Was sind Terme und wie wertet man sie aus?

Ein Term ist eine sinnvolle Kombination aus Zahlen, Variablen und Rechenzeichen – zum Beispiel (-8 · 5) + 12 . Terme auswerten bedeutet, den Zahlenwert des Terms zu berechnen. Dazu wendest du die Rechenregeln in der richtigen Reihenfolge an: zuerst Klammern, dann Potenzen, dann Multiplikation und Division, zuletzt Addition und Subtraktion.

Was bedeutet KLAPOPUSTRI beim Terme berechnen?

KLAPOPUSTRI ist ein Merkwort für die vollständige Rechenreihenfolge: Kla mmern – Po tenzen – Pu nktrechnungen (Multiplikation und Division) – Stri chrechnungen (Addition und Subtraktion). Stehen mehrere gleichrangige Operationen hintereinander, rechnest du von links nach rechts . Bei verschachtelten Klammern arbeitest du dich von der innersten zur äußersten Klammer vor.

Wie löst du eine Gleichung durch Rückwärtsrechnen?

Beim Rückwärtsrechnen machst du die Rechenschritte einer Gleichung in umgekehrter Reihenfolge rückgängig. Jede Rechenart hat eine Umkehroperation: Addition ↔ Subtraktion, Multiplikation ↔ Division. Du findest die zuletzt ausgeführte Operation (Klammer vor Punkt vor Strich beachten), wendest die Umkehroperation auf beiden Seiten an und wiederholst dies, bis die gesuchte Zahl allein steht.

Wie übersetzt du Signalwörter in einen mathematischen Term?

Signalwörter verraten dir, welche Rechenoperation gemeint ist: Summe oder addiere steht für Addition (+), Differenz oder subtrahiere für Subtraktion (−), Produkt oder multipliziere für Multiplikation (·), Quotient oder dividiere für Division (:). Wenn ein Teil der Aufgabe zuerst berechnet werden muss (z. B. „die Summe aus ..."), setzt du diesen Teil in Klammern .

Wie liest du einen Rechenbaum und schreibst ihn als Term auf?

Einen Rechenbaum liest du von oben nach unten. Jede Verzweigung zeigt eine Rechenoperation. Du schreibst jede Operation als Klammer auf und baust so Schicht für Schicht den vollständigen Term auf. Zum Schluss berechnest du den Term, indem du dich von der innersten Klammer nach außen vorarbeitest.

Terme aufstellen und auswerten

Terme aufstellen und auswerten ist die Grundlage für fast alles in der Mathe. Wenn du die Rechenregeln nicht beherrschst, ist es, als würdest du versuchen, ein Videospiel zu spielen, ohne die Steuerung zu kennen. Du drückst Knöpfe, aber nichts passiert so, wie du es willst. Das hier ist der „Cheat Code", um Mathe-Aufgaben schnell und ohne Fehler zu lösen. Während andere raten, welche Zahl zuerst kommt, weißt du genau, wie der Hase läuft. Das spart Zeit im Test und sichert dir die Punkte. Lass uns diese Regeln meistern, damit du die Kontrolle hast.

Vorwissen

Bevor wir starten, solltest du diese Grundlagen draufhaben:

Rechnen mit ganzen Zahlen: Du solltest wissen, wie man mit positiven und negativen Zahlen rechnet.
- Beispiel: $(-5) \cdot (-3) = 15$ (Minus mal Minus ergibt Plus), und $10 + (-4) = 10 - 4 = 6$ .
Grundrechenarten: Du kennst die vier Grundrechenarten.
- Beispiel: Addition (+), Subtraktion (-), Multiplikation (·), Division (:).
Potenzen: Du weißt, was eine Potenz ist.
- Formel: $a^n = a \cdot a \cdot ... \cdot a$ (n-mal)
- Beispiel: $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ . Die Basis ist 2, der Exponent ist 3.

Aufgabentyp 1: Gleichungen durch Rückwärtsrechnen lösen

Manchmal fehlt in einer Gleichung eine Zahl, die durch ein Kästchen $\square$ dargestellt wird. Deine Aufgabe ist es, diese Zahl zu finden. Das schaffst du, indem du die Gleichung Schritt für Schritt „rückgängig" machst. Das nennt man Rückwärtsrechnen oder das Anwenden von Umkehroperationen.

Jede Rechenart hat eine passende Umkehroperation:

Die Umkehroperation von Addition (+) ist Subtraktion (-).
Die Umkehroperation von Subtraktion (-) ist Addition (+).
Die Umkehroperation von Multiplikation (·) ist Division (:).
Die Umkehroperation von Division (:) ist Multiplikation (·).

Der Trick ist, die Rechenschritte in der umgekehrten Reihenfolge der normalen Rechenregeln (Punkt vor Strich) rückgängig zu machen. Du beginnst also mit der letzten Rechnung, die ausgeführt wurde.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Analysiere die Gleichung: Was passiert mit der gesuchten Zahl $\square$ und in welcher Reihenfolge?
Identifiziere die Operation, die als letztes auf der Seite mit dem Kästchen ausgeführt wird (Klammer vor Punkt vor Strich beachten).
Wende die Umkehroperation auf beiden Seiten der Gleichung an, um die letzte Operation rückgängig zu machen.
Wiederhole die Schritte 2 und 3, bis das Kästchen $\square$ allein auf einer Seite steht.
Führe die Probe durch (optional, aber empfohlen): Setze die gefundene Zahl ein und prüfe, ob das Ergebnis stimmt.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Finde die Zahl, die in der Lücke stehen muss, damit die Gleichung stimmt:

$(4 \cdot \square - 10) : 5 = 6$

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Gleichung analysieren
Die gesuchte Zahl $\square$ wird zuerst mit 4 multipliziert, dann wird 10 subtrahiert, und das Ergebnis wird durch 5 geteilt.
Schritt 2
Letzte Operation identifizieren
Die letzte Operation ist die Division durch 5.
Schritt 3
Umkehroperation anwenden
Die Umkehroperation ist die Multiplikation mit 5. Wir wenden sie auf beiden Seiten an.

