Was ist eine Entscheidungsregel beim Hypothesentest?

Eine Entscheidungsregel legt beim Hypothesentest fest, ab welchem kritischen Wert k die Nullhypothese H₀ verworfen wird. Sie besteht aus einem Ablehnungsbereich und einem Annahmebereich . Das Signifikanzniveau α begrenzt dabei die Wahrscheinlichkeit, H₀ fälschlicherweise abzulehnen (Fehler 1. Art). Die Regel lautet zum Beispiel: „Wenn die Anzahl der Treffer k oder weniger beträgt, wird H₀ verworfen."

Wie erkennst du, ob ein Test linksseitig oder rechtsseitig ist?

Die Richtung des Tests erkennst du am Zeichen in der Nullhypothese : Steht dort p ≥ p₀ (Schlüsselwörter: „mindestens", „nicht weniger als"), handelt es sich um einen linksseitigen Test – der Ablehnungsbereich liegt links. Steht p ≤ p₀ (Schlüsselwörter: „höchstens", „nicht mehr als"), ist es ein rechtsseitiger Test – der Ablehnungsbereich liegt rechts.

Wie findest du den kritischen Wert k beim einseitigen Hypothesentest?

Den kritischen Wert k findest du durch systematisches Einsetzen in die kumulierte Binomialverteilung deines Taschenrechners. Beim linksseitigen Test suchst du das größte k mit P(X ≤ k) ≤ α . Beim rechtsseitigen Test suchst du das kleinste k mit P(X ≤ k) ≥ 1 − α . Teste dazu Werte schrittweise, bis du die Grenze findest.

Was ist der Unterschied zwischen linksseitigem und rechtsseitigem Test?

Beim linksseitigen Test lautet die Nullhypothese H₀: p ≥ p₀ . Der Ablehnungsbereich liegt links : {0, 1, …, k} , und du suchst das größte k mit P(X ≤ k) ≤ α . Beim rechtsseitigen Test lautet die Nullhypothese H₀: p ≤ p₀ . Der Ablehnungsbereich liegt rechts : {k+1, …, n} , und du suchst das kleinste k mit P(X ≤ k) ≥ 1 − α .

Warum muss man die Ungleichung beim rechtsseitigen Test umformen?

Taschenrechner berechnen in der Regel nur die kumulierte Wahrscheinlichkeit P(X ≤ k) . Die ursprüngliche Ungleichung P(X ≥ k+1) ≤ α lässt sich darüber nicht direkt eingeben. Durch die Umformung über die Gegenwahrscheinlichkeit – also 1 − P(X ≤ k) ≤ α , woraus P(X ≤ k) ≥ 1 − α folgt – kannst du die Bedingung direkt mit der CDF-Funktion des Taschenrechners prüfen. Achtung: Das Relationszeichen dreht sich dabei um.

Einseitige Hypothesentests: Entscheidungsregeln

Stell dir vor, ein Pharmaunternehmen behauptet, ihr neues Medikament hat in weniger als 1% der Fälle Nebenwirkungen. Klingt super, oder? Aber woher weißt du, ob das stimmt? Oder eine Partei behauptet, 60% der Wähler unterstützen sie. Würdest du darauf wetten? Hypothesentests sind das ultimative Werkzeug, um solche Behauptungen zu überprüfen. Du lernst hier, wie man eine klare Entscheidungsregel für einseitige Hypothesentests aufstellt – eine Regel, die dir sagt: „Okay, bei diesem Testergebnis ist die Behauptung wahrscheinlich wahr" oder „Nee, das Ergebnis ist so unwahrscheinlich, die ursprüngliche Behauptung kann nicht stimmen." Das ist keine trockene Theorie, sondern eine knallharte Fähigkeit, um in einer Welt voller Daten und Behauptungen kluge, faktenbasierte Entscheidungen zu treffen.

Schnellantwort

Eine Entscheidungsregel für einen einseitigen Hypothesentest legt fest, ab welchem kritischen Wert $k$ die Nullhypothese $H_0$ verworfen wird. Beim linksseitigen Test ( $H_0: p \ge p_0$ ) liegt der Ablehnungsbereich links, beim rechtsseitigen Test ( $H_0: p \le p_0$ ) liegt er rechts. Das Signifikanzniveau $\alpha$ begrenzt dabei die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 1. Art – also $H_0$ fälschlicherweise abzulehnen.

