Was ist eine lineare Funktion und wie stellt man sie auf?

Eine lineare Funktion hat die Form f(x) = mx + b , wobei m die Steigung und b der y-Achsenabschnitt ist. Um sie aufzustellen, brauchst du immer diese beiden Werte. Kennst du einen Punkt und die Steigung, setzt du beides in y = mx + b ein und löst nach b auf. Kennst du zwei Punkte, berechnest du zuerst m mit der Steigungsformel und bestimmst danach b .

Wie stellst du eine lineare Funktion aus zwei Punkten auf?

Berechne zunächst die Steigung mit der Formel m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁) . Setze anschließend die berechnete Steigung und die Koordinaten eines der beiden Punkte in die allgemeine Form y = mx + b ein. Löse die Gleichung nach b auf und schreibe abschließend die vollständige Funktionsgleichung f(x) = mx + b auf.

Wie findest du die Steigung aus einem Graphen?

Suche zuerst den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse – das ist dein y-Achsenabschnitt b . Wähle dann einen zweiten gut ablesbaren Punkt auf der Geraden und zeichne ein Steigungsdreieck . Zähle, wie viele Einheiten du nach rechts ( Δx ) und nach oben oder unten ( Δy ) gehst. Die Steigung ergibt sich dann als m = Δy / Δx .

Was gilt für parallele Geraden beim Aufstellen einer Funktionsgleichung?

Parallele Geraden haben immer exakt die gleiche Steigung m . Wenn du also eine Gerade parallel zu einer bekannten Geraden aufstellen sollst, liest du die Steigung einfach aus der gegebenen Gleichung ab und übernimmst sie direkt. Danach bestimmst du nur noch den y-Achsenabschnitt b mithilfe des angegebenen Punktes.

Wie liest du eine lineare Funktion aus einer Wertetabelle ab?

Wähle zwei beliebige Spalten der Tabelle als Punkte P₁(x₁|y₁) und P₂(x₂|y₂) aus. Berechne die Steigung mit m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁) . Setze m und einen der Punkte in y = mx + b ein und löse nach b auf. Liegt ein Punkt mit x = 0 in der Tabelle, kannst du b sofort direkt ablesen.

Lineare Funktionen aufstellen

Lineare Funktionen aufstellen ist wie ein Cheat-Code für deine nächste Mathe-Prüfung: Egal ob du nur einen Punkt und die Steigung kennst, zwei Punkte gegeben hast, eine Wertetabelle siehst oder einen Graphen vor dir liegen hast – das Prinzip ist immer dasselbe. Wenn du dieses System einmal verstanden hast, erkennst du den Aufgabentyp sofort, folgst ein paar einfachen Schritten und holst dir sicher die Punkte. Lass uns diesen Code gemeinsam knacken!

Vorwissen

Bevor wir loslegen, wiederholen wir kurz die Grundlagen:

Allgemeine Form einer linearen Funktion: Das ist die Grundformel für jede Gerade.
- Formel: $f(x) = mx + b$
- Beispiel: $f(x) = 2x + 3$ ist eine lineare Funktion mit der Steigung 2 und dem y-Achsenabschnitt 3.
Die Steigung $m$ : Sie gibt an, wie steil die Gerade ansteigt oder abfällt.
- Beispiel: Bei $m=2$ gehst du von einem Punkt aus 1 Einheit nach rechts und 2 Einheiten nach oben.
Der y-Achsenabschnitt $b$ : Das ist der Punkt, an dem die Gerade die y-Achse schneidet.
- Beispiel: Bei $b=3$ schneidet die Gerade die y-Achse im Punkt $(0|3)$ .
Punktkoordinaten: Ein Punkt wird immer als Paar $(x|y)$ angegeben.
- Beispiel: Der Punkt $P(4|5)$ hat die x-Koordinate 4 und die y-Koordinate 5.

Aufgabentyp 1: Aus Punkt und Steigung

Das ist der einfachste Fall beim linearen Funktionen aufstellen. Du hast bereits die Steigung $m$ und einen Punkt $P(x|y)$ , der auf der Geraden liegt. Deine einzige Aufgabe ist es, den fehlenden y-Achsenabschnitt $b$ zu finden.

