Was ist eine Potenzfunktion mit natürlichen Exponenten?

Eine Potenzfunktion mit natürlichem Exponenten hat die Form f(x) = a · x n , wobei n eine natürliche Zahl (1, 2, 3, …) ist. Der Faktor a streckt oder staucht den Graphen, der Exponent n bestimmt die Grundform. Potenzfunktionen beschreiben viele Zusammenhänge in Technik und Naturwissenschaft – von Wurfbahnen bis hin zu Kurvenformen im Design.

Wie bestimmst du die Symmetrie einer Potenzfunktion?

Um die Symmetrie einer Potenzfunktion f(x) = a · x n zu bestimmen, schaust du dir nur den Exponenten n an. Ist n gerade (z. B. 2, 4, 6), ist der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse . Ist n ungerade (z. B. 1, 3, 5), ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung . Der Faktor a hat keinen Einfluss auf die Symmetrie.

Wie führst du eine Punktprobe bei einer Potenzfunktion durch?

Bei der Punktprobe setzt du den x-Wert des gegebenen Punktes in die Funktion ein und berechnest den zugehörigen y-Wert. Stimmt dein Ergebnis mit dem y-Wert des Punktes überein, liegt der Punkt auf dem Graphen. Stimmt es nicht überein, liegt er nicht darauf. Beispiel: Für P(2|32) und f(x) = 2x 4 ergibt f(2) = 2 · 16 = 32 – der Punkt liegt auf dem Graphen.

Wie berechnest du den Streckungsfaktor a einer Potenzfunktion?

Wenn der Streckungsfaktor a unbekannt ist, aber ein Punkt P(x P |y P ) auf dem Graphen liegt, setzt du beide Koordinaten in die Funktionsgleichung ein. Es entsteht eine Gleichung mit a als einziger Unbekannter, die du durch einfaches Umformen löst. Beispiel: f(x) = a · x 3 mit P(2|16) ergibt 16 = a · 8 , also a = 2 .

Was ist der Unterschied zwischen achsensymmetrischen und punktsymmetrischen Potenzfunktionen?

Bei achsensymmetrischen Potenzfunktionen (gerader Exponent) ist die linke Seite des Graphen ein Spiegelbild der rechten – die y-Achse ist die Symmetrieachse. Die Graphen sehen parabelähnlich aus (U-Form). Bei punktsymmetrischen Potenzfunktionen (ungerader Exponent) bleibt der Graph nach einer Drehung um 180° um den Ursprung unverändert. Die Graphen haben eine schlangenförmige S-Form.

Potenzfunktion natürliche Exponenten

Hast du dich jemals gefragt, wie Ingenieure die perfekte Kurve für eine Achterbahnschleife entwerfen oder wie Spieledesigner die Flugbahn eines geworfenen Objekts berechnen? Die Antwort liegt oft in Potenzfunktionen! Diese Funktionen sind wie geheime Codes, die unzählige Formen in unserer Welt beschreiben. Wenn du den Aufbau einer Potenzfunktion mit natürlichen Exponenten verstehst – besonders die Rolle des Exponenten – kannst du die Form eines Graphen vorhersagen, ohne auch nur einen einzigen Punkt zu zeichnen. Das ist wie ein Mathe-Cheat-Code: Du siehst die Formel und weißt sofort, wie das Ergebnis aussieht. Lass uns diesen Code knacken!

Schnellantwort

Eine Potenzfunktion mit natürlichem Exponenten hat die Form $f(x) = a \cdot x^n$ , wobei $n$ eine natürliche Zahl ist. Der Exponent $n$ bestimmt die Grundform und Symmetrie des Graphen: Ist $n$ gerade, ist der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse (U-Form); ist $n$ ungerade, ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung (S-Form). Der Faktor $a$ streckt oder staucht den Graphen, ändert aber seine Grundform nicht.

