Was sind ganze Zahlen und warum sind sie im Alltag wichtig?

Ganze Zahlen sind alle positiven Zahlen, negativen Zahlen und die Null – ohne Kommas oder Brüche. Beispiele: −3, 0, 5, 120 . Im Alltag begegnen sie dir ständig: beim Aufteilen von Kosten unter Freunden, beim Berechnen von Rabattpreisen oder beim Planen eines Ausflugs. Wer sicher mit ganzen Zahlen rechnet, behält den Überblick und erkennt sofort, ob eine Rechnung stimmt.

Wie übersetzt du eine Textaufgabe in einen einzigen Rechenausdruck?

Lies den Text sorgfältig und markiere alle Zahlen mit ihrer Bedeutung. Bilde dann für jeden logischen Teil eine eigene kleine Rechnung – zum Beispiel die Gesamtkosten oder die Anzahl der Personen. Verbinde diese Teilrechnungen mit Klammern zu einem einzigen großen Ausdruck. Klammern stellen sicher, dass die Reihenfolge stimmt: Was zuerst berechnet werden muss, kommt in eine Klammer.

Was ist die Nullprodukt-Regel und wie wendest du sie an?

Die Nullprodukt-Regel besagt: Ein Produkt A · B = 0 ist genau dann Null, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist. Du erkennst zuerst die Produktstruktur, berechnest den bekannten Faktor und schließt daraus, welcher Faktor gleich 0 sein muss. Dann löst du die kleine Gleichung für die fehlende Zahl und prüfst das Ergebnis mit einer Probe.

Warum ist die Rechenreihenfolge beim Rechnen mit ganzen Zahlen so wichtig?

Die Rechenreihenfolge – Klammer vor Potenz vor Punkt vor Strich (KLAPPUSTRI) – legt fest, in welcher Reihenfolge du Operationen ausführst. Ein Fehler hier verändert das Ergebnis komplett: 3 · (4 + 2) = 18 , aber ohne Klammer gilt 3 · 4 + 2 = 14 . Gerade bei langen Rechenausdrücken aus Textaufgaben ist das Einhalten dieser Regel entscheidend.

Wann hat eine Gleichung mit der Nullprodukt-Regel unendlich viele Lösungen?

Wenn der bereits bekannte Faktor in einer Gleichung der Form A · B = 0 selbst schon 0 ergibt, ist die Nullprodukt-Regel sofort erfüllt – egal, welchen Wert der andere Faktor hat. Ein Beispiel: (25 − 5 · 5) · (□ + 100) = 0 . Der erste Faktor ergibt 0, also ist das Produkt für jede Zahl im Kästchen gleich 0. Es gibt unendlich viele Lösungen.

Rechnen mit ganzen Zahlen im Alltag

Rechnen mit ganzen Zahlen im Alltag ist viel mehr als graue Schultheorie – es ist ein echter Life-Hack. Stell dir vor, du planst einen Trip mit Freunden: Wer zahlt was? Was passiert, wenn jemand abspringt? Oder du siehst ein Angebot online und fragst dich: Ist das wirklich ein guter Deal oder nur ein Marketing-Trick? Genau hier kommt die Mathematik ins Spiel. Es geht nicht um langweilige Formeln, sondern darum, ein eingebautes „BS-Detektor" für Zahlen zu entwickeln. Wenn du lernst, wie man Textaufgaben in eine einzige, klare Rechnung packt, kannst du komplexe Situationen – von der Urlaubsplanung bis zu Rabattaktionen – sofort durchschauen. Du wirst derjenige sein, der den Überblick behält und dafür sorgt, dass alles fair abläuft.

