Was ist eine lineare Funktion?

Eine lineare Funktion beschreibt eine gerade Linie im Koordinatensystem. Sie hat immer die Form f(x) = mx + b . Dabei ist m die Steigung und b der y-Achsenabschnitt.

Wie stelle ich eine lineare Funktion aus zwei Punkten auf?

Zuerst berechnest du die Steigung m mit der Formel m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) . Danach setzt du m und einen der beiden Punkte in die Gleichung y = mx + b ein und löst nach b auf.

Wie lese ich eine lineare Funktion aus einem Graphen ab?

Den y-Achsenabschnitt b liest du dort ab, wo die Gerade die senkrechte y-Achse schneidet. Für die Steigung m suchst du einen zweiten Punkt und zeichnest ein Steigungsdreieck. Teile dann die Schritte nach oben oder unten durch die Schritte nach rechts.

Was bedeutet es, wenn zwei Geraden parallel sind?

Wenn zwei Geraden parallel zueinander verlaufen, haben sie exakt dieselbe Steigung m . Du kannst also die Steigung der einen Geraden direkt für die Gleichung der anderen Geraden übernehmen.

Lineare Funktion aufstellen

Stell dir vor, du programmierst ein Videospiel und möchtest, dass ein Laserstrahl ein bestimmtes Ziel trifft. Du weißt, wo der Laser startet und in welche Richtung er schießt, aber wie erklärst du dem Computer, wo genau die Linie verlaufen soll? Genau dafür müssen wir eine lineare Funktion aufstellen! Wenn wir ein paar Hinweise haben (wie Punkte auf einer Karte oder die Steilheit des Lasers), können wir die exakte mathematische Formel für jede beliebige gerade Linie berechnen. Lass uns lernen, wie wir aus verschiedenen Hinweisen den passenden Funktionsterm zusammenbauen!

Vorwissen

Die allgemeine Geradengleichung: Jede gerade Linie kann mit der Formel $f(x) = mx + b$ (oder $y = mx + b$ ) beschrieben werden.

Beispiel: Bei der Funktion $y = 2x + 3$ ist $\textcolor{#08BFFF}{2}$ die Steigung ( $m$ ) und $\textcolor{#9570FF}{3}$ der $y$ -Achsenabschnitt ( $b$ ).
Gleichungen umstellen: Du solltest wissen, wie man eine einfache Gleichung nach einer Unbekannten auflöst.

Beispiel: Um $5 = 2 + b$ nach $b$ aufzulösen, rechnest du auf beiden Seiten $-2$ und erhältst $b = 3$ .

Aufgabentyp 1: Aufstellen mit Punkt und Steigung

Um eine Geradengleichung $y = \textcolor{#08BFFF}{m}x + \textcolor{#9570FF}{b}$ aufzustellen, brauchen wir immer zwei Dinge: die Steigung m und den y-Achsenabschnitt b.

Manchmal ist die Steigung schon gegeben, und wir kennen zusätzlich einen Punkt $P(x \mid y)$ , der auf der Geraden liegt. Das ist wie ein Puzzle, bei dem uns nur noch ein Teil fehlt: der Wert für $\textcolor{#9570FF}{b}$ .

Wir setzen einfach alles, was wir wissen, in die allgemeine Gleichung ein.

Beispiel: Die Steigung ist $\textcolor{#08BFFF}{m = 2}$ und die Gerade verläuft durch den Punkt $P(3 \mid 7)$ . Das bedeutet, wenn $x = 3$ ist, muss $y = 7$ sein.

Wir setzen ein:

$y = \textcolor{#08BFFF}{m} \cdot x + \textcolor{#9570FF}{b}$

$7 = \textcolor{#08BFFF}{2} \cdot 3 + \textcolor{#9570FF}{b}$

Jetzt rechnen wir das aus und lösen nach $\textcolor{#9570FF}{b}$ auf:

$7 = 6 + \textcolor{#9570FF}{b}$

Wir ziehen auf beiden Seiten $6$ ab ( $-6$ ) und erhalten:

$\textcolor{#9570FF}{1 = b}$

Jetzt haben wir beide Puzzleteile ( $\textcolor{#08BFFF}{m=2}$ und $\textcolor{#9570FF}{b=1}$ ) und können die fertige Gleichung aufschreiben: $f(x) = \textcolor{#08BFFF}{2}x + \textcolor{#9570FF}{1}$ .

Aufgabentyp 2: Aufstellen mit Punkt und paralleler Gerade

Manchmal bekommst du die Steigung nicht direkt als Zahl, sondern als Geheimcode. Wenn es heißt, dass deine gesuchte Gerade parallel zu einer anderen Geraden verläuft, bedeutet das einfach: Beide Geraden haben exakt dieselbe Steigung!

Beispiel: Deine Gerade soll durch den Punkt $P(2 \mid 5)$ verlaufen und parallel zur Geraden $h(x) = \textcolor{#08BFFF}{4}x - 1$ sein.

