Was ist die mittlere Änderungsrate (Differenzenquotient)?

Die mittlere Änderungsrate (auch Differenzenquotient genannt) gibt an, wie stark sich eine Größe im Durchschnitt über ein bestimmtes Intervall ändert. Die Formel lautet: m = (f(x₂) − f(x₁)) / (x₂ − x₁) . Sie funktioniert wie eine Durchschnittsgeschwindigkeit: Statt jeden einzelnen Moment zu betrachten, zeigt sie die gesamte Veränderung auf einen Blick – ob bei Temperaturen, Aktienkursen oder Laufgeschwindigkeiten.

Wie berechnest du die mittlere Änderungsrate Schritt für Schritt?

Gehe in vier Schritten vor: Lies das Intervall ab und identifiziere x₁ und x₂ . Bestimme f(x₁) und f(x₂) – entweder durch Ablesen aus dem Graphen oder durch Einsetzen in die Funktionsgleichung. Setze alle vier Werte in die Formel m = (f(x₂) − f(x₁)) / (x₂ − x₁) ein. Berechne den Bruch und formuliere einen Antwortsatz mit der passenden Einheit.

Was bedeutet die mittlere Änderungsrate grafisch?

Grafisch entspricht die mittlere Änderungsrate der Steigung der Sekante . Eine Sekante ist eine Gerade, die den Graphen in zwei Punkten schneidet – hier in den Punkten (x₁, f(x₁)) und (x₂, f(x₂)) . Die Steigung dieser Verbindungsgeraden ist genau der Differenzenquotient. Je steiler die Sekante, desto größer die mittlere Änderungsrate im betrachteten Intervall.

Was bedeutet ein negatives Ergebnis beim Differenzenquotienten?

Ein negatives Ergebnis beim Differenzenquotienten bedeutet, dass die betrachtete Größe im Durchschnitt abgenommen hat. Der Endwert f(x₂) ist kleiner als der Startwert f(x₁) . Ein Beispiel: Wenn eine Aktie von 150 € auf 120 € fällt, ergibt sich eine negative mittlere Änderungsrate – das Minuszeichen zeigt den Verlust an.

Wie findest du fehlende Werte mit dem Differenzenquotienten?

Die Formel des Differenzenquotienten ist eine normale Gleichung mit vier Größen: m , x₁ , x₂ , f(x₁) und f(x₂) . Kennst du alle bis auf eine, setzt du die bekannten Werte ein und löst die entstandene Gleichung nach der Unbekannten auf – zum Beispiel durch Multiplizieren mit dem Nenner und anschließendes Umformen.

Mittlere Änderungsrate einfach erklärt

Die mittlere Änderungsrate – auch Differenzenquotient genannt – ist ein unverzichtbares Werkzeug im Mathe-Unterricht. Stell dir vor, du schaust dir die Follower-Zahlen deines Lieblings-Influencers an. An einem Tag gewinnt er 1000 Follower, am nächsten nur 100. Wie kannst du schnell sagen, ob der Kanal insgesamt wächst oder stagniert, ohne jeden einzelnen Tag zu analysieren? Genau hier kommt die mittlere Änderungsrate ins Spiel. Sie ist wie ein „Cheat Code", um den durchschnittlichen Trend über einen Zeitraum zu erfassen. Statt dich im Detail zu verlieren, gibt sie dir eine einzige Zahl, die alles sagt: die durchschnittliche Steigung. Ob es um Aktienkurse, das Schmelzen von Gletschern oder deine Laufgeschwindigkeit geht – dieses Werkzeug hilft dir, das große Ganze zu sehen.

Schnellantwort

Die mittlere Änderungsrate (Differenzenquotient) gibt die durchschnittliche Veränderung einer Größe über ein Intervall $[x_1; x_2]$ an. Die Formel lautet: $m = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$ . Grafisch entspricht sie der Steigung der Sekante durch zwei Punkte des Graphen. Ein positives Ergebnis zeigt eine durchschnittliche Zunahme, ein negatives eine Abnahme.

