Was sind Rechengesetze und warum sind sie nützlich?

Rechengesetze sind Regeln, die bestimmen, wie du Zahlen in einem Term umordnen oder umschreiben darfst, ohne das Ergebnis zu verändern. Das Kommutativgesetz , das Assoziativgesetz und das Distributivgesetz helfen dir, komplizierte Aufgaben zu vereinfachen – oft sogar im Kopf. Wer Rechengesetze sicher anwenden kann, löst viele Aufgaben schneller und mit weniger Fehlern.

Wie wendest du das Kommutativgesetz und Assoziativgesetz zusammen an?

Du nutzt beide Gesetze zusammen, um „runde" Zahlenpaare nebeneinander zu bringen. Gehe so vor: Erkenne ein vorteilhaftes Paar (z. B. 4 und 25 , weil 4 · 25 = 100 ). Vertausche mit dem Kommutativgesetz die Reihenfolge der Zahlen, bis das Paar nebeneinandersteht. Setze mit dem Assoziativgesetz Klammern um das Paar und berechne es zuerst. Beispiel: 4 · 13 · 25 = (4 · 25) · 13 = 100 · 13 = 1300 .

Was ist der Unterschied zwischen Ausklammern und Ausmultiplizieren?

Beim Ausklammern ziehst du einen gemeinsamen Faktor aus einer Summe oder Differenz heraus: a · b + a · c = a · (b + c) . Beim Ausmultiplizieren zerlegst du eine unhandliche Zahl in eine Summe oder Differenz und multiplizierst dann jeden Teil einzeln: a · (b + c) = a · b + a · c . Ausklammern fasst zusammen, Ausmultiplizieren zerlegt – beide Richtungen desselben Distributivgesetzes.

Wann erkennst du, welches Rechengesetz du anwenden sollst?

Schau dir die Struktur des Terms an: Siehst du denselben Faktor in mehreren Produkten? Dann klammere aus. Steht eine unhandliche Zahl nahe an einer runden Zahl wie 100 oder 1000? Dann zerlege und multipliziere aus. Erkennst du Zahlenpaare, die zusammen eine runde Zahl ergeben? Dann nutze Kommutativ- und Assoziativgesetz zum Umsortieren.

Wie funktioniert das Distributivgesetz bei der Division?

Das Distributivgesetz gilt auch für die Division: Werden mehrere Zahlen durch denselben Divisor geteilt, kannst du die Subtraktion oder Addition zuerst ausführen und dann dividieren. Beispiel: 28 : 15 − 58 : 15 = (28 − 58) : 15 = −30 : 15 = −2 . So sparst du dir zwei einzelne Divisionen und rechnest nur eine.

Rechengesetze anwenden einfach erklärt

Rechengesetze anwenden ist eine der wichtigsten Fähigkeiten in der Mathe, denn sie erlauben dir, komplizierte Terme blitzschnell zu vereinfachen – oft sogar im Kopf. Stell dir vor, du bist in einem Mathe-Wettbewerb und musst eine lange Rechenaufgabe lösen. Alle anderen tippen panisch auf ihren Taschenrechnern herum, aber du siehst die Aufgabe und kennst einen Trick. Du ordnest die Zahlen blitzschnell im Kopf neu an, rechnest ein paar einfache Schritte und hast die Lösung, während die anderen noch bei der Hälfte sind. Genau das ermöglichen dir die Rechengesetze! Sie sind keine langweiligen Regeln, sondern echte Mathe-Hacks. Mit ihnen kannst du komplizierte Aufgaben in einfache Päckchen zerlegen und sie oft sogar im Kopf lösen. Das spart nicht nur Zeit, sondern fühlt sich auch ziemlich clever an. Lass uns diese Abkürzungen lernen!

