichungen einsetzt.

Vorwissen

Bevor wir die Schnittpunkte berechnen, frischen wir schnell ein paar Grundlagen auf:

Quadratische Gleichung in Normalform: Das ist das Ziel nach dem Gleichsetzen. Alle Terme sind auf einer Seite, auf der anderen steht Null.
- Formel: $ax^2 + bx + c = 0$
- Beispiel: Die Gleichung $2x^2 = 3x - 1$ wird zu $2x^2 - 3x + 1 = 0$ .
Mitternachtsformel (a-b-c-Formel): Das Universalwerkzeug zum Lösen von quadratischen Gleichungen in Normalform.
- Formel: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
- Beispiel: Für $2x^2 - 5x + 3 = 0$ ist $a=2, b=-5, c=3$ . Einsetzen in die Formel liefert die Lösungen $x_1=1$ und $x_2=1{,}5$ .
Satz vom Nullprodukt: Ein schneller Trick, wenn der Term ohne $x$ (also $c$ ) fehlt.
- Regel: Ein Produkt ist genau dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist. Wenn $A \cdot B = 0$ , dann ist $A=0$ oder $B=0$ .
- Beispiel: Die Gleichung $3x^2 - 6x = 0$ kann man umformen zu $3x(x-2)=0$ . Die Lösungen sind also $3x=0 \to x_1=0$ und $x-2=0 \to x_2=2$ .
y-Koordinate berechnen: Um einen vollständigen Punkt zu erhalten, setzt man den gefundenen x-Wert in eine der ursprünglichen Funktionsgleichungen ein.
- Beispiel: Wir haben den x-Wert $x=3$ und die Funktion $g(x) = 2x+1$ . Dann ist die y-Koordinate $y = g(3) = 2 \cdot 3 + 1 = 7$ . Der Punkt ist $(3|7)$ .

Aufgabentyp 1: Schnittpunkte von Parabel und Gerade

Um die Schnittpunkte einer Parabel und einer Geraden zu finden, suchen wir die Punkte, die auf beiden Graphen gleichzeitig liegen. An diesen Stellen haben beide Funktionen denselben x- und y-Wert.

Der Trick ist einfach: Wir setzen die beiden Funktionsterme gleich. Dadurch entsteht eine neue Gleichung, deren Lösungen genau die x-Koordinaten der Schnittpunkte sind.

$p(x) = g(x)$

Das Ergebnis ist meist eine quadratische Gleichung, die wir dann mit der Mitternachtsformel lösen können. Eine Parabel und eine Gerade können sich in zwei Punkten schneiden, in einem Punkt berühren oder gar nicht schneiden.

Parabel und Gerade mit zwei Schnittpunkten

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Gleichsetzen: Setze den Term der Parabel und den der Geraden gleich: $p(x) = g(x)$ .
Nach Null umformen: Bringe alle Terme auf eine Seite, sodass die Form $ax^2 + bx + c = 0$ entsteht.
x-Koordinaten berechnen: Identifiziere $a$ , $b$ und $c$ ; setze sie in die Mitternachtsformel $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ ein.
y-Koordinaten berechnen: Setze jeden x-Wert in die Geradengleichung ein (meist einfacher als die Parabelgleichung).
Schnittpunkte angeben: Schreibe die Koordinatenpaare als $S_1(x_1|y_1)$ und $S_2(x_2|y_2)$ auf.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Berechne die Schnittpunkte der Parabel $p(x) = 2x^2 - 3x + 2$ mit der Geraden $g(x) = x + 4{,}5$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Funktionsterme gleichsetzen
$2x^2 - 3x + 2 = x + 4{,}5$
Schritt 2
Gleichung nach Null umformen
Wir bringen alles auf die linke Seite.