Vorwissen

Bevor wir starten, wiederholen wir kurz ein paar Grundlagen:

Koordinatensystem: Ein System mit einer x-Achse (horizontal) und einer y-Achse (vertikal), um Punkte zu verorten.
- Beispiel: Der Punkt $P(3|2)$ liegt 3 Einheiten rechts und 2 Einheiten oben vom Ursprung.
Natürliche Zahlen (ℕ): Das sind die positiven ganzen Zahlen, die wir zum Zählen verwenden.
- Beispiel: $1, 2, 3, 4, ...$ (ohne die Null).
Potenz: Eine Kurzschreibweise für wiederholtes Multiplizieren.
- Formel: $x^n = x \cdot x \cdot ... \cdot x$ (n-mal)
- Beispiel: $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ .
Gleichungen umstellen: Eine Gleichung nach einer Unbekannten auflösen, indem man auf beiden Seiten die gleiche Rechenoperation durchführt.
- Beispiel: Um $3x = 12$ nach $x$ aufzulösen, teilt man beide Seiten durch 3: $x = 4$ .

Aufgabentyp 1: Symmetrie einer Potenzfunktion bestimmen

Potenzfunktionen der Form $f(x) = a \cdot x^n$ haben ein sehr vorhersagbares Symmetrieverhalten. Du musst dir nur den Exponenten $n$ ansehen.

Es gibt zwei einfache Regeln:

Wenn der Exponent $n$ gerade ist (z.B. 2, 4, 6), ist der Graph der Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse. Das bedeutet, die linke Seite des Graphen ist ein Spiegelbild der rechten Seite.

Achsensymmetrischer Graph einer Potenzfunktion mit geradem Exponenten

Wenn der Exponent $n$ ungerade ist (z.B. 1, 3, 5), ist der Graph der Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung (0|0). Das bedeutet, wenn du den Graphen um 180° um den Ursprung drehst, liegt er wieder genau auf sich selbst.

Punktsymmetrischer Graph einer Potenzfunktion mit ungeradem Exponenten

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Exponenten identifizieren: Schau dir die Funktionsgleichung $f(x) = a \cdot x^n$ an und finde den Exponenten $n$ .
Exponenten prüfen: Überprüfe, ob die Zahl $n$ gerade oder ungerade ist.
Symmetrie-Regel anwenden: Ist $n$ gerade, lautet die Antwort: „Achsensymmetrisch zur y-Achse". Ist $n$ ungerade, lautet die Antwort: „Punktsymmetrisch zum Ursprung".

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Beschreibe die Symmetrie des Graphen von $f(x) = 2x^4$ .

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Exponenten identifizieren
Die Funktion lautet $f(x) = 2x^4$ . Der Exponent ist $n = 4$ .
Schritt 2
Exponenten prüfen
Die Zahl $4$ ist gerade.
Schritt 3 · Ergebnis
Symmetrie-Regel anwenden
Weil der Exponent gerade ist, ist der Graph von $f(x)$ achsensymmetrisch zur y-Achse.

Ergebnis:

Der Graph von $f(x) = 2x^4$ ist achsensymmetrisch zur y-Achse.

Beispiel 2

Aufgabe

Welche Symmetrie weist der Graph der Funktion $g(x) = -5x^7$ auf?

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Exponenten identifizieren
Die Funktion lautet $g(x) = -5x^7$ . Der Exponent ist $n = 7$ .
Schritt 2
Exponenten prüfen
Die Zahl $7$ ist ungerade.
Schritt 3 · Ergebnis
Symmetrie-Regel anwenden
Weil der Exponent ungerade ist, ist der Graph von $g(x)$ punktsymmetrisch zum Ursprung.

Ergebnis:

Der Graph von $g(x) = -5x^7$ ist punktsymmetrisch zum Ursprung.

Beispiel 3

Aufgabe

Bestimme die Symmetrie von $h(x) = x^{100}$ .

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Exponenten identifizieren
Die Funktion lautet $h(x) = x^{100}$ . Der Exponent ist $n = 100$ .
Schritt 2
Exponenten prüfen
Die Zahl $100$ ist gerade.
Schritt 3 · Ergebnis
Symmetrie-Regel anwenden
Da der Exponent gerade ist, ist der Graph von $h(x)$ achsensymmetrisch zur y-Achse.

