Lineare Funktionen Graphen zuordnen einfach erklärt: So geht's

Stell dir vor, du bist ein Detektiv und hast an einem Tatort verschiedene Fingerabdrücke (die Graphen) und eine Liste von Verdächtigen (die Funktionsgleichungen) gefunden. Deine Aufgabe ist es, herauszufinden, welcher Abdruck zu welcher Person gehört. Wenn du lineare Funktionen Graphen zuordnen möchtest, musst du die Graphen dafür nicht komplett neu zeichnen! Jede lineare Funktion verrät dir in ihrer Gleichung bereits zwei entscheidende Hinweise. Wenn du weißt, wie du diese Hinweise liest, kannst du jeden Graphen in Sekundenschnelle der richtigen Gleichung zuordnen. Lass uns herausfinden, wie das geht!

Vorwissen

• Die allgemeine Geradengleichung: Eine lineare Funktion hat immer die Form $f(x) = mx + b$.

  Beispiel: Bei der Funktion $f(x) = 3x - 2$ ist $m = 3$ und $b = -2$.

• Der y-Achsenabschnitt $b$: Er zeigt an, auf welcher Höhe die Gerade die senkrechte y-Achse schneidet.

  Beispiel: Wenn $b = 4$ ist, geht die Gerade genau durch den Punkt $(0 | 4)$ auf der y-Achse.

• Die Steigung $m$: Sie bestimmt, wie schräg die Gerade verläuft. Ist $m$ positiv, steigt die Gerade. Ist $m$ negativ, fällt sie.

  Beispiel: Die Gerade zur Funktion $f(x) = -2x + 1$ fällt nach rechts unten, weil die Steigung $m = -2$ negativ ist.

Aufgabentyp 1: Funktionsgleichungen und Graphen zuordnen

Jede lineare Funktion hat eine Art „Fingerabdruck“ in ihrer Gleichung. Wenn du eine Funktionsgleichung wie $f(x) = 2x + 3$ siehst und den passenden Graphen in einem Bild suchen sollst, nutzt du einfach zwei wichtige Hinweise:

Hinweis 1: Der Startpunkt Die Zahl ohne das $x$ ist der y-Achsenabschnitt $\textcolor{#08BFFF}{b}$. Er verrät dir sofort, auf welcher Höhe der Graph die senkrechte y-Achse kreuzt. Wenn in der Gleichung $b = 3$ steht, muss der Graph die Achse bei der Zahl $3$ schneiden. Oft kannst du damit schon falsche Graphen ausschließen.

Hinweis 2: Die Richtung und Steilheit Die Zahl direkt vor dem $x$ ist die Steigung $\textcolor{#9570FF}{m}$.

• Das Vorzeichen: Ein Plus bedeutet, der Graph steigt nach rechts oben. Ein Minus bedeutet, er fällt nach rechts unten.
• Die Steilheit: Manchmal starten zwei Graphen am selben Punkt auf der y-Achse und fallen beide. Dann hilft dir die Zahl selbst (ohne das Vorzeichen zu beachten). Je größer diese Zahl ist, desto steiler verläuft die Gerade.

Zum Beispiel: Eine Gerade mit der Steigung $m = -4$ fällt deutlich steiler als eine Gerade mit $m = -1$, da die Zahl $4$ größer ist als $1$.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. y-Achsenabschnitt prüfen: Lies den Wert für $b$ aus der Gleichung ab. Suche im Bild den Graphen, der die y-Achse genau bei diesem Wert schneidet.
2. Richtung der Steigung prüfen: Schau dir das Vorzeichen von $m$ an. Ist $m$ positiv, steigt der Graph. Ist $m$ negativ, fällt er.
3. Steilheit vergleichen: Vergleiche die Zahlenwerte der Steigung $m$ (ohne das Minuszeichen zu beachten). Je größer diese Zahl ist, desto steiler verläuft der Graph.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Gegeben sind drei Funktionsterme:

• $f(x) = 2x - 1$
• $g(x) = -0{,}5x + 2$
• $h(x) = -3x + 2$

Und ein Bild mit drei Graphen (A, B und C). Ordne jedem Funktionsterm den passenden Graphen zu.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

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   Schritt 1
   y-Achsenabschnitte vergleichen

   Wir lesen den y-Achsenabschnitt $\textcolor{#08BFFF}{b}$ aus den Termen ab:

   • Für $f(x)$ ist $b = -1$.
   • Für $g(x)$ ist $b = 2$.
   • Für $h(x)$ ist $b = 2$.

   Im Bild schneidet nur Graph A die y-Achse bei $-1$. Also gehört $f(x)$ sicher zu Graph A.

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   Schritt 2
   Richtung der Steigung prüfen

   Die Graphen B und C schneiden die y-Achse beide bei $2$. Wir müssen die Steigung $\textcolor{#9570FF}{m}$ betrachten, um sie zu unterscheiden.

   • Für $g(x)$ ist $m = -0{,}5$.
   • Für $h(x)$ ist $m = -3$.

   Beide Steigungen sind negativ ($-$), also fallen beide Graphen. Das Vorzeichen allein reicht hier nicht aus.

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   Schritt 3 · Ergebnis
   Steilheit vergleichen

   Wir vergleichen, wie steil die Graphen fallen, indem wir die Zahlen ohne das Minuszeichen betrachten: $3$ ist größer als $0{,}5$. Das bedeutet, die Funktion $h(x)$ mit $m = -3$ fällt viel steiler als $g(x)$.

   Im Bild sehen wir, dass Graph C steiler fällt als Graph B. Also gehört $h(x)$ zu Graph C und $g(x)$ zu Graph B.

Ergebnis:

$f(x)$ gehört zu Graph A, $g(x)$ gehört zu Graph B und $h(x)$ gehört zu Graph C.

Wichtige Erkenntnisse

• Der y-Achsenabschnitt $b$ verrät dir sofort, wo die Gerade die senkrechte y-Achse schneidet.
• Das Vorzeichen der Steigung $m$ zeigt die Richtung: Ein Plus bedeutet steigend, ein Minus bedeutet fallend.
• Wenn zwei Graphen in die gleiche Richtung gehen, hilft die Steilheit: Je größer die Zahl für $m$ (ohne Vorzeichen), desto steiler ist die Gerade.