Was ist die lineare Substitution bei Integralen?

Die lineare Substitution ist eine Regel zum Berechnen von Integralen, bei denen das x durch einen linearen Term ax+b ersetzt wurde. Die Formel lautet: ∫ f(ax+b) dx = (1/a) · F(ax+b) + C , wobei F die Stammfunktion der äußeren Funktion f ist. Statt den umständlichen Weg der allgemeinen Substitution zu gehen, liefert diese Regel das Ergebnis in einem einzigen Schritt.

Wie wendest du die lineare Substitution Schritt für Schritt an?

Du gehst in vier Schritten vor: Identifiziere die äußere Funktion f(u) und die innere lineare Funktion ax+b ; bestimme den Wert von a . Bilde die Stammfunktion F(u) der äußeren Funktion. Multipliziere mit dem Korrekturfaktor 1/a und setze ax+b ein. Ergänze die Integrationskonstante +C (nur bei unbestimmten Integralen).

Was ist der Korrekturfaktor bei der linearen Substitution?

Der Korrekturfaktor 1/a ist der Kehrwert der inneren Ableitung. Er wird benötigt, weil beim Ableiten der Stammfunktion durch die Kettenregel ein zusätzlicher Faktor a entsteht. Dieser Faktor würde das Ergebnis verfälschen – der Korrekturfaktor gleicht ihn aus. Für f(x) = cos(2x+1) ist a = 2 und der Korrekturfaktor daher 1/2 .

Wie berechnest du ein bestimmtes Integral mit linearer Substitution?

Beim bestimmten Integral gehst du zunächst genauso vor wie beim unbestimmten: Bilde die Stammfunktion F(x) mit der linearen Substitution – ohne +C . Danach wendest du den Hauptsatz an: [F(x)] von a bis b ergibt F(b) − F(a) . Du setzt also die obere Grenze ein, ziehst den Wert an der unteren Grenze ab und erhältst eine konkrete Zahl.

Wann musst du einen Term vor dem Integrieren umschreiben?

Wurzeln und Brüche mit Potenzen im Nenner lassen sich nicht direkt mit der linearen Substitution aufleiten. Du musst sie zuerst als Potenz schreiben: √x = x^(1/2) und 1/x³ = x^(−3) . Erst dann kannst du die Potenzregel auf die äußere Funktion anwenden und den Korrekturfaktor bestimmen.

Lineare Substitution Integrale erklärt

Die lineare Substitution ist eine der nützlichsten Rechentechniken beim Berechnen von Integralen. Stell dir vor, du bist im Mathe-Test und die Zeit wird knapp. Dein Nachbar quält sich mit einer komplizierten, seitenlangen Methode, um ein Integral zu lösen. Du aber erkennst ein Muster, wendest eine simple Regel an und bist in 30 Sekunden fertig. Genau das ist die lineare Substitution. Es ist kein kompliziertes neues Thema, sondern ein „Cheat Code", um eine ganze Klasse von Integralen super schnell zu knacken. Anstatt den umständlichen Weg zu gehen, lernst du hier die Abkürzung, die dir wertvolle Punkte und Zeit spart.

Vorwissen

Bevor wir starten, wiederholen wir kurz die Grundlagen, die du brauchst:

Stammfunktionen von Grundfunktionen: Du solltest die grundlegenden Stammfunktionen kennen.
- Beispiel Potenzfunktion: Die Stammfunktion von $f(x) = x^n$ ist $F(x) = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C$ . Für $f(x) = x^3$ ist die Stammfunktion $F(x) = \frac{1}{4}x^4 + C$ .
- Beispiel e-Funktion: Die Stammfunktion von $f(x) = e^x$ ist $F(x) = e^x + C$ .
- Beispiel Kosinusfunktion: Die Stammfunktion von $f(x) = \cos(x)$ ist $F(x) = \sin(x) + C$ .
Kettenregel beim Ableiten: Wenn eine Funktion aus einer äußeren und einer inneren Funktion besteht, brauchst du die Kettenregel.
- Formel: $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$
- Beispiel: Die Ableitung von $h(x) = \sin(3x)$ ist $h'(x) = \cos(3x) \cdot 3$ .
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: Damit berechnest du bestimmte Integrale.
- Formel: $\int_a^b f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$
- Beispiel: $\int_0^1 2x \, dx = [x^2]_0^1 = 1^2 - 0^2 = 1$ .