Vorwissen

Bevor wir starten, wiederholen wir kurz ein paar Grundlagen:

Steigung einer Geraden: Sie gibt an, wie steil eine Gerade ansteigt oder abfällt. Du berechnest sie mit zwei Punkten $P_1(x_1|y_1)$ und $P_2(x_2|y_2)$ .
- Formel: $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
- Beispiel: Eine Gerade durch die Punkte (2|3) und (4|7) hat die Steigung $m = \frac{7-3}{4-2} = \frac{4}{2} = 2$ .
Funktionswert berechnen: Um den y-Wert für ein bestimmtes x zu finden, setzt du den x-Wert in die Funktionsgleichung ein.
- Beispiel: Gegeben ist $f(x) = x^2 + 5$ . Der Funktionswert an der Stelle $x=3$ ist $f(3) = 3^2 + 5 = 9 + 5 = 14$ .
Funktionswert aus einem Graphen ablesen: Suche den x-Wert auf der x-Achse, gehe senkrecht hoch oder runter zum Graphen und von dort waagerecht zur y-Achse, um den y-Wert abzulesen.

Eine Gleichung umstellen: Du formst eine Gleichung so um, dass die gesuchte Variable allein auf einer Seite steht.
- Beispiel: Löse $10 = \frac{x - 5}{2}$ nach $x$ auf.

$10 \cdot 2 = x - 5$

$20 = x - 5$

$25 = x$

Aufgabentyp 1: Den Differenzenquotienten im Sachzusammenhang verstehen

Die mittlere Änderungsrate (auch Differenzenquotient genannt) beschreibt, wie stark sich eine Größe im Durchschnitt über einen bestimmten Zeitraum (ein Intervall) ändert. Stell es dir wie die Durchschnittsgeschwindigkeit bei einer Autofahrt vor.

Auch wenn du mal schneller und mal langsamer fährst, berechnet die Durchschnittsgeschwindigkeit nur, wie viel Strecke du insgesamt in der Gesamtzeit zurückgelegt hast. Sie glättet alle Schwankungen zu einem einzigen Wert.

Die Formel dafür lautet:

Mittlere Änderungsrate = $\frac{\text{Änderung der y-Werte}}{\text{Änderung der x-Werte}}$

Mathematisch schreiben wir das so:

$m = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$

$x_1$ ist der Startpunkt des Intervalls (z. B. Startzeit).
$x_2$ ist der Endpunkt des Intervalls (z. B. Endzeit).
$f(x_1)$ ist der Wert am Startpunkt (z. B. Startposition).
$f(x_2)$ ist der Wert am Endpunkt (z. B. Endposition).

Zwei unterschiedliche Verläufe können die gleiche mittlere Änderungsrate haben, solange sie am selben Punkt starten und am selben Punkt enden.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Identifiziere Start- und Endpunkte: Lies aus der Aufgabe das Intervall ab. Der Startpunkt ist $x_1$ und der Endpunkt ist $x_2$ . Finde die zugehörigen Werte $f(x_1)$ und $f(x_2)$ .
Setze Werte in die Formel ein: Setze die vier Werte in die Formel für den Differenzenquotienten ein: $m = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$ .
Berechne das Ergebnis: Rechne den Bruch aus. Achte auf die Einheiten (z. B. km/h, °C/Stunde).
Interpretiere das Ergebnis: Erkläre, was das Ergebnis im Kontext der Aufgabe bedeutet. Formuliere einen Antwortsatz.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Die Temperatur in einer Stadt wird über 8 Stunden aufgezeichnet. Um 0 Uhr ( $x_1 = 0$ ) beträgt die Temperatur 10 °C. Nach 8 Stunden ( $x_2 = 8$ ) beträgt sie 18 °C. Berechne die mittlere Temperaturänderung pro Stunde.

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Start- und Endpunkte identifizieren
- Startzeit: $x_1 = 0$ Stunden
- Starttemperatur: $f(x_1) = 10$ °C
- Endzeit: $x_2 = 8$ Stunden
- Endtemperatur: $f(x_2) = 18$ °C
Schritt 2
Werte in die Formel einsetzen
Wir setzen die Werte in die Formel für die mittlere Änderungsrate ein.

$m = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$

$m = \frac{18 - 10}{8 - 0}$
Schritt 3
Ergebnis berechnen
$m = \frac{8}{8} = 1$

Die Einheit ist °C pro Stunde.
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis interpretieren
Die Temperatur ist im Durchschnitt um 1 °C pro Stunde gestiegen.

Ergebnis:

Die mittlere Temperaturänderung beträgt 1 °C pro Stunde.

