Anwendungsaufgaben Pyramide einfach erklärt

• Gegeben: Grundkante $a = 46 \text{ cm}$, Höhe $h = 59 \text{ cm}$.
• Gesucht: Volumen $V$, Seitenfläche $A_{Seite}$, Oberfläche $O$.

Die Grundfläche $G$ ist ein Quadrat: $G = a^2 = (46 \text{ cm})^2 = 2116 \text{ cm}^2$

Jetzt können wir das Volumen berechnen: $V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h$

$V = \frac{1}{3} \cdot 2116 \text{ cm}^2 \cdot 59 \text{ cm}$

$V \approx 41614{,}67 \text{ cm}^3$

Für die Seitenfläche und die Oberfläche brauchen wir die Seitenhöhe $h'$. Diese ist nicht gegeben.

Wir nutzen das Dreieck aus $h$, $\frac{a}{2}$ und $h'$. Die Formel lautet: $(h')^2 = h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2$

Wir setzen die gegebenen Werte ein: $(h')^2 = (59)^2 + \left(\frac{46}{2}\right)^2$

$(h')^2 = 3481 + (23)^2$

$(h')^2 = 3481 + 529$

$(h')^2 = 4010$

$h' = \sqrt{4010} \approx 63{,}32 \text{ cm}$

Seitenfläche $A_{Seite}$: $A_{Seite} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h'$

$A_{Seite} = \frac{1}{2} \cdot 46 \text{ cm} \cdot 63{,}32 \text{ cm}$

$A_{Seite} \approx 1456{,}36 \text{ cm}^2$

Oberfläche $O$: Die Mantelfläche $M$ besteht aus 4 Seitenflächen: $M = 4 \cdot A_{Seite} = 4 \cdot 1456{,}36 \text{ cm}^2 = 5825{,}44 \text{ cm}^2$

$O = G + M$

$O = 2116 \text{ cm}^2 + 5825{,}44 \text{ cm}^2$

$O = 7941{,}44 \text{ cm}^2$

• Gegeben: Grundkante $a = 10 \text{ cm}$, Seitenhöhe $h' = 13 \text{ cm}$.
• Gesucht: Körperhöhe $h$, Volumen $V$.

Wir können das Volumen noch nicht berechnen, da uns die Körperhöhe $h$ fehlt.

Die Körperhöhe $h$ wird für das Volumen benötigt.

Wir verwenden wieder das Dreieck aus $h$, $\frac{a}{2}$ und $h'$. Die Formel lautet: $(h')^2 = h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2$

Dieses Mal suchen wir $h$. Wir müssen die Formel umstellen: $h^2 = (h')^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2$

Jetzt setzen wir die Werte ein: $h^2 = (13)^2 - \left(\frac{10}{2}\right)^2$

$h^2 = 169 - (5)^2$

$h^2 = 169 - 25$

$h^2 = 144$

$h = \sqrt{144} = 12 \text{ cm}$

Zuerst die Grundfläche $G$: $G = a^2 = (10 \text{ cm})^2 = 100 \text{ cm}^2$

Jetzt das Volumen $V$ mit der eben berechneten Höhe $h$: $V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h$

$V = \frac{1}{3} \cdot 100 \text{ cm}^2 \cdot 12 \text{ cm}$

$V = 400 \text{ cm}^3$

• Gegeben: Körperhöhe $h = 15 \text{ m}$, Seitenhöhe $h' = 17 \text{ m}$.
• Gesucht: Grundkante $a$.

Wir suchen die Grundkante $a$. Dafür brauchen wir die halbe Grundkante $\frac{a}{2}$.

Wir nutzen das bekannte Dreieck. Die Formel lautet: $(h')^2 = h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2$

Wir suchen $\frac{a}{2}$, also stellen wir die Formel um: $\left(\frac{a}{2}\right)^2 = (h')^2 - h^2$

Wir setzen die Werte ein: $\left(\frac{a}{2}\right)^2 = (17)^2 - (15)^2$

$\left(\frac{a}{2}\right)^2 = 289 - 225$

$\left(\frac{a}{2}\right)^2 = 64$

$\frac{a}{2} = \sqrt{64} = 8 \text{ m}$

Wir haben die halbe Grundkante berechnet. Um die ganze Grundkante $a$ zu erhalten, multiplizieren wir das Ergebnis mit 2: $a = 2 \cdot 8 \text{ m} = 16 \text{ m}$

• Gegeben: Volumen $V = 200 \text{ cm}^3$, Grundkante $a = 10 \text{ cm}$.
• Gesucht: Höhe $h$, Mantelfläche $M$.

Wir können die Höhe $h$ aus der Volumenformel $V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h$ berechnen. Zuerst brauchen wir $G$: $G = a^2 = (10 \text{ cm})^2 = 100 \text{ cm}^2$

Jetzt stellen wir die Volumenformel nach $h$ um: $h = \frac{3 \cdot V}{G}$

$h = \frac{3 \cdot 200 \text{ cm}^3}{100 \text{ cm}^2} = \frac{600}{100} \text{ cm} = 6 \text{ cm}$

Die Höhe beträgt $h = 6 \text{ cm}$.

Für die Mantelfläche brauchen wir die Seitenhöhe $h'$. Wir nutzen das rechtwinklige Dreieck: $(h')^2 = h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2$

$(h')^2 = (6)^2 + \left(\frac{10}{2}\right)^2$

$(h')^2 = 36 + 5^2 = 36 + 25 = 61$

$h' = \sqrt{61} \approx 7{,}81 \text{ cm}$

$M = 4 \cdot A_{Seite} = 4 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot a \cdot h'\right)$

$M = 2 \cdot a \cdot h'$

$M = 2 \cdot 10 \text{ cm} \cdot 7{,}81 \text{ cm}$

$M \approx 156{,}2 \text{ cm}^2$

• Gegeben: Grundkante $a = 3 \text{ m}$, Höhe $h = 2 \text{ m}$.
• Gesucht: Mantelfläche $M$.

Wir können die Mantelfläche nicht direkt berechnen, da uns die Seitenhöhe $h'$ fehlt.

Wir müssen die Seitenhöhe $h'$ der Zeltwände berechnen.

Wir verwenden das Dreieck aus der Mittelstange ($h$), dem halben Bodenabstand ($\frac{a}{2}$) und der schrägen Zelthöhe ($h'$). $(h')^2 = h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2$

Wir setzen die Werte ein: $(h')^2 = (2)^2 + \left(\frac{3}{2}\right)^2$

$(h')^2 = 4 + (1{,}5)^2$

$(h')^2 = 4 + 2{,}25$

$(h')^2 = 6{,}25$

$h' = \sqrt{6{,}25} = 2{,}5 \text{ m}$

Die Mantelfläche besteht aus vier dreieckigen Zeltwänden. $M = 4 \cdot A_{Seite} = 4 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot a \cdot h'\right)$

$M = 2 \cdot a \cdot h'$

$M = 2 \cdot 3 \text{ m} \cdot 2{,}5 \text{ m}$

$M = 15 \text{ m}^2$