Vorwissen

Bevor wir starten, frischen wir kurz ein paar Grundlagen auf:

Ganze Zahlen: Das sind alle positiven Zahlen, negativen Zahlen und die Null. Sie haben keine Kommas oder Brüche.
- Beispiel: $-3, 0, 5, 120$ sind ganze Zahlen. Rechnen damit sieht so aus: $5 - 8 = -3$ .
Grundrechenarten: Die vier Basis-Operationen der Mathematik.
- Beispiel: Addition ( $3+4=7$ ), Subtraktion ( $10-2=8$ ), Multiplikation ( $5 \cdot 6 = 30$ ), Division ( $20 : 4 = 5$ ).
Rechenregeln (KLAPPUSTRI): Die Reihenfolge, in der gerechnet wird, ist super wichtig. Die Regel lautet: Klammer vor Potenz vor Punkt- vor Strichrechnung.
- Beispiel: Bei $3 \cdot (4+2)$ rechnest du zuerst die Klammer: $3 \cdot 6 = 18$ . Ohne Klammer wäre es $3 \cdot 4 + 2 = 12 + 2 = 14$ . Ein riesiger Unterschied!

Aufgabentyp 1: Textaufgaben in einen Rechenausdruck übersetzen

Bei vielen Textaufgaben ist das Ziel, alle Informationen aus dem Text in eine einzige, lange Rechnung zu packen. Das nennt man einen Rechenausdruck. Der Trick besteht darin, den Text wie ein Puzzle zu sehen. Du identifizierst die einzelnen Teile, baust daraus kleine Rechnungen und setzt diese dann zu einem großen Ganzen zusammen. Klammern sind dabei dein wichtigstes Werkzeug, um die richtige Reihenfolge sicherzustellen.

Stell dir vor, du hast Gesamtkosten, die durch eine Anzahl von Personen geteilt werden. Das wäre der Ausdruck: $\frac{\text{Gesamtkosten}}{\text{Anzahl Personen}}$ .

Wenn die Gesamtkosten selbst eine Rechnung sind (z. B. Miete − Rabatt) und die Anzahl der Personen auch (z. B. Ursprünglich − Abgesagt), dann setzt du diese kleinen Rechnungen in den großen Ausdruck ein und benutzt Klammern:

$\frac{(\text{Miete - Rabatt})}{(\text{Ursprünglich - Abgesagt})}$

So baust du Schritt für Schritt den kompletten Ausdruck auf.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Analysiere den Text und markiere alle Zahlen sowie ihre Bedeutung (Kosten, Anzahl Personen, Rabatte usw.). Halte fest, was die Frage am Ende verlangt.
Bilde Teilrechnungen für jeden logischen Block: Wie hoch sind die Gesamtkosten wirklich? Wie viele Leute sind am Ende dabei? Wie hoch sind die Einnahmen?
Setze den Gesamtausdruck zusammen, indem du die Teilrechnungen mit Klammern verbindest. Was zuerst berechnet werden muss, kommt in eine Klammer.
Rechne den Ausdruck Schritt für Schritt aus – halte dich streng an „Klammer vor Punkt vor Strich" und zeige deine Zwischenschritte.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Ein Sportverein mit 20 Mitgliedern plant einen Ausflug. Die Busmiete kostet insgesamt 400 €. Zusätzlich fallen pro Person 15 € für Eintrittskarten an. Da der Verein einen Zuschuss von 100 € erhält, verringern sich die Gesamtkosten. Welchen Betrag muss jedes Mitglied am Ende zahlen? Formuliere einen einzigen Rechenausdruck und löse ihn.

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Text analysieren und Informationen markieren
- Anzahl Mitglieder: 20
- Busmiete: 400 €
- Eintritt pro Person: 15 €
- Zuschuss: 100 €
- Frage: Kosten pro Mitglied?
2
Schritt 2
Teilrechnungen bilden
- Gesamte Kosten für den Eintritt: $20 \cdot 15 €$
- Gesamtkosten vor dem Zuschuss: $400 € + (20 \cdot 15 €)$
- Tatsächliche Gesamtkosten nach dem Zuschuss: $(400 € + 20 \cdot 15 €) - 100 €$
- Diese Kosten werden auf 20 Mitglieder aufgeteilt.
Schritt 3
Den gesamten Rechenausdruck zusammensetzen
Der Ausdruck für die Kosten pro Mitglied lautet:

$((400 + 20 \cdot 15) - 100) : 20$
Schritt 4 · Ergebnis
Den Ausdruck Schritt für Schritt ausrechnen
Wir lösen den Ausdruck unter Beachtung der Rechenregeln.