Beispiel 2

Aufgabe

Ein Eimer wird mit Wasser gefüllt. Zu Beginn (nach 0 Sekunden) sind 2 Liter im Eimer. Nach 10 Sekunden sind 7 Liter im Eimer. Wie hoch ist die mittlere Füllrate in Litern pro Sekunde?

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Start- und Endpunkte identifizieren
- Startzeit: $x_1 = 0$ s
- Startmenge: $f(x_1) = 2$ L
- Endzeit: $x_2 = 10$ s
- Endmenge: $f(x_2) = 7$ L
Schritt 2
Werte in die Formel einsetzen
$m = \frac{7 - 2}{10 - 0}$
Schritt 3
Ergebnis berechnen
$m = \frac{5}{10} = 0{,}5$

Die Einheit ist Liter pro Sekunde.
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis interpretieren
Im Durchschnitt fließen 0,5 Liter pro Sekunde in den Eimer.

Ergebnis:

Die mittlere Füllrate beträgt 0,5 Liter pro Sekunde.

Beispiel 3

Aufgabe

Der Wert einer Aktie fällt. Am 3. Tag des Monats hat sie einen Wert von 150 €. Am 8. Tag ist sie nur noch 120 € wert. Berechne den mittleren täglichen Wertverlust.

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Start- und Endpunkte identifizieren
- Starttag: $x_1 = 3$
- Startwert: $f(x_1) = 150$ €
- Endtag: $x_2 = 8$
- Endwert: $f(x_2) = 120$ €
Schritt 2
Werte in die Formel einsetzen
$m = \frac{120 - 150}{8 - 3}$
Schritt 3
Ergebnis berechnen
$m = \frac{-30}{5} = -6$

Die Einheit ist Euro pro Tag.
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis interpretieren
Die Aktie hat im Durchschnitt 6 € pro Tag an Wert verloren. Das Minuszeichen zeigt den Verlust an.

Ergebnis:

Der mittlere tägliche Wertverlust beträgt -6 € pro Tag.

Beispiel 4

Aufgabe

Ein Bergsteiger befindet sich nach 2 Stunden auf einer Höhe von 800 Metern. Nach insgesamt 5 Stunden ist er auf 1700 Metern. Was war seine mittlere Steiggeschwindigkeit in Metern pro Stunde?

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Start- und Endpunkte identifizieren
- Startzeit: $x_1 = 2$ h
- Starthöhe: $f(x_1) = 800$ m
- Endzeit: $x_2 = 5$ h
- Endhöhe: $f(x_2) = 1700$ m
Schritt 2
Werte in die Formel einsetzen
$m = \frac{1700 - 800}{5 - 2}$
Schritt 3
Ergebnis berechnen
$m = \frac{900}{3} = 300$

Die Einheit ist Meter pro Stunde.
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis interpretieren
Der Bergsteiger ist im Durchschnitt 300 Meter pro Stunde aufgestiegen.

Ergebnis:

Die mittlere Steiggeschwindigkeit beträgt 300 Meter pro Stunde.

Beispiel 5

Aufgabe

Ein Auto fährt auf der Autobahn. Zum Zeitpunkt $t=0{,}5$ Stunden ist es bei Kilometer 60. Zum Zeitpunkt $t=2$ Stunden ist es bei Kilometer 210. Berechne die Durchschnittsgeschwindigkeit in km/h.

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Start- und Endpunkte identifizieren
- Startzeit: $x_1 = 0{,}5$ h
- Startposition: $f(x_1) = 60$ km
- Endzeit: $x_2 = 2$ h
- Endposition: $f(x_2) = 210$ km
Schritt 2
Werte in die Formel einsetzen
$m = \frac{210 - 60}{2 - 0{,}5}$
Schritt 3
Ergebnis berechnen
$m = \frac{150}{1{,}5} = 100$

Die Einheit ist km/h.
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis interpretieren
Das Auto ist mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 100 km/h gefahren.

Ergebnis:

Die Durchschnittsgeschwindigkeit beträgt 100 km/h.

Aufgabentyp 2: Mittlere Änderungsrate grafisch bestimmen

Grafisch hat die mittlere Änderungsrate eine sehr klare Bedeutung. Sie ist die Steigung der Sekante.

Eine Sekante ist eine Gerade, die den Graphen einer Funktion in (mindestens) zwei Punkten schneidet. Wenn wir die mittlere Änderungsrate im Intervall $[x_1; x_2]$ berechnen, ist das genau die Steigung der Geraden, die durch die Punkte $(x_1, f(x_1))$ und $(x_2, f(x_2))$ verläuft.

