Was ist eine Punktprobe in der Mathematik?

Die Punktprobe ist eine rechnerische Methode, mit der du feststellst, ob ein Punkt auf, über oder unter dem Graphen einer Funktion liegt. Du setzt einfach die x-Koordinate des Punktes in die Funktionsgleichung ein und vergleichst das Ergebnis mit der y-Koordinate des Punktes. Dieses Verfahren kommt in Mathe-Tests sehr häufig vor und lässt sich in vier klaren Schritten durchführen.

Wie bestimmst du rechnerisch, ob ein Punkt auf einem Graphen liegt?

Gegeben ist ein Punkt P(x_P | y_P) und eine Funktion f(x) . Gehe so vor: Lies x_P und y_P aus dem Punkt ab. Setze x_P in f(x) ein und berechne den Funktionswert f(x_P) . Vergleiche y_P mit f(x_P) . Ist y_P = f(x_P) , liegt der Punkt auf dem Graphen.

Was bedeutet es, wenn ein Punkt über dem Graphen liegt?

Ein Punkt liegt über dem Graphen , wenn seine y-Koordinate größer ist als der Funktionswert an derselben x-Stelle: y_P > f(x_P) . Im Koordinatensystem befindet sich der Punkt also oberhalb der Kurve. Zum Beispiel liegt Q(2 | 5) über dem Graphen von g(x) = 3/(x−4) + 6 , weil g(2) = 4,5 und 5 > 4,5 gilt.

Wann liegt ein Punkt unter dem Funktionsgraphen?

Ein Punkt liegt unter dem Graphen , wenn seine y-Koordinate kleiner ist als der Funktionswert an derselben x-Stelle: y_P < f(x_P) . Der Punkt befindet sich im Koordinatensystem unterhalb der Kurve. Zum Beispiel liegt A(2 | 1) unter dem Graphen von h(x) = x² + 1 , weil h(2) = 5 und 1 < 5 gilt.

Wie erkennst du bei der Punktprobe alle drei Fälle auf einen Blick?

Die drei Fälle der Punktprobe lassen sich so merken: y_P = f(x_P) → Punkt liegt auf dem Graphen. y_P > f(x_P) → Punkt liegt über dem Graphen. y_P < f(x_P) → Punkt liegt unter dem Graphen. Einsetzen, ausrechnen, vergleichen – mehr steckt hinter der Punktprobe nicht.

Punktprobe: Lage von Punkten bestimmen

Q: Wie erkennst du bei der Punktprobe alle drei Fälle auf einen Blick?

Die drei Fälle der Punktprobe lassen sich so merken: y_P = f(x_P) → Punkt liegt auf dem Graphen. y_P > f(x_P) → Punkt liegt über dem Graphen. y_P < f(x_P) → Punkt liegt unter dem Graphen. Einsetzen, ausrechnen, vergleichen – mehr steckt hinter der Punktprobe nicht.

Die Punktprobe ist eine der wichtigsten Grundtechniken in der Mathe-Klausur: Du bestimmst rechnerisch, ob ein Punkt auf, über oder unter dem Graphen einer Funktion liegt. Das Verfahren ist ein reines Rezept – Einsetzen, ausrechnen, vergleichen. Wenn du das einmal beherrschst, sicherst du dir zuverlässig Punkte in Tests und Prüfungen. In diesem Artikel lernst du die Methode Schritt für Schritt kennen und übst sie an fünf durchgerechneten Beispielen.

Vorwissen

Bevor wir starten, wiederholen wir kurz zwei Grundlagen:

Koordinaten eines Punktes: Ein Punkt im Koordinatensystem hat immer eine x- und eine y-Koordinate, geschrieben als $P(x|y)$ .
- Beispiel: Der Punkt $P(3|7)$ hat die x-Koordinate $3$ und die y-Koordinate $7$ .
Funktionswert berechnen: Um den y-Wert einer Funktion an einer bestimmten x-Stelle zu finden, setzt man den x-Wert in die Funktionsgleichung ein.
- Beispiel: Gegeben ist $f(x) = 2x + 1$ . An der Stelle $x = 3$ ist der Funktionswert $f(3) = 2 \cdot 3 + 1 = 7$ .

Aufgabentyp 1: Punktprobe: Liegt ein Punkt auf, über oder unter dem Graphen?

Um rechnerisch zu prüfen, wo ein Punkt im Verhältnis zu einem Funktionsgraphen liegt, führen wir eine sogenannte Punktprobe durch. Die Idee ist einfach: Wir vergleichen die y-Koordinate des Punktes mit dem Funktionswert an genau derselben x-Stelle.

Stell dir den Funktionsgraphen als einen Weg vor. Für jede x-Position gibt es eine exakte Höhe (y-Wert) auf diesem Weg.