Vorwissen

Bevor wir die Abkürzungen lernen, sollten wir sicherstellen, dass die Grundlagen sitzen:

Ganze Zahlen: Das sind alle positiven und negativen Zahlen ohne Komma, einschließlich der Null.
- Beispiel: $-5, -1, 0, 7, 100$ sind ganze Zahlen.
Multiplikation mit negativen Zahlen: Die Vorzeichenregeln sind wichtig.
- Beispiel: $(-4) \cdot 5 = -20$ (Minus mal Plus ergibt Minus) und $(-4) \cdot (-5) = 20$ (Minus mal Minus ergibt Plus).
Grundrechenarten: Du solltest sicher addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren können.
- Beispiel: $15 + (-20) = -5$ oder $30 : (-6) = -5$ .

Aufgabentyp 1: Rechnen durch Vertauschen und Verbinden vereinfachen

Manchmal stehen die Zahlen in einer Aufgabe total unpraktisch da. Zwei Gesetze erlauben uns, bei reinen Mal- oder Plus-Aufgaben für Ordnung zu sorgen und Rechenvorteile zu schaffen.

1. Das Vertauschungsgesetz (Kommutativgesetz)

Dieses Gesetz sagt: Bei der Multiplikation (und Addition) darfst du die Reihenfolge der Zahlen beliebig vertauschen. Das Ergebnis bleibt gleich.

Formel: $a \cdot b = b \cdot a$

Beispiel: Ob du $4 \cdot 5$ oder $5 \cdot 4$ rechnest, das Ergebnis ist immer $20$ .

2. Das Verbindungsgesetz (Assoziativgesetz)

Dieses Gesetz sagt: Bei einer Kette von Multiplikationen (oder Additionen) darfst du selbst entscheiden, welche Zahlen du zuerst zusammenfasst (also welche du zuerst berechnest). Du kannst eigene Klammern setzen.

Formel: $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$

Beispiel: Bei $2 \cdot 5 \cdot 8$ kannst du $(2 \cdot 5) \cdot 8 = 10 \cdot 8 = 80$ rechnen. Oder du rechnest $2 \cdot (5 \cdot 8) = 2 \cdot 40 = 80$ . Das Ergebnis ist identisch.

Der Trick: Wir nutzen beide Gesetze zusammen, um Zahlen, die gut zusammenpassen (wie $25$ und $4$ , oder $50$ und $2$ ), nebeneinander zu schieben und dann zuerst auszurechnen.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Rechenvorteil erkennen: Sieh dir alle Zahlen im Term an. Suche nach Paaren, die zusammen eine „runde" Zahl ergeben (z.B. 10, 100, 1000) oder die sich besonders leicht multiplizieren lassen.
Zahlen umsortieren (Vertauschungsgesetz): Nutze das Vertauschungsgesetz, um die Zahlenpaare, die du in Schritt 1 gefunden hast, direkt nebeneinander zu schreiben.
Klammern setzen (Verbindungsgesetz): Setze gedanklich oder auf dem Papier Klammern um die Paare, die du zuerst berechnen möchtest. Das Verbindungsgesetz gibt dir die Erlaubnis dazu.
Schrittweise ausrechnen: Berechne zuerst die Werte in den Klammern und multipliziere dann die Ergebnisse, bis du die finale Lösung hast.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Nutze die Rechengesetze, um den Term geschickt im Kopf zu berechnen: $50 \cdot (-7) \cdot (-2)$

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Rechenvorteil erkennen
Wir sehen die Zahlen $50$ , $-7$ und $-2$ . Die Zahlen $50$ und $-2$ passen super zusammen, weil $50 \cdot 2 = 100$ ist.
Schritt 2
Zahlen umsortieren (Vertauschungsgesetz)
Wir vertauschen die $-7$ und die $-2$ , um die $50$ und die $-2$ nebeneinander zu bekommen.

$50 \cdot (-7) \cdot (-2) = 50 \cdot (-2) \cdot (-7)$
Schritt 3
Klammern setzen (Verbindungsgesetz)
Wir setzen eine Klammer um den ersten Teil, den wir berechnen wollen.