Dazu nimmst du die allgemeine Form $y = mx + b$ , setzt alles ein, was du kennst, und löst die Gleichung nach $b$ auf.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Informationen notieren: Schreibe die gegebene Steigung $m$ und die Koordinaten des Punktes $P(x|y)$ auf.
Werte in die allgemeine Form einsetzen: Setze $m$ , $x$ und $y$ in die allgemeine Geradengleichung $y = mx + b$ ein.
Gleichung nach $b$ auflösen: Rechne die Gleichung aus und stelle sie so um, dass $b$ alleine steht.
Funktionsgleichung aufstellen: Setze die berechnete Steigung $m$ und den y-Achsenabschnitt $b$ in die allgemeine Form $f(x) = mx + b$ ein.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Eine Gerade $g$ hat die Steigung $m=2$ und verläuft durch den Punkt $P(3|8)$ . Gib die Funktionsgleichung an.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Informationen notieren
$m=2$

$P(3|8) \to x=3, y=8$
Schritt 2
Werte einsetzen
Wir setzen die Werte in $y = mx + b$ ein:

$8 = 2 \cdot 3 + b$
Schritt 3
Nach $b$ auflösen
$8 = 6 + b \quad | -6$

$2 = b$
Schritt 4 · Ergebnis
Funktionsgleichung aufstellen
Mit $m=2$ und $b=2$ lautet die Gleichung:

$g(x) = 2x + 2$

Ergebnis:

$g(x) = 2x + 2$

Beispiel 2

Aufgabe

Eine Gerade $h$ hat die Steigung $m=-0{,}5$ und geht durch den Punkt $Q(-4|5)$ . Bestimme die Funktionsgleichung.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Informationen notieren
$m=-0{,}5$

$Q(-4|5) \to x=-4, y=5$
Schritt 2
Werte einsetzen
Wir setzen in $y = mx + b$ ein:

$5 = (-0{,}5) \cdot (-4) + b$
Schritt 3
Nach $b$ auflösen
$5 = 2 + b \quad | -2$

$3 = b$
Schritt 4 · Ergebnis
Funktionsgleichung aufstellen
Mit $m=-0{,}5$ und $b=3$ lautet die Gleichung:

$h(x) = -0{,}5x + 3$

Ergebnis:

$h(x) = -0{,}5x + 3$

Beispiel 3

Aufgabe

Eine lineare Funktion hat die Steigung $m = \frac{1}{3}$ und ihr Graph verläuft durch den Punkt $A(6|1)$ . Wie lautet die Funktionsgleichung?

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Informationen notieren
$m = \frac{1}{3}$

$A(6|1) \to x=6, y=1$
Schritt 2
Werte einsetzen
Wir setzen in $y = mx + b$ ein:

$1 = \frac{1}{3} \cdot 6 + b$
Schritt 3
Nach $b$ auflösen
$1 = 2 + b \quad | -2$

$-1 = b$
Schritt 4 · Ergebnis
Funktionsgleichung aufstellen
Mit $m=\frac{1}{3}$ und $b=-1$ lautet die Gleichung:

$f(x) = \frac{1}{3}x - 1$

Ergebnis:

$f(x) = \frac{1}{3}x - 1$

Beispiel 4

Aufgabe

Eine Gerade mit der Steigung $m=0$ geht durch den Punkt $B(5|-2)$ . Gib die Geradengleichung an.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Informationen notieren
$m=0$

$B(5|-2) \to x=5, y=-2$
Schritt 2
Werte einsetzen
Wir setzen in $y = mx + b$ ein:

$-2 = 0 \cdot 5 + b$
Schritt 3
Nach $b$ auflösen
$-2 = 0 + b$

$-2 = b$
Schritt 4 · Ergebnis
Funktionsgleichung aufstellen
Mit $m=0$ und $b=-2$ lautet die Gleichung:

$f(x) = 0x - 2$ , was vereinfacht $f(x) = -2$ ist. Das ist eine waagerechte Gerade.

Ergebnis:

$f(x) = -2$

Beispiel 5

Aufgabe

Der Graph einer linearen Funktion $f$ hat die Steigung $m=-3$ und schneidet die x-Achse bei $x=2$ . Bestimme die Funktionsgleichung.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Informationen notieren
Die Information „schneidet die x-Achse bei $x=2$ " bedeutet, dass der Punkt $P(2|0)$ auf der Geraden liegt (jeder Punkt auf der x-Achse hat die y-Koordinate 0).