Zuerst die innere Klammer (Punktrechnung zuerst):

$(400 + 20 \cdot 15)$

$= (400 + 300) = 700$

Jetzt setzen wir das Ergebnis in den Hauptausdruck ein:

$(700 - 100) : 20$

Als Nächstes die verbleibende Klammer:

$600 : 20$

Zuletzt die Division:

$600 : 20 = 30$

Ergebnis:

Jedes Mitglied muss 30 € zahlen.

Beispiel 2

Aufgabe

Für eine Geburtstagsparty kaufen 4 Freunde zusammen ein. Sie kaufen Getränke für 22 €, Snacks für 18 € und Deko für 10 €. Einer der Freunde hatte noch einen Gutschein über 8 €, der eingelöst wird. Der Restbetrag wird fair unter den 4 Freunden aufgeteilt. Wie viel muss jeder Freund bezahlen? Formuliere einen einzigen Rechenausdruck.

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Text analysieren und Informationen markieren
- Anzahl Freunde: 4
- Kosten Getränke: 22 €
- Kosten Snacks: 18 €
- Kosten Deko: 10 €
- Gutschein: 8 €
- Frage: Kosten pro Freund?
2
Schritt 2
Teilrechnungen bilden
- Gesamte Ausgaben: $22 € + 18 € + 10 €$
- Zu zahlender Betrag nach Abzug des Gutscheins: $(22 € + 18 € + 10 €) - 8 €$
- Dieser Betrag wird auf 4 Freunde aufgeteilt.
Schritt 3
Den gesamten Rechenausdruck zusammensetzen
Der Ausdruck für die Kosten pro Freund lautet:

$((22 + 18 + 10) - 8) : 4$
Schritt 4 · Ergebnis
Den Ausdruck Schritt für Schritt ausrechnen
Wir lösen den Ausdruck von innen nach außen.

Zuerst die innere Klammer:

$(22 + 18 + 10)$

$= (40 + 10) = 50$

Jetzt setzen wir das Ergebnis ein:

$(50 - 8) : 4$

Die verbleibende Klammer:

$42 : 4$

Zuletzt die Division:

$42 : 4 = 10{,}50$

Ergebnis:

Jeder Freund muss 10,50 € bezahlen.

Beispiel 3

Aufgabe

Eine Schulklasse mit 25 Schülern verkauft Kuchen, um Geld für die Klassenkasse zu sammeln. Sie backen 5 Kuchen. Die Materialkosten pro Kuchen betragen 7 €. Jeder Kuchen wird in 12 Stücke geschnitten und jedes Stück für 2 € verkauft. Wie viel Gewinn macht die Klasse insgesamt? Formuliere einen einzigen Rechenausdruck.

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Text analysieren und Informationen markieren
- Anzahl Kuchen: 5
- Materialkosten pro Kuchen: 7 €
- Stücke pro Kuchen: 12
- Verkaufspreis pro Stück: 2 €
- Frage: Gesamtgewinn?
2
Schritt 2
Teilrechnungen bilden
- Gesamte Einnahmen: Ein Kuchen bringt $12 \cdot 2 €$ . Bei 5 Kuchen sind das $5 \cdot (12 \cdot 2 €)$ .
- Gesamte Kosten: 5 Kuchen kosten $5 \cdot 7 €$ .
- Gewinn ist Einnahmen minus Kosten.
Schritt 3
Den gesamten Rechenausdruck zusammensetzen
Der Ausdruck für den Gesamtgewinn lautet:

$(5 \cdot 12 \cdot 2) - (5 \cdot 7)$
Schritt 4 · Ergebnis
Den Ausdruck Schritt für Schritt ausrechnen
Wir berechnen zuerst die Werte in den Klammern.