Ergebnis:

Der Graph von $h(x) = x^{100}$ ist achsensymmetrisch zur y-Achse.

Beispiel 4

Aufgabe

Beschreibe die Symmetrie von $k(t) = 0.5t^3$ .

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Exponenten identifizieren
Die Funktion lautet $k(t) = 0.5t^3$ . Der Exponent ist $n = 3$ . (Die Variable heißt hier $t$ statt $x$ , aber das Prinzip ist dasselbe.)
Schritt 2
Exponenten prüfen
Die Zahl $3$ ist ungerade.
Schritt 3 · Ergebnis
Symmetrie-Regel anwenden
Da der Exponent ungerade ist, ist der Graph von $k(t)$ punktsymmetrisch zum Ursprung.

Ergebnis:

Der Graph von $k(t) = 0.5t^3$ ist punktsymmetrisch zum Ursprung.

Beispiel 5

Aufgabe

Ist der Graph von $f(x) = -x^{12}$ achsen- oder punktsymmetrisch?

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Exponenten identifizieren
Die Funktion lautet $f(x) = -x^{12}$ . Der Exponent ist $n = 12$ .
Schritt 2
Exponenten prüfen
Die Zahl $12$ ist gerade.
Schritt 3 · Ergebnis
Symmetrie-Regel anwenden
Weil der Exponent gerade ist, ist der Graph von $f(x)$ achsensymmetrisch zur y-Achse.

Ergebnis:

Der Graph von $f(x) = -x^{12}$ ist achsensymmetrisch zur y-Achse.

Aufgabentyp 2: Den Verlauf einer Potenzfunktion erkennen

Die Symmetrie bestimmt die Grundform des Graphen. Das gilt auch für verschobene und gestreckte Potenzfunktionen der Form $f(x) = a \cdot (x-b)^n + c$ .

$n$ ist gerade: Der Graph hat eine parabelähnliche Form. Er ist U-förmig, entweder nach oben oder nach unten geöffnet.
$n$ ist ungerade: Der Graph hat eine schlangenförmige Form (S-Form). Er kommt von unten links und geht nach oben rechts, oder umgekehrt.

Die anderen Zahlen ( $a, b, c$ ) verschieben oder strecken den Graphen nur, aber die Grundform bleibt immer dieselbe! Um Graphen zuzuordnen, musst du also nur auf den Exponenten $n$ achten.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Exponenten der Funktion identifizieren: Finde den Exponenten $n$ in der gegebenen Funktionsgleichung.
Grundform des Graphen bestimmen: Ist $n$ gerade, suche nach einem Graphen, der wie eine Parabel aussieht (U-Form). Ist $n$ ungerade, suche nach einem Graphen, der schlangenförmig ist (S-Form).
Funktion und Graph zuordnen: Verbinde die Funktion mit dem passenden Graphen.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Ordne der Funktion $f(x) = (x-2)^4$ den richtigen Graphen (A oder B) zu.

Zwei Graphen zur Zuordnung einer Potenzfunktion mit Exponent 4

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Exponenten der Funktion identifizieren
Die Funktion ist $f(x) = (x-2)^4$ . Der Exponent ist $n=4$ .
Schritt 2
Grundform des Graphen bestimmen
Die Zahl $4$ ist gerade. Daher muss der Graph eine parabelähnliche Form haben.
Schritt 3 · Ergebnis
Funktion und Graph zuordnen
Graph A hat eine parabelähnliche Form. Graph B ist schlangenförmig. Also gehört $f(x)$ zu Graph A.

Ergebnis:

Die Funktion $f(x) = (x-2)^4$ gehört zu Graph A.

Beispiel 2

Aufgabe

Welcher Graph (A oder B) gehört zur Funktion $g(x) = -x^5 + 1$ ?