$m=-3$

$P(2|0) \to x=2, y=0$
Schritt 2
Werte einsetzen
Wir setzen in $y = mx + b$ ein:

$0 = (-3) \cdot 2 + b$
Schritt 3
Nach $b$ auflösen
$0 = -6 + b \quad | +6$

$6 = b$
Schritt 4 · Ergebnis
Funktionsgleichung aufstellen
Mit $m=-3$ und $b=6$ lautet die Gleichung:

$f(x) = -3x + 6$

Ergebnis:

$f(x) = -3x + 6$

Aufgabentyp 2: Aus zwei Punkten

Wenn du lineare Funktionen aufstellen willst und zwei Punkte $P_1(x_1|y_1)$ und $P_2(x_2|y_2)$ gegeben hast, fehlt dir zunächst die Steigung $m$ . Diese musst du als Erstes berechnen.

Die Formel dafür leitet sich vom Steigungsdreieck ab und lautet:

$m = \frac{\text{Unterschied der y-Werte}}{\text{Unterschied der x-Werte}} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Sobald du $m$ berechnet hast, machst du genau wie bei Aufgabentyp 1 weiter: Du nimmst die Steigung und einen der beiden Punkte, um $b$ zu bestimmen.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Steigung $m$ berechnen: Setze die Koordinaten der beiden Punkte $P_1(x_1|y_1)$ und $P_2(x_2|y_2)$ in die Steigungsformel ein: $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
Einen Punkt auswählen und Werte einsetzen: Wähle einen der beiden gegebenen Punkte (egal welchen, das Ergebnis ist dasselbe!). Setze die berechnete Steigung $m$ und die Koordinaten des gewählten Punktes in $y = mx + b$ ein.
Gleichung nach $b$ auflösen: Rechne die Gleichung aus und stelle sie so um, dass $b$ alleine steht.
Funktionsgleichung aufstellen: Setze die berechnete Steigung $m$ und den y-Achsenabschnitt $b$ in die allgemeine Form $f(x) = mx + b$ ein.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Eine Gerade $g$ verläuft durch die Punkte $P_1(2|5)$ und $P_2(4|9)$ . Gib die Funktionsgleichung an.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Steigung $m$ berechnen
$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{9 - 5}{4 - 2} = \frac{4}{2} = 2$
Schritt 2
Einen Punkt auswählen und einsetzen
Wir wählen $P_1(2|5)$ und setzen $m=2$ in $y = mx+b$ ein:

$5 = 2 \cdot 2 + b$
Schritt 3
Nach $b$ auflösen
$5 = 4 + b \quad | -4$

$1 = b$
Schritt 4 · Ergebnis
Funktionsgleichung aufstellen
$g(x) = 2x + 1$

Ergebnis:

$g(x) = 2x + 1$

Beispiel 2

Aufgabe

Bestimme die Gleichung der Geraden $h$ , die durch $A(-1|6)$ und $B(3|-2)$ geht.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Steigung $m$ berechnen
$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-2 - 6}{3 - (-1)} = \frac{-8}{4} = -2$
Schritt 2
Einen Punkt auswählen und einsetzen
Wir wählen $A(-1|6)$ und setzen $m=-2$ in $y = mx+b$ ein:

$6 = (-2) \cdot (-1) + b$
Schritt 3
Nach $b$ auflösen
$6 = 2 + b \quad | -2$

$4 = b$
Schritt 4 · Ergebnis
Funktionsgleichung aufstellen
$h(x) = -2x + 4$

Ergebnis:

$h(x) = -2x + 4$

Beispiel 3

Aufgabe

Eine lineare Funktion verläuft durch die Punkte $P(0|5)$ und $Q(10|0)$ . Wie lautet die Funktionsgleichung?

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Steigung $m$ berechnen
$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{0 - 5}{10 - 0} = \frac{-5}{10} = -0{,}5$
Schritt 2
Einen Punkt auswählen und einsetzen
Der Punkt $P(0|5)$ ist besonders praktisch, da er direkt der y-Achsenabschnitt ist. Wenn $x=0$ , ist der y-Wert immer $b$ . Also wissen wir direkt: $b=5$ .
Schritt 3
Nach $b$ auflösen
Dieser Schritt entfällt, da wir $b$ schon abgelesen haben.
Schritt 4 · Ergebnis
Funktionsgleichung aufstellen
$f(x) = -0{,}5x + 5$

Ergebnis:

$f(x) = -0{,}5x + 5$

Beispiel 4

Aufgabe

Eine Gerade geht durch den Ursprung $(0|0)$ und den Punkt $R(4|6)$ . Bestimme die Geradengleichung.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Steigung $m$ berechnen
$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{6 - 0}{4 - 0} = \frac{6}{4} = 1{,}5$
Schritt 2
Einen Punkt auswählen und einsetzen
Da die Gerade durch den Ursprung geht, wissen wir, dass der y-Achsenabschnitt $b=0$ sein muss.
Schritt 3
Nach $b$ auflösen
Dieser Schritt entfällt.
Schritt 4 · Ergebnis
Funktionsgleichung aufstellen
$f(x) = 1{,}5x + 0$ oder einfach $f(x) = 1{,}5x$ . Solche Funktionen nennt man auch proportionale Funktionen.