Aufgabentyp 1: Unbestimmte Integrale mit linearer Substitution

Manchmal sehen Funktionen komplizierter aus, als sie sind. Die lineare Substitution ist eine Regel für Funktionen, bei denen das $x$ durch einen linearen Term wie $ax+b$ ersetzt wurde.

Schauen wir uns $f(x) = \cos(2x+1)$ an. Die innere Funktion ist $2x+1$ .

Die Frage ist: Welche Funktion ergibt abgeleitet $\cos(2x+1)$ ?

Erster Versuch: Die Stammfunktion von $\cos(u)$ ist $\sin(u)$ . Also probieren wir $F(x) = \sin(2x+1)$ .
Probe durch Ableiten (Kettenregel): $F'(x) = \cos(2x+1) \cdot 2$ . Das ist fast unsere Ausgangsfunktion, aber wir haben eine störende $2$ zu viel.
Korrektur: Um die $2$ loszuwerden, müssen wir unseren Versuch durch 2 teilen. Wir nehmen also den Kehrwert der inneren Ableitung: $\frac{1}{2}$ .

Die Regel der linearen Substitution lautet daher: Wenn $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist, dann ist:

$\int f(ax+b) \, dx = \frac{1}{a} \cdot F(ax+b) + C$

$ax+b$ ist die innere lineare Funktion.
$\frac{1}{a}$ ist der Kehrwert der inneren Ableitung. Dieser Faktor wird auch „Korrekturfaktor" genannt.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Analysiere die Funktion: Identifiziere die äußere Funktion $f(u)$ und die innere lineare Funktion $ax+b$ . Bestimme den Wert von $a$ .
Leite die äußere Funktion auf: Finde die Stammfunktion $F(u)$ der äußeren Funktion $f(u)$ .
Wende die Regel an: Setze die Teile in die Formel ein: $\frac{1}{a} \cdot F(ax+b)$ .
Füge die Integrationskonstante hinzu: Vergiss nicht, am Ende $+ C$ zu schreiben, da es sich um ein unbestimmtes Integral handelt.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Finde die Stammfunktion von $f(x) = e^{3x+4}$ .

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Funktion analysieren
- Äußere Funktion: $f(u) = e^u$
- Innere lineare Funktion: $3x+4$ .
- Der Wert für $a$ ist $3$ .
Schritt 2
Äußere Funktion aufleiten
Die Stammfunktion von $e^u$ ist $F(u) = e^u$ .
Schritt 3
Regel anwenden
Wir setzen alles in die Formel $\frac{1}{a} \cdot F(ax+b)$ ein:

Stammfunktion $= \frac{1}{3} \cdot e^{3x+4}$
Schritt 4 · Ergebnis
Integrationskonstante hinzufügen
Das vollständige unbestimmte Integral ist:

$\int e^{3x+4} \, dx = \frac{1}{3}e^{3x+4} + C$

Ergebnis:

Die Stammfunktion von $e^{3x+4}$ ist $\frac{1}{3}e^{3x+4} + C$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Finde die Stammfunktion von $f(x) = (5x-2)^4$ .

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Funktion analysieren
- Äußere Funktion: $f(u) = u^4$
- Innere lineare Funktion: $5x-2$ .
- Der Wert für $a$ ist $5$ .
Schritt 2
Äußere Funktion aufleiten
Die Stammfunktion von $u^4$ ist $F(u) = \frac{1}{5}u^5$ .
Schritt 3
Regel anwenden
Wir setzen alles in die Formel $\frac{1}{a} \cdot F(ax+b)$ ein:

Stammfunktion $= \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5}(5x-2)^5$

$= \frac{1}{25}(5x-2)^5$
Schritt 4 · Ergebnis
Integrationskonstante hinzufügen
Das vollständige unbestimmte Integral ist:

$\int (5x-2)^4 \, dx = \frac{1}{25}(5x-2)^5 + C$

Ergebnis:

Die Stammfunktion von $(5x-2)^4$ ist $\frac{1}{25}(5x-2)^5 + C$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Finde die Stammfunktion von $f(x) = \sin(0.5x + \pi)$ .