$2x^2 - 3x + 2 = x + 4{,}5 \quad | -x$

$2x^2 - 4x + 2 = 4{,}5 \quad | -4{,}5$

$2x^2 - 4x - 2{,}5 = 0$
Schritt 3
x-Koordinaten mit der Mitternachtsformel berechnen
Wir identifizieren $a=2$ , $b=-4$ und $c=-2{,}5$ .

Die Formel lautet: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Wir setzen die Werte ein: $x_{1,2} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2{,}5)}}{2 \cdot 2}$

$x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - (-20)}}{4}$

$x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{4}$

$x_{1,2} = \frac{4 \pm 6}{4}$

Jetzt berechnen wir die beiden Lösungen: $x_1 = \frac{4 - 6}{4} = \frac{-2}{4} = -0{,}5$

$x_2 = \frac{4 + 6}{4} = \frac{10}{4} = 2{,}5$
Schritt 4 · Ergebnis
y-Koordinaten berechnen
Wir setzen $x_1$ und $x_2$ in die Geradengleichung $g(x) = x + 4{,}5$ ein.

Für $x_1 = -0{,}5$ : $y_1 = g(-0{,}5) = -0{,}5 + 4{,}5 = 4$

Für $x_2 = 2{,}5$ : $y_2 = g(2{,}5) = 2{,}5 + 4{,}5 = 7$

Ergebnis:

Die Schnittpunkte sind $S_1(-0{,}5|4)$ und $S_2(2{,}5|7)$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Bestimme, ob sich die Parabel $p(x) = x^2 + 4x + 5$ und die Gerade $g(x) = 2x + 4$ schneiden.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Funktionsterme gleichsetzen
$x^2 + 4x + 5 = 2x + 4$
Schritt 2
Gleichung nach Null umformen
$x^2 + 4x + 5 = 2x + 4 \quad | -2x$

$x^2 + 2x + 5 = 4 \quad | -4$

$x^2 + 2x + 1 = 0$
Schritt 3
x-Koordinaten mit der Mitternachtsformel berechnen
Wir identifizieren $a=1$ , $b=2$ und $c=1$ .

$x_{1,2} = \frac{-(2) \pm \sqrt{(2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

$x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

$x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{0}}{2}$

$x = \frac{-2}{2} = -1$

Es gibt nur eine Lösung für x, das bedeutet, die Gerade berührt die Parabel.
Schritt 4 · Ergebnis
y-Koordinate berechnen
Wir setzen $x = -1$ in $g(x) = 2x + 4$ ein.

$y = g(-1) = 2 \cdot (-1) + 4 = -2 + 4 = 2$

Ergebnis:

Der Berührpunkt ist $S(-1|2)$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Untersuche, ob die Parabel $p(x) = -x^2 + 2x - 2$ und die Gerade $g(x) = x + 1$ gemeinsame Punkte haben.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Funktionsterme gleichsetzen
$-x^2 + 2x - 2 = x + 1$
Schritt 2
Gleichung nach Null umformen
$-x^2 + 2x - 2 = x + 1 \quad | -x$

$-x^2 + x - 2 = 1 \quad | -1$

$-x^2 + x - 3 = 0$
Schritt 3
x-Koordinaten mit der Mitternachtsformel berechnen
Wir identifizieren $a=-1$ , $b=1$ und $c=-3$ .

$x_{1,2} = \frac{-(1) \pm \sqrt{(1)^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-3)}}{2 \cdot (-1)}$

$x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 12}}{-2}$

$x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{-11}}{-2}$

Da der Wert unter der Wurzel (die Diskriminante) negativ ist, gibt es keine reelle Lösung für x.
Schritt 4 & 5 entfallen · Ergebnis
Es gibt keine x-Koordinaten, also gibt es auch keine Schnittpunkte. Die Parabel und die Gerade schneiden sich nicht.

Ergebnis:

Keine gemeinsamen Punkte.

