Kreisteil: Winkel und Bogenlänge einfach erklärt

Hast du dich schon mal gefragt, wie lang eigentlich der Rand eines einzelnen Pizzastücks ist – oder wie weit die Spitze eines Scheibenwischers bei einem Schwenk zurücklegt? Genau das beschreibt die Bogenlänge eines Kreisteils. Die Formeln rund um Winkel und Bogenlänge sind der Schlüssel zu Navigationssystemen, dem Design von Rennstrecken und vielem mehr. In diesem Artikel lernst du Schritt für Schritt, wie du die Bogenlänge b berechnen und den Mittelpunktswinkel α eines Kreisteils bestimmen kannst – mit klaren Formeln und vielen Beispielen.

Schnellantwort

Ein Kreisteil (auch Kreissektor genannt) ist ein „Kuchenstück" des Kreises, das durch zwei Radien und einen Bogen begrenzt wird. Die Bogenlänge b ist der gekrümmte Außenrand dieses Stücks. Sie ergibt sich aus dem Anteil, den der Mittelpunktswinkel α am vollen Kreiswinkel von 360° hat: $b = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot \frac{\alpha}{360°}$. Kennt man stattdessen b und r, lässt sich α durch Umstellen dieser Formel berechnen.

Vorwissen

Bevor wir starten, wiederholen wir kurz ein paar Grundlagen zum Kreis:

• Radius (r): Der Abstand vom Mittelpunkt eines Kreises zu einem beliebigen Punkt auf der Kreislinie.

  • Beispiel: Wenn ein Kreis einen Durchmesser von 10 cm hat, beträgt sein Radius 5 cm.

• Umfang (U): Die Gesamtlänge der Kreislinie, also einmal komplett außen herum.

  • Formel: $U = 2 \cdot \pi \cdot r$
  • Beispiel: Ein Kreis mit einem Radius von $r = 3 \text{ cm}$ hat einen Umfang von $U = 2 \cdot \pi \cdot 3 \approx 18{,}85 \text{ cm}$.

• Vollwinkel: Ein ganzer Kreis hat immer einen Winkel von 360°.

  • Beispiel: Ein Halbkreis hat daher einen Winkel von $360° / 2 = 180°$.

Aufgabentyp 1: Bogenlänge b berechnen

Stell dir einen Kreis wie eine ganze Pizza vor. Die Bogenlänge (b) ist dann einfach die Länge des Pizzarandes von einem einzelnen Stück. Sie ist also nur ein Teil des gesamten Umfangs.

Um sie zu berechnen, nehmen wir die Formel für den ganzen Umfang ($2 \cdot \pi \cdot r$) und multiplizieren sie mit dem Anteil, den unser Kreisteil vom ganzen Kreis ausmacht. Dieser Anteil ist das Verhältnis vom Mittelpunktswinkel α zum Vollwinkel (360°).

Die Formel lautet:

$b = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot \frac{\alpha}{360°}$

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Lies den Radius r und den Mittelpunktswinkel α aus der Aufgabenstellung oder der Zeichnung ab.
2. Notiere die Formel: $b = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot \frac{\alpha}{360°}$.
3. Setze die abgelesenen Werte für r und α in die Formel ein. Dies ist der wichtigste Schritt, um den Rechenweg zu zeigen.
4. Berechne das Ergebnis mit dem Taschenrechner und runde auf eine sinnvolle Anzahl von Nachkommastellen. Vergiss die Einheit nicht!

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Ein Pizzastück hat einen Radius von $r = 20 \text{ cm}$ und einen Mittelpunktswinkel von $\alpha = 45°$. Berechne die Länge des Pizzarandes (Bogenlänge b).