Da sie parallel sind, klaust du dir einfach die Steigung von $h(x)$ . Deine Steigung ist also auch $\textcolor{#08BFFF}{m = 4}$ .

Ab hier machst du genau das Gleiche wie vorher: Du setzt $\textcolor{#08BFFF}{m = 4}$ und den Punkt $P(2 \mid 5)$ in die Gleichung ein:

$5 = \textcolor{#08BFFF}{4} \cdot 2 + \textcolor{#9570FF}{b}$

$5 = 8 + \textcolor{#9570FF}{b}$

Wir rechnen $-8$ auf beiden Seiten:

$\textcolor{#9570FF}{-3 = b}$

Die fertige Gleichung lautet also: $f(x) = \textcolor{#08BFFF}{4}x \textcolor{#9570FF}{- 3}$ .

Aufgabentyp 3: Aufstellen mit zwei Punkten

Wenn du gar keine Steigung gegeben hast, sondern nur zwei Punkte kennst, musst du die Steigung m zuerst selbst berechnen. Dafür nutzen wir die Formel für das Steigungsdreieck:

$\textcolor{#08BFFF}{m} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Beispiel: Die Gerade geht durch $P_1(1 \mid 2)$ und $P_2(3 \mid 10)$ .

Wir setzen die Koordinaten in die Formel ein (wir ziehen die $y$ -Werte voneinander ab und teilen sie durch die Differenz der $x$ -Werte):

$\textcolor{#08BFFF}{m} = \frac{10 - 2}{3 - 1} = \frac{8}{2} = \textcolor{#08BFFF}{4}$

Jetzt wissen wir, dass $\textcolor{#08BFFF}{m = 4}$ ist. Um nun $\textcolor{#9570FF}{b}$ zu finden, suchst du dir einfach einen der beiden Punkte aus (egal welchen!) und machst genau das Gleiche wie im ersten Abschnitt.

Nehmen wir den Punkt $P_1(1 \mid 2)$ :

$2 = \textcolor{#08BFFF}{4} \cdot 1 + \textcolor{#9570FF}{b}$

$2 = 4 + \textcolor{#9570FF}{b}$

Wir rechnen $-4$ auf beiden Seiten:

$\textcolor{#9570FF}{-2 = b}$

Die fertige Gleichung lautet: $f(x) = \textcolor{#08BFFF}{4}x \textcolor{#9570FF}{- 2}$ .

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Dieser Plan hilft dir immer, wenn du zwei Punkte gegeben hast (oder sie aus einer Tabelle abliest).

Steigung berechnen: Nutze die Formel $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ , um die Steigung zu berechnen. Achte dabei gut auf die Vorzeichen, wenn negative Zahlen im Spiel sind!
Einen Punkt auswählen: Suche dir einen der beiden Punkte aus. Es ist völlig egal, welchen du nimmst. Nimm am besten den, der einfachere Zahlen hat (z.B. keine Kommazahlen).
Werte einsetzen und nach b auflösen: Setze deine berechnete Steigung $m$ und die $x$ - und $y$ -Koordinaten deines gewählten Punktes in die allgemeine Gleichung $y = mx + b$ ein. Löse die Gleichung dann nach $b$ auf.
Funktionsgleichung notieren: Schreibe die fertige Gleichung auf, indem du deine gefundenen Zahlen für $m$ und $b$ in $f(x) = mx + b$ einsetzt. Das $x$ bleibt als Buchstabe stehen!

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 0

Aufgabe

Gegeben ist eine Gerade $g$ , die durch die Punkte $A(-2 \mid -1)$ und $B(2 \mid 7)$ verläuft. Gib den Funktionsterm von $g$ an.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Steigung berechnen
Wir setzen die Koordinaten von $A$ und $B$ in die Formel ein: $m = \frac{7 - (-1)}{2 - (-2)}$ $m = \frac{7 + 1}{2 + 2} = \frac{8}{4} = 2$ Die Steigung ist $\textcolor{#08BFFF}{m = 2}$ .
Schritt 2
Einen Punkt auswählen
Wir wählen den Punkt $B(2 \mid 7)$ , da er keine negativen Zahlen hat.
Schritt 3
Werte einsetzen und nach b auflösen
Wir setzen $x = 2$ , $y = 7$ und $\textcolor{#08BFFF}{m = 2}$ in die Gleichung $y = mx + b$ ein: $7 = \textcolor{#08BFFF}{2} \cdot 2 + b$ $7 = 4 + b$ Wir rechnen auf beiden Seiten $-4$ : $3 = b$ Der $y$ -Achsenabschnitt ist $\textcolor{#9570FF}{b = 3}$ .
Schritt 4 · Ergebnis
Funktionsgleichung notieren
Die Gerade $g$ wird durch die Gleichung $g(x) = 2x + 3$ beschrieben.