Vorwissen

Bevor wir starten, wiederholen wir kurz die Grundlagen der Binomialverteilung:

Binomialverteilung: Beschreibt die Anzahl der Erfolge in einer Serie von $n$ unabhängigen Versuchen, bei denen es nur zwei Ausgänge gibt (Erfolg oder Misserfolg). Die Erfolgswahrscheinlichkeit $p$ ist bei jedem Versuch gleich.
- Beispiel: Wir werfen einen Würfel 10-mal ( $n=10$ ). Ein „Erfolg" ist das Würfeln einer 6 ( $p = \frac{1}{6}$ ). Die Anzahl der gewürfelten Sechsen ist binomialverteilt.
Kumulierte Wahrscheinlichkeit $P(X \le k)$ : Gibt die Wahrscheinlichkeit an, höchstens $k$ Erfolge zu erzielen. Die meisten Taschenrechner haben dafür eine Funktion (oft „Binomial-CDF" oder „kumul. Binom.-Vteil.").
- Beispiel: $P(X \le 2)$ ist die Wahrscheinlichkeit, 0, 1 oder 2 Sechsen zu würfeln.
Gegenwahrscheinlichkeit für „mindestens k": Die Wahrscheinlichkeit für mindestens $k$ Erfolge berechnet man über das Gegenteil von „höchstens $k-1$ ".
- Formel: $P(X \ge k) = 1 - P(X \le k-1)$
- Beispiel: Die Wahrscheinlichkeit, mindestens 3 Sechsen zu würfeln, ist $P(X \ge 3) = 1 - P(X \le 2)$ .

Aufgabentyp 1: Entscheidungsregel für einen linksseitigen Test

Ein linksseitiger Hypothesentest wird verwendet, um zu prüfen, ob eine Wahrscheinlichkeit gesunken ist oder einen bestimmten Wert nicht überschreitet. Die Nullhypothese hat dabei immer die Form „mindestens so groß wie" oder „größer gleich".

Nullhypothese $H_0$ : $p \ge p_0$

Das Wort „linksseitig" bezieht sich auf den Ablehnungsbereich. Wir verwerfen die Nullhypothese, wenn das Ergebnis (die Anzahl der Treffer) überraschend klein ist, also „links" auf der Zahlengerade liegt.

Ablehnungsbereich $\bar{A}$ : Liegt links. $\bar{A} = \{0, 1, ..., k\}$
Annahmebereich $A$ : Liegt rechts. $A = \{k+1, ..., n\}$

Der Fehler 1. Art ist, $H_0$ abzulehnen, obwohl sie wahr ist. Die Wahrscheinlichkeit dafür darf höchstens so groß sein wie das Signifikanzniveau $\alpha$ .

Für einen linksseitigen Test gilt daher die entscheidende Ungleichung: $P(X \le k) \le \alpha$ (unter der Annahme, dass $p = p_0$ gilt)

Unser Ziel ist es, das größte $k$ zu finden, das diese Bedingung erfüllt.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Informationen sammeln: Lies die Stichprobengröße $n$ , die Wahrscheinlichkeit der Nullhypothese $p_0$ und das Signifikanzniveau $\alpha$ aus dem Text heraus.
Hypothesen und Testart bestimmen: Formuliere die Nullhypothese $H_0$ . Eine Hypothese der Form $p \ge p_0$ („mindestens") führt zu einem linksseitigen Test.
Ungleichung für den Fehler 1. Art aufstellen: Beim linksseitigen Test liegt der Ablehnungsbereich links. Die Ungleichung lautet: $P_{n, p_0}(X \le k) \le \alpha$
Kritischen Wert $k$ durch Probieren finden: Nutze die kumulierte Binomialverteilungsfunktion deines Taschenrechners. Finde durch systematisches Einsetzen verschiedener Werte für $k$ das größte $k$ , für das die Ungleichung aus Schritt 3 noch gilt.
Entscheidungsregel formulieren: Definiere den Annahme- und Ablehnungsbereich und formuliere die Regel im Sachzusammenhang: „Wenn die Anzahl der Treffer $k$ oder weniger beträgt, wird $H_0$ verworfen. Ansonsten wird sie angenommen."