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

4 / 4

1. 1
   Schritt 1
   Gegebene Werte identifizieren

   Aus der Abbildung lesen wir ab:

   • Radius: $r = 20 \text{ cm}$
   • Mittelpunktswinkel: $\alpha = 45°$
2. 2
   Schritt 2
   Formel für die Bogenlänge notieren

   $b = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot \frac{\alpha}{360°}$

3. 3
   Schritt 3
   Werte in die Formel einsetzen

   Wir setzen die Werte für $r$ und $\alpha$ ein: $b = 2 \cdot \pi \cdot 20 \text{ cm} \cdot \frac{45°}{360°}$

4. 4
   Schritt 4 · Ergebnis
   Ergebnis berechnen

   $b \approx 15{,}71 \text{ cm}$

Ergebnis:

Der Pizzarand hat eine Länge von ca. 15,71 cm.

Beispiel 2

Aufgabe

Ein Pendel mit einer Seillänge von $r = 1{,}5 \text{ m}$ schwingt in einem Winkel von $\alpha = 30°$. Welche Strecke legt die Pendelspitze zurück (Bogenlänge b)?

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

4 / 4

1. 1
   Schritt 1
   Gegebene Werte identifizieren
   • Radius (Seillänge): $r = 1{,}5 \text{ m}$
   • Mittelpunktswinkel: $\alpha = 30°$
2. 2
   Schritt 2
   Formel für die Bogenlänge notieren

   $b = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot \frac{\alpha}{360°}$

3. 3
   Schritt 3
   Werte in die Formel einsetzen

   $b = 2 \cdot \pi \cdot 1{,}5 \text{ m} \cdot \frac{30°}{360°}$

4. 4
   Schritt 4 · Ergebnis
   Ergebnis berechnen

   $b \approx 0{,}79 \text{ m}$

Ergebnis:

Die Pendelspitze legt eine Strecke von ca. 0,79 m zurück.

Beispiel 3

Aufgabe

Eine Kurve auf einer Rennstrecke ist Teil eines Kreises mit einem Radius von $r = 80 \text{ m}$. Die Kurve überstreicht einen Winkel von $\alpha = 110°$. Wie lang ist die Kurve (Bogenlänge b)?

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

4 / 4

1. 1
   Schritt 1
   Gegebene Werte identifizieren
   • Radius: $r = 80 \text{ m}$
   • Mittelpunktswinkel: $\alpha = 110°$
2. 2
   Schritt 2
   Formel für die Bogenlänge notieren

   $b = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot \frac{\alpha}{360°}$

3. 3
   Schritt 3
   Werte in die Formel einsetzen

   $b = 2 \cdot \pi \cdot 80 \text{ m} \cdot \frac{110°}{360°}$

4. 4
   Schritt 4 · Ergebnis
   Ergebnis berechnen

   $b \approx 153{,}59 \text{ m}$

Ergebnis:

Die Kurve ist ca. 153,59 m lang.

Beispiel 4

Aufgabe

Der Scheibenwischer eines Autos hat eine Länge von $r = 50 \text{ cm}$ und bewegt sich in einem Winkel von $\alpha = 150°$. Berechne die Länge des Bogens, den die Spitze des Wischers zurücklegt.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

4 / 4

1. 1
   Schritt 1
   Gegebene Werte identifizieren
   • Radius (Wischerlänge): $r = 50 \text{ cm}$
   • Mittelpunktswinkel: $\alpha = 150°$
2. 2
   Schritt 2
   Formel für die Bogenlänge notieren

   $b = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot \frac{\alpha}{360°}$

3. 3
   Schritt 3
   Werte in die Formel einsetzen

   $b = 2 \cdot \pi \cdot 50 \text{ cm} \cdot \frac{150°}{360°}$

4. 4
   Schritt 4 · Ergebnis
   Ergebnis berechnen

   $b \approx 130{,}90 \text{ cm}$

Ergebnis:

Die Spitze des Scheibenwischers legt einen Bogen von ca. 130,90 cm zurück.

Beispiel 5

Aufgabe

Ein Rasensprenger bewässert einen Kreissektor mit einem Radius von $r = 8 \text{ m}$ und einem Winkel von $\alpha = 270°$. Wie lang ist die äußere Kante des bewässerten Bereichs (Bogenlänge b)?