$(4 \cdot \square - 10) : 5 = 6 \quad | \cdot 5$

$4 \cdot \square - 10 = 6 \cdot 5$

$4 \cdot \square - 10 = 30$
Schritt 4
Wiederholen, bis das Kästchen allein steht
Die neue letzte Operation ist die Subtraktion von 10. Die Umkehroperation ist die Addition von 10.

$4 \cdot \square - 10 = 30 \quad | + 10$

$4 \cdot \square = 30 + 10$

$4 \cdot \square = 40$

Die letzte Operation ist die Multiplikation mit 4. Die Umkehroperation ist die Division durch 4.

$4 \cdot \square = 40 \quad | : 4$

$\square = 40 : 4$

$\square = 10$
Schritt 5 · Ergebnis
Probe
Wir setzen 10 in die ursprüngliche Gleichung ein:

$(4 \cdot 10 - 10) : 5 = (40 - 10) : 5 = 30 : 5 = 6$ . Das Ergebnis stimmt.

Ergebnis:

Die gesuchte Zahl ist 10.

Beispiel 2

Aufgabe

Finde die Zahl, die in der Lücke stehen muss, damit die Gleichung stimmt:

$50 - 6 \cdot \square = 26$

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Gleichung analysieren
Die gesuchte Zahl $\square$ wird mit 6 multipliziert, und dieses Produkt wird von 50 subtrahiert. Wegen „Punkt vor Strich" ist die Multiplikation zuerst dran, die Subtraktion danach.
Schritt 2
Letzte Operation identifizieren
Die letzte Operation ist die Subtraktion (bzw. die Addition von 50). Wir wollen den Term mit dem Kästchen isolieren.
Schritt 3
Umkehroperation anwenden
Wir subtrahieren 50 auf beiden Seiten.

$50 - 6 \cdot \square = 26 \quad | - 50$

$- 6 \cdot \square = 26 - 50$

$- 6 \cdot \square = -24$
Schritt 4
Wiederholen, bis das Kästchen allein steht
Die letzte Operation ist die Multiplikation mit -6. Die Umkehroperation ist die Division durch -6.

$- 6 \cdot \square = -24 \quad | : (-6)$

$\square = -24 : (-6)$

$\square = 4$
Schritt 5 · Ergebnis
Probe
Wir setzen 4 in die ursprüngliche Gleichung ein:

$50 - 6 \cdot 4 = 50 - 24 = 26$ . Das Ergebnis stimmt.

Ergebnis:

Die gesuchte Zahl ist 4.

Beispiel 3

Aufgabe

Finde die Zahl, die in der Lücke stehen muss, damit die Gleichung stimmt:

$(100 + \square) : (-10) = -12$

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Gleichung analysieren
Zur gesuchten Zahl $\square$ wird 100 addiert, und die Summe wird durch -10 geteilt.
Schritt 2
Letzte Operation identifizieren
Die letzte Operation ist die Division durch -10.
Schritt 3
Umkehroperation anwenden
Die Umkehroperation ist die Multiplikation mit -10.

$(100 + \square) : (-10) = -12 \quad | \cdot (-10)$

$100 + \square = -12 \cdot (-10)$

$100 + \square = 120$
Schritt 4
Wiederholen, bis das Kästchen allein steht
Die letzte Operation ist die Addition von 100. Die Umkehroperation ist die Subtraktion von 100.

$100 + \square = 120 \quad | - 100$

$\square = 120 - 100$

$\square = 20$
Schritt 5 · Ergebnis
Probe
Wir setzen 20 in die ursprüngliche Gleichung ein:

$(100 + 20) : (-10) = 120 : (-10) = -12$ . Das Ergebnis stimmt.

Ergebnis:

Die gesuchte Zahl ist 20.

Beispiel 4

Aufgabe

Finde die Zahl, die in der Lücke stehen muss, damit die Gleichung stimmt:

$-7 \cdot (\square - 3) = 49$

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Gleichung analysieren
Von der gesuchten Zahl $\square$ wird 3 subtrahiert, und die Differenz wird mit -7 multipliziert.
Schritt 2
Letzte Operation identifizieren
Die letzte Operation ist die Multiplikation mit -7.
Schritt 3
Umkehroperation anwenden
Die Umkehroperation ist die Division durch -7.

$-7 \cdot (\square - 3) = 49 \quad | : (-7)$

$\square - 3 = 49 : (-7)$

$\square - 3 = -7$
Schritt 4
Wiederholen, bis das Kästchen allein steht
Die letzte Operation ist die Subtraktion von 3. Die Umkehroperation ist die Addition von 3.

$\square - 3 = -7 \quad | + 3$

$\square = -7 + 3$

$\square = -4$
Schritt 5 · Ergebnis
Probe
Wir setzen -4 in die ursprüngliche Gleichung ein:

$-7 \cdot (-4 - 3) = -7 \cdot (-7) = 49$ . Das Ergebnis stimmt.

Ergebnis:

Die gesuchte Zahl ist -4.

Beispiel 5

Aufgabe

Finde die Zahl, die in der Lücke stehen muss, damit die Gleichung stimmt:

$8 + \square : 2 = 12$

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Gleichung analysieren
Die gesuchte Zahl $\square$ wird durch 2 geteilt, und zum Ergebnis wird 8 addiert. Wegen „Punkt vor Strich" wird zuerst geteilt, dann addiert.
Schritt 2
Letzte Operation identifizieren
Die letzte Operation ist die Addition von 8.
Schritt 3
Umkehroperation anwenden
Die Umkehroperation ist die Subtraktion von 8.