Zwei Graphen zur Zuordnung einer Potenzfunktion mit Exponent 5

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Exponenten der Funktion identifizieren
Die Funktion ist $g(x) = -x^5 + 1$ . Der Exponent ist $n=5$ .
Schritt 2
Grundform des Graphen bestimmen
Die Zahl $5$ ist ungerade. Daher muss der Graph eine schlangenförmige Form haben.
Schritt 3 · Ergebnis
Funktion und Graph zuordnen
Graph B hat eine schlangenförmige Form. Also gehört $g(x)$ zu Graph B.

Ergebnis:

Die Funktion $g(x) = -x^5 + 1$ gehört zu Graph B.

Beispiel 3

Aufgabe

Ordne zu: $h(x) = 0.5(x+3)^2$ und $k(x) = (x-1)^3$ . Einer der Graphen ist A, der andere B.

Zwei Graphen zur Zuordnung zweier Potenzfunktionen

Fortschritt

2 / 2

1
Schritt 1
Exponenten identifizieren und Grundformen bestimmen
Für $h(x) = 0.5(x+3)^2$ :
- Der Exponent ist $n=2$ (gerade).
- Die Form muss parabelähnlich sein.
- Das passt zu Graph B.
Für $k(x) = (x-1)^3$ :
- Der Exponent ist $n=3$ (ungerade).
- Die Form muss schlangenförmig sein.
- Das passt zu Graph A.
Schritt 2 · Ergebnis
Zuordnen
$h(x) \to$ Graph B, $k(x) \to$ Graph A.

Ergebnis:

$h(x) = 0.5(x+3)^2$ gehört zu Graph B, $k(x) = (x-1)^3$ gehört zu Graph A.

Beispiel 4

Aufgabe

Welche Funktion passt zu dem schlangenförmigen Graphen? $f(x) = x^6$ oder $g(x) = x^9$ ?

Schlangenförmiger Graph einer Potenzfunktion

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Graphen analysieren
Der gezeigte Graph ist schlangenförmig.
2
Schritt 2
Funktionen analysieren
- $f(x) = x^6$ : Der Exponent $n=6$ ist gerade. Der Graph wäre parabelähnlich.
- $g(x) = x^9$ : Der Exponent $n=9$ ist ungerade. Der Graph ist schlangenförmig.
Schritt 3 · Ergebnis
Zuordnen
Die Funktion $g(x) = x^9$ passt zum Graphen.

Ergebnis:

Der schlangenförmige Graph gehört zu $g(x) = x^9$ .

Beispiel 5

Aufgabe

Ordne die Funktion $f(x) = 4$ einem Graphentyp zu: parabelähnlich oder schlangenförmig.

Fortschritt

2 / 2

Schritt 1
Exponenten der Funktion identifizieren
Die Funktion $f(x) = 4$ kann man auch als $f(x) = 4 \cdot x^0$ schreiben. Der Exponent ist $n=0$ .
Schritt 2 · Ergebnis
Grundform des Graphen bestimmen
Die Zahl $0$ wird als gerade Zahl betrachtet. Daher muss der Graph eine parabelähnliche Form haben. Tatsächlich ist eine horizontale Linie ( $f(x)=4$ ) achsensymmetrisch zur y-Achse, was zur Regel für gerade Exponenten passt.

Ergebnis:

Der Graph ist eine horizontale Linie, die als Spezialfall der parabelähnlichen Form angesehen werden kann.

Aufgabentyp 3: Punktprobe durchführen

Die Punktprobe ist ein Test, um herauszufinden, ob ein gegebener Punkt auf dem Graphen einer Funktion liegt. Die Logik ist einfach: Wenn der Punkt auf dem Graphen liegt, müssen seine Koordinaten die Funktionsgleichung erfüllen.

Ein Punkt wird als $P(x|y)$ angegeben. Die Funktionsgleichung lautet $y = f(x)$ .

Um die Probe durchzuführen, setzt du den x-Wert des Punktes in die Funktion ein und rechnest den zugehörigen y-Wert aus. Dann vergleichst du dein Ergebnis mit dem y-Wert des Punktes.

