Lineare Funktionen zuordnen: Graphen & Gleichungen

Stell dir vor, du scrollst durch Instagram und siehst Graphen über Follower-Wachstum, Akku-Laufzeit oder Gaming-Statistiken. Die meisten Leute raten nur, was sie bedeuten. Aber du? Du brauchst einen Cheat-Code.

Lineare Funktionen zuordnen zu verstehen ist dieser Code. Anstatt mühsam Punkte zu berechnen oder Wertetabellen zu erstellen, lernst du hier eine Zwei-Schritt-Methode, um sofort zu erkennen, welche Gleichung zu welchem Graphen gehört. Das ist nicht nur schnell, es ist ein echter Hack, um bei Tests Zeit zu sparen und Daten auf den ersten Blick zu durchschauen. Lass uns den Code knacken!

Vorwissen

Bevor wir starten, wiederholen wir kurz zwei Grundlagen:

• Koordinatensystem: Besteht aus einer waagerechten x-Achse und einer senkrechten y-Achse. Jeder Punkt hat eine x- und eine y-Koordinate.

  • Beispiel: Der Punkt $P(3|2)$ liegt 3 Einheiten rechts und 2 Einheiten oben vom Ursprung.

• Lineare Funktionsgleichung: Hat immer die allgemeine Form $f(x) = m \cdot x + b$.

  • Beispiel: Bei $f(x) = 2x + 5$ ist die Steigung $m=2$ und der y-Achsenabschnitt $b=5$.

Aufgabentyp 1: Der y-Achsenabschnitt „b" – Dein Startpunkt

Jede lineare Funktion hat die Form $f(x) = mx + b$. Der wichtigste Wert für das schnelle Zuordnen ist der y-Achsenabschnitt $b$.

• In der Gleichung: Das ist einfach die Zahl, die ohne $x$ dasteht.
• Im Graphen: Das ist der Punkt, an dem die Linie die senkrechte y-Achse schneidet.

Schau dir das an: Bei $f(x) = 1x + 2$ ist $b=2$. Der Graph muss also die y-Achse bei $y=2$ schneiden.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Finde den y-Achsenabschnitt $b$: Suche in der Funktionsgleichung $f(x) = mx + b$ die Zahl ohne $x$. Das ist dein $b$.
2. Finde den passenden Graphen: Suche den Graphen, der die y-Achse genau bei diesem Wert $b$ schneidet.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Welcher Graph gehört zur Funktion $f(x) = 2x + 3$?

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

2 / 2

1. 1
   Schritt 1
   y-Achsenabschnitt $b$ in der Gleichung finden

   In der Gleichung $f(x) = 2x + 3$ ist die Zahl ohne $x$ die $3$. Also ist $b = 3$.

2. 2
   Schritt 2 · Ergebnis
   Passenden Graphen finden

   Wir suchen den Graphen, der die y-Achse bei $y=3$ schneidet. Das ist nur bei Graph B der Fall.

Ergebnis:

Graph B gehört zur Funktion.

Beispiel 2

Aufgabe

Welcher Graph gehört zur Funktion $g(x) = -x - 1$?

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

2 / 2

1. 1
   Schritt 1
   y-Achsenabschnitt $b$ in der Gleichung finden

   In der Gleichung $g(x) = -x - 1$ ist die Zahl ohne $x$ die $-1$. Also ist $b = -1$.

2. 2
   Schritt 2 · Ergebnis
   Passenden Graphen finden

   Wir suchen den Graphen, der die y-Achse bei $y=-1$ schneidet. Das ist nur bei Graph C der Fall.

Ergebnis:

Graph C gehört zur Funktion.

Beispiel 3

Aufgabe

Welcher Graph gehört zur Funktion $h(x) = 0.5x$?

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

2 / 2

1. 1
   Schritt 1
   y-Achsenabschnitt $b$ in der Gleichung finden

   In der Gleichung $h(x) = 0.5x$ steht keine Zahl ohne $x$. Das ist dasselbe wie $h(x) = 0.5x + 0$. Also ist $b = 0$. Solche Funktionen nennt man Ursprungsgeraden.

2. 2
   Schritt 2 · Ergebnis
   Passenden Graphen finden

   Wir suchen den Graphen, der die y-Achse bei $y=0$ schneidet, also durch den Ursprung $(0|0)$ geht. Das ist nur bei Graph A der Fall.

Ergebnis:

Graph A gehört zur Funktion.

Beispiel 4

Aufgabe

Welcher Graph gehört zur Funktion $p(x) = 4$?