$8 + \square : 2 = 12 \quad | - 8$

$\square : 2 = 12 - 8$

$\square : 2 = 4$
Schritt 4
Wiederholen, bis das Kästchen allein steht
Die letzte Operation ist die Division durch 2. Die Umkehroperation ist die Multiplikation mit 2.

$\square : 2 = 4 \quad | \cdot 2$

$\square = 4 \cdot 2$

$\square = 8$
Schritt 5 · Ergebnis
Probe
Wir setzen 8 in die ursprüngliche Gleichung ein:

$8 + 8 : 2 = 8 + 4 = 12$ . Das Ergebnis stimmt.

Ergebnis:

Die gesuchte Zahl ist 8.

Aufgabentyp 2: Rechenanweisungen in Terme übersetzen

In diesen Aufgaben bekommst du eine Anweisung in Worten und musst sie in die Sprache der Mathematik übersetzen – also in einen Term. Ein Term ist eine sinnvolle Kombination aus Zahlen, Variablen und Rechenzeichen.

Der Schlüssel dazu ist, die Signalwörter zu kennen und zu wissen, wie sie die Struktur des Terms beeinflussen. Hier sind die wichtigsten:

Summe oder addiere: Plusrechnung (+)
Differenz oder subtrahiere: Minusrechnung (-)
Produkt oder multipliziere: Malrechnung (·)
Quotient oder dividiere: Geteiltrechnung (:)
Potenz: Hochrechnung (z.B. $x^y$ )

Oft musst du Klammern setzen, um sicherzustellen, dass die Reihenfolge der Berechnungen stimmt. Wenn es heißt „Dividiere die Summe aus 5 und 3 durch 2", musst du erst die Summe bilden. Der Term ist also $(5+3) : 2$ und nicht $5+3:2$ .

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Identifiziere die Signalwörter: Lies die Anweisung sorgfältig und markiere alle Wörter, die eine Rechenoperation beschreiben (z.B. Produkt, addiere, Differenz).
Baue die Term-Struktur auf: Übersetze die Anweisung Stück für Stück. Beginne mit der Hauptoperation. Wenn Teile zuerst berechnet werden müssen (z.B. „die Summe aus..." oder „das Produkt von..."), setze diese Teile in Klammern.
Schreibe den Term auf: Schreibe den vollständigen Term sauber auf.
Berechne den Wert des Terms: Beachte dabei die Rechenregeln (Klammer vor Punkt vor Strich).

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Formuliere einen Term und berechne seinen Wert: Addiere zum Produkt aus $-8$ und $5$ die Zahl $12$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Signalwörter identifizieren
Die Signalwörter sind „addiere" und „Produkt".
Schritt 2
Term-Struktur aufbauen
Die Hauptoperation ist „addiere". Wir sollen etwas zu $12$ addieren. Was? Das „Produkt aus $-8$ und $5$ ". Dieses Produkt muss zuerst berechnet werden. Also setzen wir es in Klammern: $(-8 \cdot 5)$ .
Schritt 3
Term aufschreiben
Der vollständige Term lautet:

$(-8 \cdot 5) + 12$
Schritt 4 · Ergebnis
Wert des Terms berechnen
Wir berechnen zuerst die Klammer:

$-8 \cdot 5 = -40$

Dann die Addition:

$-40 + 12 = -28$

Ergebnis:

Der Wert des Terms ist -28.

Beispiel 2

Aufgabe

Formuliere einen Term und berechne seinen Wert: Subtrahiere $20$ von der Differenz aus $-10$ und $15$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Signalwörter identifizieren
Die Signalwörter sind „subtrahiere" und „Differenz".
Schritt 2
Term-Struktur aufbauen
Die Hauptoperation ist „subtrahiere 20 von ...". Das bedeutet, wir rechnen ... - 20. Der Teil davor ist die „Differenz aus $-10$ und $15$ ", also $(-10 - 15)$ . Dieser Teil muss zuerst berechnet werden und kommt daher in Klammern.
Schritt 3
Term aufschreiben
Der vollständige Term lautet:

$(-10 - 15) - 20$
Schritt 4 · Ergebnis
Wert des Terms berechnen
Wir berechnen zuerst die Klammer:

$-10 - 15 = -25$

Dann die Subtraktion:

$-25 - 20 = -45$

Ergebnis:

Der Wert des Terms ist -45.

Beispiel 3

Aufgabe

Formuliere einen Term und berechne seinen Wert: Dividiere die Zahl $100$ durch die Potenz mit der Basis $-5$ und dem Exponenten $2$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Signalwörter identifizieren
Die Signalwörter sind „dividiere" und „Potenz".
Schritt 2
Term-Struktur aufbauen
Die Hauptoperation ist „dividiere 100 durch ...". Der Divisor ist die „Potenz mit der Basis $-5$ und dem Exponenten $2$ ", also $(-5)^2$ . Da Potenzen sowieso vor der Division berechnet werden, sind Klammern hier nicht zwingend nötig, aber sie machen es klarer.
Schritt 3
Term aufschreiben
Der vollständige Term lautet:

$100 : (-5)^2$
Schritt 4 · Ergebnis
Wert des Terms berechnen
Wir berechnen zuerst die Potenz:

$(-5)^2 = (-5) \cdot (-5) = 25$

Dann die Division:

$100 : 25 = 4$

Ergebnis:

Der Wert des Terms ist 4.