Beispiel 4

Aufgabe

Berechne die Schnittpunkte der Parabel $p(x) = 0{,}5x^2$ mit der Geraden $g(x) = -x + 1{,}5$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Funktionsterme gleichsetzen
$0{,}5x^2 = -x + 1{,}5$
Schritt 2
Gleichung nach Null umformen
$0{,}5x^2 = -x + 1{,}5 \quad | +x$

$0{,}5x^2 + x = 1{,}5 \quad | -1{,}5$

$0{,}5x^2 + x - 1{,}5 = 0$
Schritt 3
x-Koordinaten mit der Mitternachtsformel berechnen
Wir identifizieren $a=0{,}5$ , $b=1$ und $c=-1{,}5$ .

$x_{1,2} = \frac{-(1) \pm \sqrt{(1)^2 - 4 \cdot 0{,}5 \cdot (-1{,}5)}}{2 \cdot 0{,}5}$

$x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - (-3)}}{1}$

$x_{1,2} = -1 \pm \sqrt{4}$

$x_{1,2} = -1 \pm 2$

Die Lösungen sind: $x_1 = -1 - 2 = -3$

$x_2 = -1 + 2 = 1$
Schritt 4 · Ergebnis
y-Koordinaten berechnen
Wir setzen in $g(x) = -x + 1{,}5$ ein.

Für $x_1 = -3$ : $y_1 = g(-3) = -(-3) + 1{,}5 = 3 + 1{,}5 = 4{,}5$

Für $x_2 = 1$ : $y_2 = g(1) = -(1) + 1{,}5 = -1 + 1{,}5 = 0{,}5$

Ergebnis:

Die Schnittpunkte sind $S_1(-3|4{,}5)$ und $S_2(1|0{,}5)$ .

Beispiel 5

Aufgabe

Gegeben sind die Parabel $p(x) = -2x^2 + 8x - 5$ und die Gerade $g(x) = 3$ . Finde die Schnittpunkte.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Funktionsterme gleichsetzen
$-2x^2 + 8x - 5 = 3$
Schritt 2
Gleichung nach Null umformen
$-2x^2 + 8x - 5 = 3 \quad | -3$

$-2x^2 + 8x - 8 = 0$
Schritt 3
x-Koordinaten mit der Mitternachtsformel berechnen
Wir identifizieren $a=-2$ , $b=8$ und $c=-8$ .

$x_{1,2} = \frac{-(8) \pm \sqrt{(8)^2 - 4 \cdot (-2) \cdot (-8)}}{2 \cdot (-2)}$

$x_{1,2} = \frac{-8 \pm \sqrt{64 - 64}}{-4}$

$x_{1,2} = \frac{-8 \pm \sqrt{0}}{-4}$

$x = \frac{-8}{-4} = 2$

Es gibt nur eine Lösung, also einen Berührpunkt.
Schritt 4 · Ergebnis
y-Koordinate berechnen
Die y-Koordinate ist bereits durch die Geradengleichung $g(x) = 3$ gegeben. Der y-Wert muss also 3 sein.

$y = 3$

Ergebnis:

Der Berührpunkt ist $S(2|3)$ .

Aufgabentyp 2: Schnittpunkte von zwei Parabeln

Wenn wir die Schnittpunkte von zwei Parabeln suchen, ist das Vorgehen beim Schnittpunkte berechnen fast identisch zum Fall mit Gerade und Parabel. Wir suchen wieder die Punkte, die auf beiden Graphen liegen.

Der entscheidende erste Schritt bleibt derselbe: Wir setzen die beiden Funktionsterme gleich.

$f(x) = g(x)$

Nach dem Umformen erhalten wir wieder eine quadratische Gleichung. Manchmal fällt der $x^2$ -Term weg, dann ist es sogar nur eine lineare Gleichung. Oft kann man aber auch hier die Mitternachtsformel oder den Satz vom Nullprodukt anwenden.