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Ein Schraubenhersteller erhält eine Beschwerde, dass der Anteil fehlerhafter Schrauben bei mindestens 8% liegt. Um dies zu prüfen, wird eine Stichprobe von 200 Schrauben entnommen. Die Firma möchte die Nullhypothese $H_0: p \ge 0{,}08$ nur dann fälschlicherweise zurückweisen, wenn das Ergebnis sehr unwahrscheinlich ist. Das Signifikanzniveau wird auf $\alpha = 5\%$ festgelegt. Bestimmen Sie die Entscheidungsregel.

Fortschritt

5 / 5

1
Schritt 1
Informationen sammeln
- Stichprobengröße: $n = 200$
- Wahrscheinlichkeit der Nullhypothese: $p_0 = 0{,}08$
- Signifikanzniveau: $\alpha = 0{,}05$
Schritt 2
Hypothesen und Testart bestimmen
Die Nullhypothese ist gegeben: $H_0: p \ge 0{,}08$ („mindestens 8% fehlerhaft"). Das $\ge$ -Zeichen bedeutet, es handelt sich um einen linksseitigen Test.
Schritt 3
Ungleichung für den Fehler 1. Art aufstellen
Wir suchen die Grenze $k$ für den Ablehnungsbereich $\{0, ..., k\}$ . Die Wahrscheinlichkeit, dort zu landen, darf $5\%$ nicht überschreiten. $P_{200, 0{,}08}(X \le k) \le 0{,}05$
4
Schritt 4
Kritischen Wert $k$ durch Probieren finden
Wir testen Werte für $k$ mit dem Taschenrechner (kumulierte Binomialverteilung):
- Für $k=10$ : $P(X \le 10) \approx 0{,}0691$ . Das ist größer als $5\%$ . Also ist 10 zu hoch.
- Für $k=9$ : $P(X \le 9) \approx 0{,}0374$ . Das ist kleiner als $5\%$ . Das passt.
- Für $k=8$ : $P(X \le 8) \approx 0{,}0183$ . Das ist auch kleiner als $5\%$ .
Wir suchen das größte $k$ , das die Bedingung erfüllt. Das ist $k=9$ .
5
Schritt 5 · Ergebnis
Entscheidungsregel formulieren
- Ablehnungsbereich $\bar{A}$ : $\{0, 1, ..., 9\}$ (Hypothese wird verworfen)
- Annahmebereich $A$ : $\{10, 11, ..., 200\}$ (Hypothese wird angenommen)

Ergebnis:

Wenn in der Stichprobe von 200 Schrauben 9 oder weniger fehlerhaft sind, wird die Beschwerde zurückgewiesen (die Nullhypothese wird verworfen). Bei 10 oder mehr fehlerhaften Schrauben wird die Beschwerde angenommen.

Beispiel 2

Aufgabe

Ein Landwirt glaubt, dass aufgrund von saurem Regen mindestens 15% seiner Apfelbäume krank sind ( $H_0: p \ge 0{,}15$ ). Eine Untersuchung von 100 Bäumen soll Klarheit bringen. Bestimmen Sie die Entscheidungsregel auf einem Signifikanzniveau von $\alpha = 10\%$ .

Fortschritt

5 / 5

1
Schritt 1
Informationen sammeln
- $n = 100$
- $p_0 = 0{,}15$
- $\alpha = 0{,}10$
Schritt 2
Hypothesen und Testart bestimmen
$H_0: p \ge 0{,}15$ ist ein linksseitiger Test.
Schritt 3
Ungleichung aufstellen
$P_{100, 0{,}15}(X \le k) \le 0{,}10$
4
Schritt 4
Kritischen Wert $k$ finden
- Für $k=10$ : $P(X \le 10) \approx 0{,}1195 > 0{,}10$ .
- Für $k=9$ : $P(X \le 9) \approx 0{,}0656 < 0{,}10$ .
Das größte passende $k$ ist 9.
5
Schritt 5 · Ergebnis
Entscheidungsregel formulieren
- Ablehnungsbereich $\bar{A}$ : $\{0, ..., 9\}$
- Annahmebereich $A$ : $\{10, ..., 100\}$

Ergebnis:

Findet man bei der Untersuchung 9 oder weniger kranke Bäume, verwirft man die Annahme des Landwirts. Bei 10 oder mehr kranken Bäumen behält man sie bei.