Beispiel 4

Aufgabe

Formuliere einen Term und berechne seinen Wert: Multipliziere die Summe aus $12$ und $-18$ mit dem Quotienten aus $30$ und $-6$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Signalwörter identifizieren
Die Signalwörter sind „multipliziere", „Summe" und „Quotient".
Schritt 2
Term-Struktur aufbauen
Die Hauptoperation ist „multipliziere". Wir multiplizieren zwei Teile miteinander. Der erste Teil ist die „Summe aus $12$ und $-18$ ", also $(12 + (-18))$ . Der zweite Teil ist der „Quotient aus $30$ und $-6$ ", also $(30 : (-6))$ . Beide Teile müssen vor der Multiplikation berechnet werden, also brauchen wir für beide Klammern.
Schritt 3
Term aufschreiben
Der vollständige Term lautet:

$(12 + (-18)) \cdot (30 : (-6))$
Schritt 4 · Ergebnis
Wert des Terms berechnen
Wir berechnen zuerst beide Klammern:

$12 + (-18) = 12 - 18 = -6$

$30 : (-6) = -5$

Dann die Multiplikation:

$(-6) \cdot (-5) = 30$

Ergebnis:

Der Wert des Terms ist 30.

Beispiel 5

Aufgabe

Formuliere einen Term und berechne seinen Wert: Subtrahiere das Produkt aus $3$ und $4$ vom Produkt aus $5$ und $6$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Signalwörter identifizieren
Die Signalwörter sind „subtrahiere" und zweimal „Produkt".
Schritt 2
Term-Struktur aufbauen
Die Hauptoperation ist „subtrahiere ... vom ...". Die Struktur ist also (Produkt 2) - (Produkt 1). Das erste Produkt ist „aus $3$ und $4$ ", also $(3 \cdot 4)$ . Das zweite Produkt ist „aus $5$ und $6$ ", also $(5 \cdot 6)$ .
Schritt 3
Term aufschreiben
Der vollständige Term lautet:

$(5 \cdot 6) - (3 \cdot 4)$
Schritt 4 · Ergebnis
Wert des Terms berechnen
Wir berechnen zuerst die beiden Produkte (Punkt vor Strich):

$5 \cdot 6 = 30$

$3 \cdot 4 = 12$

Dann die Subtraktion:

$30 - 12 = 18$

Ergebnis:

Der Wert des Terms ist 18.

Aufgabentyp 3: Rechenregeln anwenden (Punkt vor Strich)

Die wichtigste Grundregel beim Rechnen heißt „Punkt vor Strich". Das bedeutet, dass Punktrechnungen (Multiplikation und Division) immer vor den Strichrechnungen (Addition und Subtraktion) ausgeführt werden müssen.

Stell dir vor, du hast den Term $10 + 5 \cdot 2$ . Wenn du einfach von links nach rechts rechnest, bekommst du $15 \cdot 2 = 30$ , was falsch ist.

Korrekt ist:

Zuerst die Punktrechnung: $5 \cdot 2 = 10$ .
Dann die Strichrechnung: $10 + 10 = 20$ .

Das richtige Ergebnis ist 20.

Wenn mehrere Punktrechnungen (oder mehrere Strichrechnungen) hintereinander stehen, rechnest du sie einfach von links nach rechts. Zum Beispiel bei $30 : 3 \cdot 2$ rechnest du erst $30:3=10$ und dann $10 \cdot 2 = 20$ .

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Finde alle Punktrechnungen: Gehe den Term von links nach rechts durch und suche alle Multiplikationen (·) und Divisionen (:).
Führe alle Punktrechnungen aus: Berechne alle Punktrechnungen und ersetze die ursprüngliche Rechnung (z.B. $5 \cdot 2$ ) durch ihr Ergebnis (z.B. $10$ ).
Führe die Strichrechnungen aus: Berechne den verbleibenden Term von links nach rechts.
Notiere das Endergebnis.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Beachte die Vorrangregeln und berechne den Wert des Terms:

$20 - 6 \cdot 2 + 8$

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Punktrechnungen finden
Im Term $20 - 6 \cdot 2 + 8$ gibt es eine Punktrechnung: $6 \cdot 2$ .
Schritt 2
Alle Punktrechnungen ausführen
Wir berechnen die Multiplikation:

$6 \cdot 2 = 12$

Wir ersetzen $6 \cdot 2$ im Term durch das Ergebnis 12:

$20 - 12 + 8$
Schritt 3
Strichrechnungen ausführen
Jetzt rechnen wir von links nach rechts:

$20 - 12 = 8$

$8 + 8 = 16$
Schritt 4 · Ergebnis
Endergebnis notieren

Ergebnis:

Der Wert des Terms ist 16.

Beispiel 2

Aufgabe

Beachte die Vorrangregeln und berechne den Wert des Terms:

$(-7) \cdot 3 + 40 : (-5)$

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Punktrechnungen finden
Im Term gibt es zwei Punktrechnungen: $(-7) \cdot 3$ und $40 : (-5)$ .
Schritt 2
Alle Punktrechnungen ausführen
Wir berechnen beide:

$(-7) \cdot 3 = -21$

$40 : (-5) = -8$

Wir ersetzen die Rechnungen durch ihre Ergebnisse:

$-21 + (-8)$
Schritt 3
Strichrechnungen ausführen
Jetzt führen wir die Addition aus. Eine negative Zahl addieren ist wie subtrahieren:

$-21 - 8 = -29$
Schritt 4 · Ergebnis
Endergebnis notieren

Ergebnis:

Der Wert des Terms ist -29.