$(50 \cdot (-2)) \cdot (-7)$
Schritt 4 · Ergebnis
Schrittweise ausrechnen
Zuerst die Klammer:

$50 \cdot (-2) = -100$

Dann das Ergebnis mit der letzten Zahl multiplizieren:

$(-100) \cdot (-7) = 700$

Ergebnis:

Das Endergebnis ist $700$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Nutze die Rechengesetze, um den Term geschickt im Kopf zu berechnen: $4 \cdot 13 \cdot 25$

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Rechenvorteil erkennen
Wir sehen die Zahlen $4$ , $13$ und $25$ . Die Zahlen $4$ und $25$ sind ein klassisches Paar, denn $4 \cdot 25 = 100$ .
Schritt 2
Zahlen umsortieren (Vertauschungsgesetz)
Wir vertauschen die $13$ und die $25$ .

$4 \cdot 13 \cdot 25 = 4 \cdot 25 \cdot 13$
Schritt 3
Klammern setzen (Verbindungsgesetz)
Wir klammern den Teil, den wir zuerst rechnen.

$(4 \cdot 25) \cdot 13$
Schritt 4 · Ergebnis
Schrittweise ausrechnen
$4 \cdot 25 = 100$

$100 \cdot 13 = 1300$

Ergebnis:

Das Endergebnis ist $1300$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Nutze die Rechengesetze, um den Term geschickt im Kopf zu berechnen: $(-5) \cdot 17 \cdot (-20)$

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Rechenvorteil erkennen
Die Zahlen $-5$ und $-20$ passen gut zusammen. $5 \cdot 20 = 100$ , und Minus mal Minus ergibt Plus.
Schritt 2
Zahlen umsortieren (Vertauschungsgesetz)
Wir tauschen die $17$ und die $-20$ .

$(-5) \cdot 17 \cdot (-20) = (-5) \cdot (-20) \cdot 17$
Schritt 3
Klammern setzen (Verbindungsgesetz)
Wir klammern die ersten beiden Zahlen.

$((-5) \cdot (-20)) \cdot 17$
Schritt 4 · Ergebnis
Schrittweise ausrechnen
$(-5) \cdot (-20) = 100$

$100 \cdot 17 = 1700$

Ergebnis:

Das Endergebnis ist $1700$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Nutze die Rechengesetze, um den Term geschickt im Kopf zu berechnen: $2 \cdot (-11) \cdot 5 \cdot (-10)$

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Rechenvorteil erkennen
Hier haben wir sogar zwei vorteilhafte Paare: $2$ und $5$ ( $2 \cdot 5 = 10$ ) sowie $-11$ und $-10$ .
Schritt 2
Zahlen umsortieren (Vertauschungsgesetz)
Wir sortieren die Zahlen so, dass die Paare nebeneinander stehen.

$2 \cdot (-11) \cdot 5 \cdot (-10) = (2 \cdot 5) \cdot ((-11) \cdot (-10))$
Schritt 3
Klammern setzen (Verbindungsgesetz)
Das Verbindungsgesetz erlaubt uns, die Paare getrennt voneinander zu berechnen. Die Klammern sind schon in Schritt 2 gesetzt.
Schritt 4 · Ergebnis
Schrittweise ausrechnen
Wir berechnen beide Klammern:

$2 \cdot 5 = 10$

$(-11) \cdot (-10) = 110$

Jetzt multiplizieren wir die Ergebnisse:

$10 \cdot 110 = 1100$

Ergebnis:

Das Endergebnis ist $1100$ .

Beispiel 5

Aufgabe

Nutze die Rechengesetze, um den Term geschickt im Kopf zu berechnen: $125 \cdot (-7) \cdot 8$

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Rechenvorteil erkennen
Die Zahlen $125$ und $8$ sind ein bekanntes Paar, denn $125 \cdot 8 = 1000$ .
Schritt 2
Zahlen umsortieren (Vertauschungsgesetz)
Wir vertauschen die $-7$ und die $8$ .

$125 \cdot (-7) \cdot 8 = 125 \cdot 8 \cdot (-7)$
Schritt 3
Klammern setzen (Verbindungsgesetz)
Wir klammern die Zahlen, die wir zuerst berechnen.

$(125 \cdot 8) \cdot (-7)$
Schritt 4 · Ergebnis
Schrittweise ausrechnen
$125 \cdot 8 = 1000$

$1000 \cdot (-7) = -7000$

Ergebnis:

Das Endergebnis ist $-7000$ .