Zwei Parabeln können sich in keinem, einem oder zwei Punkten schneiden.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Gleichsetzen: Setze die Terme der beiden Parabeln gleich: $f(x) = g(x)$ .
Nach Null umformen: Bringe alle Terme auf eine Seite, um die Standardform $ax^2 + bx + c = 0$ zu erhalten.
x-Koordinaten berechnen: Wähle die passende Methode: Mitternachtsformel (wenn $a$ , $b$ und $c$ ungleich Null), Satz vom Nullprodukt (wenn $c=0$ , klammere $x$ aus), Wurzelziehen (wenn $b=0$ , isoliere $x^2$ ).
y-Koordinaten berechnen: Setze die gefundenen x-Werte in eine der ursprünglichen Parabelgleichungen ein.
Schnittpunkte angeben: Notiere die Koordinatenpaare als $S_1(x_1|y_1)$ und $S_2(x_2|y_2)$ .

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Berechne die Schnittpunkte der Parabeln $f(x) = 4x^2 - 3x - 2$ und $g(x) = -2x^2 + 3x - 2$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Funktionsterme gleichsetzen
$4x^2 - 3x - 2 = -2x^2 + 3x - 2$
Schritt 2
Gleichung nach Null umformen
$4x^2 - 3x - 2 = -2x^2 + 3x - 2 \quad | +2x^2$

$6x^2 - 3x - 2 = 3x - 2 \quad | -3x$

$6x^2 - 6x - 2 = -2 \quad | +2$

$6x^2 - 6x = 0$
3
Schritt 3
x-Koordinaten berechnen
Der Term $c$ ist Null. Das ist ein idealer Fall für den Satz vom Nullprodukt. Wir klammern $6x$ aus.

$6x(x - 1) = 0$

Jetzt setzen wir jeden Faktor gleich Null:
1. Faktor: $6x = 0 \quad | \div 6 \quad \to x_1 = 0$
2. Faktor: $x - 1 = 0 \quad | +1 \quad \to x_2 = 1$
Schritt 4 · Ergebnis
y-Koordinaten berechnen
Wir setzen $x_1=0$ und $x_2=1$ in $f(x)$ ein:

Für $x_1 = 0$ : $y_1 = f(0) = 4(0)^2 - 3(0) - 2 = -2$

Für $x_2 = 1$ : $y_2 = f(1) = 4(1)^2 - 3(1) - 2 = 4 - 3 - 2 = -1$

Ergebnis:

Die Schnittpunkte sind $S_1(0|-2)$ und $S_2(1|-1)$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Finde die Schnittpunkte der Parabeln $f(x) = x^2 + 2x + 1$ und $g(x) = 2x^2 + 3$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Funktionsterme gleichsetzen
$x^2 + 2x + 1 = 2x^2 + 3$
Schritt 2
Gleichung nach Null umformen
$x^2 + 2x + 1 = 2x^2 + 3 \quad | -x^2$

$2x + 1 = x^2 + 3 \quad | -2x$

$1 = x^2 - 2x + 3 \quad | -1$

$0 = x^2 - 2x + 2$
Schritt 3
x-Koordinaten berechnen
Wir verwenden die Mitternachtsformel mit $a=1$ , $b=-2$ und $c=2$ .

$x_{1,2} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

$x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2}$

$x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{-4}}{2}$

Die Zahl unter der Wurzel ist negativ. Es gibt keine reelle Lösung.
Schritt 4 & 5 entfallen · Ergebnis
Die Parabeln haben keine gemeinsamen Punkte.

Ergebnis:

Keine Schnittpunkte.

Beispiel 3

Aufgabe

Gegeben sind $f(x) = -0{,}5x^2 + 4$ und $g(x) = x^2 - 5$ . Berechne die Schnittpunkte.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Funktionsterme gleichsetzen
$-0{,}5x^2 + 4 = x^2 - 5$
Schritt 2
Gleichung nach Null umformen
$-0{,}5x^2 + 4 = x^2 - 5 \quad | +0{,}5x^2$

$4 = 1{,}5x^2 - 5 \quad | +5$

$9 = 1{,}5x^2$
Schritt 3
x-Koordinaten berechnen
Der Term $b$ ist Null (kein Term mit nur $x$ ). Wir können durch Wurzelziehen lösen.