Beispiel 3

Aufgabe

Beachte die Vorrangregeln und berechne den Wert des Terms:

$100 : 10 : 2 - 5 \cdot (-3)$

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Punktrechnungen finden
Es gibt drei Punktrechnungen: $100 : 10$ , das Ergebnis davon : 2 und $5 \cdot (-3)$ .
Schritt 2
Alle Punktrechnungen ausführen
Wir berechnen die Punktrechnungen von links nach rechts:

$100 : 10 = 10$

Der Term wird zu: $10 : 2 - 5 \cdot (-3)$

Nächste Punktrechnung von links:

$10 : 2 = 5$

Der Term wird zu: $5 - 5 \cdot (-3)$

Letzte Punktrechnung:

$5 \cdot (-3) = -15$

Der Term wird zu: $5 - (-15)$
Schritt 3
Strichrechnungen ausführen
Jetzt die Subtraktion. Eine negative Zahl subtrahieren ist wie addieren:

$5 + 15 = 20$
Schritt 4 · Ergebnis
Endergebnis notieren

Ergebnis:

Der Wert des Terms ist 20.

Beispiel 4

Aufgabe

Beachte die Vorrangregeln und berechne den Wert des Terms:

$-14 - 8 \cdot (-2) + 15 : 3$

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Punktrechnungen finden
Die Punktrechnungen sind $8 \cdot (-2)$ und $15 : 3$ .
Schritt 2
Alle Punktrechnungen ausführen
Wir berechnen sie:

$8 \cdot (-2) = -16$

$15 : 3 = 5$

Wir setzen die Ergebnisse in den Term ein:

$-14 - (-16) + 5$
Schritt 3
Strichrechnungen ausführen
Wir rechnen von links nach rechts. Aus $-(-16)$ wird $+16$ :

$-14 + 16 + 5$

$-14 + 16 = 2$

$2 + 5 = 7$
Schritt 4 · Ergebnis
Endergebnis notieren

Ergebnis:

Der Wert des Terms ist 7.

Beispiel 5

Aufgabe

Beachte die Vorrangregeln und berechne den Wert des Terms:

$99 + 1 \cdot (-99) - 99 : (-1)$

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Punktrechnungen finden
Die Punktrechnungen sind $1 \cdot (-99)$ und $99 : (-1)$ .
Schritt 2
Alle Punktrechnungen ausführen
Wir berechnen sie:

$1 \cdot (-99) = -99$

$99 : (-1) = -99$

Wir setzen die Ergebnisse in den Term ein:

$99 + (-99) - (-99)$
Schritt 3
Strichrechnungen ausführen
Wir rechnen von links nach rechts:

$99 + (-99) = 99 - 99 = 0$

$0 - (-99) = 0 + 99 = 99$
Schritt 4 · Ergebnis
Endergebnis notieren

Ergebnis:

Der Wert des Terms ist 99.

Aufgabentyp 4: Rechenregeln mit Klammern anwenden

Wenn in einem Term Klammern () oder [] vorkommen, ändert sich die Reihenfolge. Die Regel lautet jetzt: „Klammer vor Punkt vor Strich".

Das bedeutet: Was auch immer in einer Klammer steht, muss zuerst berechnet werden. Du behandelst den Inhalt der Klammer wie einen eigenen kleinen Term und löst ihn komplett auf, bis nur noch eine einzige Zahl übrig ist.

Beispiel: $5 \cdot (4 + 2)$ .

Zuerst die Klammer: $4 + 2 = 6$ .
Dann die Punktrechnung: $5 \cdot 6 = 30$ .

Ohne Klammer wäre das Ergebnis $5 \cdot 4 + 2 = 20 + 2 = 22$ . Die Klammer hat also eine große Wirkung!

Wenn Klammern ineinander verschachtelt sind (z.B. [ ( ... ) ]), beginnst du immer mit der innersten Klammer und arbeitest dich nach außen vor.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Finde die innerste Klammer: Das ist die Klammer, die keine weiteren Klammern in sich enthält.
Berechne den Klammerinhalt: Beachte dabei auch innerhalb der Klammer die Regel „Punkt vor Strich".
Ersetze die Klammer durch ihr Ergebnis: Die gesamte Klammer (inklusive der Klammerzeichen) wird durch eine einzige Zahl ersetzt.
Wiederhole, bis keine Klammern mehr vorhanden sind.
Berechne den restlichen Term nach der Regel „Punkt vor Strich".

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Beachte die Rechenregeln und berechne den Wert des Terms:

$(50 - 14) : 4 + 3$

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Innerste Klammer finden
Es gibt nur eine Klammer: $(50 - 14)$ .
Schritt 2
Klammerinhalt berechnen
$50 - 14 = 36$
Schritt 3
Klammer durch Ergebnis ersetzen
Der Term wird zu: $36 : 4 + 3$
Schritt 4
Wiederholen
Es sind keine Klammern mehr da.
Schritt 5 · Ergebnis
Restlichen Term berechnen
Wir wenden „Punkt vor Strich" an:

$36 : 4 = 9$

$9 + 3 = 12$

Ergebnis:

Der Wert des Terms ist 12.

Beispiel 2

Aufgabe

Beachte die Rechenregeln und berechne den Wert des Terms:

$20 + (8 - 5 \cdot 4)$

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Innerste Klammer finden
Die Klammer ist $(8 - 5 \cdot 4)$ .
Schritt 2
Klammerinhalt berechnen
Innerhalb der Klammer gilt „Punkt vor Strich":

$5 \cdot 4 = 20$

$8 - 20 = -12$
Schritt 3
Klammer durch Ergebnis ersetzen
Der Term wird zu: $20 + (-12)$
Schritt 4
Wiederholen
Es sind keine Klammern mehr da.
Schritt 5 · Ergebnis
Restlichen Term berechnen
$20 - 12 = 8$

Ergebnis:

Der Wert des Terms ist 8.