Erste Klammer (Einnahmen):

$(5 \cdot 12 \cdot 2)$

$= 60 \cdot 2 = 120$

Zweite Klammer (Kosten):

$(5 \cdot 7) = 35$

Jetzt die Subtraktion:

$120 - 35 = 85$

Ergebnis:

Die Klasse macht einen Gesamtgewinn von 85 €.

Beispiel 4

Aufgabe

Ein Bauer erntet 1500 kg Äpfel. Er packt diese in Kisten zu je 12 kg. 100 Kisten verkauft er direkt an einen Supermarkt für 15 € pro Kiste. Die restlichen Kisten verkauft er auf dem Markt für 18 € pro Kiste. Wie hoch sind seine gesamten Einnahmen? Formuliere einen einzigen Rechenausdruck.

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Text analysieren und Informationen markieren
- Gesamternte: 1500 kg
- Gewicht pro Kiste: 12 kg
- Anzahl Kisten für Supermarkt: 100
- Preis pro Kiste (Supermarkt): 15 €
- Preis pro Kiste (Markt): 18 €
- Frage: Gesamteinnahmen?
2
Schritt 2
Teilrechnungen bilden
- Gesamtzahl der Kisten: $1500 : 12$
- Einnahmen vom Supermarkt: $100 \cdot 15 €$
- Anzahl der restlichen Kisten für den Markt: $(1500 : 12) - 100$
- Einnahmen vom Markt: $((1500 : 12) - 100) \cdot 18 €$
- Gesamteinnahmen sind die Summe aus beiden Verkäufen.
Schritt 3
Den gesamten Rechenausdruck zusammensetzen
Der Ausdruck für die Gesamteinnahmen lautet:

$(100 \cdot 15) + ((1500 : 12) - 100) \cdot 18$
Schritt 4 · Ergebnis
Den Ausdruck Schritt für Schritt ausrechnen
Wir folgen den Rechenregeln.

Zuerst die Klammern. Beginnen wir mit der innersten:

$(1500 : 12) = 125$

Jetzt setzen wir das Ergebnis ein:

$(100 \cdot 15) + (125 - 100) \cdot 18$

Nun die restlichen Klammern:

$(100 \cdot 15) = 1500$

$(125 - 100) = 25$

Der Ausdruck vereinfacht sich zu:

$1500 + 25 \cdot 18$

Punktrechnung vor Strichrechnung:

$25 \cdot 18 = 450$

Zuletzt die Addition:

$1500 + 450 = 1950$

Ergebnis:

Die gesamten Einnahmen des Bauern betragen 1950 €.

Beispiel 5

Aufgabe

Eine Familie fährt in den Urlaub. Das Auto verbraucht 8 Liter Benzin auf 100 km. Die gesamte Strecke beträgt 600 km. Der Benzinpreis liegt bei 2 € pro Liter. Auf halber Strecke machen sie eine Pause und geben 35 € für Essen aus. Wie hoch sind die Gesamtkosten für Benzin und Verpflegung? Formuliere einen einzigen Rechenausdruck.

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Text analysieren und Informationen markieren
- Verbrauch: 8 Liter pro 100 km
- Strecke: 600 km
- Benzinpreis: 2 € pro Liter
- Kosten für Essen: 35 €
- Frage: Gesamtkosten?
2
Schritt 2
Teilrechnungen bilden
- Wie oft passen 100 km in die Gesamtstrecke? $600 : 100$
- Gesamtverbrauch an Benzin: $(600 : 100) \cdot 8$ Liter
- Gesamte Benzinkosten: $((600 : 100) \cdot 8) \cdot 2 €$
- Gesamtkosten sind Benzinkosten plus Essenskosten.
Schritt 3
Den gesamten Rechenausdruck zusammensetzen
Der Ausdruck für die Gesamtkosten lautet:

$((600 : 100) \cdot 8) \cdot 2 + 35$
Schritt 4 · Ergebnis
Den Ausdruck Schritt für Schritt ausrechnen
Wir arbeiten uns von der innersten Klammer nach außen.

