Was sind zusammengesetzte Funktionen?

Eine zusammengesetzte Funktion entsteht, wenn du zwei Funktionen durch eine Rechenoperation miteinander verknüpfst. Zum Beispiel ergibt die Addition von f(x) und g(x) eine neue Funktion: (f+g)(x) = f(x) + g(x) . Der y-Wert der neuen Funktion an einer Stelle x ist einfach die Summe (oder Differenz) der y-Werte der beiden Ausgangsfunktionen an dieser Stelle. So entstehen ganz neue Graphen, die Eigenschaften beider Ausgangsfunktionen kombinieren.

Wie funktioniert die Testpunkt-Methode beim Zuordnen von Graphen?

Bei der Testpunkt-Methode wählst du einen konkreten x-Wert, an dem sich die Graphen gut unterscheiden lassen. Dann berechnest du den y-Wert jeder zusammengesetzten Funktion für diesen x-Wert. Anschließend liest du ab, welcher Graph im Koordinatensystem genau durch den berechneten Punkt verläuft. Stimmen berechneter und abgelesener y-Wert überein, hast du den richtigen Graphen gefunden. Wähle einen anderen x-Wert, wenn mehrere Graphen denselben y-Wert liefern.

Wann kann der Graph einer zusammengesetzten Funktion negative Werte annehmen?

Der Graph einer zusammengesetzten Funktion kann negative Werte annehmen, wenn die subtrahierte Funktion größer ist als die andere. Bei (f-g)(x) wird der y-Wert negativ, sobald g(x) > f(x) gilt. Im Sachkontext bedeutet das zum Beispiel: Der Gewinngraph liegt unter der x-Achse, wenn die Kosten höher als der Umsatz sind. Dagegen sind Größen wie Zufluss oder Follower-Anzahl immer nicht-negativ, weil sie reale Mengen darstellen.

Wie gehst du bei Sachkontextaufgaben mit zusammengesetzten Funktionen vor?

Lies zuerst die Aufgabe genau und überlege, welche mathematische Beziehung zwischen den dargestellten Größen besteht – zum Beispiel Gewinn = Umsatz − Kosten . Leite daraus logische Regeln für die Graphen ab: Welche Größe kann negativ werden? Was bedeutet ein Schnittpunkt zweier Graphen? Überprüfe diese Regeln dann an markanten Stellen im Diagramm und ordne jeden Graphen begründet einer Größe zu.

Was ist der Unterschied zwischen f+g und f-g?

f+g addiert die y-Werte beider Funktionen: (f+g)(x) = f(x) + g(x) . Der Graph liegt dadurch höher als beide Ausgangsgraphen. Bei f-g wird die zweite Funktion abgezogen: (f-g)(x) = f(x) − g(x) . Der Graph liegt tiefer als f allein und kann negativ werden, wenn g(x) > f(x) . Der entscheidende Unterschied liegt also darin, ob du die y-Werte addierst oder subtrahierst – und damit, wie der resultierende Graph im Vergleich zu den Ausgangsfunktionen verläuft.

Graphen zusammengesetzter Funktionen

Hast du dich jemals gefragt, wie Spotify oder YouTube genau wissen, was du als Nächstes hören oder sehen willst? Das ist keine Magie, sondern clevere Mathematik! Stell dir vor, dein Musikgeschmack ist eine Funktion $f(x)$ und die Eigenschaften eines Songs (z. B. Tempo, Genre) sind eine andere Funktion $g(x)$ . Algorithmen kombinieren diese beiden Funktionen – zum Beispiel durch Addition ( $f+g$ ) – um eine neue „Empfehlungs-Funktion" zu erstellen. Ein hoher Wert bedeutet: „Das wird dir gefallen!" Wenn du verstehst, wie man Funktionen zusammensetzt und ihre Graphen zusammengesetzter Funktionen zuordnet, knackst du den Code hinter vielen digitalen Tools, die du täglich nutzt.

Schnellantwort

Eine zusammengesetzte Funktion ist eine neue Funktion, die durch Rechnen mit zwei oder mehr anderen Funktionen entsteht. Die Schreibweise ist dabei ganz einfach: $(f+g)(x) = f(x) + g(x)$ für die Addition und $(f-g)(x) = f(x) - g(x)$ für die Subtraktion. Um den y-Wert der neuen Funktion an einer Stelle $x$ zu finden, nimmst du einfach die y-Werte der ursprünglichen Funktionen an dieser Stelle und addierst oder subtrahierst sie.