Die Formel ist dieselbe, aber die Werte für $f(x_1)$ und $f(x_2)$ liest du einfach aus dem Graphen ab.

$m_{\text{Sekante}} = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$

Sekante als Steigung der mittleren Änderungsrate

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Finde die Intervallgrenzen auf der x-Achse: Markiere die Start- und Endpunkte des Intervalls, $x_1$ und $x_2$ , auf der x-Achse.
Lokalisiere die zugehörigen Punkte auf dem Graphen: Gehe von $x_1$ senkrecht zum Graphen, um den Punkt $P_1(x_1|f(x_1))$ zu finden. Mache dasselbe für $x_2$ , um $P_2(x_2|f(x_2))$ zu finden.
Lies die y-Werte von der y-Achse ab: Gehe von den Punkten $P_1$ und $P_2$ waagerecht zur y-Achse und lies die Werte $f(x_1)$ und $f(x_2)$ ab.
Setze Werte in die Formel ein und berechne: Setze die vier abgelesenen Werte in die Formel $m = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$ ein und berechne das Ergebnis.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Bestimme grafisch die mittlere Änderungsrate der Funktion $f$ im Intervall $[0; 3]$ .

Funktionsgraph zur grafischen Bestimmung im Intervall null bis drei

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Intervallgrenzen auf der x-Achse finden
Das Intervall ist $[0; 3]$ . Also ist $x_1 = 0$ und $x_2 = 3$ .
Schritt 2
Zugehörige Punkte auf dem Graphen lokalisieren
Wir finden die Punkte auf dem Graphen, die zu $x_1$ und $x_2$ gehören.

Sekante durch die Punkte bei x gleich null und x gleich drei
3
Schritt 3
y-Werte von der y-Achse ablesen
Wir lesen die y-Werte für unsere beiden Punkte ab:
- Für $x_1 = 0$ ist der y-Wert $f(x_1) = 1$ .
- Für $x_2 = 3$ ist der y-Wert $f(x_2) = 4$ .
Schritt 4 · Ergebnis
Werte in die Formel einsetzen und berechnen
$m = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$

$m = \frac{4 - 1}{3 - 0}$

$m = \frac{3}{3} = 1$

Ergebnis:

Die mittlere Änderungsrate im Intervall $[0; 3]$ ist 1.

Beispiel 2

Aufgabe

Bestimme grafisch die mittlere Änderungsrate der Funktion $f$ im Intervall $[-2; 0]$ .

Funktionsgraph zur grafischen Bestimmung im Intervall minus zwei bis null

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Intervallgrenzen auf der x-Achse finden
Das Intervall ist $[-2; 0]$ . Also ist $x_1 = -2$ und $x_2 = 0$ .
2
Schritt 2 & 3
Punkte lokalisieren und y-Werte ablesen
- Für $x_1 = -2$ lesen wir den y-Wert $f(x_1) = 4$ ab.
- Für $x_2 = 0$ lesen wir den y-Wert $f(x_2) = 2$ ab.
Sekante durch Punkte bei x gleich minus zwei und x gleich null
Schritt 4 · Ergebnis
Werte in die Formel einsetzen und berechnen
$m = \frac{2 - 4}{0 - (-2)}$

$m = \frac{-2}{0 + 2} = \frac{-2}{2} = -1$

Ergebnis:

Die mittlere Änderungsrate im Intervall $[-2; 0]$ ist -1.

Beispiel 3

Aufgabe

Bestimme grafisch die mittlere Änderungsrate der Funktion $f$ im Intervall $[-1; 1]$ .

Funktionsgraph zur grafischen Bestimmung im Intervall minus eins bis eins

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Intervallgrenzen auf der x-Achse finden
Das Intervall ist $[-1; 1]$ . Also ist $x_1 = -1$ und $x_2 = 1$ .
2
Schritt 2 & 3
Punkte lokalisieren und y-Werte ablesen
- Für $x_1 = -1$ lesen wir den y-Wert $f(x_1) = 3$ ab.
- Für $x_2 = 1$ lesen wir den y-Wert $f(x_2) = 3$ ab.
Sekante durch symmetrische Punkte mit gleichem y-Wert
Schritt 4 · Ergebnis
Werte in die Formel einsetzen und berechnen
$m = \frac{3 - 3}{1 - (-1)}$

$m = \frac{0}{1 + 1} = \frac{0}{2} = 0$

Ergebnis:

Die mittlere Änderungsrate im Intervall $[-1; 1]$ ist 0. Das bedeutet, dass der Endwert gleich dem Startwert ist.