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

4 / 4

1. 1
   Schritt 1
   Gegebene Werte identifizieren
   • Radius: $r = 8 \text{ m}$
   • Mittelpunktswinkel: $\alpha = 270°$
2. 2
   Schritt 2
   Formel für die Bogenlänge notieren

   $b = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot \frac{\alpha}{360°}$

3. 3
   Schritt 3
   Werte in die Formel einsetzen

   $b = 2 \cdot \pi \cdot 8 \text{ m} \cdot \frac{270°}{360°}$

4. 4
   Schritt 4 · Ergebnis
   Ergebnis berechnen

   $b \approx 37{,}70 \text{ m}$

Ergebnis:

Die äußere Kante des bewässerten Bereichs ist ca. 37,70 m lang.

Aufgabentyp 2: Mittelpunktswinkel α berechnen

Manchmal kennen wir die Bogenlänge b und den Radius r, wollen aber herausfinden, wie groß der Winkel α des Kreisteils ist. Das ist so, als ob du die Länge des Pizzarandes kennst und wissen willst, wie spitz dein Pizzastück ist.

Dafür müssen wir die Bogenlängen-Formel einfach nach α umstellen. Wir starten mit:

$b = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot \frac{\alpha}{360°}$

Wenn wir diese Formel umstellen, erhalten wir:

$\alpha = \frac{b}{2 \cdot \pi \cdot r} \cdot 360°$

Das bedeutet: Wir berechnen zuerst, welchen Anteil die Bogenlänge b am gesamten Umfang hat, und multiplizieren diesen Anteil dann mit den 360° des Vollkreises.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Lies den Radius r und die Bogenlänge b aus der Aufgabenstellung oder der Zeichnung ab.
2. Notiere die umgestellte Formel: $\alpha = \frac{b}{2 \cdot \pi \cdot r} \cdot 360°$.
3. Setze die abgelesenen Werte für r und b in die Formel ein.
4. Berechne das Ergebnis mit dem Taschenrechner. Das Ergebnis ist der gesuchte Winkel in Grad (°).

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Ein Stück Draht der Länge $b = 10 \text{ cm}$ wird zu einem Kreisbogen mit einem Radius von $r = 15 \text{ cm}$ gebogen. Welchen Mittelpunktswinkel $\alpha$ schließt dieser Bogen ein?

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

4 / 4

1. 1
   Schritt 1
   Gegebene Werte identifizieren
   • Radius: $r = 15 \text{ cm}$
   • Bogenlänge: $b = 10 \text{ cm}$
2. 2
   Schritt 2
   Formel für den Mittelpunktswinkel notieren

   $\alpha = \frac{b}{2 \cdot \pi \cdot r} \cdot 360°$

3. 3
   Schritt 3
   Werte in die Formel einsetzen

   $\alpha = \frac{10 \text{ cm}}{2 \cdot \pi \cdot 15 \text{ cm}} \cdot 360°$

4. 4
   Schritt 4 · Ergebnis
   Ergebnis berechnen

   $\alpha \approx 38{,}2°$

Ergebnis:

Der Mittelpunktswinkel beträgt ca. 38,2°.

Beispiel 2

Aufgabe

Ein Auto fährt eine 200 m lange Kurve ($b = 200 \text{ m}$). Der Radius der Kurve beträgt $r = 250 \text{ m}$. Welchen Winkel überstreicht die Kurve?

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

4 / 4

1. 1
   Schritt 1
   Gegebene Werte identifizieren
   • Radius: $r = 250 \text{ m}$
   • Bogenlänge: $b = 200 \text{ m}$
2. 2
   Schritt 2
   Formel für den Mittelpunktswinkel notieren

   $\alpha = \frac{b}{2 \cdot \pi \cdot r} \cdot 360°$

3. 3
   Schritt 3
   Werte in die Formel einsetzen

   $\alpha = \frac{200 \text{ m}}{2 \cdot \pi \cdot 250 \text{ m}} \cdot 360°$

4. 4
   Schritt 4 · Ergebnis
   Ergebnis berechnen

   $\alpha \approx 45{,}8°$

Ergebnis:

Die Kurve überstreicht einen Winkel von ca. 45,8°.