Beispiel 3

Aufgabe

Eine Bürgerinitiative behauptet, dass mindestens 30% der Anwohner gegen ein neues Bauprojekt sind. Eine Umfrage unter 80 Anwohnern soll dies mit einem Signifikanzniveau von $\alpha = 5\%$ testen. Geben Sie die Entscheidungsregel an.

Fortschritt

5 / 5

1
Schritt 1
Informationen sammeln
- $n = 80$
- $p_0 = 0{,}30$
- $\alpha = 0{,}05$
Schritt 2
Hypothesen und Testart bestimmen
$H_0: p \ge 0{,}30$ („mindestens 30%") ist ein linksseitiger Test.
Schritt 3
Ungleichung aufstellen
$P_{80, 0{,}30}(X \le k) \le 0{,}05$
4
Schritt 4
Kritischen Wert $k$ finden
- Für $k=18$ : $P(X \le 18) \approx 0{,}0613 > 0{,}05$ .
- Für $k=17$ : $P(X \le 17) \approx 0{,}0349 < 0{,}05$ .
Das größte passende $k$ ist 17.
5
Schritt 5 · Ergebnis
Entscheidungsregel formulieren
- Ablehnungsbereich $\bar{A}$ : $\{0, ..., 17\}$
- Annahmebereich $A$ : $\{18, ..., 80\}$

Ergebnis:

Wenn sich bei der Umfrage 17 oder weniger Anwohner gegen das Projekt aussprechen, wird die Behauptung der Bürgerinitiative verworfen.

Aufgabentyp 2: Entscheidungsregel für einen rechtsseitigen Test

Ein rechtsseitiger Hypothesentest wird verwendet, um zu prüfen, ob eine Wahrscheinlichkeit gestiegen ist oder einen bestimmten Wert nicht unterschreitet. Die Nullhypothese hat dabei immer die Form „höchstens so groß wie" oder „kleiner gleich".

Nullhypothese $H_0$ : $p \le p_0$

Das Wort „rechtsseitig" bezieht sich auf den Ablehnungsbereich. Wir verwerfen die Nullhypothese, wenn das Ergebnis (die Anzahl der Treffer) überraschend groß ist, also „rechts" auf der Zahlengerade liegt.

Annahmebereich $A$ : Liegt links. $A = \{0, 1, ..., k\}$
Ablehnungsbereich $\bar{A}$ : Liegt rechts. $\bar{A} = \{k+1, ..., n\}$

Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art ( $H_0$ ablehnen, obwohl sie stimmt) muss wieder kleiner als das Signifikanzniveau $\alpha$ sein.

Die Ungleichung lautet hier: $P(X \ge k+1) \le \alpha$

Da Taschenrechner meist nur $P(X \le ...)$ berechnen können, müssen wir die Ungleichung umformen. Das ist der entscheidende Trick beim rechtsseitigen Test!

$1 - P(X \le k) \le \alpha$

$\to P(X \le k) \ge 1 - \alpha$

Unser Ziel ist es, das kleinste $k$ zu finden, das diese umgeformte Bedingung erfüllt.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Informationen sammeln: Lies die Stichprobengröße $n$ , die Wahrscheinlichkeit der Nullhypothese $p_0$ und das Signifikanzniveau $\alpha$ aus dem Text heraus.
Hypothesen und Testart bestimmen: Formuliere die Nullhypothese $H_0$ . Eine Hypothese der Form $p \le p_0$ („höchstens") führt zu einem rechtsseitigen Test.
Ungleichung für den Fehler 1. Art aufstellen: Beim rechtsseitigen Test liegt der Ablehnungsbereich rechts: $\{k+1, ..., n\}$ . Die Ungleichung lautet: $P_{n, p_0}(X \ge k+1) \le \alpha$
Ungleichung umformen: Forme die Ungleichung so um, dass du sie mit dem Taschenrechner lösen kannst. Nutze die Gegenwahrscheinlichkeit: $1 - P(X \le k) \le \alpha \to P(X \le k) \ge 1 - \alpha$ . Achtung: Das Relationszeichen dreht sich um!
Kritischen Wert $k$ durch Probieren finden: Nutze die kumulierte Binomialverteilungsfunktion deines Taschenrechners. Finde durch systematisches Einsetzen das kleinste $k$ , für das die umgeformte Ungleichung aus Schritt 4 gilt.
Entscheidungsregel formulieren: Definiere den Annahme- und Ablehnungsbereich und formuliere die Regel: „Wenn die Anzahl der Treffer mehr als $k$ beträgt (also mindestens $k+1$ ), wird $H_0$ verworfen. Ansonsten wird sie angenommen."