Aufgabentyp 2: Rechnen durch Ausklammern und Zerlegen vereinfachen

Das Verteilungsgesetz (Distributivgesetz) ist ein extrem mächtiges Werkzeug beim Rechengesetze anwenden. Es verbindet die Multiplikation mit der Addition und Subtraktion. Man kann es in zwei Richtungen anwenden:

1. Ausklammern (Zusammenfassen)

Wenn in einer Strichrechnung (Plus oder Minus) derselbe Faktor in jedem Teil vorkommt, kannst du ihn „herausziehen" bzw. ausklammern. Das verwandelt zwei Multiplikationen in eine.

Formel: $a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b+c)$

Beispiel: Bei $15 \cdot 8 + 15 \cdot 2$ ist die $15$ der gemeinsame Faktor.

$15 \cdot 8 + 15 \cdot 2 = 15 \cdot (8+2) = 15 \cdot 10 = 150$ . Viel einfacher!

2. Ausmultiplizieren (Zerlegen)

Manchmal ist eine Zahl unhandlich, liegt aber nahe an einer „einfachen" Zahl. Du kannst die unhandliche Zahl in eine Summe oder Differenz zerlegen und dann das Gesetz anwenden. Das nennt man ausmultiplizieren.

Formel: $a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c$

Beispiel: $18 \cdot 102$ ist schwer. Aber $102$ ist einfach $100+2$ .

$18 \cdot (100+2) = 18 \cdot 100 + 18 \cdot 2 = 1800 + 36 = 1836$ . Wieder viel einfacher!

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Je nach Aufgabe gehst du unterschiedlich vor.

Fall A: Ausklammern (Terme mit gemeinsamen Faktoren)

Gemeinsamen Faktor finden: Suche in allen Teilen der Summe oder Differenz nach einer Zahl, die überall als Faktor vorkommt.
Faktor vor die Klammer ziehen: Schreibe den gemeinsamen Faktor einmal vor eine neue Klammer.
Rest in die Klammer schreiben: Schreibe alle übrigen Zahlen und Rechenzeichen aus dem ursprünglichen Term in die Klammer.
Klammer berechnen und fertigstellen: Berechne zuerst den Wert in der Klammer. Multipliziere diesen dann mit dem Faktor davor.

Fall B: Ausmultiplizieren (Terme mit unhandlichen Zahlen)

Unhandliche Zahl identifizieren: Finde eine Zahl in der Multiplikation, die schwer zu rechnen ist, aber nahe an einer runden Zahl (wie 100, 50, 1000) liegt.
Zahl als Summe/Differenz schreiben: Zerlege diese Zahl in eine einfache Summe oder Differenz. Beispiel: $98 = 100 - 2$ .
Klammer ausmultiplizieren: Multipliziere die Zahl außerhalb der Klammer mit jeder Zahl innerhalb der Klammer.
Ergebnisse zusammenrechnen: Berechne die einfachen Produkte und addiere oder subtrahiere sie zum Schluss.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Berechne durch Ausklammern: $-17 \cdot 58 + 42 \cdot (-17)$

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Gemeinsamen Faktor finden
Der gemeinsame Faktor in beiden Produkten ist die $-17$ .
Schritt 2
Faktor vor die Klammer ziehen
Wir schreiben die $-17$ vor eine Klammer.

$-17 \cdot (...)$
Schritt 3
Rest in die Klammer schreiben
Was übrig bleibt, sind die $58$ , das $+$ und die $42$ . Das kommt in die Klammer.

$-17 \cdot (58 + 42)$
Schritt 4 · Ergebnis
Klammer berechnen und fertigstellen
Zuerst die Klammer:

$58 + 42 = 100$

Dann das Endergebnis:

$-17 \cdot 100 = -1700$

Ergebnis:

Das Endergebnis ist $-1700$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Berechne durch Zerlegen: $25 \cdot 98$

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Unhandliche Zahl identifizieren
Die $98$ ist unhandlich, aber sehr nah an $100$ .
Schritt 2
Zahl als Summe/Differenz schreiben
Wir zerlegen die $98$ in eine einfache Differenz.