Beispiel 3

Aufgabe

Beachte die Rechenregeln und berechne den Wert des Terms:

$(-3) \cdot (15 - 20) - (10 + 12) : 2$

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Innerste Klammern finden
Es gibt zwei Klammern auf derselben Ebene: $(15 - 20)$ und $(10 + 12)$ .
Schritt 2
Klammerinhalte berechnen
Wir berechnen beide:

$15 - 20 = -5$

$10 + 12 = 22$
Schritt 3
Klammern durch Ergebnisse ersetzen
Der Term wird zu: $(-3) \cdot (-5) - 22 : 2$
Schritt 4
Wiederholen
Es sind keine Klammern mehr da.
Schritt 5 · Ergebnis
Restlichen Term berechnen
Wir wenden „Punkt vor Strich" an:

$(-3) \cdot (-5) = 15$

$22 : 2 = 11$

Der Term wird zu: $15 - 11$

$15 - 11 = 4$

Ergebnis:

Der Wert des Terms ist 4.

Beispiel 4

Aufgabe

Beachte die Rechenregeln und berechne den Wert des Terms:

$100 - [50 : (2 + 8)] \cdot 6$

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Innerste Klammer finden
Die innerste Klammer ist die runde Klammer: $(2 + 8)$ .
Schritt 2
Klammerinhalt berechnen
$2 + 8 = 10$
Schritt 3
Klammer durch Ergebnis ersetzen
Der Term wird zu: $100 - [50 : 10] \cdot 6$
Schritt 4
Wiederholen, bis keine Klammern mehr da sind
Jetzt ist die eckige Klammer die innerste: $[50 : 10]$ .

Wir berechnen ihren Inhalt: $50 : 10 = 5$ .

Wir ersetzen die Klammer durch das Ergebnis:

$100 - 5 \cdot 6$
Schritt 5 · Ergebnis
Restlichen Term berechnen
Wir wenden „Punkt vor Strich" an:

$5 \cdot 6 = 30$

$100 - 30 = 70$

Ergebnis:

Der Wert des Terms ist 70.

Beispiel 5

Aufgabe

Beachte die Rechenregeln und berechne den Wert des Terms:

$[(-4 - 6) \cdot 2] : [15 - 10]$

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Innerste Klammern finden
Es gibt zwei eckige Klammern. In der ersten ist noch eine runde Klammer, die aber nur eine negative Zahl umschließt. Wir können die Inhalte der eckigen Klammern parallel berechnen.
Schritt 2
Klammerinhalte berechnen
Linke Klammer: $[(-4 - 6) \cdot 2]$

$(-4 - 6) = -10$

$[-10 \cdot 2] = -20$

Rechte Klammer: $[15 - 10] = 5$
Schritt 3
Klammern durch Ergebnisse ersetzen
Der Term wird zu: $-20 : 5$
Schritt 4
Wiederholen
Es sind keine Klammern mehr da.
Schritt 5 · Ergebnis
Restlichen Term berechnen
$-20 : 5 = -4$

Ergebnis:

Der Wert des Terms ist -4.

Aufgabentyp 5: Rechenbäume in Terme übersetzen

Ein Rechenbaum ist eine grafische Darstellung eines Terms. Man liest ihn von oben nach unten. Die Zahlen ganz oben sind die Startwerte. Jede Verzweigung darunter stellt eine Rechenoperation dar.

Um einen Rechenbaum in einen Term zu übersetzen, gehst du den Baum ebenfalls von oben nach unten durch. Jede Operation, die im Baum stattfindet, schreibst du als Teil des Terms auf. Um die richtige Reihenfolge sicherzustellen, ist es sehr hilfreich, für jede Operation, die im Baum als Zwischenschritt berechnet wird, eine Klammer zu setzen.

Beispiel eines Rechenbaums mit Operationen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Analysiere die oberste Ebene: Finde die erste Rechenoperation ganz oben im Baum. Schreibe diese Operation auf und setze sie in Klammern.
Baue die nächste Ebene ein: Das Ergebnis der ersten Operation wird nun mit einer neuen Zahl und einer neuen Operation verknüpft. Schreibe diese neue Operation auf und setze den bisherigen Term als einen Teil davon ein.
Wiederhole, bis du am Ende des Baumes angekommen bist.
Berechne den aufgestellten Term: Arbeite dich dabei von der innersten Klammer nach außen vor.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Notiere für den Rechenbaum den passenden Term und berechne seinen Wert.

Rechenbaum mit Multiplikation und Addition

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Oberste Ebene analysieren
Die oberste Operation ist die Multiplikation von $10$ und $-2$ . Wir schreiben das in Klammern: $(10 \cdot (-2))$ .
Schritt 2
Nächste Ebene einbauen
Das Ergebnis dieser Multiplikation wird mit $5$ addiert.
Schritt 3
Term aufschreiben
Der vollständige Term lautet: $(10 \cdot (-2)) + 5$
Schritt 4 · Ergebnis
Aufgestellten Term berechnen
Wir berechnen zuerst die Klammer:

$10 \cdot (-2) = -20$

Dann die Addition:

$-20 + 5 = -15$

Ergebnis:

Der Wert des Terms ist -15.

Beispiel 2

Aufgabe

Notiere für den Rechenbaum den passenden Term und berechne seinen Wert.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Oberste Ebene analysieren
Die oberste Operation ist die Subtraktion von $10$ von $-50$ . Wir schreiben das in Klammern: $(-50 - 10)$ .
Schritt 2
Nächste Ebene einbauen
Das Ergebnis dieser Subtraktion wird durch $-6$ geteilt.
Schritt 3
Term aufschreiben
Der vollständige Term lautet: $(-50 - 10) : (-6)$
Schritt 4 · Ergebnis
Aufgestellten Term berechnen
Wir berechnen zuerst die Klammer:

$-50 - 10 = -60$

Dann die Division:

$-60 : (-6) = 10$

Ergebnis:

Der Wert des Terms ist 10.

