Periodische Vorgänge modellieren: Sinusfunktion

Periodische Vorgänge modellieren – das klingt abstrakt, steckt aber hinter Alltagsphänomenen wie Ebbe und Flut, dem Sonnenhöchststand oder einem schwingenden Pendel. Wenn sich etwas rhythmisch wiederholt, lässt es sich mit der allgemeinen Sinusfunktion beschreiben und sogar vorhersagen. In diesem Artikel lernst du Schritt für Schritt, wie du aus einem Graphen, einer Wertetabelle oder einem Sachtext einen passenden Funktionsterm der Form $f(x) = a \cdot \sin(b \cdot (x - c)) + d$ aufstellst – und wie du damit konkrete Fragen beantwortest.

Schnellantwort

Beim Modellieren periodischer Vorgänge beschreibst du eine sich wiederholende Größe (z. B. Wasserstand, Sonnenhöhe, Pendelauslenkung) durch die allgemeine Sinusfunktion $f(x) = a \cdot \sin(b \cdot (x - c)) + d$. Die vier Parameter stehen für Amplitude ($a$), Frequenz ($b$), horizontale Verschiebung ($c$) und Ruhelage ($d$). Du berechnest sie immer aus den Koordinaten des höchsten und tiefsten Punktes der Schwingung.

Vorwissen

Bevor wir starten, wiederholen wir kurz ein paar Grundlagen:

• Koordinatensystem: Ein Punkt wird immer mit einem x-Wert (rechts/links) und einem y-Wert (hoch/runter) angegeben.

  • Beispiel: Der Punkt $P(3|5)$ liegt 3 Einheiten rechts und 5 Einheiten oben vom Ursprung.

• Mittelwert zweier Zahlen: Du addierst die beiden Zahlen und teilst das Ergebnis durch 2.

  • Beispiel: Der Mittelwert von 10 und 20 ist $\frac{10+20}{2} = 15$.

• Abstand zweier Zahlen: Du subtrahierst die kleinere von der größeren Zahl.

  • Beispiel: Der Abstand zwischen 63 und 15 ist $63 - 15 = 48$.

Aufgabentyp 1: Die allgemeine Sinusfunktion und ihre Parameter

Periodische Vorgänge, also Dinge, die sich regelmäßig wiederholen, können wir mit der allgemeinen Sinusfunktion beschreiben:

$f(x) = a \cdot \sin(b \cdot (x - c)) + d$

Jeder Buchstabe (Parameter) verändert das Aussehen der Welle auf eine bestimmte Weise. Um eine Funktion aufzustellen, müssen wir die Werte für diese vier Parameter finden. Der Schlüssel dazu sind immer der höchste Punkt (Hochpunkt H) und der tiefste Punkt (Tiefpunkt T) der Schwingung.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Hoch- und Tiefpunkte finden: Bestimme die Koordinaten von mindestens einem Hochpunkt $H(x_H | y_H)$ und einem Tiefpunkt $T(x_T | y_T)$ – durch Ablesen, Skizzieren oder Übersetzen aus dem Text.
2. Parameter d und a berechnen: Berechne Ruhelage $d = \frac{y_H + y_T}{2}$ und Amplitude $a = \frac{y_H - y_T}{2}$.
3. Parameter p und b berechnen: Bestimme die Periodenlänge $p$ als x-Abstand zweier aufeinanderfolgender Hochpunkte (oder Tiefpunkte), dann $b = \frac{2\pi}{p}$.
4. Parameter c berechnen: Berechne $c = \frac{x_T + x_H}{2}$ als x-Wert genau in der Mitte zwischen einem Tiefpunkt und dem darauffolgenden Hochpunkt.
5. Funktionsterm aufstellen: Setze $a$, $b$, $c$ und $d$ in $f(x) = a \cdot \sin(b \cdot (x - c)) + d$ ein.
6. Anwendungsfrage beantworten: Setze den gegebenen x-Wert in deine fertige Funktion ein und berechne das Ergebnis.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Der Graph zeigt den höchsten Sonnenstand (als Winkel in Grad) am ersten Tag des jeweiligen Monats in Köln. Januar ist Monat 1. Stelle einen passenden Funktionsterm der Form $f(x) = a \cdot \sin(b\cdot(x-c))+d$ auf und berechne den Sonnenhöchststand Mitte August (Monat 8,5).