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Eine Bogenschützin hatte bisher eine Trefferquote von höchstens 70%. Sie trainiert mit einem neuen Bogen und vermutet, dass sie sich verbessert hat. Um die Nullhypothese $H_0: p \le 0{,}7$ zu testen, schießt sie 100 Pfeile. Das Signifikanzniveau beträgt $\alpha = 5\%$ . Bestimmen Sie die Entscheidungsregel.

Fortschritt

6 / 6

1
Schritt 1
Informationen sammeln
- Stichprobengröße: $n = 100$
- Wahrscheinlichkeit der Nullhypothese: $p_0 = 0{,}7$
- Signifikanzniveau: $\alpha = 0{,}05$
Schritt 2
Hypothesen und Testart bestimmen
Die Nullhypothese ist gegeben: $H_0: p \le 0{,}7$ („höchstens 70% Treffer"). Das $\le$ -Zeichen bedeutet, es handelt sich um einen rechtsseitigen Test.
Schritt 3
Ungleichung für den Fehler 1. Art aufstellen
Wir suchen die Grenze $k$ , sodass der Ablehnungsbereich bei $k+1$ beginnt. $P_{100, 0{,}7}(X \ge k+1) \le 0{,}05$
Schritt 4
Ungleichung umformen
$1 - P(X \le k) \le 0{,}05$

$- P(X \le k) \le -0{,}95$

$P(X \le k) \ge 0{,}95$
5
Schritt 5
Kritischen Wert $k$ durch Probieren finden
Wir suchen das kleinste $k$ , das die Bedingung $P(X \le k) \ge 0{,}95$ erfüllt:
- Für $k=76$ : $P(X \le 76) \approx 0{,}9245$ . Das ist kleiner als $0{,}95$ . Passt nicht.
- Für $k=77$ : $P(X \le 77) \approx 0{,}9522$ . Das ist größer als $0{,}95$ . Das ist unser gesuchtes $k$ .
6
Schritt 6 · Ergebnis
Entscheidungsregel formulieren
Der Annahmebereich geht bis $k=77$ . Der Ablehnungsbereich beginnt bei $k+1 = 78$ .
- Annahmebereich $A$ : $\{0, 1, ..., 77\}$
- Ablehnungsbereich $\bar{A}$ : $\{78, 79, ..., 100\}$

Ergebnis:

Wenn die Bogenschützin 78 oder mehr Treffer erzielt, wird die Nullhypothese verworfen und man geht davon aus, dass sie sich verbessert hat. Bei 77 oder weniger Treffern wird die Hypothese beibehalten.

Beispiel 2

Aufgabe

Ein Gärtner testet einen neuen Dünger. Bisher keimten höchstens 80% seiner Samen. Er sät 50 Samen mit dem neuen Dünger und will die Hypothese $H_0: p \le 0{,}8$ auf einem Signifikanzniveau von $\alpha = 10\%$ testen. Bestimmen Sie die Entscheidungsregel.