Ergebnis:

$f(x) = 1{,}5x$

Beispiel 5

Aufgabe

Finde die Funktionsgleichung der Geraden, die durch $S(5|3)$ und $T(7|3)$ verläuft.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Steigung $m$ berechnen
$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{3 - 3}{7 - 5} = \frac{0}{2} = 0$
Schritt 2
Einen Punkt auswählen und einsetzen
Wir wählen $S(5|3)$ und setzen $m=0$ in $y = mx+b$ ein:

$3 = 0 \cdot 5 + b$
Schritt 3
Nach $b$ auflösen
$3 = 0 + b$

$3 = b$
Schritt 4 · Ergebnis
Funktionsgleichung aufstellen
$f(x) = 0x + 3$ , also $f(x) = 3$ . Das ist eine waagerechte Gerade, da beide Punkte dieselbe y-Koordinate haben.

Ergebnis:

$f(x) = 3$

Aufgabentyp 3: Aus Punkt und paralleler Gerade

Hier bekommst du einen Punkt $P(x|y)$ und die Information, dass deine gesuchte Gerade parallel zu einer anderen Geraden ist. Der Trick ist: Parallele Geraden haben immer die exakt gleiche Steigung.

Deine erste Aufgabe ist es also, die Steigung $m$ der gegebenen Geraden herauszufinden. Sobald du dieses $m$ hast, ist es wieder der gleiche Ablauf wie bei Aufgabentyp 1.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Steigung $m$ der bekannten Geraden bestimmen: Lies die Steigung $m$ aus der Gleichung der gegebenen parallelen Geraden ab oder berechne sie, falls die Gerade durch zwei Punkte gegeben ist.
Steigung für die neue Gerade übernehmen: Da die gesuchte Gerade parallel ist, hat sie dieselbe Steigung $m$ .
Werte in die allgemeine Form einsetzen: Setze die übernommene Steigung $m$ und die Koordinaten des gegebenen Punktes $P(x|y)$ in die Gleichung $y = mx + b$ ein.
Gleichung nach $b$ auflösen: Rechne die Gleichung aus und stelle sie so um, dass $b$ alleine steht.
Funktionsgleichung aufstellen: Setze die Steigung $m$ und den berechneten y-Achsenabschnitt $b$ in die Form $f(x) = mx + b$ ein.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Finde die Gleichung der Geraden $g$ , die parallel zur Geraden $h(x) = 3x - 5$ ist und durch den Punkt $P(2|10)$ verläuft.

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Steigung der bekannten Geraden bestimmen
Die Gerade $h(x) = 3x - 5$ hat die Steigung $m_h = 3$ .
Schritt 2
Steigung für die neue Gerade übernehmen
Da $g$ parallel zu $h$ ist, gilt: $m_g = m_h = 3$ .
Schritt 3
Werte einsetzen
Wir verwenden $m=3$ und den Punkt $P(2|10)$ in $y = mx+b$ :

$10 = 3 \cdot 2 + b$
Schritt 4
Nach $b$ auflösen
$10 = 6 + b \quad | -6$

$4 = b$
Schritt 5 · Ergebnis
Funktionsgleichung aufstellen
$g(x) = 3x + 4$

Ergebnis:

$g(x) = 3x + 4$

Beispiel 2

Aufgabe

Eine Gerade $k$ ist parallel zu einer Geraden, die durch die Punkte $A(1|2)$ und $B(3|8)$ verläuft. Die Gerade $k$ selbst geht durch den Punkt $C(-1|4)$ . Bestimme die Gleichung von $k$ .