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Funktion analysieren
- Äußere Funktion: $f(u) = \sin(u)$
- Innere lineare Funktion: $0.5x+\pi$ .
- Der Wert für $a$ ist $0.5$ .
Schritt 2
Äußere Funktion aufleiten
Die Stammfunktion von $\sin(u)$ ist $F(u) = -\cos(u)$ .
Schritt 3
Regel anwenden
Der Kehrwert von $a=0.5$ ist $\frac{1}{0.5} = 2$ . Wir setzen alles in die Formel $\frac{1}{a} \cdot F(ax+b)$ ein:

Stammfunktion $= 2 \cdot (-\cos(0.5x+\pi))$

$= -2\cos(0.5x+\pi)$
Schritt 4 · Ergebnis
Integrationskonstante hinzufügen
Das vollständige unbestimmte Integral ist:

$\int \sin(0.5x + \pi) \, dx = -2\cos(0.5x+\pi) + C$

Ergebnis:

Die Stammfunktion von $\sin(0.5x+\pi)$ ist $-2\cos(0.5x+\pi) + C$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Finde die Stammfunktion von $f(x) = \frac{1}{(2-7x)^3}$ .

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Funktion analysieren
Zuerst schreiben wir den Bruch als Potenz mit negativem Exponenten: $f(x) = (2-7x)^{-3}$
- Äußere Funktion: $f(u) = u^{-3}$
- Innere lineare Funktion: $2-7x$ oder $-7x+2$ .
- Der Wert für $a$ ist $-7$ .
Schritt 2
Äußere Funktion aufleiten
Die Stammfunktion von $u^{-3}$ ist $F(u) = \frac{1}{-3+1}u^{-3+1} = \frac{1}{-2}u^{-2} = -\frac{1}{2}u^{-2}$ .
Schritt 3
Regel anwenden
Wir setzen alles in die Formel $\frac{1}{a} \cdot F(ax+b)$ ein:

Stammfunktion $= \frac{1}{-7} \cdot (-\frac{1}{2}(2-7x)^{-2})$

$= \frac{1}{14}(2-7x)^{-2}$

Das können wir wieder als Bruch schreiben: $\frac{1}{14(2-7x)^2}$ .
Schritt 4 · Ergebnis
Integrationskonstante hinzufügen
$\int \frac{1}{(2-7x)^3} \, dx = \frac{1}{14(2-7x)^2} + C$

Ergebnis:

Die Stammfunktion von $\frac{1}{(2-7x)^3}$ ist $\frac{1}{14(2-7x)^2} + C$ .

Beispiel 5

Aufgabe

Finde die Stammfunktion von $f(x) = \sqrt{4x-9}$ .

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Funktion analysieren
Zuerst schreiben wir die Wurzel als Potenz: $f(x) = (4x-9)^{\frac{1}{2}}$
- Äußere Funktion: $f(u) = u^{\frac{1}{2}}$
- Innere lineare Funktion: $4x-9$ .
- Der Wert für $a$ ist $4$ .
Schritt 2
Äußere Funktion aufleiten
Die Stammfunktion von $u^{\frac{1}{2}}$ ist $F(u) = \frac{1}{\frac{1}{2}+1}u^{\frac{1}{2}+1} = \frac{1}{\frac{3}{2}}u^{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}$ .
Schritt 3
Regel anwenden
Wir setzen alles in die Formel $\frac{1}{a} \cdot F(ax+b)$ ein:

Stammfunktion $= \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3}(4x-9)^{\frac{3}{2}}$

$= \frac{2}{12}(4x-9)^{\frac{3}{2}} = \frac{1}{6}(4x-9)^{\frac{3}{2}}$
Schritt 4 · Ergebnis
Integrationskonstante hinzufügen
$\int \sqrt{4x-9} \, dx = \frac{1}{6}(4x-9)^{\frac{3}{2}} + C$

Ergebnis:

Die Stammfunktion von $\sqrt{4x-9}$ ist $\frac{1}{6}(4x-9)^{\frac{3}{2}} + C$ .

Aufgabentyp 2: Bestimmte Integrale mit linearer Substitution

Um ein bestimmtes Integral wie $\int_a^b f(ax+b) \, dx$ zu berechnen, gehst du fast genauso vor. Der einzige Unterschied ist, dass du am Ende die Integrationsgrenzen einsetzt.

Der Prozess ist:

Finde die Stammfunktion $F(x) = \frac{1}{a} G(ax+b)$ mit der Regel der linearen Substitution (wobei $G$ die Stammfunktion der äußeren Funktion ist). Die Konstante $C$ kannst du hier weglassen.
Wende den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung an:

$\int_\alpha^\beta f(ax+b) \, dx = [F(x)]_\alpha^\beta = F(\beta) - F(\alpha)$

Du berechnest also den Wert der Stammfunktion an der oberen Grenze und ziehst den Wert der Stammfunktion an der unteren Grenze davon ab.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Stammfunktion bilden: Bestimme eine Stammfunktion $F(x)$ des Integranden mit der Regel für die lineare Substitution. Die Integrationskonstante $C$ kann weggelassen werden.
Grenzen einsetzen: Schreibe die Stammfunktion in eckigen Klammern mit den Integrationsgrenzen: $[F(x)]_a^b$ .
Obere Grenze einsetzen: Berechne den Wert der Stammfunktion für die obere Grenze: $F(b)$ .
Untere Grenze einsetzen: Berechne den Wert der Stammfunktion für die untere Grenze: $F(a)$ .
Differenz bilden: Berechne das Endergebnis, indem du die beiden Werte voneinander abziehst: $F(b) - F(a)$ .