$(600 : 100) = 6$

Jetzt setzen wir das Ergebnis ein:

$(6 \cdot 8) \cdot 2 + 35$

Die nächste Klammer:

$(6 \cdot 8) = 48$

Der Ausdruck vereinfacht sich zu:

$48 \cdot 2 + 35$

Punktrechnung vor Strichrechnung:

$48 \cdot 2 = 96$

Zuletzt die Addition:

$96 + 35 = 131$

Ergebnis:

Die Gesamtkosten für Benzin und Verpflegung betragen 131 €.

Aufgabentyp 2: Die Nullprodukt-Regel anwenden

Die Nullprodukt-Regel (oder der Satz vom Nullprodukt) ist ein sehr mächtiger Trick in der Mathematik. Sie ist ganz einfach und lautet:

Ein Produkt (eine Mal-Rechnung) ist genau dann Null, wenn mindestens einer seiner Faktoren Null ist.

Stell dir vor, du multiplizierst zwei Zahlen, $A$ und $B$ , und das Ergebnis ist 0:

$A \cdot B = 0$

Das kann nur passieren, wenn entweder $A=0$ ist oder $B=0$ ist (oder beide Null sind). Wenn beide Zahlen ungleich Null wären, zum Beispiel $2 \cdot 3$ , wäre das Ergebnis $6$ , also nicht Null.

Diese Regel hilft uns, fehlende Zahlen in Gleichungen zu finden. Wenn wir eine Aufgabe wie $(\text{Klammer 1}) \cdot (\text{Klammer 2}) = 0$ sehen, wissen wir sofort, dass der Inhalt von Klammer 1 oder der Inhalt von Klammer 2 Null sein muss.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Erkenne die Produktstruktur und stelle sicher, dass die Aufgabe die Form Faktor 1 · Faktor 2 = 0 hat. Die Faktoren sind oft Ausdrücke in Klammern.
Rechne den bekannten Faktor aus – finde den Faktor, in dem keine unbekannte Zahl vorkommt, und berechne ihn.
Wende die Nullprodukt-Regel an: Ist der bekannte Faktor nicht Null, muss der andere Faktor zwingend Null sein. Ist der bekannte Faktor bereits Null, ist die Gleichung für jeden Wert wahr.
Bestimme die fehlende Zahl, indem du den Faktor, der Null sein muss, als eigene kleine Gleichung aufschreibst und löst.
Führe die Probe durch – setze die gefundene Zahl in die ursprüngliche Gleichung ein. Das Ergebnis muss 0 sein.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Finde die fehlende Zahl in der folgenden Gleichung und begründe deine Antwort:

$(5 + \square) \cdot (10 - 2) = 0$

Fortschritt

5 / 5

1
Schritt 1
Die Produktstruktur erkennen
Die Gleichung ist ein Produkt aus zwei Faktoren:
- Faktor 1: $(5 + \square)$
- Faktor 2: $(10 - 2)$
Das Ergebnis ist 0.
Schritt 2
Den bekannten Faktor ausrechnen
Wir berechnen den zweiten Faktor, da dort keine Lücke ist:

$(10 - 2) = 8$
Schritt 3
Die Nullprodukt-Regel anwenden
Da der zweite Faktor 8 ist (und damit nicht 0), muss nach der Nullprodukt-Regel der erste Faktor Null sein, damit die gesamte Rechnung 0 ergibt.
Schritt 4
Die fehlende Zahl bestimmen
Wir setzen den ersten Faktor gleich Null:

$5 + \square = 0$

Wir suchen eine Zahl, die zu 5 addiert Null ergibt. Das ist die Gegenzahl von 5, also -5.

$5 + (-5) = 0$

Die fehlende Zahl ist -5.
Schritt 5 · Ergebnis
Probe durchführen
Wir setzen -5 in die ursprüngliche Gleichung ein:

$(5 + (-5)) \cdot (10 - 2) = 0$

$0 \cdot 8 = 0$

$0 = 0$

Das Ergebnis ist korrekt.