$9 = 1{,}5x^2 \quad | \div 1{,}5$

$6 = x^2 \quad | \sqrt{}$

$x = \pm \sqrt{6}$

Die Lösungen sind $x_1 = \sqrt{6} \approx 2{,}45$ und $x_2 = -\sqrt{6} \approx -2{,}45$ .
Schritt 4 · Ergebnis
y-Koordinaten berechnen
Wir setzen die x-Werte in $g(x) = x^2 - 5$ ein.

Für $x_1 = \sqrt{6}$ : $y_1 = g(\sqrt{6}) = (\sqrt{6})^2 - 5 = 6 - 5 = 1$

Für $x_2 = -\sqrt{6}$ : $y_2 = g(-\sqrt{6}) = (-\sqrt{6})^2 - 5 = 6 - 5 = 1$

Ergebnis:

Die Schnittpunkte sind $S_1(\sqrt{6}|1)$ und $S_2(-\sqrt{6}|1)$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Berechne den Schnittpunkt der Parabeln $f(x) = (x-2)^2$ und $g(x) = x^2 - 4x + 4$ .

Fortschritt

2 / 2

Schritt 1
Funktionsterme gleichsetzen
Zuerst multiplizieren wir die Klammer bei $f(x)$ aus, um die Normalform zu erhalten.

$f(x) = (x-2)^2 = x^2 - 4x + 4$

Jetzt setzen wir gleich:

$x^2 - 4x + 4 = x^2 - 4x + 4$
Schritt 2 · Ergebnis
Gleichung umformen
Wir sehen sofort, dass auf beiden Seiten exakt derselbe Term steht. Wenn wir versuchen umzuformen, fällt alles weg:

$x^2 - 4x + 4 = x^2 - 4x + 4 \quad | -x^2$

$-4x + 4 = -4x + 4 \quad | +4x$

$4 = 4$

Diese Aussage ist immer wahr, egal welchen x-Wert wir einsetzen. Das bedeutet, die beiden Funktionen sind identisch. Sie liegen aufeinander.

Ergebnis:

Die Parabeln sind identisch. Es gibt unendlich viele Schnittpunkte, da jeder Punkt der einen Parabel auch auf der anderen liegt.

Beispiel 5

Aufgabe

Bestimme die Schnittpunkte von $f(x) = 3x^2 + 2x - 1$ und $g(x) = x^2 + 6x + 3$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Funktionsterme gleichsetzen
$3x^2 + 2x - 1 = x^2 + 6x + 3$
Schritt 2
Gleichung nach Null umformen
$3x^2 + 2x - 1 = x^2 + 6x + 3 \quad | -x^2$

$2x^2 + 2x - 1 = 6x + 3 \quad | -6x$

$2x^2 - 4x - 1 = 3 \quad | -3$

$2x^2 - 4x - 4 = 0$
Schritt 3
x-Koordinaten berechnen
Wir verwenden die Mitternachtsformel mit $a=2$ , $b=-4$ und $c=-4$ .

$x_{1,2} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4)}}{2 \cdot 2}$

$x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - (-32)}}{4}$

$x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{48}}{4}$

Wir können $\sqrt{48}$ teilweise vereinfachen: $\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$ .

$x_{1,2} = \frac{4 \pm 4\sqrt{3}}{4} = 1 \pm \sqrt{3}$

Die Lösungen sind $x_1 = 1 + \sqrt{3}$ und $x_2 = 1 - \sqrt{3}$ .
Schritt 4 · Ergebnis
y-Koordinaten berechnen
Wir setzen in $g(x) = x^2 + 6x + 3$ ein.