Beispiel 4

Aufgabe

Bestimme grafisch die mittlere Änderungsrate der Funktion $f$ im Intervall $[1; 2]$ .

Funktionsgraph zur grafischen Bestimmung im Intervall eins bis zwei

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Intervallgrenzen auf der x-Achse finden
Das Intervall ist $[1; 2]$ . Also ist $x_1 = 1$ und $x_2 = 2$ .
2
Schritt 2 & 3
Punkte lokalisieren und y-Werte ablesen
- Für $x_1 = 1$ lesen wir den y-Wert $f(x_1) = 0$ ab.
- Für $x_2 = 2$ lesen wir den y-Wert $f(x_2) = -2$ ab.
Sekante mit negativer Steigung im Intervall eins bis zwei
Schritt 4 · Ergebnis
Werte in die Formel einsetzen und berechnen
$m = \frac{-2 - 0}{2 - 1}$

$m = \frac{-2}{1} = -2$

Ergebnis:

Die mittlere Änderungsrate im Intervall $[1; 2]$ ist -2.

Beispiel 5

Aufgabe

Bestimme grafisch die mittlere Änderungsrate der Funktion $f$ im Intervall $[2; 4]$ .

Funktionsgraph zur grafischen Bestimmung im Intervall zwei bis vier

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Intervallgrenzen auf der x-Achse finden
Das Intervall ist $[2; 4]$ . Also ist $x_1 = 2$ und $x_2 = 4$ .
2
Schritt 2 & 3
Punkte lokalisieren und y-Werte ablesen
- Für $x_1 = 2$ lesen wir den y-Wert $f(x_1) = 1$ ab.
- Für $x_2 = 4$ lesen wir den y-Wert $f(x_2) = 5$ ab.
Sekante mit positiver Steigung im Intervall zwei bis vier
Schritt 4 · Ergebnis
Werte in die Formel einsetzen und berechnen
$m = \frac{5 - 1}{4 - 2}$

$m = \frac{4}{2} = 2$

Ergebnis:

Die mittlere Änderungsrate im Intervall $[2; 4]$ ist 2. Da der Graph eine Gerade ist, ist dies auch die Steigung der Geraden selbst.

Aufgabentyp 3: Mittlere Änderungsrate rechnerisch bestimmen

Wenn du keine Grafik, sondern eine Funktionsgleichung wie $f(x) = x^2$ gegeben hast, ist das Vorgehen fast identisch. Der einzige Unterschied ist, dass du die y-Werte $f(x_1)$ und $f(x_2)$ nicht abliest, sondern berechnest.

Das ist sogar genauer, weil du nicht auf Schätzungen beim Ablesen angewiesen bist.

Du nimmst die Intervallgrenzen $x_1$ und $x_2$ und setzt sie nacheinander in die Funktionsgleichung ein, um die zugehörigen Funktionswerte zu erhalten. Danach verwendest du wie gewohnt die Formel für den Differenzenquotienten.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Notiere Intervall und Funktion: Schreibe die gegebene Funktionsgleichung $f(x)$ und das Intervall $[x_1; x_2]$ auf.
Berechne den ersten Funktionswert: Setze den Startwert $x_1$ in die Funktion $f(x)$ ein, um $f(x_1)$ zu berechnen.
Berechne den zweiten Funktionswert: Setze den Endwert $x_2$ in die Funktion $f(x)$ ein, um $f(x_2)$ zu berechnen.
Setze Werte in die Formel ein und berechne: Setze die beiden x-Werte und die beiden berechneten y-Werte in die Formel $m = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$ ein und berechne das Ergebnis.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Berechne die mittlere Änderungsrate der Funktion $f(x) = x^2 + 2x$ im Intervall $[1; 4]$ .