Ergebnis:

Die fehlende Zahl ist -5. Da das Produkt 0 ist und der zweite Faktor 8 ist, muss der erste Faktor $(5 + \square)$ gleich 0 sein. Dies ist nur für $\square = -5$ der Fall.

Beispiel 2

Aufgabe

Welche Zahl muss für das Kästchen eingesetzt werden, damit die Gleichung stimmt?

$(14 - 7) \cdot (\square - 9) = 0$

Fortschritt

5 / 5

1
Schritt 1
Die Produktstruktur erkennen
Die Gleichung ist ein Produkt aus zwei Faktoren:
- Faktor 1: $(14 - 7)$
- Faktor 2: $(\square - 9)$
Das Ergebnis ist 0.
Schritt 2
Den bekannten Faktor ausrechnen
Wir berechnen den ersten Faktor:

$(14 - 7) = 7$
Schritt 3
Die Nullprodukt-Regel anwenden
Der erste Faktor ist 7 (also nicht 0). Damit das Gesamtergebnis 0 wird, muss der zweite Faktor Null sein.
Schritt 4
Die fehlende Zahl bestimmen
Wir setzen den zweiten Faktor gleich Null:

$\square - 9 = 0$

Welche Zahl minus 9 ergibt 0? Das ist die 9 selbst.

$9 - 9 = 0$

Die fehlende Zahl ist 9.
Schritt 5 · Ergebnis
Probe durchführen
Wir setzen 9 in die ursprüngliche Gleichung ein:

$(14 - 7) \cdot (9 - 9) = 0$

$7 \cdot 0 = 0$

$0 = 0$

Das Ergebnis ist korrekt.

Ergebnis:

Die fehlende Zahl ist 9. Damit das Produkt 0 ist, muss ein Faktor 0 sein. Da $(14-7)=7$ ist, muss der Faktor $(\square - 9)$ gleich 0 sein, was nur für $\square = 9$ zutrifft.

Beispiel 3

Aufgabe

Finde die fehlende Zahl in der Gleichung:

$(-8) \cdot (12 + \square) = 0$

Fortschritt

5 / 5

1
Schritt 1
Die Produktstruktur erkennen
Die Gleichung ist ein Produkt aus zwei Faktoren:
- Faktor 1: $(-8)$
- Faktor 2: $(12 + \square)$
Das Ergebnis ist 0.
Schritt 2
Den bekannten Faktor ausrechnen
Der erste Faktor ist bereits eine Zahl: -8.
Schritt 3
Die Nullprodukt-Regel anwenden
Da der erste Faktor -8 ist (und nicht 0), muss der zweite Faktor Null sein, damit das Produkt 0 ergibt.
Schritt 4
Die fehlende Zahl bestimmen
Wir setzen den zweiten Faktor gleich Null:

$12 + \square = 0$

Wir suchen die Gegenzahl von 12, das ist -12.

$12 + (-12) = 0$

Die fehlende Zahl ist -12.
Schritt 5 · Ergebnis
Probe durchführen
Wir setzen -12 in die Gleichung ein:

$(-8) \cdot (12 + (-12)) = 0$

$(-8) \cdot 0 = 0$

$0 = 0$

Das Ergebnis ist korrekt.

Ergebnis:

Die fehlende Zahl ist -12. Nach der Nullprodukt-Regel muss einer der Faktoren 0 sein. Da der erste Faktor -8 ist, muss der zweite Faktor $(12 + \square)$ gleich 0 sein. Das gilt nur für $\square = -12$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Bestimme die Zahl im Kästchen, sodass die Gleichung wahr ist.