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

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   Schritt 1
   Hoch- und Tiefpunkte finden

   Wir lesen die Koordinaten der Extrempunkte aus dem Graphen ab:

   • Hochpunkt: $H(6{,}6 | 63)$
   • Tiefpunkt: $T(0{,}6 | 15)$
   • Nächster Tiefpunkt: $T_2(12{,}8 | 15)$
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   Schritt 2
   Parameter d und a berechnen

   • Ruhelage d: Wir berechnen den Mittelwert der y-Werte von H und T. $d = \frac{63 + 15}{2} = \frac{78}{2} = 39$

   • Amplitude a: Wir berechnen den halben Abstand der y-Werte von H und T. $a = \frac{63 - 15}{2} = \frac{48}{2} = 24$

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   Schritt 3
   Parameter p und b berechnen

   • Periodenlänge p: Wir berechnen den Abstand der x-Werte der beiden Tiefpunkte $T_2$ und $T$. $p = 12{,}8 - 0{,}6 = 12{,}2$

   • Frequenz b: Wir setzen $p=12{,}2$ in die Formel ein. $b = \frac{2\pi}{12{,}2} \approx 0{,}515$

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   Schritt 4
   Parameter c berechnen
   • Verschiebung c: Wir berechnen den Mittelwert der x-Werte von T und H. $c = \frac{0{,}6 + 6{,}6}{2} = \frac{7{,}2}{2} = 3{,}6$
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   Schritt 5
   Funktionsterm aufstellen

   Wir setzen die Werte $a=24$, $b \approx 0{,}515$, $c=3{,}6$ und $d=39$ ein: $f(x) = 24 \cdot \sin(0{,}515 \cdot (x - 3{,}6)) + 39$

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   Schritt 6 · Ergebnis
   Anwendungsfrage beantworten

   Wir berechnen den Sonnenhöchststand für Mitte August, also für $x=8{,}5$.

   $f(8{,}5) = 24 \cdot \sin(0{,}515 \cdot (8{,}5 - 3{,}6)) + 39$

   $f(8{,}5) = 24 \cdot \sin(0{,}515 \cdot 4{,}9) + 39$

   $f(8{,}5) = 24 \cdot \sin(2{,}5235) + 39$

   $f(8{,}5) \approx 24 \cdot 0{,}58 + 39 \approx 13{,}92 + 39 = 52{,}92$

Ergebnis:

Der Sonnenhöchststand Mitte August beträgt ungefähr 53 Grad.

Aufgabentyp 2: Modellieren aus einer Wertetabelle

Manchmal bekommst du die Daten nicht als fertigen Graphen, sondern als eine Tabelle mit Werten. Das Vorgehen ist fast dasselbe. Der einzige zusätzliche Schritt am Anfang ist, die Werte aus der Tabelle als Punkte in ein Koordinatensystem zu zeichnen. Sobald du die Punkte siehst, kannst du eine Welle durch sie skizzieren und die Hoch- und Tiefpunkte wie gewohnt finden.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Punkte aus der Wertetabelle zeichnen: Übertrage jedes Wertepaar (z. B. Uhrzeit und Wasserstand) als einen Punkt in ein Koordinatensystem. Verbinde die Punkte grob zu einer Welle, um den Verlauf zu sehen.
2. Hoch- und Tiefpunkte finden: Lies die Koordinaten der höchsten und tiefsten Punkte aus deiner Zeichnung ab. Manchmal kannst du sie auch direkt aus der Tabelle als größten und kleinsten Wert entnehmen.
3. Parameter berechnen und Funktion aufstellen: Folge nun exakt den Schritten 2 bis 6 aus dem vorherigen Schema, um die Parameter a, b, c, d zu berechnen, die Funktion aufzustellen und die Anwendungsfrage zu beantworten.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Die gegebene Wertetabelle zeigt den Wasserstand im Hamburger Hafen über einen Tag.

$\begin{array}{l|c|c|c|c|c|c|c} \text{Uhrzeit (h)} & 0 & 3 & 6 & 9 & 13 & 16 & 19 \\ \hline \text{Wasserstand (cm)} & 610 & 451 & 400 & 505 & 760 & 685 & 400 \end{array}$

Stelle für die Funktion $f: \text{Uhrzeit (in h)} \mapsto \text{Wasserstand (in m)}$ einen Funktionsterm auf. Bestimme dann den Tidenhub (Unterschied zwischen Hoch- und Niedrigwasser).

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

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   Schritt 1
   Punkte aus der Wertetabelle zeichnen

   Wir wandeln die Wasserstände von cm in m um (z. B. $400 \text{ cm} = 4 \text{ m}$) und zeichnen die Punkte. Die Zeichnung ist oben in der Aufgabenstellung dargestellt.