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Berechne das Integral $\int_0^1 (2x+1)^3 \, dx$ .

Fortschritt

5 / 5

1
Schritt 1
Stammfunktion bilden
- Integrand: $(2x+1)^3$ . Innere Funktion ist $2x+1$ , also ist $a=2$ .
- Äußere Stammfunktion: Die Stammfunktion von $u^3$ ist $\frac{1}{4}u^4$ .
- Regel anwenden: $F(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4}(2x+1)^4 = \frac{1}{8}(2x+1)^4$ .
Schritt 2
Grenzen einsetzen
$\int_0^1 (2x+1)^3 \, dx = [\frac{1}{8}(2x+1)^4]_0^1$
Schritt 3
Obere Grenze einsetzen
Für $x=1$ : $\frac{1}{8}(2 \cdot 1 + 1)^4 = \frac{1}{8}(3)^4 = \frac{81}{8}$ .
Schritt 4
Untere Grenze einsetzen
Für $x=0$ : $\frac{1}{8}(2 \cdot 0 + 1)^4 = \frac{1}{8}(1)^4 = \frac{1}{8}$ .
Schritt 5 · Ergebnis
Differenz bilden
Wert $= \frac{81}{8} - \frac{1}{8} = \frac{80}{8} = 10$ .

Ergebnis:

Der Wert des Integrals ist 10.

Beispiel 2

Aufgabe

Berechne das Integral $\int_0^{\pi/2} \cos(2x) \, dx$ .

Fortschritt

5 / 5

1
Schritt 1
Stammfunktion bilden
- Integrand: $\cos(2x)$ . Innere Funktion ist $2x$ , also ist $a=2$ .
- Äußere Stammfunktion: Die Stammfunktion von $\cos(u)$ ist $\sin(u)$ .
- Regel anwenden: $F(x) = \frac{1}{2} \sin(2x)$ .
Schritt 2
Grenzen einsetzen
$\int_0^{\pi/2} \cos(2x) \, dx = [\frac{1}{2}\sin(2x)]_0^{\pi/2}$
Schritt 3
Obere Grenze einsetzen
Für $x=\pi/2$ : $\frac{1}{2}\sin(2 \cdot \frac{\pi}{2}) = \frac{1}{2}\sin(\pi) = \frac{1}{2} \cdot 0 = 0$ .
Schritt 4
Untere Grenze einsetzen
Für $x=0$ : $\frac{1}{2}\sin(2 \cdot 0) = \frac{1}{2}\sin(0) = \frac{1}{2} \cdot 0 = 0$ .
Schritt 5 · Ergebnis
Differenz bilden
Wert $= 0 - 0 = 0$ .

Ergebnis:

Der Wert des Integrals ist 0.

Beispiel 3

Aufgabe

Berechne das Integral $\int_1^2 e^{3x-3} \, dx$ .

Fortschritt

5 / 5

1
Schritt 1
Stammfunktion bilden
- Integrand: $e^{3x-3}$ . Innere Funktion ist $3x-3$ , also ist $a=3$ .
- Äußere Stammfunktion: Die Stammfunktion von $e^u$ ist $e^u$ .
- Regel anwenden: $F(x) = \frac{1}{3}e^{3x-3}$ .
Schritt 2
Grenzen einsetzen
$\int_1^2 e^{3x-3} \, dx = [\frac{1}{3}e^{3x-3}]_1^2$
Schritt 3
Obere Grenze einsetzen
Für $x=2$ : $\frac{1}{3}e^{3 \cdot 2 - 3} = \frac{1}{3}e^{3}$ .
Schritt 4
Untere Grenze einsetzen
Für $x=1$ : $\frac{1}{3}e^{3 \cdot 1 - 3} = \frac{1}{3}e^{0} = \frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3}$ .
Schritt 5 · Ergebnis
Differenz bilden
Wert $= \frac{1}{3}e^3 - \frac{1}{3} = \frac{e^3-1}{3}$ .

