Lage von Punkten rechnerisch bestimmen: Einfach erklärt

Stell dir vor, du steuerst eine Drohne über eine hügelige Landschaft. Die Landschaft wird durch den Graphen einer mathematischen Funktion beschrieben. Du kennst die genauen Koordinaten deiner Drohne im Raum. Fliegt sie sicher über dem Hügel, ist sie genau auf dem Boden gelandet oder ist sie (theoretisch) unter der Erde?

Mit einer einfachen Rechnung können wir die Lage von Punkten rechnerisch bestimmen und genau herausfinden, wo sich ein Punkt im Vergleich zu einem Funktionsgraphen befindet, ohne ihn zeichnen zu müssen!

Vorwissen

• Funktionswerte berechnen: Man setzt einen $x$-Wert in die Funktionsgleichung ein, um den zugehörigen $y$-Wert des Graphen an dieser Stelle zu erhalten.

  Beispiel: Für $f(x) = 2x + 1$ und $x = 3$ ist der Funktionswert $f(3) = 2 \cdot 3 + 1 = 7$.

• Die Punktprobe: Liefert das Einsetzen der $x$-Koordinate eines Punktes genau seine $y$-Koordinate, liegt der Punkt auf dem Graphen.

  Beispiel: Der Punkt $P(3|7)$ liegt auf dem Graphen von $f(x) = 2x + 1$, da $f(3) = 7$ ist.

Aufgabentyp 1: Liegt der Punkt über oder unter dem Graphen?

Wir wissen bereits durch die Punktprobe, wie wir prüfen, ob ein Punkt genau auf einem Graphen liegt. Aber was passiert, wenn die Punktprobe fehlschlägt? Dann liegt der Punkt entweder über oder unter dem Graphen.

Um das herauszufinden, vergleichen wir einfach zwei „Höhen“ an exakt derselben Stelle (also beim gleichen $x$-Wert):

1. Die Höhe des Punktes: Das ist einfach die gegebene $y$-Koordinate des Punktes. Wir nennen sie $y_P$.

2. Die Höhe des Graphen: Das ist der berechnete Funktionswert an dieser $x$-Stelle. Wir nennen ihn $f(x_P)$.

Wir vergleichen nun diese beiden Werte miteinander:

• Ist $y_P$ $>$ $f(x_P)$, dann ist der Punkt höher als der Graph. Der Punkt liegt über dem Graphen.

• Ist $y_P$ $<$ $f(x_P)$, dann ist der Punkt niedriger als der Graph. Der Punkt liegt unter dem Graphen.

• Ist $y_P$ $=$ $f(x_P)$, dann sind beide gleich hoch. Der Punkt liegt genau auf dem Graphen.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. $x$-Koordinate einsetzen: Setze die $x$-Koordinate des Punktes in die Funktionsgleichung ein und berechne den Funktionswert $\textcolor{#9570FF}{f(x_P)}$.
2. Höhen vergleichen: Vergleiche den berechneten Wert $\textcolor{#9570FF}{f(x_P)}$ mit der gegebenen $y$-Koordinate des Punktes $\textcolor{#08BFFF}{y_P}$.
3. Schlussfolgerung ziehen: Entscheide anhand des Vergleichs, ob der Punkt über ($>$), unter ($<$) oder auf ($=$) dem Graphen liegt.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Gegeben ist die Funktion $f(x) = 2x - 3$. Bestimme rechnerisch die Lage des Punktes $P(4|7)$ bezüglich des Graphen von $f$.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

3 / 3

1. 1
   Schritt 1
   $x$-Koordinate einsetzen

   Wir setzen die $x$-Koordinate des Punktes ($x = 4$) in die Funktion ein, um die Höhe des Graphen zu berechnen: $f(4) = 2 \cdot 4 - 3$ $= 8 - 3$ $= \textcolor{#9570FF}{5}$

2. 2
   Schritt 2
   Höhen vergleichen

   Die $y$-Koordinate des Punktes ist $\textcolor{#08BFFF}{y_P = 7}$. Der berechnete Funktionswert ist $\textcolor{#9570FF}{f(4) = 5}$. Wir vergleichen die beiden Werte: $\textcolor{#08BFFF}{7} > \textcolor{#9570FF}{5}$

3. 3
   Schritt 3 · Ergebnis
   Schlussfolgerung ziehen

Ergebnis:

Da die $y$-Koordinate des Punktes größer ist als der Funktionswert, liegt der Punkt $P$ über dem Graphen von $f$.

Beispiel 2

Aufgabe

Gegeben ist die Funktion $g(x) = -x^2 + 4$. Überprüfe die Lage des Punktes $R(3|-6)$ bezüglich des Graphen von $g$.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

3 / 3

1. 1
   Schritt 1
   $x$-Koordinate einsetzen

   Wir setzen $x = 3$ in die Funktion ein: $g(3) = -(3)^2 + 4$ $= -9 + 4$ $= \textcolor{#9570FF}{-5}$

2. 2
   Schritt 2
   Höhen vergleichen

   Die $y$-Koordinate des Punktes ist $\textcolor{#08BFFF}{y_R = -6}$. Der Funktionswert ist $\textcolor{#9570FF}{g(3) = -5}$. Wir vergleichen die Werte (Achtung bei negativen Zahlen: $-6$ ist kleiner als $-5$): $\textcolor{#08BFFF}{-6} < \textcolor{#9570FF}{-5}$

3. 3
   Schritt 3 · Ergebnis
   Schlussfolgerung ziehen

Ergebnis:

Da die $y$-Koordinate des Punktes kleiner ist als der Funktionswert, liegt der Punkt $R$ unter dem Graphen von $g$.

Wichtige Erkenntnisse

• Setze immer zuerst die $x$-Koordinate des Punktes in die Funktion ein, um die Höhe des Graphen $\textcolor{#9570FF}{f(x_P)}$ zu berechnen.
• $\textcolor{#08BFFF}{y_P} > \textcolor{#9570FF}{f(x_P)}$: Der Punkt liegt über dem Graphen.
• $\textcolor{#08BFFF}{y_P} < \textcolor{#9570FF}{f(x_P)}$: Der Punkt liegt unter dem Graphen.
• $\textcolor{#08BFFF}{y_P} = \textcolor{#9570FF}{f(x_P)}$: Der Punkt liegt genau auf dem Graphen.