Beispiel 3

Aufgabe

Der große Zeiger einer Uhr hat eine Länge von $r = 12 \text{ cm}$. In 10 Minuten legt seine Spitze eine Strecke von $b = 12{,}57 \text{ cm}$ zurück. Welchen Winkel hat der Zeiger in dieser Zeit überstrichen?

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

4 / 4

1. 1
   Schritt 1
   Gegebene Werte identifizieren
   • Radius (Zeigerlänge): $r = 12 \text{ cm}$
   • Bogenlänge: $b = 12{,}57 \text{ cm}$
2. 2
   Schritt 2
   Formel für den Mittelpunktswinkel notieren

   $\alpha = \frac{b}{2 \cdot \pi \cdot r} \cdot 360°$

3. 3
   Schritt 3
   Werte in die Formel einsetzen

   $\alpha = \frac{12{,}57 \text{ cm}}{2 \cdot \pi \cdot 12 \text{ cm}} \cdot 360°$

4. 4
   Schritt 4 · Ergebnis
   Ergebnis berechnen

   $\alpha \approx 60°$

Ergebnis:

Der Zeiger hat einen Winkel von ca. 60° überstrichen.

Beispiel 4

Aufgabe

Ein Satellit umkreist die Erde in einer Höhe, die einen Kreisradius von $r = 7000 \text{ km}$ ergibt. Er legt eine Strecke von $b = 5000 \text{ km}$ zurück. Welchen Winkel hat er auf seiner Umlaufbahn zurückgelegt?

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

4 / 4

1. 1
   Schritt 1
   Gegebene Werte identifizieren
   • Radius: $r = 7000 \text{ km}$
   • Bogenlänge: $b = 5000 \text{ km}$
2. 2
   Schritt 2
   Formel für den Mittelpunktswinkel notieren

   $\alpha = \frac{b}{2 \cdot \pi \cdot r} \cdot 360°$

3. 3
   Schritt 3
   Werte in die Formel einsetzen

   $\alpha = \frac{5000 \text{ km}}{2 \cdot \pi \cdot 7000 \text{ km}} \cdot 360°$

4. 4
   Schritt 4 · Ergebnis
   Ergebnis berechnen

   $\alpha \approx 40{,}9°$

Ergebnis:

Der Satellit hat einen Winkel von ca. 40,9° zurückgelegt.

Beispiel 5

Aufgabe

Von einem runden Kuchen mit Radius $r = 14 \text{ cm}$ wird ein Stück abgeschnitten. Der äußere Rand des Stücks hat eine Länge von $b = 22 \text{ cm}$. Wie groß ist der Winkel des Kuchenstücks?

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

4 / 4

1. 1
   Schritt 1
   Gegebene Werte identifizieren
   • Radius: $r = 14 \text{ cm}$
   • Bogenlänge: $b = 22 \text{ cm}$
2. 2
   Schritt 2
   Formel für den Mittelpunktswinkel notieren

   $\alpha = \frac{b}{2 \cdot \pi \cdot r} \cdot 360°$

3. 3
   Schritt 3
   Werte in die Formel einsetzen

   $\alpha = \frac{22 \text{ cm}}{2 \cdot \pi \cdot 14 \text{ cm}} \cdot 360°$

4. 4
   Schritt 4 · Ergebnis
   Ergebnis berechnen

   $\alpha \approx 90°$

Ergebnis:

Das Kuchenstück hat einen Winkel von ca. 90°.

Wichtige Erkenntnisse

• Bogenlänge berechnen: Nimm den ganzen Umfang ($2 \cdot \pi \cdot r$) und multipliziere ihn mit dem Winkelanteil ($\frac{\alpha}{360°}$). Formel: $b = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot \frac{\alpha}{360°}$
• Mittelpunktswinkel berechnen: Berechne den Anteil der Bogenlänge am Gesamtumfang und multipliziere ihn mit 360°. Formel: $\alpha = \frac{b}{2 \cdot \pi \cdot r} \cdot 360°$
• Der Bruch $\frac{\alpha}{360°}$ ist der Schlüssel! Er verbindet immer den Teil (den Sektor) mit dem Ganzen (dem Kreis).