Ergebnis:

Der Wert des Integrals ist $\frac{e^3-1}{3}$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Berechne das Integral $\int_2^5 \frac{6}{\sqrt{2x-3}} \, dx$ .

Fortschritt

5 / 5

1
Schritt 1
Stammfunktion bilden
Zuerst schreiben wir den Term um: $f(x) = 6(2x-3)^{-\frac{1}{2}}$
- Integrand: $6(2x-3)^{-\frac{1}{2}}$ . Innere Funktion ist $2x-3$ , also ist $a=2$ . Der Faktor 6 bleibt erhalten.
- Äußere Stammfunktion: Die Stammfunktion von $u^{-\frac{1}{2}}$ ist $\frac{1}{1/2}u^{1/2} = 2u^{1/2}$ .
- Regel anwenden: $F(x) = 6 \cdot (\frac{1}{2} \cdot 2(2x-3)^{\frac{1}{2}}) = 6\sqrt{2x-3}$ .
Schritt 2
Grenzen einsetzen
$\int_2^5 \frac{6}{\sqrt{2x-3}} \, dx = [6\sqrt{2x-3}]_2^5$
Schritt 3
Obere Grenze einsetzen
Für $x=5$ : $6\sqrt{2 \cdot 5 - 3} = 6\sqrt{7}$ .
Schritt 4
Untere Grenze einsetzen
Für $x=2$ : $6\sqrt{2 \cdot 2 - 3} = 6\sqrt{1} = 6$ .
Schritt 5 · Ergebnis
Differenz bilden
Wert $= 6\sqrt{7} - 6$ .

Ergebnis:

Der Wert des Integrals ist $6\sqrt{7} - 6$ .

Beispiel 5

Aufgabe

Berechne das Integral $\int_{-1}^1 \frac{1}{(4-2x)^2} \, dx$ .

Fortschritt

5 / 5

1
Schritt 1
Stammfunktion bilden
Zuerst schreiben wir den Term um: $f(x) = (4-2x)^{-2}$
- Integrand: $(4-2x)^{-2}$ . Innere Funktion ist $4-2x$ , also ist $a=-2$ .
- Äußere Stammfunktion: Die Stammfunktion von $u^{-2}$ ist $\frac{1}{-1}u^{-1} = -u^{-1}$ .
- Regel anwenden: $F(x) = \frac{1}{-2} \cdot (-(4-2x)^{-1}) = \frac{1}{2}(4-2x)^{-1} = \frac{1}{2(4-2x)}$ .
Schritt 2
Grenzen einsetzen
$\int_{-1}^1 \frac{1}{(4-2x)^2} \, dx = [\frac{1}{2(4-2x)}]_{-1}^1$
Schritt 3
Obere Grenze einsetzen
Für $x=1$ : $\frac{1}{2(4-2 \cdot 1)} = \frac{1}{2(2)} = \frac{1}{4}$ .
Schritt 4
Untere Grenze einsetzen
Für $x=-1$ : $\frac{1}{2(4-2 \cdot (-1))} = \frac{1}{2(4+2)} = \frac{1}{2(6)} = \frac{1}{12}$ .
Schritt 5 · Ergebnis
Differenz bilden
Wert $= \frac{1}{4} - \frac{1}{12} = \frac{3}{12} - \frac{1}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$ .

Ergebnis:

Der Wert des Integrals ist $\frac{1}{6}$ .

Wichtige Erkenntnisse

Die goldene Regel: Bei einer Funktion der Form $f(ax+b)$ lautet die Stammfunktion $\frac{1}{a}F(ax+b) + C$ , wobei $F$ die Stammfunktion von $f$ ist.
Der Korrekturfaktor: Der entscheidende Teil ist der Faktor $\frac{1}{a}$ . Er ist der Kehrwert der inneren Ableitung.
Umschreiben nicht vergessen: Wurzeln und Brüche müssen oft zuerst in Potenzen umgeschrieben werden (z.B. $\sqrt{x} = x^{1/2}$ oder $\frac{1}{x^3} = x^{-3}$ ).
Bestimmte Integrale: Bilde zuerst die Stammfunktion (ohne C) und berechne dann „obere Grenze minus untere Grenze".

Lineare Substitution bei Integralen einfach erklärt

Vorwissen

Aufgabentyp 1: Unbestimmte Integrale mit linearer Substitution

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 2: Bestimmte Integrale mit linearer Substitution

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Wichtige Erkenntnisse

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