Beispiel 3

Aufgabe

Notiere für den Rechenbaum den passenden Term und berechne seinen Wert.

Rechenbaum mit zwei Zweigen und Subtraktion

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Oberste Ebene analysieren
Der Baum hat zwei Zweige, die zuerst berechnet werden.

Linker Zweig: Multiplikation von $8$ und $-2$ . In Klammern: $(8 \cdot (-2))$ .

Rechter Zweig: Division von $20$ durch $4$ . In Klammern: $(20 : 4)$ .
Schritt 2
Nächste Ebene einbauen
Die Ergebnisse der beiden Zweige werden voneinander subtrahiert (das Ergebnis des rechten Zweiges wird vom Ergebnis des linken Zweiges abgezogen).
Schritt 3
Term aufschreiben
Der vollständige Term lautet: $(8 \cdot (-2)) - (20 : 4)$
Schritt 4 · Ergebnis
Aufgestellten Term berechnen
Wir berechnen zuerst beide Klammern:

$8 \cdot (-2) = -16$

$20 : 4 = 5$

Dann die Subtraktion:

$-16 - 5 = -21$

Ergebnis:

Der Wert des Terms ist -21.

Beispiel 4

Aufgabe

Notiere für den Rechenbaum den passenden Term und berechne seinen Wert.

Rechenbaum mit drei Ebenen und Multiplikation

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Oberste Ebene analysieren
Die oberste Operation ist $20 - 5$ . In Klammern: $(20 - 5)$ .
Schritt 2
Nächste Ebene einbauen
Das Ergebnis wird mit $3$ multipliziert. Um die Reihenfolge zu wahren, klammern wir den bisherigen Term: $((20 - 5) \cdot 3)$ .
Schritt 3
Wiederholen, bis der Baum fertig ist
Zu diesem Ergebnis wird $15$ addiert.

Der vollständige Term lautet: $((20 - 5) \cdot 3) + 15$
Schritt 4 · Ergebnis
Aufgestellten Term berechnen
Wir arbeiten uns von innen nach außen:

Innerste Klammer: $20 - 5 = 15$

Der Term wird zu: $(15 \cdot 3) + 15$

Nächste Klammer: $15 \cdot 3 = 45$

Der Term wird zu: $45 + 15$

Letzte Rechnung: $45 + 15 = 60$

Ergebnis:

Der Wert des Terms ist 60.

Beispiel 5

Aufgabe

Notiere für den Rechenbaum den passenden Term und berechne seinen Wert.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Oberste Ebene analysieren
Eine der obersten Operationen ist die Addition von $10$ und $-5$ . In Klammern: $(10 + (-5))$ .
Schritt 2
Nächste Ebene einbauen
Die Zahl $-100$ wird durch das Ergebnis dieser Addition geteilt.
Schritt 3
Term aufschreiben
Der vollständige Term lautet: $-100 : (10 + (-5))$
Schritt 4 · Ergebnis
Aufgestellten Term berechnen
Wir berechnen zuerst die Klammer:

$10 + (-5) = 10 - 5 = 5$

Dann die Division:

$-100 : 5 = -20$

Ergebnis:

Der Wert des Terms ist -20.

Aufgabentyp 6: Die vollständigen Rechenregeln anwenden

Jetzt kombinieren wir alles, was wir gelernt haben. Die vollständige Hierarchie der Rechenregeln lautet:

Klammern: Berechne immer zuerst, was in Klammern steht. Bei verschachtelten Klammern von innen nach außen.
Potenzen: Berechne als Nächstes alle Potenzen (Hochzahlen).
Punktrechnungen: Führe dann alle Multiplikationen und Divisionen durch, von links nach rechts.
Strichrechnungen: Führe ganz zum Schluss alle Additionen und Subtraktionen durch, von links nach rechts.

Ein Merkwort dafür ist KLAPOPUSTRI (Klammer, Potenz, Punkt, Strich).

Beispiel: $2 \cdot (5 + 3^2)$ .

Klammer zuerst. Innerhalb der Klammer gilt: Potenz vor Strich.
- Potenz: $3^2 = 9$ .
- Strich: $5 + 9 = 14$ .
Die Klammer hat den Wert 14. Der Term ist jetzt $2 \cdot 14$ .
Punktrechnung: $2 \cdot 14 = 28$ .

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Klammern auflösen: Finde die innerste Klammer und berechne ihren Wert. Beachte dabei die weiteren Regeln (Potenz vor Punkt vor Strich) innerhalb der Klammer. Wiederhole, bis keine Klammern mehr vorhanden sind.
Potenzen berechnen: Suche alle verbliebenen Potenzen im Term und berechne ihre Werte.
Punktrechnungen durchführen: Führe alle Multiplikationen und Divisionen von links nach rechts durch.
Strichrechnungen durchführen: Führe alle verbliebenen Additionen und Subtraktionen von links nach rechts durch, um das Endergebnis zu erhalten.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Löse den Rechenausdruck schrittweise:

$10 + (6 - 2^3) \cdot 5$

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Klammern auflösen
Wir beginnen mit der Klammer $(6 - 2^3)$ . Innerhalb der Klammer berechnen wir zuerst die Potenz.