Für $x_1 = 1 + \sqrt{3}$ : $y_1 = (1+\sqrt{3})^2 + 6(1+\sqrt{3}) + 3$ $y_1 = (1 + 2\sqrt{3} + 3) + (6 + 6\sqrt{3}) + 3$ $y_1 = 4 + 2\sqrt{3} + 6 + 6\sqrt{3} + 3 = 13 + 8\sqrt{3}$

Für $x_2 = 1 - \sqrt{3}$ : $y_2 = (1-\sqrt{3})^2 + 6(1-\sqrt{3}) + 3$ $y_2 = (1 - 2\sqrt{3} + 3) + (6 - 6\sqrt{3}) + 3$ $y_2 = 4 - 2\sqrt{3} + 6 - 6\sqrt{3} + 3 = 13 - 8\sqrt{3}$

Ergebnis:

Die Schnittpunkte sind $S_1(1+\sqrt{3} | 13+8\sqrt{3})$ und $S_2(1-\sqrt{3} | 13-8\sqrt{3})$ .

Aufgabentyp 3: Schnittpunkte von Hyperbel und Gerade

Eine Hyperbel (eine gebrochen-rationale Funktion) hat eine besondere Eigenschaft: Das $x$ steht im Nenner. Das Vorgehen zum Finden von Schnittpunkten einer Hyperbel mit einer Geraden beginnt wie immer:

$h(x) = g(x)$

Der entscheidende Unterschied ist der zweite Schritt: Um das $x$ aus dem Nenner zu bekommen, müssen wir die gesamte Gleichung mit dem Nenner multiplizieren. Dadurch entsteht eine quadratische Gleichung, die wir wie gewohnt lösen können.

Wichtig: Die ursprüngliche Hyperbel ist für $x=0$ nicht definiert (man darf nicht durch Null teilen). Sollte $x=0$ eine Lösung unserer quadratischen Gleichung sein, ist sie für das ursprüngliche Problem ungültig und muss verworfen werden.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Gleichsetzen: Setze den Term der Hyperbel und den der Geraden gleich: $h(x) = g(x)$ .
Mit dem Nenner multiplizieren: Multipliziere die gesamte Gleichung mit dem Nenner der Hyperbel, um den Bruch aufzulösen.
Nach Null umformen: Bringe alle Terme auf eine Seite, um die Form $ax^2 + bx + c = 0$ zu erhalten.
x-Koordinaten berechnen: Identifiziere $a$ , $b$ und $c$ und setze sie in die Mitternachtsformel ein.
y-Koordinaten berechnen: Setze jeden gefundenen x-Wert in die Gleichung der Geraden ein.
Schnittpunkte angeben: Schreibe die Koordinatenpaare als $S_1(x_1|y_1)$ und $S_2(x_2|y_2)$ auf.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Berechne die Schnittpunkte der Hyperbel $h(x) = \frac{1}{2x}$ mit der Geraden $g(x) = 0{,}2x + 0{,}3$ .

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Funktionsterme gleichsetzen
$\frac{1}{2x} = 0{,}2x + 0{,}3$
Schritt 2
Mit dem Nenner multiplizieren
Wir multiplizieren die gesamte Gleichung mit dem Nenner $2x$ .

$\frac{1}{2x} = 0{,}2x + 0{,}3 \quad | \cdot 2x$

$1 = (0{,}2x + 0{,}3) \cdot 2x$

$1 = 0{,}4x^2 + 0{,}6x$
Schritt 3
Gleichung nach Null umformen
$1 = 0{,}4x^2 + 0{,}6x \quad | -1$

$0 = 0{,}4x^2 + 0{,}6x - 1$
Schritt 4
x-Koordinaten mit der Mitternachtsformel berechnen
Wir identifizieren $a=0{,}4$ , $b=0{,}6$ und $c=-1$ .