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Steigung der bekannten Geraden bestimmen
Wir berechnen zuerst die Steigung der Geraden durch A und B:

$m_{AB} = \frac{8 - 2}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3$
Schritt 2
Steigung für die neue Gerade übernehmen
Da $k$ parallel zur Geraden durch A und B ist, gilt: $m_k = 3$ .
Schritt 3
Werte einsetzen
Wir verwenden $m=3$ und den Punkt $C(-1|4)$ in $y = mx+b$ :

$4 = 3 \cdot (-1) + b$
Schritt 4
Nach $b$ auflösen
$4 = -3 + b \quad | +3$

$7 = b$
Schritt 5 · Ergebnis
Funktionsgleichung aufstellen
$k(x) = 3x + 7$

Ergebnis:

$k(x) = 3x + 7$

Beispiel 3

Aufgabe

Gib die Gleichung einer Geraden an, die parallel zur y-Achse verläuft und durch den Punkt $P(4|7)$ geht.

Dieser Fall ist speziell. Eine Gerade parallel zur y-Achse hat eine unendliche Steigung und kann nicht mit der Form $y=mx+b$ beschrieben werden. Stattdessen haben alle Punkte auf einer solchen Geraden dieselbe x-Koordinate.

Da die Gerade durch $P(4|7)$ gehen muss, haben alle Punkte auf ihr die x-Koordinate 4.

Die Gleichung lautet daher: $x = 4$ .

Ergebnis:

$x = 4$

Beispiel 4

Aufgabe

Eine Gerade $f$ ist parallel zur Geraden $g(x) = -\frac{1}{2}x + 1$ und verläuft durch den Ursprung $O(0|0)$ . Bestimme die Gleichung von $f$ .

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Steigung der bekannten Geraden bestimmen
Die Steigung von $g(x)$ ist $m_g = -\frac{1}{2}$ .
Schritt 2
Steigung für die neue Gerade übernehmen
Da $f$ parallel zu $g$ ist, ist $m_f = -\frac{1}{2}$ .
Schritt 3
Werte einsetzen
Der Punkt ist der Ursprung $O(0|0)$ . Eine Gerade, die durch den Ursprung geht, hat immer den y-Achsenabschnitt $b=0$ .
Schritt 4
Nach $b$ auflösen
Dieser Schritt entfällt, da $b=0$ bekannt ist.
Schritt 5 · Ergebnis
Funktionsgleichung aufstellen
$f(x) = -\frac{1}{2}x + 0$ oder einfach $f(x) = -\frac{1}{2}x$ .

Ergebnis:

$f(x) = -\frac{1}{2}x$

Beispiel 5

Aufgabe

Bestimme die Gleichung der Geraden $g$ , die parallel zur x-Achse ist und durch den Punkt $P(5|-3)$ verläuft.

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Steigung der bekannten Geraden bestimmen
Die x-Achse ist eine waagerechte Gerade. Jede waagerechte Gerade hat die Steigung $m=0$ .
Schritt 2
Steigung für die neue Gerade übernehmen
Da $g$ parallel zur x-Achse ist, ist $m_g = 0$ .
Schritt 3
Werte einsetzen
Wir verwenden $m=0$ und den Punkt $P(5|-3)$ in $y = mx+b$ :

$-3 = 0 \cdot 5 + b$
Schritt 4
Nach $b$ auflösen
$-3 = 0 + b$

$b = -3$
Schritt 5 · Ergebnis
Funktionsgleichung aufstellen
$g(x) = 0x - 3$ , also $g(x) = -3$ .

Ergebnis:

$g(x) = -3$

Aufgabentyp 4: Aus einer Wertetabelle

Eine Wertetabelle ist nichts anderes als eine Liste von Punkten. Um die Funktionsgleichung zu finden, suchst du dir einfach zwei beliebige Punkte (also zwei Spalten) aus der Tabelle aus.

Mit diesen beiden Punkten verfährst du dann genau so wie bei Aufgabentyp 2: Aus zwei Punkten beschrieben. Zuerst die Steigung $m$ berechnen, dann mit einem der Punkte den y-Achsenabschnitt $b$ bestimmen.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Zwei Punkte aus der Tabelle auswählen: Wähle zwei beliebige Spalten aus der Wertetabelle. Jede Spalte repräsentiert einen Punkt $P(x|y)$ . Nennen wir sie $P_1(x_1|y_1)$ und $P_2(x_2|y_2)$ .
Steigung $m$ berechnen: Setze die Koordinaten der beiden Punkte in die Steigungsformel ein: $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
Werte in die allgemeine Form einsetzen: Nimm die berechnete Steigung $m$ und einen der beiden Punkte und setze sie in $y = mx + b$ ein.
Gleichung nach $b$ auflösen: Löse die Gleichung nach $b$ auf.
Funktionsgleichung aufstellen: Setze $m$ und $b$ in die Form $f(x) = mx + b$ ein. Falls die Tabelle Lücken hat, kannst du diese nun mit der fertigen Funktionsgleichung füllen.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Gegeben ist die folgende Wertetabelle für eine lineare Funktion $f$ . Bestimme die Funktionsgleichung.