Stimmen die y-Werte überein? $\to$ Der Punkt liegt auf dem Graphen.
Stimmen sie nicht überein? $\to$ Der Punkt liegt nicht auf dem Graphen.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Punkt und Funktion notieren: Schreibe den Punkt $P(x_P|y_P)$ und die Funktion $f(x)$ auf.
x-Wert einsetzen: Setze den x-Wert des Punktes ( $x_P$ ) in die Funktionsgleichung für jedes $x$ ein.
y-Wert berechnen: Rechne das Ergebnis der rechten Seite der Gleichung aus. Das ist der y-Wert der Funktion an dieser Stelle.
y-Werte vergleichen: Vergleiche dein berechnetes Ergebnis mit dem y-Wert des Punktes ( $y_P$ ).
Antwort formulieren: Wenn die Werte gleich sind, schreibe: „Der Punkt liegt auf dem Graphen." Wenn die Werte ungleich sind, schreibe: „Der Punkt liegt nicht auf dem Graphen."

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Prüfe, ob der Punkt $P(2|32)$ auf dem Graphen der Funktion $f(x) = 2x^4$ liegt.

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Punkt und Funktion notieren
Punkt: $P(2|32)$ Funktion: $f(x) = 2x^4$
Schritt 2
x-Wert einsetzen
Wir setzen $x=2$ in die Funktion ein: $f(2) = 2 \cdot (2)^4$
Schritt 3
y-Wert berechnen
$f(2) = 2 \cdot 16$

$f(2) = 32$
Schritt 4
y-Werte vergleichen
Der berechnete y-Wert ist 32. Der y-Wert des Punktes P ist $32$ . $32 = 32$ . Die Aussage ist wahr.
Schritt 5 · Ergebnis
Antwort formulieren
Der Punkt $P(2|32)$ liegt auf dem Graphen.

Ergebnis:

Der Punkt $P(2|32)$ liegt auf dem Graphen von $f(x) = 2x^4$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Liegt der Punkt $Q(-1|5)$ auf dem Graphen von $g(x) = x^3 + 4$ ?

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Punkt und Funktion notieren
Punkt: $Q(-1|5)$ Funktion: $g(x) = x^3 + 4$
Schritt 2
x-Wert einsetzen
Wir setzen $x=-1$ in die Funktion ein: $g(-1) = (-1)^3 + 4$
Schritt 3
y-Wert berechnen
$g(-1) = -1 + 4$

$g(-1) = 3$
Schritt 4
y-Werte vergleichen
Der berechnete y-Wert ist 3. Der y-Wert des Punktes Q ist $5$ . $3 \neq 5$ . Die Aussage ist falsch.
Schritt 5 · Ergebnis
Antwort formulieren
Der Punkt $Q(-1|5)$ liegt nicht auf dem Graphen.

Ergebnis:

Der Punkt $Q(-1|5)$ liegt nicht auf dem Graphen von $g(x) = x^3 + 4$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Prüfe, ob der Ursprung $O(0|0)$ auf dem Graphen von $h(x) = 5x^6$ liegt.

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Punkt und Funktion notieren
Punkt: $O(0|0)$ Funktion: $h(x) = 5x^6$
Schritt 2
x-Wert einsetzen
$h(0) = 5 \cdot (0)^6$
Schritt 3
y-Wert berechnen
$h(0) = 5 \cdot 0$

$h(0) = 0$
Schritt 4
y-Werte vergleichen
Der berechnete y-Wert ist 0. Der y-Wert des Punktes O ist $0$ . $0 = 0$ . Die Aussage ist wahr.
Schritt 5 · Ergebnis
Antwort formulieren
Der Punkt $O(0|0)$ liegt auf dem Graphen.

Ergebnis:

Der Ursprung $O(0|0)$ liegt auf dem Graphen von $h(x) = 5x^6$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Gehört der Punkt $A(1|1)$ zum Graphen von $f(x) = (x-2)^5$ ?