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

2 / 2

1. 1
   Schritt 1
   y-Achsenabschnitt $b$ in der Gleichung finden

   In der Gleichung $p(x) = 4$ gibt es keinen Term mit $x$. Das ist dasselbe wie $p(x) = 0x + 4$. Also ist $b = 4$.

2. 2
   Schritt 2 · Ergebnis
   Passenden Graphen finden

   Wir suchen den Graphen, der die y-Achse bei $y=4$ schneidet. Das trifft auf Graph A und Graph C zu. Da hier der Term mit $x$ fehlt, ist die Steigung 0, was eine waagerechte Linie bedeutet. Das ist Graph A.

Ergebnis:

Graph A gehört zur Funktion.

Beispiel 5

Aufgabe

Welcher Graph gehört zur Funktion $q(x) = 3x - 2.5$?

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

2 / 2

1. 1
   Schritt 1
   y-Achsenabschnitt $b$ in der Gleichung finden

   In der Gleichung $q(x) = 3x - 2.5$ ist die Zahl ohne $x$ die $-2.5$. Also ist $b = -2.5$.

2. 2
   Schritt 2 · Ergebnis
   Passenden Graphen finden

   Wir suchen den Graphen, der die y-Achse bei $y=-2.5$ schneidet. Das ist nur bei Graph C der Fall.

Ergebnis:

Graph C gehört zur Funktion.

Aufgabentyp 2: Die Steigung „m" – Richtung und Steilheit

Manchmal haben mehrere Graphen den gleichen y-Achsenabschnitt. Dann brauchen wir den zweiten Wert: die Steigung $m$ aus $f(x) = mx + b$.

• In der Gleichung: Das ist die Zahl, die mit dem $x$ multipliziert wird.
• Im Graphen: Sie bestimmt die Richtung und Steilheit der Linie.

Es gibt drei einfache Regeln für die Richtung:

1. $m$ ist positiv ($m>0$): Der Graph steigt von links nach rechts an.
2. $m$ ist negativ ($m<0$): Der Graph fällt von links nach rechts ab.
3. $m$ ist null ($m=0$): Der Graph ist horizontal (waagerecht).

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. y-Achsenabschnitt $b$ prüfen: Lies $b$ aus der Gleichung ab. Schließe alle Graphen aus, die nicht an der richtigen Stelle die y-Achse schneiden.
2. Vorzeichen der Steigung $m$ prüfen: Lies $m$ aus der Gleichung ab. Ist die Zahl positiv, negativ oder null? Positiv: Der Graph muss steigen. Negativ: Der Graph muss fallen. Null: Der Graph muss horizontal sein.
3. Graphen zuordnen: Wähle den Graphen, der beide Bedingungen erfüllt.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Welcher Graph gehört zu $f(x) = 2x + 1$?

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

3 / 3

1. 1
   Schritt 1
   y-Achsenabschnitt $b$ prüfen

   In $f(x) = 2x + 1$ ist $b = 1$. Alle drei Graphen A, B und C schneiden die y-Achse bei 1. Wir brauchen also Schritt 2.

2. 2
   Schritt 2
   Vorzeichen der Steigung $m$ prüfen

   Die Steigung ist $m = 2$. Das ist eine positive Zahl. Der Graph muss also steigen.

3. 3
   Schritt 3 · Ergebnis
   Graphen zuordnen

   Nur Graph A steigt an. Graph B fällt und Graph C ist horizontal.

Ergebnis:

Graph A gehört zur Funktion.

Beispiel 2

Aufgabe

Welcher Graph gehört zu $g(x) = -0.5x + 2$?

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

3 / 3

1. 1
   Schritt 1
   y-Achsenabschnitt $b$ prüfen

   In $g(x) = -0.5x + 2$ ist $b = 2$. Graph C scheidet aus, da er die y-Achse bei -1 schneidet. Es bleiben A und B.

2. 2
   Schritt 2
   Vorzeichen der Steigung $m$ prüfen

   Die Steigung ist $m = -0.5$. Das ist eine negative Zahl. Der Graph muss also fallen.

3. 3
   Schritt 3 · Ergebnis
   Graphen zuordnen

   Von den übrigen Graphen (A und B) fällt nur Graph B ab.

Ergebnis:

Graph B gehört zur Funktion.

Beispiel 3

Aufgabe

Welcher Graph gehört zu $h(x) = 3$?