$2^3 = 8$

Jetzt der Rest der Klammer:

$6 - 8 = -2$

Der Term vereinfacht sich zu: $10 + (-2) \cdot 5$
Schritt 2
Potenzen berechnen
Es sind keine Potenzen mehr übrig.
Schritt 3
Punktrechnungen durchführen
Wir berechnen die Multiplikation:

$(-2) \cdot 5 = -10$

Der Term wird zu: $10 + (-10)$
Schritt 4 · Ergebnis
Strichrechnungen durchführen
Wir berechnen die Addition:

$10 - 10 = 0$

Ergebnis:

Das Ergebnis ist 0.

Beispiel 2

Aufgabe

Löse den Rechenausdruck schrittweise:

$[100 : (2^2 \cdot 5)] - 5$

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Klammern auflösen
Wir beginnen mit der innersten Klammer, hier die eckige $[100 : (2^2 \cdot 5)]$ . Darin ist eine runde Klammer $(2^2 \cdot 5)$ .

Innerhalb der runden Klammer berechnen wir zuerst die Potenz:

$2^2 = 4$

Dann die Multiplikation in der runden Klammer:

$4 \cdot 5 = 20$

Der Term wird zu: $[100 : 20] - 5$

Jetzt berechnen wir die eckige Klammer:

$100 : 20 = 5$

Der Term wird zu: $5 - 5$
Schritt 2
Potenzen berechnen
Keine Potenzen mehr vorhanden.
Schritt 3
Punktrechnungen durchführen
Keine Punktrechnungen mehr vorhanden.
Schritt 4 · Ergebnis
Strichrechnungen durchführen
Wir berechnen die Subtraktion:

$5 - 5 = 0$

Ergebnis:

Das Ergebnis ist 0.

Beispiel 3

Aufgabe

Löse den Rechenausdruck schrittweise:

$(-3)^2 + (5 - 8) \cdot 2^2$

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Klammern auflösen
Wir berechnen die Klammer $(5 - 8)$ :

$5 - 8 = -3$

Der Term wird zu: $(-3)^2 + (-3) \cdot 2^2$
Schritt 2
Potenzen berechnen
Es gibt zwei Potenzen. Wir berechnen beide:

$(-3)^2 = (-3) \cdot (-3) = 9$

$2^2 = 4$

Der Term wird zu: $9 + (-3) \cdot 4$
Schritt 3
Punktrechnungen durchführen
Wir berechnen die Multiplikation:

$(-3) \cdot 4 = -12$

Der Term wird zu: $9 + (-12)$
Schritt 4 · Ergebnis
Strichrechnungen durchführen
Wir berechnen die Addition:

$9 - 12 = -3$

Ergebnis:

Das Ergebnis ist -3.

Beispiel 4

Aufgabe

Löse den Rechenausdruck schrittweise:

$50 - [3 \cdot (2+3)^2] : 5$

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Klammern auflösen
Wir beginnen mit der innersten Klammer $(2+3)$ :

$2+3 = 5$

Der Term wird zu: $50 - [3 \cdot 5^2] : 5$

Jetzt die eckige Klammer $[3 \cdot 5^2]$ . Innerhalb der Klammer berechnen wir zuerst die Potenz:

$5^2 = 25$

Dann die Multiplikation in der Klammer:

$3 \cdot 25 = 75$

Der Term wird zu: $50 - 75 : 5$
Schritt 2
Potenzen berechnen
Keine Potenzen mehr vorhanden.
Schritt 3
Punktrechnungen durchführen
Wir berechnen die Division:

$75 : 5 = 15$

Der Term wird zu: $50 - 15$
Schritt 4 · Ergebnis
Strichrechnungen durchführen
Wir berechnen die Subtraktion:

$50 - 15 = 35$

Ergebnis:

Das Ergebnis ist 35.

Beispiel 5

Aufgabe

Löse den Rechenausdruck schrittweise:

$[(-1)^5 + (-1)^4] \cdot (20 - 5^2)$

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Klammern auflösen
Wir haben zwei Klammern, die wir parallel bearbeiten können.

Linke Klammer: $[(-1)^5 + (-1)^4]$ . Wir berechnen die Potenzen:

$(-1)^5 = -1$ (ungerader Exponent)

$(-1)^4 = 1$ (gerader Exponent)

Jetzt die Addition in der Klammer: $-1 + 1 = 0$ .

Rechte Klammer: $(20 - 5^2)$ . Wir berechnen die Potenz:

$5^2 = 25$

Jetzt die Subtraktion in der Klammer: $20 - 25 = -5$ .

Der Term wird zu: $0 \cdot (-5)$
Schritt 2
Potenzen berechnen
Keine Potenzen mehr vorhanden.
Schritt 3
Punktrechnungen durchführen
Wir berechnen die Multiplikation:

$0 \cdot (-5) = 0$
Schritt 4 · Ergebnis
Strichrechnungen durchführen
Keine Strichrechnungen mehr vorhanden.

Ergebnis:

Das Ergebnis ist 0.

Wichtige Erkenntnisse

Rechenreihenfolge (KLAPOPUSTRI): Die goldene Regel lautet immer: Klammern zuerst, dann Potenzen, dann Punktrechnungen (·, :), und zum Schluss Strichrechnungen (+, -).
Von innen nach außen: Bei verschachtelten Klammern arbeitest du dich immer von der innersten zur äußersten Klammer vor.
Von links nach rechts: Bei gleichrangigen Operationen (z.B. nur Multiplikation und Division) rechnest du einfach von links nach rechts.
Umkehroperationen: Um Gleichungen zu lösen, wendest du die passende Umkehroperation (+ $\leftrightarrow$ -, · $\leftrightarrow$ :) in umgekehrter Reihenfolge an.
Signalwörter: Lerne die deutschen Begriffe für Rechenarten (Produkt, Summe, etc.), um Textaufgaben korrekt in mathematische Terme zu übersetzen.

Terme aufstellen und auswerten einfach erklärt