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Punkt und Funktion notieren
Punkt: $A(1|1)$ Funktion: $f(x) = (x-2)^5$
Schritt 2
x-Wert einsetzen
$f(1) = (1-2)^5$
Schritt 3
y-Wert berechnen
$f(1) = (-1)^5$

$f(1) = -1$
Schritt 4
y-Werte vergleichen
Der berechnete y-Wert ist -1. Der y-Wert des Punktes A ist $1$ . $-1 \neq 1$ . Die Aussage ist falsch.
Schritt 5 · Ergebnis
Antwort formulieren
Der Punkt $A(1|1)$ liegt nicht auf dem Graphen.

Ergebnis:

Der Punkt $A(1|1)$ liegt nicht auf dem Graphen von $f(x) = (x-2)^5$ .

Beispiel 5

Aufgabe

Prüfe für $k(x) = -x^2 + 10$ , ob der Punkt $B(-3|1)$ auf dem Graphen liegt.

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Punkt und Funktion notieren
Punkt: $B(-3|1)$ Funktion: $k(x) = -x^2 + 10$
Schritt 2
x-Wert einsetzen
$k(-3) = -(-3)^2 + 10$
Schritt 3
y-Wert berechnen
$k(-3) = -(9) + 10$

$k(-3) = 1$
Schritt 4
y-Werte vergleichen
Der berechnete y-Wert ist 1. Der y-Wert des Punktes B ist $1$ . $1 = 1$ . Die Aussage ist wahr.
Schritt 5 · Ergebnis
Antwort formulieren
Der Punkt $B(-3|1)$ liegt auf dem Graphen.

Ergebnis:

Der Punkt $B(-3|1)$ liegt auf dem Graphen von $k(x) = -x^2 + 10$ .

Aufgabentyp 4: Streckungsfaktor a berechnen

Manchmal ist eine Potenzfunktion nicht vollständig bekannt. Zum Beispiel könnte der Streckungsfaktor $a$ fehlen: $f(x) = a \cdot x^4 + 2$ .

Wenn du aber weißt, dass der Graph durch einen bestimmten Punkt $P(x|y)$ verläuft, kannst du diesen Punkt benutzen, um $a$ zu berechnen. Das funktioniert, weil die Koordinaten des Punktes die Gleichung erfüllen müssen.

Du setzt also die Koordinaten des Punktes in die Funktionsgleichung ein. Dadurch entsteht eine Gleichung, in der $a$ die einzige Unbekannte ist. Diese Gleichung löst du dann einfach nach $a$ auf.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Punkt und Funktion notieren: Schreibe den Punkt $P(x_P|y_P)$ und die Funktion $f(x)$ mit dem unbekannten $a$ auf.
Koordinaten einsetzen: Setze den y-Wert des Punktes für $f(x)$ und den x-Wert des Punktes für $x$ in die Gleichung ein.
Gleichung nach a auflösen: Vereinfache die Gleichung und stelle sie mit den bekannten algebraischen Regeln (z.B. subtrahieren, dividieren) so um, dass $a$ alleine auf einer Seite steht.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Der Graph der Funktion $f(x) = a \cdot x^3$ verläuft durch den Punkt $P(2|16)$ . Bestimme den Wert von $a$ .

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Punkt und Funktion notieren
Punkt: $P(2|16)$ Funktion: $f(x) = a \cdot x^3$
Schritt 2
Koordinaten einsetzen
Wir setzen $y=16$ und $x=2$ in die Funktion ein: $16 = a \cdot (2)^3$
Schritt 3 · Ergebnis
Gleichung nach a auflösen
$16 = a \cdot 8$

Jetzt teilen wir beide Seiten durch 8, um $a$ zu isolieren.

$16 = a \cdot 8 \quad | \div 8$

$\frac{16}{8} = a$

$a = 2$

Ergebnis:

Der Streckungsfaktor ist 2.

Beispiel 2

Aufgabe

Die Funktion $g(x) = a \cdot x^2 + 5$ geht durch den Punkt $Q(3|-4)$ . Berechne $a$ .