Fortschritt

5 / 5

1
Schritt 1
Informationen sammeln
- $n = 50$
- $p_0 = 0{,}8$
- $\alpha = 0{,}10$
Schritt 2
Hypothesen und Testart bestimmen
$H_0: p \le 0{,}8$ ist ein rechtsseitiger Test.
Schritt 3 & 4
Ungleichung aufstellen und umformen
$P_{50, 0{,}8}(X \ge k+1) \le 0{,}10$

$\to P(X \le k) \ge 1 - 0{,}10 = 0{,}90$
4
Schritt 5
Kritischen Wert $k$ finden
Wir suchen das kleinste $k$ mit $P(X \le k) \ge 0{,}90$ .
- Für $k=43$ : $P(X \le 43) \approx 0{,}8894 < 0{,}90$ .
- Für $k=44$ : $P(X \le 44) \approx 0{,}9519 > 0{,}90$ .
Das kleinste passende $k$ ist 44.
5
Schritt 6 · Ergebnis
Entscheidungsregel formulieren
- Annahmebereich $A$ : $\{0, ..., 44\}$
- Ablehnungsbereich $\bar{A}$ : $\{45, ..., 50\}$

Ergebnis:

Wenn 45 oder mehr Samen keimen, geht der Gärtner davon aus, dass der Dünger wirksam ist. Bei 44 oder weniger gekeimten Samen nicht.

Beispiel 3

Aufgabe

Eine Partei hatte bei der letzten Wahl höchstens 20% der Stimmen. Nach einer neuen Kampagne hofft sie auf mehr Zuspruch. Eine Umfrage unter 400 Personen soll die Nullhypothese $H_0: p \le 0{,}2$ auf einem Signifikanzniveau von $\alpha = 5\%$ testen. Wie lautet die Entscheidungsregel?

Fortschritt

5 / 5

1
Schritt 1
Informationen sammeln
- $n = 400$
- $p_0 = 0{,}2$
- $\alpha = 0{,}05$
Schritt 2
Hypothesen und Testart bestimmen
$H_0: p \le 0{,}2$ ist ein rechtsseitiger Test.
Schritt 3 & 4
Ungleichung aufstellen und umformen
$P_{400, 0{,}2}(X \ge k+1) \le 0{,}05$

$\to P(X \le k) \ge 1 - 0{,}05 = 0{,}95$
4
Schritt 5
Kritischen Wert $k$ finden
Wir suchen das kleinste $k$ mit $P(X \le k) \ge 0{,}95$ .
- Für $k=92$ : $P(X \le 92) \approx 0{,}9448 < 0{,}95$ .
- Für $k=93$ : $P(X \le 93) \approx 0{,}9559 > 0{,}95$ .
Das kleinste passende $k$ ist 93.
5
Schritt 6 · Ergebnis
Entscheidungsregel formulieren
- Annahmebereich $A$ : $\{0, ..., 93\}$
- Ablehnungsbereich $\bar{A}$ : $\{94, ..., 400\}$

Ergebnis:

Wenn in der Umfrage 94 oder mehr Personen angeben, die Partei zu wählen, wird die Nullhypothese verworfen (d.h. man nimmt an, die Kampagne war erfolgreich).

Wichtige Erkenntnisse

Linksseitiger Test:
- Nullhypothese $H_0: p \ge p_0$ (z.B. „mindestens", „nicht weniger als").
- Ablehnungsbereich ist links: $\{0, ..., k\}$ .
- Ungleichung: $P(X \le k) \le \alpha$ .
- Gesucht: größtes $k$ , das die Bedingung erfüllt.
Rechtsseitiger Test:
- Nullhypothese $H_0: p \le p_0$ (z.B. „höchstens", „nicht mehr als").
- Ablehnungsbereich ist rechts: $\{k+1, ..., n\}$ .
- Ungleichung: $P(X \ge k+1) \le \alpha$ , umgeformt zu $P(X \le k) \ge 1 - \alpha$ .
- Gesucht: kleinstes $k$ , das die umgeformte Bedingung erfüllt.
Der Fehler 1. Art (die Wahrscheinlichkeit, $H_0$ fälschlicherweise abzulehnen) wird immer durch das Signifikanzniveau $\alpha$ begrenzt.

Einseitige Hypothesentests: Entscheidungsregeln bestimmen

Schnellantwort

Vorwissen

Aufgabentyp 1: Entscheidungsregel für einen linksseitigen Test

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Aufgabentyp 2: Entscheidungsregel für einen rechtsseitigen Test

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Wichtige Erkenntnisse

Häufige Fragen

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