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & -2 & 0 & 2 & 4 \\ \hline f(x) & 1 & 5 & 9 & 13 \\ \hline \end{array}$

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Zwei Punkte auswählen
Wir wählen die Punkte $P_1(-2|1)$ und $P_2(0|5)$ . Der zweite Punkt ist besonders praktisch, da er den y-Achsenabschnitt direkt verrät: $b=5$ .
Schritt 2
Steigung $m$ berechnen
$m = \frac{5 - 1}{0 - (-2)} = \frac{4}{2} = 2$
Schritt 3 & 4
Zusammenfassen und vergleichen
Schritt 3 & 4 entfallen, da wir $b$ schon abgelesen haben.
Schritt 5 · Ergebnis
Funktionsgleichung aufstellen
Mit $m=2$ und $b=5$ lautet die Gleichung:

$f(x) = 2x + 5$

Ergebnis:

$f(x) = 2x + 5$

Beispiel 2

Aufgabe

Finde die Funktionsgleichung, die zu dieser Wertetabelle gehört, und fülle die Lücke.

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & 1 & 3 & 5 & 7 \\ \hline y & 10 & 4 & -2 & ? \\ \hline \end{array}$

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Zwei Punkte auswählen
Wir nehmen $P_1(1|10)$ und $P_2(3|4)$ .
Schritt 2
Steigung $m$ berechnen
$m = \frac{4 - 10}{3 - 1} = \frac{-6}{2} = -3$
Schritt 3
Werte einsetzen
Wir nehmen $P_1(1|10)$ und $m=-3$ :

$10 = (-3) \cdot 1 + b$
Schritt 4
Nach $b$ auflösen
$10 = -3 + b \quad | +3$

$13 = b$
Schritt 5 · Ergebnis
Funktionsgleichung aufstellen und Lücke füllen
Die Gleichung ist $f(x) = -3x + 13$ .

Um die Lücke bei $x=7$ zu füllen, setzen wir 7 in die Funktion ein:

$f(7) = -3 \cdot 7 + 13 = -21 + 13 = -8$ .

Der fehlende Wert ist -8.

Ergebnis:

$f(x) = -3x + 13$ ; der fehlende Wert bei $x=7$ ist $-8$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Bestimme die Funktionsgleichung für die folgende Tabelle.

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & -4 & -2 & 0 & 2 \\ \hline y & 7 & 6 & 5 & 4 \\ \hline \end{array}$

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Zwei Punkte auswählen
Wir wählen $P_1(-2|6)$ und $P_2(0|5)$ . Aus $P_2$ können wir direkt ablesen: $b=5$ .
Schritt 2
Steigung $m$ berechnen
$m = \frac{5 - 6}{0 - (-2)} = \frac{-1}{2} = -0{,}5$
Schritt 3 & 4
Zusammenfassen und vergleichen
Schritt 3 & 4 entfallen.
Schritt 5 · Ergebnis
Funktionsgleichung aufstellen
$f(x) = -0{,}5x + 5$

Ergebnis:

$f(x) = -0{,}5x + 5$

Beispiel 4

Aufgabe

Eine proportionale Funktion wird durch folgende Wertetabelle beschrieben. Finde die Funktionsgleichung.

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & 1 & 2 & 5 & 10 \\ \hline y & 3{,}5 & 7 & 17{,}5 & 35 \\ \hline \end{array}$

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Zwei Punkte auswählen
Wir wissen, dass $P_1(0|0)$ ein Punkt ist. Aus der Tabelle nehmen wir $P_2(2|7)$ .
Schritt 2
Steigung $m$ berechnen
$m = \frac{7 - 0}{2 - 0} = \frac{7}{2} = 3{,}5$
Schritt 3 & 4
Zusammenfassen und vergleichen
Schritt 3 & 4 entfallen.
Schritt 5 · Ergebnis
Funktionsgleichung aufstellen
$f(x) = 3{,}5x$

Ergebnis:

$f(x) = 3{,}5x$

Beispiel 5

Aufgabe

Die Kosten für eine Taxifahrt setzen sich aus einer Grundgebühr und einem Preis pro Kilometer zusammen. Die Tabelle zeigt einige Beispiele. Bestimme die Kostenfunktion.