Vorwissen

Bevor wir starten, wiederholen wir kurz zwei wichtige Grundlagen:

Funktionswert berechnen: Das bedeutet, einen x-Wert in eine Funktion einzusetzen, um den zugehörigen y-Wert zu erhalten.
- Beispiel: Gegeben ist $f(x) = 2x + 1$ . Für $x=3$ ist der Funktionswert $f(3) = 2 \cdot 3 + 1 = 7$ .
Terme mit Klammern addieren und subtrahieren: Achte besonders beim Subtrahieren darauf, die Vorzeichen in der Klammer zu ändern.
- Addition: (x^2 + 2) + (3x - 1) = x^2 + 3x + 1
- Subtraktion: (x^2 + 2) - (3x - 1) = x^2 + 2 - 3x + 1 = x^2 - 3x + 3

Aufgabentyp 1: Graphen zusammengesetzter Funktionen zuordnen

Wenn wir zwei Funktionen f(x) und g(x) haben, können wir sie durch Addition oder Subtraktion zu einer neuen Funktion zusammensetzen. Die Schreibweise dafür ist ganz einfach:

Addition: (f+g)(x) = f(x) + g(x)
Subtraktion: (f-g)(x) = f(x) - g(x)

Das bedeutet: Um den y-Wert der neuen Funktion an einer Stelle $x$ zu finden, nimmst du einfach die y-Werte der ursprünglichen Funktionen an dieser Stelle $x$ und addierst oder subtrahierst sie.

Um einen Graphen einer solchen neuen Funktion zuzuordnen, verwenden wir die Testpunkt-Methode. Wir suchen uns einen x-Wert, berechnen den y-Wert für die neue Funktion und schauen, welcher Graph durch diesen Punkt verläuft.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Stelle die neuen Funktionsterme auf: Bilde die Funktionsterme für die zusammengesetzten Funktionen, z. B. $f+g$ und $f-g$ , indem du die gegebenen Terme für $f(x)$ und $g(x)$ einsetzt.
Wähle einen geeigneten Test-x-Wert: Suche dir einen x-Wert aus, an dem du die y-Werte der Graphen gut ablesen kannst. Am besten ist eine Stelle, an der alle Graphen unterschiedliche Höhen haben.
Berechne die y-Werte für den Testpunkt: Setze den gewählten x-Wert in die neuen Funktionsterme ein und berechne die zugehörigen y-Werte. Du erhältst für jede zusammengesetzte Funktion einen konkreten Punkt (x|y).
Lies die Graphen am Testpunkt ab: Schau dir die Graphen an. Welchen y-Wert hat jeder Graph an deinem Test-x-Wert?
Ordne Graphen und Funktionen zu: Vergleiche deine berechneten y-Werte mit den abgelesenen. Jeder berechnete Wert passt nur zu einem der Graphen. So kannst du sie eindeutig zuordnen.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Gegeben sind die Funktionen $f(x) = x^2$ und $g(x) = x - 2$ . Ordne die Graphen (1), (2) und (3) den Funktionen $f+g$ , $f-g$ und $g-f$ zu.