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   Schritt 2
   Hoch- und Tiefpunkte finden

   Aus der Zeichnung (und der Tabelle) lesen wir die Extrempunkte ab:

   • Hochpunkt: $H(13 | 7{,}6)$
   • Tiefpunkt: $T_1(6 | 4)$
   • Nächster Tiefpunkt: $T_2(19 | 4)$
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   Schritt 3
   Parameter d und a berechnen

   • Ruhelage d: $d = \frac{7{,}6 + 4}{2} = \frac{11{,}6}{2} = 5{,}8$

   • Amplitude a: $a = \frac{7{,}6 - 4}{2} = \frac{3{,}6}{2} = 1{,}8$

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   Schritt 4
   Parameter p und b berechnen

   • Periodenlänge p: $p = 19 - 6 = 13$

   • Frequenz b: $b = \frac{2\pi}{13} \approx 0{,}483$

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   Schritt 5
   Parameter c berechnen
   • Verschiebung c: Wir nehmen den Tiefpunkt $T_1$ und den Hochpunkt $H$. $c = \frac{6 + 13}{2} = \frac{19}{2} = 9{,}5$
6. 6
   Schritt 6
   Funktionsterm aufstellen

   Wir setzen die Werte $a=1{,}8$, $b \approx 0{,}483$, $c=9{,}5$ und $d=5{,}8$ ein: $f(x) = 1{,}8 \cdot \sin(0{,}483 \cdot (x - 9{,}5)) + 5{,}8$

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   Schritt 7 · Ergebnis
   Anwendungsfrage beantworten

   Der Tidenhub ist der Unterschied zwischen dem höchsten und dem niedrigsten Wasserstand. Das ist genau der Abstand zwischen dem y-Wert des Hoch- und Tiefpunkts.

   Tidenhub = $y_H - y_T = 7{,}6 \text{ m} - 4 \text{ m} = 3{,}6 \text{ m}$

   Alternativ ist der Tidenhub immer das Doppelte der Amplitude: $2 \cdot a = 2 \cdot 1{,}8 = 3{,}6 \text{ m}$.

Ergebnis:

Der Wasserstand wird durch die Funktion $f(x) = 1{,}8 \cdot \sin(0{,}483 \cdot (x-9{,}5)) + 5{,}8$ beschrieben. Der Tidenhub beträgt 3,6 m.

Aufgabentyp 3: Modellieren aus einem Sachkontext

Die schwierigste Variante beim Modellieren periodischer Vorgänge ist, wenn du nur einen Text hast. Hier musst du zum Detektiv werden und die entscheidenden Informationen aus den Sätzen herausfiltern. Deine Aufgabe ist es, den Text in die Koordinaten von Hoch- und Tiefpunkten zu übersetzen. Oft musst du dabei logische Annahmen treffen.

Wichtige Signalwörter:

• „maximal", „höchster Punkt", „größte Auslenkung" → y-Wert des Hochpunkts ($y_H$)
• „minimal", „tiefster Punkt" → y-Wert des Tiefpunkts ($y_T$)
• „eine volle Schwingung dauert", „wiederholt sich alle" → Periodenlänge ($p$)
• „startet bei", „zum Zeitpunkt Null" → Informationen über einen Punkt bei $x=0$

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Informationen in Hoch- und Tiefpunkte übersetzen: Lies den Text sorgfältig und extrahiere alle Zahlen. Ordne sie den Eigenschaften der Welle zu: Was ist der höchste Wert ($y_H$) und zu welchem Zeitpunkt ($x_H$) wird er erreicht? Was ist der tiefste Wert ($y_T$) zum Zeitpunkt ($x_T$)? Wie lange dauert eine Periode ($p$)? Annahme treffen: Oft ist die Ruhelage (Mittellinie) nicht direkt gegeben. Eine typische Annahme bei Schwingungen (z. B. einem Pendel) ist, dass die Ruhelage bei $d=0$ liegt, wenn nichts anderes gesagt wird.
2. Parameter berechnen und Funktion aufstellen: Sobald du die Koordinaten für mindestens einen Hoch- und einen Tiefpunkt hast, folgst du wieder exakt den bekannten Schritten 2 bis 6, um die Funktion aufzustellen und die Frage zu beantworten.

Durchgerechnete Beispiele

Wichtige Erkenntnisse

• Die allgemeine Sinusfunktion lautet: $f(x) = a \cdot \sin(b \cdot (x - c)) + d$.
• Dein erster Schritt ist immer, die Koordinaten von Hoch- ($H$) und Tiefpunkten ($T$) zu finden.
• Die Parameter berechnest du mit diesen Formeln:
  • $d = \frac{y_H + y_T}{2}$ (Mittlere Höhe / Ruhelage)
  • $a = \frac{y_H - y_T}{2}$ (Halbe Schwingungshöhe / Amplitude)
  • $p$ ist der x-Abstand zwischen zwei Hochpunkten, daraus folgt $b = \frac{2\pi}{p}$.
  • $c = \frac{x_T + x_H}{2}$ (x-Wert des aufsteigenden Nulldurchgangs)