$x_{1,2} = \frac{-(0{,}6) \pm \sqrt{(0{,}6)^2 - 4 \cdot 0{,}4 \cdot (-1)}}{2 \cdot 0{,}4}$

$x_{1,2} = \frac{-0{,}6 \pm \sqrt{0{,}36 - (-1{,}6)}}{0{,}8}$

$x_{1,2} = \frac{-0{,}6 \pm \sqrt{1{,}96}}{0{,}8}$

$x_{1,2} = \frac{-0{,}6 \pm 1{,}4}{0{,}8}$

Die Lösungen sind: $x_1 = \frac{-0{,}6 - 1{,}4}{0{,}8} = \frac{-2}{0{,}8} = -2{,}5$

$x_2 = \frac{-0{,}6 + 1{,}4}{0{,}8} = \frac{0{,}8}{0{,}8} = 1$
Schritt 5 · Ergebnis
y-Koordinaten berechnen
Wir setzen in $g(x) = 0{,}2x + 0{,}3$ ein.

Für $x_1 = -2{,}5$ : $y_1 = g(-2{,}5) = 0{,}2(-2{,}5) + 0{,}3 = -0{,}5 + 0{,}3 = -0{,}2$

Für $x_2 = 1$ : $y_2 = g(1) = 0{,}2(1) + 0{,}3 = 0{,}2 + 0{,}3 = 0{,}5$

Ergebnis:

Die Schnittpunkte sind $S_1(-2{,}5|-0{,}2)$ und $S_2(1|0{,}5)$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Finde die Schnittpunkte von $h(x) = \frac{4}{x}$ und $g(x) = -x + 5$ .

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Funktionsterme gleichsetzen
$\frac{4}{x} = -x + 5$
Schritt 2
Mit dem Nenner multiplizieren
$\frac{4}{x} = -x + 5 \quad | \cdot x$

$4 = (-x + 5) \cdot x$

$4 = -x^2 + 5x$
Schritt 3
Gleichung nach Null umformen
$4 = -x^2 + 5x \quad | +x^2$

$x^2 + 4 = 5x \quad | -5x$

$x^2 - 5x + 4 = 0$
Schritt 4
x-Koordinaten mit der Mitternachtsformel berechnen
Wir identifizieren $a=1$ , $b=-5$ und $c=4$ .

$x_{1,2} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

$x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

$x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2}$

$x_{1,2} = \frac{5 \pm 3}{2}$

Die Lösungen sind: $x_1 = \frac{5 - 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$x_2 = \frac{5 + 3}{2} = \frac{8}{2} = 4$
Schritt 5 · Ergebnis
y-Koordinaten berechnen
Wir setzen in $g(x) = -x + 5$ ein.

Für $x_1 = 1$ : $y_1 = g(1) = -1 + 5 = 4$

Für $x_2 = 4$ : $y_2 = g(4) = -4 + 5 = 1$

Ergebnis:

Die Schnittpunkte sind $S_1(1|4)$ und $S_2(4|1)$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Untersuche, ob sich $h(x) = \frac{-1}{x}$ und $g(x) = x + 2$ schneiden.

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Funktionsterme gleichsetzen
$\frac{-1}{x} = x + 2$
Schritt 2
Mit dem Nenner multiplizieren
$\frac{-1}{x} = x + 2 \quad | \cdot x$

$-1 = (x + 2) \cdot x$

$-1 = x^2 + 2x$
Schritt 3
Gleichung nach Null umformen
$-1 = x^2 + 2x \quad | +1$

$0 = x^2 + 2x + 1$
Schritt 4
x-Koordinaten mit der Mitternachtsformel berechnen
Wir identifizieren $a=1$ , $b=2$ und $c=1$ .