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

3 / 3

1. 1
   Schritt 1
   y-Achsenabschnitt $b$ prüfen

   Die Gleichung $h(x) = 3$ ist dasselbe wie $h(x) = 0x + 3$. Also ist $b = 3$. Graph C scheidet aus. Es bleiben A und B.

2. 2
   Schritt 2
   Vorzeichen der Steigung $m$ prüfen

   Die Steigung ist $m = 0$. Ein Graph mit Steigung 0 ist immer horizontal.

3. 3
   Schritt 3 · Ergebnis
   Graphen zuordnen

   Von den übrigen Graphen (A und B) ist nur Graph B horizontal.

Ergebnis:

Graph B gehört zur Funktion.

Beispiel 4

Aufgabe

Ordne $f(x) = x - 2$ und $g(x) = -x - 2$ den Graphen zu.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

3 / 3

1. 1
   Schritt 1
   y-Achsenabschnitt $b$ prüfen

   Für f(x): $b = -2$. Beide Graphen passen.

2. 2
   Schritt 2
   Vorzeichen der Steigung $m$ prüfen

   Für f(x): $m = 1$ (da $x$ dasselbe ist wie $1x$). $m$ ist positiv, also muss der Graph steigen. Das ist Graph A.

3. 3
   Schritt 3 · Ergebnis
   Graphen zuordnen

   Für g(x): $b = -2$. Beide Graphen passen. $m = -1$ (da $-x$ dasselbe ist wie $-1x$). $m$ ist negativ, also muss der Graph fallen. Das ist Graph B.

Ergebnis:

$f(x)$ gehört zu Graph A, $g(x)$ gehört zu Graph B.

Beispiel 5

Aufgabe

Welcher Graph gehört zu $p(x) = 4x$?

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

3 / 3

1. 1
   Schritt 1
   y-Achsenabschnitt $b$ prüfen

   In $p(x) = 4x + 0$ ist $b = 0$. Der Graph muss durch den Ursprung gehen. Graph C scheidet aus. Es bleiben A und B.

2. 2
   Schritt 2
   Vorzeichen der Steigung $m$ prüfen

   Die Steigung ist $m = 4$. Das ist eine positive Zahl. Der Graph muss also steigen.

3. 3
   Schritt 3 · Ergebnis
   Graphen zuordnen

   Von den übrigen Graphen (A und B) steigt nur Graph A an.

Ergebnis:

Graph A gehört zur Funktion.

Aufgabentyp 3: Der Feinschliff – Steilheit vergleichen

Was, wenn zwei Graphen den gleichen y-Achsenabschnitt haben UND in die gleiche Richtung verlaufen (z. B. beide fallen)?

Dann musst du die Steilheit vergleichen. Hier gilt eine einfache Regel:

Je größer der Betrag von $m$ (also die Zahl ohne Vorzeichen), desto steiler ist der Graph.

• Beispiel 1 (positiv): Eine Funktion mit $m = 3$ ist steiler als eine mit $m = 1$.
• Beispiel 2 (negativ): Eine Funktion mit $m = -3$ ist steiler als eine mit $m = -1$, weil $|-3| = 3$ und $|-1| = 1$.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. y-Achsenabschnitt $b$ prüfen: Lies $b$ aus der Gleichung ab und schließe unpassende Graphen aus.
2. Vorzeichen der Steigung $m$ prüfen: Prüfe die Richtung (steigend/fallend/horizontal) und schließe weitere Graphen aus.
3. Steilheit von $m$ vergleichen (falls nötig): Wenn immer noch mehrere Graphen zur Auswahl stehen, berechne den Betrag $|m|$ für die übrigen Funktionen. Der Graph, der steiler ist, gehört zur Funktion mit dem größeren Betrag.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Ordne die Funktionen $f(x) = 2x + 1$ und $g(x) = 0.5x + 1$ den Graphen zu.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

2 / 2

1. 1
   Schritt 1 & 2
   $b$ und Vorzeichen von $m$ prüfen

   Beide Funktionen haben $b = 1$ und eine positive Steigung. Beide Graphen A und B passen also bisher.

2. 2
   Schritt 3 · Ergebnis
   Steilheit von $m$ vergleichen
   • Für $f(x)$: $m_f = 2$. Der Betrag ist $|2| = 2$.
   • Für $g(x)$: $m_g = 0.5$. Der Betrag ist $|0.5| = 0.5$.

   Da $2 > 0.5$, muss der Graph von $f(x)$ steiler sein als der von $g(x)$.

   Graph A ist steiler als Graph B.