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Intervall und Funktion notieren
- Funktion: $f(x) = x^2 + 2x$
- Intervall: $[1; 4]$ , also $x_1 = 1$ und $x_2 = 4$ .
Schritt 2
Ersten Funktionswert berechnen
Wir setzen $x_1 = 1$ in $f(x)$ ein:

$f(1) = 1^2 + 2 \cdot 1 = 1 + 2 = 3$
Schritt 3
Zweiten Funktionswert berechnen
Wir setzen $x_2 = 4$ in $f(x)$ ein:

$f(4) = 4^2 + 2 \cdot 4 = 16 + 8 = 24$
Schritt 4 · Ergebnis
Werte in die Formel einsetzen und berechnen
$m = \frac{f(4) - f(1)}{4 - 1}$

$m = \frac{24 - 3}{4 - 1}$

$m = \frac{21}{3} = 7$

Ergebnis:

Die mittlere Änderungsrate ist 7.

Beispiel 2

Aufgabe

Berechne die mittlere Änderungsrate der Funktion $f(x) = -x^3 + 1$ im Intervall $[-2; 0]$ .

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Intervall und Funktion notieren
- Funktion: $f(x) = -x^3 + 1$
- Intervall: $[-2; 0]$ , also $x_1 = -2$ und $x_2 = 0$ .
Schritt 2
Ersten Funktionswert berechnen
Wir setzen $x_1 = -2$ in $f(x)$ ein:

$f(-2) = -(-2)^3 + 1 = -(-8) + 1 = 8 + 1 = 9$
Schritt 3
Zweiten Funktionswert berechnen
Wir setzen $x_2 = 0$ in $f(x)$ ein:

$f(0) = -(0)^3 + 1 = 0 + 1 = 1$
Schritt 4 · Ergebnis
Werte in die Formel einsetzen und berechnen
$m = \frac{f(0) - f(-2)}{0 - (-2)}$

$m = \frac{1 - 9}{0 - (-2)}$

$m = \frac{-8}{2} = -4$

Ergebnis:

Die mittlere Änderungsrate ist -4.

Beispiel 3

Aufgabe

Berechne die mittlere Änderungsrate der Funktion $f(x) = 4x - 5$ im Intervall $[-1; 5]$ .

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Intervall und Funktion notieren
- Funktion: $f(x) = 4x - 5$
- Intervall: $[-1; 5]$ , also $x_1 = -1$ und $x_2 = 5$ .
Schritt 2
Ersten Funktionswert berechnen
$f(-1) = 4 \cdot (-1) - 5 = -4 - 5 = -9$
Schritt 3
Zweiten Funktionswert berechnen
$f(5) = 4 \cdot 5 - 5 = 20 - 5 = 15$
Schritt 4 · Ergebnis
Werte in die Formel einsetzen und berechnen
$m = \frac{15 - (-9)}{5 - (-1)}$

$m = \frac{15 + 9}{5 + 1} = \frac{24}{6} = 4$

Ergebnis:

Die mittlere Änderungsrate ist 4. Das ist genau die Steigung der linearen Funktion.

Beispiel 4

Aufgabe

Berechne die mittlere Änderungsrate der Funktion $f(x) = x^2 - 3x + 2$ im Intervall $[1; 2]$ .

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Intervall und Funktion notieren
- Funktion: $f(x) = x^2 - 3x + 2$
- Intervall: $[1; 2]$ , also $x_1 = 1$ und $x_2 = 2$ .
Schritt 2
Ersten Funktionswert berechnen
$f(1) = 1^2 - 3 \cdot 1 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$
Schritt 3
Zweiten Funktionswert berechnen
$f(2) = 2^2 - 3 \cdot 2 + 2 = 4 - 6 + 2 = 0$
Schritt 4 · Ergebnis
Werte in die Formel einsetzen und berechnen
$m = \frac{0 - 0}{2 - 1}$

$m = \frac{0}{1} = 0$

Ergebnis:

Die mittlere Änderungsrate ist 0.

Beispiel 5

Aufgabe

Berechne die mittlere Änderungsrate der Funktion $f(x) = \frac{1}{x}$ im Intervall $[1; 5]$ .

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Intervall und Funktion notieren
- Funktion: $f(x) = \frac{1}{x}$
- Intervall: $[1; 5]$ , also $x_1 = 1$ und $x_2 = 5$ .
Schritt 2
Ersten Funktionswert berechnen
$f(1) = \frac{1}{1} = 1$
Schritt 3
Zweiten Funktionswert berechnen
$f(5) = \frac{1}{5} = 0{,}2$
Schritt 4 · Ergebnis
Werte in die Formel einsetzen und berechnen
$m = \frac{0{,}2 - 1}{5 - 1}$

$m = \frac{-0{,}8}{4} = -0{,}2$

Ergebnis:

Die mittlere Änderungsrate ist -0,2.