$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Kilometer (x)} & 5 & 10 & 20 \\ \hline \text{Kosten in € (y)} & 14{,}50 & 26{,}00 & 49{,}00 \\ \hline \end{array}$

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Zwei Punkte auswählen
Wir nehmen $P_1(5|14{,}50)$ und $P_2(10|26{,}00)$ .
Schritt 2
Steigung $m$ berechnen
$m = \frac{26{,}00 - 14{,}50}{10 - 5} = \frac{11{,}50}{5} = 2{,}30$

Die Steigung (der Kilometerpreis) beträgt 2,30 €.
Schritt 3
Werte einsetzen
Wir nehmen $P_1(5|14{,}50)$ und $m=2{,}30$ :

$14{,}50 = 2{,}30 \cdot 5 + b$
Schritt 4
Nach $b$ auflösen
$14{,}50 = 11{,}50 + b \quad | -11{,}50$

$3{,}00 = b$

Die Grundgebühr beträgt 3,00 €.
Schritt 5 · Ergebnis
Funktionsgleichung aufstellen
$K(x) = 2{,}30x + 3{,}00$

Ergebnis:

$K(x) = 2{,}30x + 3{,}00$

Aufgabentyp 5: Aus einer Abbildung

Wenn du den Graphen einer linearen Funktion siehst, kannst du alle nötigen Informationen direkt ablesen. Das ist oft der schnellste Weg beim linearen Funktionen aufstellen.

Den y-Achsenabschnitt $b$ finden: Schau, wo die Gerade die y-Achse (die senkrechte Achse) schneidet. Der y-Wert dieses Punktes ist dein $b$ .
Die Steigung $m$ finden: Suche dir einen zweiten Punkt auf der Geraden, der gut ablesbar ist (am besten auf einem „Kästchenkreuz"). Zeichne von dort aus ein Steigungsdreieck zum ersten Punkt (oder einem anderen gut lesbaren Punkt). Zähle, wie viele Einheiten du nach rechts ( $\Delta x$ ) und wie viele nach oben/unten ( $\Delta y$ ) gehen musst. Die Steigung ist dann $m = \frac{\Delta y}{\Delta x}$ .

Schritt-für-Schritt-Anleitung

y-Achsenabschnitt $b$ ablesen: Finde den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse. Die y-Koordinate dieses Punktes ist der Wert für $b$ .
Steigungsdreieck einzeichnen und Steigung $m$ bestimmen: Wähle den y-Achsenabschnitt als Startpunkt. Suche einen zweiten Punkt auf der Geraden, dessen Koordinaten du exakt ablesen kannst. Zähle die Kästchen, die du vom Startpunkt nach rechts gehen musst (das ist $\Delta x$ ). Zähle die Kästchen, die du von dort nach oben (positiv) oder unten (negativ) gehen musst (das ist $\Delta y$ ). Berechne die Steigung mit $m = \frac{\Delta y}{\Delta x}$ .
Funktionsgleichung aufstellen: Setze die abgelesenen Werte für $m$ und $b$ in die allgemeine Form $f(x) = mx + b$ ein.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Bestimme die Funktionsgleichung der abgebildeten Geraden $g$ .

Gerade g im Koordinatensystem mit positivem Anstieg

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
y-Achsenabschnitt $b$ ablesen
Die Gerade schneidet die y-Achse im Punkt $(0|1)$ . Also ist $b=1$ .
2
Schritt 2
Steigung $m$ bestimmen
Wir starten bei $(0|1)$ und suchen einen weiteren gut ablesbaren Punkt, z.B. $(2|5)$ .
- Wir gehen 2 Einheiten nach rechts ( $\Delta x = 2$ ).
- Wir gehen 4 Einheiten nach oben ( $\Delta y = 4$ ).
Die Steigung ist $m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{4}{2} = 2$ .
Schritt 3 · Ergebnis
Funktionsgleichung aufstellen
$g(x) = 2x + 1$

Ergebnis:

$g(x) = 2x + 1$

Beispiel 2

Aufgabe

Gib die Funktionsgleichung der Geraden $h$ an.