Drei Graphen zusammengesetzter Funktionen im Koordinatensystem

Fortschritt

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1
Schritt 1
Neue Funktionsterme aufstellen
- (f+g)(x) = f(x) + g(x) = x^2 + (x - 2) = x^2 + x - 2
- (f-g)(x) = f(x) - g(x) = x^2 - (x - 2) = x^2 - x + 2
- (g-f)(x) = g(x) - f(x) = (x - 2) - x^2 = -x^2 + x - 2
Schritt 2
Einen geeigneten Test-x-Wert wählen
Bei x=2 sind die Graphen gut getrennt und leicht abzulesen. Wir wählen also x=2 als unseren Testpunkt.
3
Schritt 3
y-Werte für den Testpunkt berechnen
- Für f+g: (f+g)(2) = 2^2 + 2 - 2 = 4 $\to$ Punkt (2|4)
- Für f-g: (f-g)(2) = 2^2 - 2 + 2 = 4 $\to$ Punkt (2|4). Oh, hier gibt es eine Überschneidung. Wählen wir einen anderen Punkt, z. B. x=0.
Neuer Versuch mit x=0:
- Für f+g: (f+g)(0) = 0^2 + 0 - 2 = -2 $\to$ Punkt (0|-2)
- Für f-g: (f-g)(0) = 0^2 - 0 + 2 = 2 $\to$ Punkt (0|2)
- Für g-f: (g-f)(0) = -0^2 + 0 - 2 = -2 $\to$ Punkt (0|-2). Wieder eine Überschneidung. Nehmen wir x=1.
Letzter Versuch mit x=1:
- Für f+g: (f+g)(1) = 1^2 + 1 - 2 = 0 $\to$ Punkt (1|0)
- Für f-g: (f-g)(1) = 1^2 - 1 + 2 = 2 $\to$ Punkt (1|2)
- Für g-f: (g-f)(1) = -1^2 + 1 - 2 = -2 $\to$ Punkt (1|-2)
4
Schritt 4
Graphen am Testpunkt ablesen
Wir schauen bei x=1:
- Graph (1) geht durch (1|0).
- Graph (2) geht durch (1|-2).
- Graph (3) geht durch (1|2).
5
Schritt 5 · Ergebnis
Graphen und Funktionen zuordnen
- (f+g) gehört zu Punkt (1|0) $\to$ Graph (1).
- (g-f) gehört zu Punkt (1|-2) $\to$ Graph (2).
- (f-g) gehört zu Punkt (1|2) $\to$ Graph (3).

Ergebnis:

Graph (1) = $f+g$ , Graph (2) = $g-f$ , Graph (3) = $f-g$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Gegeben sind die Funktionen $f(x) = -x + 1$ und $g(x) = 2$ . Ordne die Graphen den Funktionen $f+g$ und $f-g$ zu.

Zwei Geraden als Graphen zusammengesetzter Funktionen

Fortschritt

5 / 5

1
Schritt 1
Neue Funktionsterme aufstellen
- $(f+g)(x) = f(x) + g(x) = (-x + 1) + 2 = -x + 3$
- $(f-g)(x) = f(x) - g(x) = (-x + 1) - 2 = -x - 1$
Schritt 2
Einen geeigneten Test-x-Wert wählen
Der y-Achsenabschnitt bei $x=0$ ist immer einfach zu berechnen und abzulesen.
3
Schritt 3
y-Werte für den Testpunkt berechnen
- Für $f+g$ : $(f+g)(0) = -0 + 3 = 3$ $\to$ Punkt $(0|3)$
- Für $f-g$ : $(f-g)(0) = -0 - 1 = -1$ $\to$ Punkt $(0|-1)$
4
Schritt 4
Graphen am Testpunkt ablesen
Wir schauen bei $x=0$ :
- Graph (1) schneidet die y-Achse bei $y=3$ .
- Graph (2) schneidet die y-Achse bei $y=-1$ .
5
Schritt 5 · Ergebnis
Graphen und Funktionen zuordnen
- $(f+g)$ gehört zu Punkt $(0|3)$ $\to$ Graph (1).
- $(f-g)$ gehört zu Punkt $(0|-1)$ $\to$ Graph (2).

Ergebnis:

Graph (1) = $f+g$ , Graph (2) = $f-g$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Gegeben sind die Funktionen $f(x) = x^2 - 3$ und $g(x) = -x^2 + 1$ . Ordne die Graphen den Funktionen $f+g$ und $f-g$ zu.

Parabel und horizontale Gerade als zusammengesetzte Funktionen

Fortschritt

5 / 5

1
Schritt 1
Neue Funktionsterme aufstellen
- (f+g)(x) = (x^2 - 3) + (-x^2 + 1) = x^2 - 3 - x^2 + 1 = -2
- (f-g)(x) = (x^2 - 3) - (-x^2 + 1) = x^2 - 3 + x^2 - 1 = 2x^2 - 4
Schritt 2
Einen geeigneten Test-x-Wert wählen
Wir wählen wieder $x=0$ .
3
Schritt 3
y-Werte für den Testpunkt berechnen
- Für $f+g$ : (f+g)(0) = -2 (dies ist eine konstante Funktion) $\to$ Punkt (0|-2)
- Für $f-g$ : $(f-g)(0) = 2 \cdot 0^2 - 4 = -4$ $\to$ Punkt (0|-4)
4
Schritt 4
Graphen am Testpunkt ablesen
Wir schauen bei $x=0$ :
- Graph (1) ist eine horizontale Linie bei $y=-2$ .
- Graph (2) hat seinen Scheitelpunkt bei (0|-4).
5
Schritt 5 · Ergebnis
Graphen und Funktionen zuordnen
- (f+g) gehört zu Punkt (0|-2) $\to$ Graph (1).
- (f-g) gehört zu Punkt (0|-4) $\to$ Graph (2).