Aufgabentyp 4: Fehlende Werte mit dem Differenzenquotienten berechnen

Manchmal kennst du die mittlere Änderungsrate bereits, aber dafür fehlt dir eine andere Information, zum Beispiel der Endwert $f(x_2)$ .

Kein Problem! Die Formel des Differenzenquotienten ist eine ganz normale Gleichung. Wenn du alle Werte bis auf einen kennst, kannst du diesen einen fehlenden Wert einfach durch Umstellen der Gleichung berechnen.

Du setzt alle bekannten Werte in die Formel ein und löst dann nach der Unbekannten auf.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Schreibe die Formel auf und identifiziere die gegebenen Werte: Schreibe die Formel $m = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$ auf. Lies alle bekannten Werte aus der Aufgabe heraus und notiere sie (z. B. $m=5$ , $x_1=2$ , …).
Setze die bekannten Werte in die Formel ein: Setze alle Werte, die du kennst, in die Formel ein. Übrig bleibt eine Gleichung mit einer Unbekannten.
Löse die Gleichung nach der Unbekannten auf: Vereinfache die Gleichung zuerst (z. B. den Nenner ausrechnen). Forme die Gleichung dann schrittweise um, bis die gesuchte Variable allein auf einer Seite steht.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Eine Funktion $f$ hat im Intervall $[2; 6]$ eine mittlere Änderungsrate von $m=5$ . Es ist bekannt, dass $f(2) = 3$ ist. Berechne den Wert von $f(6)$ .

Fortschritt

3 / 3

1
Schritt 1
Formel aufschreiben und gegebene Werte identifizieren
- Formel: $m = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$
- Gegebene Werte:
  - $m = 5$
  - $x_1 = 2$
  - $x_2 = 6$
  - $f(x_1) = f(2) = 3$
- Gesucht: $f(x_2) = f(6)$
Schritt 2
Bekannte Werte in die Formel einsetzen
$5 = \frac{f(6) - 3}{6 - 2}$
Schritt 3 · Ergebnis
Gleichung nach der Unbekannten auflösen
Zuerst vereinfachen wir den Nenner:

$5 = \frac{f(6) - 3}{4}$

Jetzt lösen wir nach $f(6)$ auf:

$5 \cdot 4 = f(6) - 3$

$20 = f(6) - 3$

$20 + 3 = f(6)$

$23 = f(6)$

Ergebnis:

Der gesuchte Funktionswert ist $f(6) = 23$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Die durchschnittliche Wachstumsrate einer Pflanze zwischen Tag 5 und Tag 15 betrug $0{,}5 \text{ cm/Tag}$ . An Tag 15 war die Pflanze $12 \text{ cm}$ hoch. Wie hoch war sie an Tag 5?

Fortschritt

3 / 3

1
Schritt 1
Formel aufschreiben und gegebene Werte identifizieren
- Formel: $m = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$
- Gegebene Werte:
  - $m = 0{,}5$
  - $x_1 = 5$
  - $x_2 = 15$
  - $f(x_2) = f(15) = 12$
- Gesucht: $f(x_1) = f(5)$
Schritt 2
Bekannte Werte in die Formel einsetzen
$0{,}5 = \frac{12 - f(5)}{15 - 5}$
Schritt 3 · Ergebnis
Gleichung nach der Unbekannten auflösen
$0{,}5 = \frac{12 - f(5)}{10}$

$0{,}5 \cdot 10 = 12 - f(5)$

$5 = 12 - f(5)$

$f(5) + 5 = 12$

$f(5) = 12 - 5$

$f(5) = 7$

Ergebnis:

An Tag 5 war die Pflanze $7 \text{ cm}$ hoch.

Beispiel 3

Aufgabe

Ein Auto startet bei Kilometer 100. Nach einiger Zeit ist es bei Kilometer 220. Die Durchschnittsgeschwindigkeit betrug $80 \text{ km/h}$ . Wie lange war das Auto unterwegs, wenn die Fahrt zum Zeitpunkt $t=0$ begann?