Ergebnis:

$f(x)$ gehört zu Graph A, $g(x)$ gehört zu Graph B.

Beispiel 2

Aufgabe

Ordne die Funktionen $f(x) = -3x - 2$ und $g(x) = -1x - 2$ den Graphen zu.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

2 / 2

1. 1
   Schritt 1 & 2
   $b$ und Vorzeichen von $m$ prüfen

   Beide Funktionen haben $b = -2$ und eine negative Steigung. Beide Graphen A und B passen also bisher.

2. 2
   Schritt 3 · Ergebnis
   Steilheit von $m$ vergleichen
   • Für $f(x)$: $m_f = -3$. Der Betrag ist $|-3| = 3$.
   • Für $g(x)$: $m_g = -1$. Der Betrag ist $|-1| = 1$.

   Da $3 > 1$, muss der Graph von $f(x)$ steiler sein als der von $g(x)$.

   Graph A ist steiler als Graph B.

Ergebnis:

$f(x)$ gehört zu Graph A, $g(x)$ gehört zu Graph B.

Beispiel 3

Aufgabe

Welcher Graph (A oder B) gehört zu $f(x) = 1.5x + 3$ und welcher zu $q(x) = 0.5x + 3$?

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

2 / 2

1. 1
   Schritt 1 & 2
   $b$ und Vorzeichen von $m$ prüfen

   Beide Funktionen haben $b = 3$ und eine positive Steigung. Beide Graphen passen.

2. 2
   Schritt 3 · Ergebnis
   Steilheit von $m$ vergleichen
   • Für $f(x)$: $m_f = 1.5$. Betrag ist $1.5$.
   • Für $q(x)$: $m_q = 0.5$. Betrag ist $0.5$.

   Da $1.5 > 0.5$, ist der Graph von $f(x)$ steiler.

Ergebnis:

$f(x)$ gehört zum steileren Graphen A, $q(x)$ zum flacheren Graphen B.

Beispiel 4

Aufgabe

Ordne zu: $f(x) = -\frac{1}{2}x + 1$ und $g(x) = -2x + 1$.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

2 / 2

1. 1
   Schritt 1 & 2
   $b$ und Vorzeichen von $m$ prüfen

   Beide Funktionen haben $b = 1$ und eine negative Steigung. Beide Graphen passen.

2. 2
   Schritt 3 · Ergebnis
   Steilheit von $m$ vergleichen
   • Für $f(x)$: $m_f = -\frac{1}{2} = -0.5$. Betrag ist $|-0.5| = 0.5$.
   • Für $g(x)$: $m_g = -2$. Betrag ist $|-2| = 2$.

   Da $2 > 0.5$, ist der Graph von $g(x)$ steiler.

Ergebnis:

$f(x)$ gehört zum flacheren Graphen A, $g(x)$ zum steileren Graphen B.

Beispiel 5

Aufgabe

Gegeben sind $f(x)=x$, $g(x)=3x$ und $h(x)=0.2x$. Ordne sie den Graphen A, B, C zu.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

2 / 2

1. 1
   Schritt 1 & 2
   $b$ und Vorzeichen von $m$ prüfen

   Alle drei Funktionen haben $b = 0$ und eine positive Steigung. Alle Graphen passen bisher.

2. 2
   Schritt 3 · Ergebnis
   Steilheit von $m$ vergleichen
   • $f(x)=x \to m=1$
   • $g(x)=3x \to m=3$
   • $h(x)=0.2x \to m=0.2$

   Wir ordnen die Steigungen nach ihrer Größe: $3 > 1 > 0.2$. Der Graph von $g(x)$ muss am steilsten sein, der von $h(x)$ am flachsten.

   • Am steilsten ist Graph A.
   • Am flachsten ist Graph C.
   • Graph B liegt dazwischen.

Ergebnis:

$g(x)$ gehört zu A, $f(x)$ gehört zu B, und $h(x)$ gehört zu C.

Wichtige Erkenntnisse

• Immer die 3-Schritt-Strategie anwenden:
• 1. y-Achsenabschnitt $b$ (Startpunkt): Wo schneidet der Graph die y-Achse? Das ist die Zahl ohne $x$ in der Gleichung.
• 2. Vorzeichen von $m$ (Richtung): Positiv → steigend. Negativ → fallend. Null → horizontal.
• 3. Betrag von $m$ (Steilheit): Wenn nötig, vergleiche die Steilheit. Größerer Betrag $|m|$ bedeutet steilerer Graph.