$(\square - (-3)) \cdot (4 + 5) = 0$

Fortschritt

5 / 5

1
Schritt 1
Die Produktstruktur erkennen
Die Gleichung ist ein Produkt aus zwei Faktoren:
- Faktor 1: $(\square - (-3))$
- Faktor 2: $(4 + 5)$
Das Ergebnis ist 0.
Schritt 2
Den bekannten Faktor ausrechnen
Wir berechnen den zweiten Faktor:

$(4 + 5) = 9$
Schritt 3
Die Nullprodukt-Regel anwenden
Der zweite Faktor ist 9 (nicht 0). Also muss der erste Faktor Null sein.
Schritt 4
Die fehlende Zahl bestimmen
Wir setzen den ersten Faktor gleich Null. Wir vereinfachen ihn zuerst: Minus mal Minus ist Plus.

$\square - (-3) = \square + 3$

Also:

$\square + 3 = 0$

Die Zahl, die zu 3 addiert 0 ergibt, ist -3.

$-3 + 3 = 0$

Die fehlende Zahl ist -3.
Schritt 5 · Ergebnis
Probe durchführen
Wir setzen -3 in die ursprüngliche Gleichung ein:

$(-3 - (-3)) \cdot (4 + 5) = 0$

$(-3 + 3) \cdot 9 = 0$

$0 \cdot 9 = 0$

$0 = 0$

Das Ergebnis ist korrekt.

Ergebnis:

Die fehlende Zahl ist -3. Der zweite Faktor ist 9. Damit das Produkt 0 ist, muss der erste Faktor $(\square - (-3))$ oder $(\square + 3)$ gleich 0 sein. Dies ist nur für $\square = -3$ der Fall.

Beispiel 5

Aufgabe

Löse die Gleichung, indem du die fehlende Zahl findest:

$(25 - 5 \cdot 5) \cdot (\square + 100) = 0$

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Die Produktstruktur erkennen
Die Gleichung ist ein Produkt aus zwei Faktoren:
- Faktor 1: $(25 - 5 \cdot 5)$
- Faktor 2: $(\square + 100)$
Das Ergebnis ist 0.
Schritt 2
Den bekannten Faktor ausrechnen
Wir berechnen den ersten Faktor. Achtung: Punktrechnung vor Strichrechnung!

$(25 - 5 \cdot 5)$

$= (25 - 25) = 0$
Schritt 3
Die Nullprodukt-Regel anwenden
Der erste Faktor ist bereits 0! Das bedeutet, die Nullprodukt-Regel ist bereits erfüllt. Das Ergebnis der gesamten Multiplikation wird immer 0 sein, egal, welche Zahl wir für das Kästchen einsetzen, denn $0 \cdot (\text{irgendwas}) = 0$ .
Schritt 4 · Ergebnis
Die fehlende Zahl bestimmen
Da die Gleichung für jede beliebige Zahl im Kästchen wahr ist, gibt es unendlich viele Lösungen. In solchen Aufgaben wird oft nach der einfachsten Lösung gefragt, z. B. 0, oder es wird darauf hingewiesen, dass jede Zahl möglich ist.

Wenn wir zum Beispiel 7 einsetzen: $(25 - 25) \cdot (7 + 100) = 0 \cdot 107 = 0$ . Stimmt.

Wenn wir -50 einsetzen: $(25 - 25) \cdot (-50 + 100) = 0 \cdot 50 = 0$ . Stimmt auch.

Ergebnis:

Jede beliebige Zahl kann für das Kästchen eingesetzt werden. Der erste Faktor $(25 - 5 \cdot 5)$ ergibt 0. Da ein Faktor bereits 0 ist, ist das Produkt immer 0, unabhängig vom Wert des zweiten Faktors.

Wichtige Erkenntnisse

Textaufgaben in einem Ausdruck: Zerlege das Problem in logische Teile, baue daraus kleine Rechnungen und setze sie mit Klammern zu einem großen Ausdruck zusammen.
Rechenreihenfolge ist alles: Halte dich immer an die Regel Klammer vor Punkt vor Strich, sonst kommt ein falsches Ergebnis raus.
Die Nullprodukt-Regel: Eine Mal-Rechnung ergibt genau dann 0, wenn mindestens einer der Faktoren 0 ist. Das ist ein super Trick, um Gleichungen zu lösen.

Rechnen mit ganzen Zahlen im Alltag einfach erklärt