Fortschritt

3 / 3

1
Schritt 1
Formel aufschreiben und gegebene Werte identifizieren
- Formel: $m = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$
- Gegebene Werte:
  - $m = 80$
  - $x_1 = 0$
  - $f(x_1) = f(0) = 100$
  - $f(x_2) = 220$
- Gesucht: $x_2$ (die Fahrtdauer)
Schritt 2
Bekannte Werte in die Formel einsetzen
$80 = \frac{220 - 100}{x_2 - 0}$
Schritt 3 · Ergebnis
Gleichung nach der Unbekannten auflösen
$80 = \frac{120}{x_2}$

$80 \cdot x_2 = 120$

$x_2 = \frac{120}{80}$

$x_2 = 1{,}5$

Ergebnis:

Das Auto war $1{,}5 \text{ Stunden}$ unterwegs.

Beispiel 4

Aufgabe

Die Temperatur fällt im Intervall von 14:00 Uhr ( $x_1=14$ ) bis 18:00 Uhr ( $x_2=18$ ) mit einer mittleren Rate von $-2 \text{ °C/h}$ . Um 18:00 Uhr sind es $8 \text{ °C}$ . Wie warm war es um 14:00 Uhr?

Fortschritt

3 / 3

1
Schritt 1
Formel aufschreiben und gegebene Werte identifizieren
- Formel: $m = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$
- Gegebene Werte:
  - $m = -2$
  - $x_1 = 14$
  - $x_2 = 18$
  - $f(x_2) = f(18) = 8$
- Gesucht: $f(x_1) = f(14)$
Schritt 2
Bekannte Werte in die Formel einsetzen
$-2 = \frac{8 - f(14)}{18 - 14}$
Schritt 3 · Ergebnis
Gleichung nach der Unbekannten auflösen
$-2 = \frac{8 - f(14)}{4}$

$-2 \cdot 4 = 8 - f(14)$

$-8 = 8 - f(14)$

$f(14) - 8 = 8$

$f(14) = 8 + 8$

$f(14) = 16$

Ergebnis:

Um 14:00 Uhr waren es $16 \text{ °C}$ .

Beispiel 5

Aufgabe

Ein Unternehmen macht im 2. Quartal ( $x_1=2$ ) einen Gewinn von $10.000 \text{ €}$ . Die mittlere Gewinnänderung bis zum 4. Quartal ( $x_2=4$ ) beträgt $-3.000 \text{ €/Quartal}$ . Welchen Gewinn macht das Unternehmen im 4. Quartal?

Fortschritt

3 / 3

1
Schritt 1
Formel aufschreiben und gegebene Werte identifizieren
- Formel: $m = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$
- Gegebene Werte:
  - $m = -3000$
  - $x_1 = 2$
  - $x_2 = 4$
  - $f(x_1) = f(2) = 10000$
- Gesucht: $f(x_2) = f(4)$
Schritt 2
Bekannte Werte in die Formel einsetzen
$-3000 = \frac{f(4) - 10000}{4 - 2}$
Schritt 3 · Ergebnis
Gleichung nach der Unbekannten auflösen
$-3000 = \frac{f(4) - 10000}{2}$

$-3000 \cdot 2 = f(4) - 10000$

$-6000 = f(4) - 10000$

$-6000 + 10000 = f(4)$

$4000 = f(4)$

Ergebnis:

Im 4. Quartal macht das Unternehmen einen Gewinn von $4.000 \text{ €}$ .

Wichtige Erkenntnisse

Die mittlere Änderungsrate (oder der Differenzenquotient) gibt die durchschnittliche Veränderung einer Größe über ein Intervall an.
Die Formel lautet: $m = \frac{\text{Änderung in y}}{\text{Änderung in x}} = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$ .
Grafisch entspricht die mittlere Änderungsrate der Steigung der Sekante, die durch die beiden Punkte am Anfang und Ende des Intervalls verläuft.
Ein negatives Ergebnis bedeutet eine durchschnittliche Abnahme, ein positives Ergebnis eine durchschnittliche Zunahme.
Die Formel ist eine Gleichung. Du kannst sie umstellen, um fehlende Werte zu berechnen, wenn die anderen bekannt sind.

Mittlere Änderungsrate einfach erklärt: Differenzenquotient

Schnellantwort

Vorwissen

Aufgabentyp 1: Den Differenzenquotienten im Sachzusammenhang verstehen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 2: Mittlere Änderungsrate grafisch bestimmen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 3: Mittlere Änderungsrate rechnerisch bestimmen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 4: Fehlende Werte mit dem Differenzenquotienten berechnen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Wichtige Erkenntnisse

Häufige Fragen

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