Ergebnis:

Graph (1) = $f+g$ , Graph (2) = $f-g$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Gegeben sind die Funktionen $f(x) = 2x$ und $g(x) = -x+3$ . Ordne die Graphen den Funktionen $f+g$ und $g-f$ zu.

Zwei Geraden aus linearen zusammengesetzten Funktionen

Fortschritt

5 / 5

1
Schritt 1
Neue Funktionsterme aufstellen
- (f+g)(x) = 2x + (-x+3) = x+3
- (g-f)(x) = (-x+3) - 2x = -3x+3
Schritt 2
Einen geeigneten Test-x-Wert wählen
Wir wählen $x=1$ .
3
Schritt 3
y-Werte für den Testpunkt berechnen
- Für $f+g$ : (f+g)(1) = 1+3 = 4 $\to$ Punkt (1|4)
- Für $g-f$ : $(g-f)(1) = -3 \cdot 1 + 3 = 0$ $\to$ Punkt (1|0)
4
Schritt 4
Graphen am Testpunkt ablesen
Wir schauen bei $x=1$ :
- Graph (1) geht durch den Punkt (1|4) (nicht im Bild, aber Steigung passt).
- Graph (2) geht durch den Punkt (1|0).
5
Schritt 5 · Ergebnis
Graphen und Funktionen zuordnen
- (f+g) gehört zu Punkt (1|4) $\to$ Graph (1).
- (g-f) gehört zu Punkt (1|0) $\to$ Graph (2).

Ergebnis:

Graph (1) = $f+g$ , Graph (2) = $g-f$ .

Beispiel 5

Aufgabe

Gegeben sind die Funktionen $f(x) = 4$ und $g(x) = x^2$ . Ordne die Graphen den Funktionen $f+g$ und $f-g$ zu.

Parabel nach oben und nach unten verschoben als zusammengesetzte Funktionen

Fortschritt

5 / 5

1
Schritt 1
Neue Funktionsterme aufstellen
- (f+g)(x) = 4 + x^2 = x^2 + 4
- (f-g)(x) = 4 - x^2 = -x^2 + 4
Schritt 2
Einen geeigneten Test-x-Wert wählen
Bei $x=0$ haben beide Graphen den gleichen y-Wert. Wir müssen einen anderen Wert wählen, z. B. $x=2$ .
3
Schritt 3
y-Werte für den Testpunkt berechnen
- Für $f+g$ : (f+g)(2) = 2^2 + 4 = 8 $\to$ Punkt (2|8)
- Für $f-g$ : (f-g)(2) = -2^2 + 4 = 0 $\to$ Punkt (2|0)
4
Schritt 4
Graphen am Testpunkt ablesen
Wir schauen bei $x=2$ :
- Graph (1) geht durch den Punkt (2|8).
- Graph (2) geht durch den Punkt (2|0).
5
Schritt 5 · Ergebnis
Graphen und Funktionen zuordnen
- (f+g) gehört zu Punkt (2|8) $\to$ Graph (1).
- (f-g) gehört zu Punkt (2|0) $\to$ Graph (2).

Ergebnis:

Graph (1) = $f+g$ , Graph (2) = $f-g$ .

Aufgabentyp 2: Zusammengesetzte Graphen im Sachkontext interpretieren

In Anwendungsaufgaben stehen Funktionen für reale Größen, z. B. Umsatz, Kosten oder Gewinn. Oft ergibt sich eine Größe aus der Kombination der anderen.

Der Schlüssel zum Lösen solcher Aufgaben ist, zuerst die logische Beziehung zwischen den Größen zu verstehen und sie als Formel aufzuschreiben. Ein klassisches Beispiel ist:

Gewinn = Umsatz - Kosten

Oder mathematisch: $G(x) = U(x) - K(x)$ .

Mit dieser Formel können wir die Graphen analysieren. Zum Beispiel: Wo der Gewinngraph unter der x-Achse liegt (also negativ ist), muss der Kostengraph über dem Umsatzgraphen liegen.