$98 = 100 - 2$

Der Term wird zu: $25 \cdot (100 - 2)$
Schritt 3
Klammer ausmultiplizieren
Wir multiplizieren die $25$ mit jeder Zahl in der Klammer.

$25 \cdot 100 - 25 \cdot 2$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnisse zusammenrechnen
Wir berechnen die beiden einfachen Produkte:

$25 \cdot 100 = 2500$

$25 \cdot 2 = 50$

Jetzt subtrahieren wir:

$2500 - 50 = 2450$

Ergebnis:

Das Endergebnis ist $2450$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Berechne durch Ausklammern: $28 : 15 - 58 : 15$

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Gemeinsamen Teiler finden
Beide Zahlen werden durch dieselbe Zahl geteilt, nämlich die $15$ .
Schritt 2 & 3
Term zusammenfassen
Wir können die Subtraktion zuerst ausführen und dann das Ergebnis durch $15$ teilen. Das ist wie Ausklammern bei der Division.

$(28 - 58) : 15$
Schritt 4 · Ergebnis
Klammer berechnen und fertigstellen
Zuerst die Klammer:

$28 - 58 = -30$

Dann das Endergebnis:

$-30 : 15 = -2$

Ergebnis:

Das Endergebnis ist $-2$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Berechne durch Zerlegen: $102 \cdot 15$

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Unhandliche Zahl identifizieren
Die $102$ ist unhandlich, aber sehr nah an $100$ .
Schritt 2
Zahl als Summe/Differenz schreiben
Wir zerlegen die $102$ in eine einfache Summe.

$102 = 100 + 2$

Der Term wird zu: $(100 + 2) \cdot 15$
Schritt 3
Klammer ausmultiplizieren
Wir multiplizieren die $15$ mit jeder Zahl in der Klammer.

$100 \cdot 15 + 2 \cdot 15$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnisse zusammenrechnen
Wir berechnen die beiden einfachen Produkte:

$100 \cdot 15 = 1500$

$2 \cdot 15 = 30$

Jetzt addieren wir:

$1500 + 30 = 1530$

Ergebnis:

Das Endergebnis ist $1530$ .

Beispiel 5

Aufgabe

Berechne durch Ausklammern: $13 \cdot 23 - 3 \cdot 23$

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Gemeinsamen Faktor finden
Der gemeinsame Faktor ist die $23$ .
Schritt 2
Faktor vor die Klammer ziehen
Da der Faktor hinten steht, können wir ihn auch hinten ausklammern.

$(...) \cdot 23$
Schritt 3
Rest in die Klammer schreiben
Übrig bleiben $13$ , $-$ und $3$ .

$(13 - 3) \cdot 23$
Schritt 4 · Ergebnis
Klammer berechnen und fertigstellen
Zuerst die Klammer:

$13 - 3 = 10$

Dann das Endergebnis:

$10 \cdot 23 = 230$

Ergebnis:

Das Endergebnis ist $230$ .

Wichtige Erkenntnisse

Vertauschungsgesetz (Kommutativgesetz): Erlaubt dir, bei Mal- und Plus-Rechnungen die Reihenfolge zu ändern, um Rechenvorteile zu finden. ( $a \cdot b = b \cdot a$ )
Verbindungsgesetz (Assoziativgesetz): Erlaubt dir, bei langen Mal- und Plus-Rechnungen eigene Klammern zu setzen, um zu entscheiden, was du zuerst rechnest. ( $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$ )
Verteilungsgesetz (Distributivgesetz): Dein mächtigstes Werkzeug.
- Ausklammern: Fasse Terme zusammen, indem du einen gemeinsamen Faktor herausziehst. ( $a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b+c)$ )
- Ausmultiplizieren: Vereinfache eine schwere Multiplikation, indem du eine Zahl zerlegst. ( $a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c$ )

Rechengesetze anwenden einfach erklärt: Tipps & Beispiele