Ergebnis:

Die Funktionsgleichung lautet $g(x) = 2x + 3$ .

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Quizfrage 1 zu Lineare Funktion aufstellen

Wofür stehen die Variablen $m$ und $b$ in der allgemeinen Geradengleichung $f(x) = mx + b$ ?

Quizfrage 2 zu Lineare Funktion aufstellen

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Wie lautet die fertige Funktionsgleichung, wenn die Steigung $m = 2$ ist und die Gerade durch den Punkt $P(3 \mid 7)$ verläuft?

Übungsaufgabe zu Lineare Funktion aufstellen

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Aufgabentyp 4: Aufstellen aus einer Wertetabelle

Eine Wertetabelle sieht vielleicht anders aus, aber sie ist eigentlich nur eine Liste von Punkten! In der oberen Zeile stehen die $x$ -Werte, in der unteren Zeile die passenden $y$ -Werte.

Um die Geradengleichung herauszufinden, suchst du dir einfach zwei beliebige Spalten aus der Tabelle aus. Jede Spalte ist ein Punkt $(x \mid y)$ .

Sobald du dir zwei Punkte aufgeschrieben hast, gehst du exakt so vor wie im vorherigen Abschnitt: Du berechnest zuerst die Steigung $\textcolor{#08BFFF}{m}$ mit der Formel und setzt danach einen Punkt ein, um $\textcolor{#9570FF}{b}$ zu berechnen. Wenn du die fertige Gleichung hast, kannst du sie benutzen, um fehlende Lücken in der Tabelle auszurechnen, indem du einfach den $x$ -Wert einsetzt.

Aufgabentyp 5: Aufstellen aus einer Abbildung

Wenn du den Graphen einer Geraden gezeichnet siehst, kannst du die Gleichung oft direkt ablesen, ohne viel zu rechnen.

Den y-Achsenabschnitt ablesen: Schau dir an, wo die Gerade die senkrechte $y$ -Achse schneidet. Dieser Wert ist direkt dein $\textcolor{#9570FF}{b}$ .
Die Steigung ablesen: Suche dir einen zweiten Punkt auf der Geraden, den du gut ablesen kannst (am besten dort, wo sich die Kästchenlinien kreuzen). Zeichne ein Steigungsdreieck vom ersten zum zweiten Punkt. Teile die Schritte, die du nach oben/unten gehst, durch die Schritte, die du nach rechts gehst.

In der Abbildung schneidet die Gerade die $y$ -Achse bei $1$ . Also ist $\textcolor{#9570FF}{b = 1}$ . Für das Steigungsdreieck gehen wir $2$ Schritte nach rechts und $3$ Schritte nach oben. Die Steigung ist also $\textcolor{#08BFFF}{m} = \frac{3}{2} = \textcolor{#08BFFF}{1{,}5}$ . Die Gleichung lautet: $f(x) = \textcolor{#08BFFF}{1{,}5}x + \textcolor{#9570FF}{1}$ .

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Bestimme den Funktionsterm der abgebildeten Geraden $h$ .

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
y-Achsenabschnitt ablesen
Wir schauen, wo die Gerade die senkrechte $y$ -Achse schneidet. Das passiert beim Wert $-2$ . Also ist $\textcolor{#9570FF}{b = -2}$ .
Schritt 2
Steigung ablesen
Wir suchen einen zweiten Punkt, der genau auf einem Kästchenkreuz liegt. Ein guter Punkt ist $(3 \mid 0)$ . Wir zeichnen in Gedanken (oder auf dem Papier) ein Steigungsdreieck vom Punkt $(0 \mid -2)$ zum Punkt $(3 \mid 0)$ .
Steigungsdreieck der Geraden h
Wir gehen $3$ Schritte nach rechts und $2$ Schritte nach oben. Die Steigung berechnet sich aus $\frac{\text{Schritte nach oben}}{\text{Schritte nach rechts}}$ . Also ist $\textcolor{#08BFFF}{m = \frac{2}{3}}$ .
Schritt 3 · Ergebnis
Funktionsgleichung notieren
Wir setzen die Werte ein. Die Gerade $h$ wird durch die Gleichung $h(x) = \frac{2}{3}x - 2$ beschrieben.

Ergebnis:

Die Funktionsgleichung lautet $h(x) = \frac{2}{3}x - 2$ .

Wichtige Erkenntnisse

Um eine Geradengleichung aufzustellen, brauchst du immer genau zwei Werte: die Steigung $m$ und den $y$ -Achsenabschnitt $b$ .
Wenn die Steigung nicht gegeben ist, kannst du sie aus zwei Punkten mit der Formel $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ berechnen.
Um $b$ zu finden, setzt du einfach die Steigung $m$ und einen bekannten Punkt $(x \mid y)$ in die Gleichung $y = mx + b$ ein und löst nach $b$ auf.

Lineare Funktion aufstellen einfach erklärt: Regeln & Beispiele