$x_{1,2} = \frac{-(2) \pm \sqrt{(2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

$x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

$x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{0}}{2}$

$x = \frac{-2}{2} = -1$

Es gibt nur eine Lösung, also einen Berührpunkt.
Schritt 5 · Ergebnis
y-Koordinate berechnen
Wir setzen $x = -1$ in $g(x) = x + 2$ ein.

$y = g(-1) = -1 + 2 = 1$

Ergebnis:

Der Berührpunkt ist $S(-1|1)$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Haben $h(x) = \frac{2}{x}$ und $g(x) = -x - 1$ gemeinsame Punkte?

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Funktionsterme gleichsetzen
$\frac{2}{x} = -x - 1$
Schritt 2
Mit dem Nenner multiplizieren
$\frac{2}{x} = -x - 1 \quad | \cdot x$

$2 = (-x - 1) \cdot x$

$2 = -x^2 - x$
Schritt 3
Gleichung nach Null umformen
$2 = -x^2 - x \quad | +x^2$

$x^2 + 2 = -x \quad | +x$

$x^2 + x + 2 = 0$
Schritt 4 · Ergebnis
x-Koordinaten mit der Mitternachtsformel berechnen
Wir identifizieren $a=1$ , $b=1$ und $c=2$ .

$x_{1,2} = \frac{-(1) \pm \sqrt{(1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

$x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2}$

$x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{-7}}{2}$

Die Zahl unter der Wurzel ist negativ. Es gibt keine reelle Lösung.

Ergebnis:

Die Hyperbel und die Gerade haben keine gemeinsamen Punkte.

Beispiel 5

Aufgabe

Berechne die Schnittpunkte von $h(x) = \frac{x-1}{x}$ und der Geraden $g(x) = 2$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Funktionsterme gleichsetzen
$\frac{x-1}{x} = 2$
Schritt 2
Mit dem Nenner multiplizieren
$\frac{x-1}{x} = 2 \quad | \cdot x$

$x-1 = 2x$
Schritt 3
Gleichung umformen
Diesmal entsteht keine quadratische, sondern eine lineare Gleichung. Wir lösen sie nach x auf.

$x-1 = 2x \quad | -x$

$-1 = x$

Die einzige Lösung ist $x = -1$ .

Schritt 4 entfällt (da keine quadratische Gleichung)
Schritt 5 · Ergebnis
y-Koordinate berechnen
Die Geradengleichung ist $g(x) = 2$ , also ist die y-Koordinate immer 2.

$y = 2$

Ergebnis:

Der Schnittpunkt ist $S(-1|2)$ .

Wichtige Erkenntnisse

Der Masterplan: Der Weg ist fast immer gleich: Gleichsetzen $\to$ Umformen $\to$ Lösen $\to$ Einsetzen.
Gleichsetzen: Der erste Schritt ist immer, die beiden Funktionsterme gleichzusetzen: $f(x) = g(x)$ .
Zielform: Forme die Gleichung immer zur Normalform $ax^2 + bx + c = 0$ um. Das ist die Voraussetzung für die Mitternachtsformel.
Werkzeuge zum Lösen: Mitternachtsformel für den Standardfall; Satz vom Nullprodukt als schnelle Abkürzung, wenn $c=0$ ; Wurzelziehen, wenn $b=0$ .
Hyperbeln: Bei Funktionen mit $x$ im Nenner musst du zuerst mit dem Nenner multiplizieren, um den Bruch loszuwerden.
Punkte haben zwei Koordinaten: Vergiss nicht, nach der Berechnung der x-Werte auch die zugehörigen y-Werte zu berechnen, um die vollständigen Schnittpunkte anzugeben.

Schnittpunkte quadratischer Funktionen berechnen

Schnellantwort

Vorwissen

Aufgabentyp 1: Schnittpunkte von Parabel und Gerade

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 2: Schnittpunkte von zwei Parabeln

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 3: Schnittpunkte von Hyperbel und Gerade

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Wichtige Erkenntnisse

Häufige Fragen

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