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Punkt und Funktion notieren
Punkt: $Q(3|-4)$ Funktion: $g(x) = a \cdot x^2 + 5$
Schritt 2
Koordinaten einsetzen
$-4 = a \cdot (3)^2 + 5$
Schritt 3 · Ergebnis
Gleichung nach a auflösen
$-4 = a \cdot 9 + 5$

Zuerst subtrahieren wir 5 auf beiden Seiten.

$-4 = 9a + 5 \quad | -5$

$-9 = 9a$

Jetzt teilen wir durch 9.

$-9 = 9a \quad | \div 9$

$\frac{-9}{9} = a$

$a = -1$

Ergebnis:

Der Streckungsfaktor ist -1.

Beispiel 3

Aufgabe

Bestimme $a$ für die Funktion $h(x) = a \cdot x^5$ , deren Graph durch $A(-1|-2)$ verläuft.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Punkt und Funktion notieren
Punkt: $A(-1|-2)$ Funktion: $h(x) = a \cdot x^5$
Schritt 2
Koordinaten einsetzen
$-2 = a \cdot (-1)^5$
Schritt 3 · Ergebnis
Gleichung nach a auflösen
$-2 = a \cdot (-1)$

$-2 = -a$

Wir multiplizieren beide Seiten mit -1.

$-2 = -a \quad | \cdot (-1)$

$2 = a$

Ergebnis:

Der Streckungsfaktor ist 2.

Beispiel 4

Aufgabe

Der Graph von $f(x) = a \cdot x^4 - 10$ enthält den Punkt $P(2|6)$ . Finde $a$ .

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Punkt und Funktion notieren
Punkt: $P(2|6)$ Funktion: $f(x) = a \cdot x^4 - 10$
Schritt 2
Koordinaten einsetzen
$6 = a \cdot (2)^4 - 10$
Schritt 3 · Ergebnis
Gleichung nach a auflösen
$6 = a \cdot 16 - 10$

$6 = 16a - 10 \quad | +10$

$16 = 16a$

$16 = 16a \quad | \div 16$

$1 = a$

Ergebnis:

Der Streckungsfaktor ist 1.

Beispiel 5

Aufgabe

Berechne $a$ für $k(x) = a \cdot x^6$ , wenn der Punkt $R(2|32)$ auf dem Graphen liegt.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Punkt und Funktion notieren
Punkt: $R(2|32)$ Funktion: $k(x) = a \cdot x^6$
Schritt 2
Koordinaten einsetzen
$32 = a \cdot (2)^6$
Schritt 3 · Ergebnis
Gleichung nach a auflösen
$32 = a \cdot 64$

$32 = 64a \quad | \div 64$

$\frac{32}{64} = a$

Wir kürzen den Bruch mit 32.

$a = \frac{1}{2}$

Ergebnis:

Der Streckungsfaktor ist $\frac{1}{2}$ oder 0.5.

Wichtige Erkenntnisse

Der Exponent $n$ bestimmt die Grundform und Symmetrie des Graphen.
$n$ ist gerade: Der Graph ist achsensymmetrisch (parabelähnlich, U-Form).
$n$ ist ungerade: Der Graph ist punktsymmetrisch (schlangenförmig, S-Form).
Punktprobe: Setze den x-Wert des Punktes in die Funktion ein und vergleiche das Ergebnis mit dem y-Wert des Punktes.
Unbekannten Faktor $a$ berechnen: Setze die x- und y-Koordinaten des gegebenen Punktes in die Funktion ein und löse die Gleichung nach $a$ auf.

Potenzfunktion mit natürlichen Exponenten einfach erklärt

Schnellantwort

Vorwissen

Aufgabentyp 1: Symmetrie einer Potenzfunktion bestimmen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 2: Den Verlauf einer Potenzfunktion erkennen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 3: Punktprobe durchführen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 4: Streckungsfaktor a berechnen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Wichtige Erkenntnisse

Häufige Fragen

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