Lineare Funktionen einfach erklärt: Einführung & Beispiele

Stell dir vor, du steigst in ein Taxi. Allein für das Einsteigen zahlst du eine Grundgebühr von $3 \text{ €}$. Für jeden gefahrenen Kilometer kommen dann noch $2 \text{ €}$ dazu.

Bisher kennst du Funktionen, die immer bei null starten. Aber unser Taxi startet bereits bei $3 \text{ €}$, bevor wir überhaupt losgefahren sind! Solche Zusammenhänge beschreiben wir mit linearen Funktionen. Sie helfen uns, Kosten, Geschwindigkeiten oder das Wachstum von Pflanzen genau zu berechnen, auch wenn sie nicht bei null anfangen. Lass uns herausfinden, wie diese Funktionen aufgebaut sind!

Vorwissen

• Punkte im Koordinatensystem: Ein Punkt wird immer in der Form $P(x \mid y)$ angegeben. Der erste Wert ist die $x$-Koordinate (links/rechts), der zweite die $y$-Koordinate (oben/unten). Beispiel: Der Punkt $P(4 \mid 5)$ hat den $x$-Wert $4$ und den $y$-Wert $5$.
• Werte in Terme einsetzen: Wenn du den Wert eines Terms berechnen willst, ersetzt du die Variable (meistens $x$) durch eine konkrete Zahl. Beispiel: Setze $x = 3$ in den Term $2 \cdot x + 1$ ein: $2 \cdot 3 + 1 = 7$.

Aufgabentyp 1: Ablesen von m und b

Die allgemeine Form einer linearen Funktion sieht so aus:

$f(x) = \textcolor{#08BFFF}{m} \cdot x + \textcolor{#9570FF}{b}$

Diese Gleichung besteht aus zwei wichtigen Bausteinen:

• Die Steigung m: Das ist die Zahl, die direkt mit dem $x$ malgenommen wird (der Vorfaktor). Sie gibt an, wie steil die Gerade ist.
• Der y-Achsenabschnitt b: Das ist die Zahl, die alleine steht (ohne $x$). Sie gibt an, wo die Gerade die $y$-Achse schneidet.

Da die $y$-Achse genau dort verläuft, wo $x = 0$ ist, liegt der Schnittpunkt mit der $y$-Achse immer bei den Koordinaten $(0 \mid \textcolor{#9570FF}{b})$.

Achtung, Falle! Manchmal ist die Reihenfolge in der Gleichung vertauscht, zum Beispiel so: $f(x) = \textcolor{#9570FF}{b} + \textcolor{#08BFFF}{m} \cdot x$. Lass dich davon nicht verwirren! Die Steigung m ist immer die Zahl, die am $x$ klebt. Der y-Achsenabschnitt b ist immer die Zahl, die alleine steht.

Durchgerechnete Beispiele

Aufgabentyp 2: Die Punktprobe

Oft hast du eine Funktionsgleichung und einen bestimmten Punkt gegeben. Du sollst dann herausfinden, ob dieser Punkt genau auf der Geraden der Funktion liegt oder nicht.

Um das herauszufinden, müssen wir die Gerade nicht extra zeichnen. Wir können es ganz einfach ausrechnen! Dieses Verfahren nennt man Punktprobe.

Die Idee dahinter ist simpel: Wenn ein Punkt auf der Geraden liegt, dann müssen seine $x$- und $y$-Koordinaten perfekt zur Funktionsgleichung passen.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. x-Wert einsetzen: Nimm die $x$-Koordinate des gegebenen Punktes und setze sie anstelle des $x$ in die Funktionsgleichung ein.
2. Ausrechnen: Rechne das Ergebnis der Gleichung aus. Das Ergebnis ist dein berechneter $y$-Wert.
3. Vergleichen und Entscheiden: Vergleiche dein Ergebnis mit der $y$-Koordinate des gegebenen Punktes: Ergebnis = $y$-Koordinate bedeutet, der Punkt liegt auf dem Graphen. Ergebnis $\neq$ $y$-Koordinate bedeutet, der Punkt liegt nicht auf dem Graphen.

Durchgerechnete Beispiele

Wichtige Erkenntnisse

• In der Gleichung $f(x) = m \cdot x + b$ ist $m$ die Steigung und $b$ der $y$-Achsenabschnitt.
• Der Schnittpunkt mit der $y$-Achse liegt immer bei $(0 \mid b)$.
• Lass dich nicht austricksen: Die Steigung $m$ ist immer die Zahl, die mit dem $x$ multipliziert wird, egal in welcher Reihenfolge die Gleichung aufgeschrieben ist.
• Punktprobe: Setze den $x$-Wert des Punktes in die Funktion ein. Wenn das Ergebnis genau der $y$-Wert des Punktes ist, liegt der Punkt auf der Geraden.