Gerade h im Koordinatensystem mit negativem Anstieg

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
y-Achsenabschnitt $b$ ablesen
Die Gerade schneidet die y-Achse bei $(0|3)$ . Also ist $b=3$ .
2
Schritt 2
Steigung $m$ bestimmen
Wir starten bei $(0|3)$ und wählen den Punkt $(4|1)$ .
- Wir gehen 4 Einheiten nach rechts ( $\Delta x = 4$ ).
- Wir gehen 2 Einheiten nach unten ( $\Delta y = -2$ ).
Die Steigung ist $m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{-2}{4} = -0{,}5$ .
Schritt 3 · Ergebnis
Funktionsgleichung aufstellen
$h(x) = -0{,}5x + 3$

Ergebnis:

$h(x) = -0{,}5x + 3$

Beispiel 3

Aufgabe

Wie lautet die Funktionsgleichung der Geraden $k$ ?

Gerade k durch den Ursprung im Koordinatensystem

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
y-Achsenabschnitt $b$ ablesen
Die Gerade geht durch den Ursprung $(0|0)$ . Also ist $b=0$ .
2
Schritt 2
Steigung $m$ bestimmen
Wir starten bei $(0|0)$ und wählen den Punkt $(3|2)$ .
- Wir gehen 3 Einheiten nach rechts ( $\Delta x = 3$ ).
- Wir gehen 2 Einheiten nach oben ( $\Delta y = 2$ ).
Die Steigung ist $m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{2}{3}$ .
Schritt 3 · Ergebnis
Funktionsgleichung aufstellen
$k(x) = \frac{2}{3}x + 0$ oder $k(x) = \frac{2}{3}x$ .

Ergebnis:

$k(x) = \frac{2}{3}x$

Beispiel 4

Aufgabe

Bestimme die Funktionsgleichung der waagerechten Geraden $f$ .

Waagerechte Gerade f unterhalb der x-Achse

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
y-Achsenabschnitt $b$ ablesen
Die Gerade schneidet die y-Achse bei $(0|-2)$ . Also ist $b=-2$ .
Schritt 2
Steigung $m$ bestimmen
Die Gerade ist waagerecht. Eine waagerechte Gerade hat immer die Steigung $m=0$ .
Schritt 3 · Ergebnis
Funktionsgleichung aufstellen
$f(x) = 0x - 2$ , also $f(x) = -2$ .

Ergebnis:

$f(x) = -2$

Beispiel 5

Aufgabe

Bestimme die Funktionsgleichung der Geraden $p$ . Beachte die Skalierung der Achsen!

Gerade p mit besonderer Achsenskalierung im Koordinatensystem

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
y-Achsenabschnitt $b$ ablesen
Die Gerade schneidet die y-Achse bei $(0|5)$ . Also ist $b=5$ .
2
Schritt 2
Steigung $m$ bestimmen
Wir starten bei $(0|5)$ und wählen den Punkt $(4|15)$ .
- Wir gehen von $x=0$ zu $x=4$ , also 4 Einheiten nach rechts ( $\Delta x = 4$ ).
- Wir gehen von $y=5$ zu $y=15$ , also 10 Einheiten nach oben ( $\Delta y = 10$ ).
Die Steigung ist $m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{10}{4} = 2{,}5$ .
Schritt 3 · Ergebnis
Funktionsgleichung aufstellen
$p(x) = 2{,}5x + 5$

Ergebnis:

$p(x) = 2{,}5x + 5$

Wichtige Erkenntnisse

Die allgemeine Form einer linearen Funktion ist immer $f(x) = mx + b$ .
Dein Ziel ist es immer, die Werte für die Steigung $m$ und den y-Achsenabschnitt $b$ zu finden.
Aus zwei Punkten $P_1(x_1|y_1)$ und $P_2(x_2|y_2)$ : Berechne zuerst die Steigung mit der Formel $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ .
Um $b$ zu finden: Setze die Steigung $m$ und die Koordinaten eines bekannten Punktes $(x|y)$ in die allgemeine Form ein und löse nach $b$ auf.
Parallele Geraden haben immer die gleiche Steigung $m$ .

Lineare Funktionen aufstellen – einfach erklärt

Vorwissen

Aufgabentyp 1: Aus Punkt und Steigung

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 2: Aus zwei Punkten

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 3: Aus Punkt und paralleler Gerade

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 4: Aus einer Wertetabelle

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 5: Aus einer Abbildung

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Wichtige Erkenntnisse

Häufige Fragen

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