Es gibt drei Möglichkeiten:

Der Punkt liegt AUF dem Graphen: Die y-Koordinate des Punktes ist genau gleich wie der berechnete Funktionswert. $y_P = f(x_P)$
Der Punkt liegt ÜBER dem Graphen: Die y-Koordinate des Punktes ist größer als der berechnete Funktionswert. $y_P > f(x_P)$
Der Punkt liegt UNTER dem Graphen: Die y-Koordinate des Punktes ist kleiner als der berechnete Funktionswert. $y_P < f(x_P)$

Drei Fälle: Punkt auf, über und unter dem Funktionsgraphen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Koordinaten identifizieren: Lies die x-Koordinate $x_P$ und die y-Koordinate $y_P$ aus dem gegebenen Punkt ab.
Funktionswert berechnen: Setze die x-Koordinate $x_P$ in die Funktionsgleichung $f(x)$ ein und berechne den zugehörigen Funktionswert $y_f$ .
Werte vergleichen: Vergleiche die y-Koordinate des Punktes ( $y_P$ ) mit dem berechneten Funktionswert ( $y_f$ ).
Schlussfolgerung ziehen: Ist $y_P = y_f$ , liegt der Punkt auf dem Graphen. Ist $y_P > y_f$ , liegt er über dem Graphen. Ist $y_P < y_f$ , liegt er unter dem Graphen.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Liegt der Punkt $P(3 | 7)$ auf dem Graphen der Funktion $f(x)=2x+1$ ?

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Koordinaten identifizieren
- x-Koordinate: $x_P = 3$
- y-Koordinate: $y_P = 7$
Schritt 2
Funktionswert berechnen
Wir setzen $x_P = 3$ in $f(x)$ ein:

$f(3) = 2 \cdot 3 + 1$

$= 6 + 1$

$= 7$

Der Funktionswert an der Stelle $x=3$ ist $7$ .
Schritt 3
Werte vergleichen
Wir vergleichen $y_P$ mit $f(3)$ :

$7 = 7$
Schritt 4 · Ergebnis
Schlussfolgerung ziehen
Da die y-Koordinate des Punktes gleich dem Funktionswert ist, liegt der Punkt $P$ auf dem Graphen der Funktion $f(x)$ .

Ergebnis:

Der Punkt $P(3|7)$ liegt auf dem Graphen von $f(x)=2x+1$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Überprüfe rechnerisch, ob der Punkt $Q(2 | 5)$ auf, über oder unter dem Graphen der Funktion $g(x)=\frac{3}{x-4}+6$ liegt.

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Koordinaten identifizieren
Der Punkt ist $Q(2 | 5)$ .
- x-Koordinate: $x_Q = 2$
- y-Koordinate: $y_Q = 5$
Schritt 2
Funktionswert berechnen
Wir setzen $x_Q = 2$ in die Funktion $g(x)$ ein:

$g(2) = \frac{3}{2-4}+6$

$= \frac{3}{-2}+6$

$= -1{,}5+6$

$= 4{,}5$

Der Funktionswert an der Stelle $x=2$ ist $4{,}5$ .
Schritt 3
Werte vergleichen
Wir vergleichen die y-Koordinate des Punktes, $y_Q = 5$ , mit dem berechneten Funktionswert, $g(2) = 4{,}5$ :

$5 > 4{,}5$
Schritt 4 · Ergebnis
Schlussfolgerung ziehen
Da die y-Koordinate des Punktes größer ist als der Funktionswert, liegt der Punkt $Q$ über dem Graphen der Funktion $g(x)$ .

Ergebnis:

Der Punkt $Q(2|5)$ liegt über dem Graphen von $g(x)=\frac{3}{x-4}+6$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Überprüfe die Lage des Punktes $A(2 | 1)$ zum Graphen der Funktion $h(x)=x^2+1$ .

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Koordinaten identifizieren
- x-Koordinate: $x_A = 2$
- y-Koordinate: $y_A = 1$
Schritt 2
Funktionswert berechnen
Wir setzen $x_A = 2$ in $h(x)$ ein:

$h(2) = (2)^2 + 1$

$= 4 + 1$

$= 5$

Der Funktionswert an der Stelle $x=2$ ist $5$ .
Schritt 3
Werte vergleichen
Wir vergleichen $y_A$ mit $h(2)$ :

$1 < 5$
Schritt 4 · Ergebnis
Schlussfolgerung ziehen
Da die y-Koordinate des Punktes kleiner ist als der Funktionswert, liegt der Punkt $A$ unter dem Graphen der Funktion $h(x)$ .

Ergebnis:

Der Punkt $A(2|1)$ liegt unter dem Graphen von $h(x)=x^2+1$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Bestimme, ob der Punkt $B(-1 | 5)$ über, unter oder auf dem Graphen von $k(x)=-3x+4$ liegt.

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Koordinaten identifizieren
- x-Koordinate: $x_B = -1$
- y-Koordinate: $y_B = 5$
Schritt 2
Funktionswert berechnen
Wir setzen $x_B = -1$ in $k(x)$ ein:

$k(-1) = -3 \cdot (-1) + 4$

$= 3 + 4$

$= 7$

Der Funktionswert an der Stelle $x=-1$ ist $7$ .
Schritt 3
Werte vergleichen
Wir vergleichen $y_B$ mit $k(-1)$ :

$5 < 7$
Schritt 4 · Ergebnis
Schlussfolgerung ziehen
Da die y-Koordinate des Punktes kleiner ist als der Funktionswert, liegt der Punkt $B$ unter dem Graphen der Funktion $k(x)$ .

Ergebnis:

Der Punkt $B(-1|5)$ liegt unter dem Graphen von $k(x)=-3x+4$ .

Beispiel 5

Aufgabe

Prüfe rechnerisch, ob der Punkt $C(4 | 3)$ auf dem Graphen der Funktion $f(x)=0{,}5x+1$ liegt.

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Koordinaten identifizieren
- x-Koordinate: $x_C = 4$
- y-Koordinate: $y_C = 3$
Schritt 2
Funktionswert berechnen
Wir setzen $x_C = 4$ in $f(x)$ ein:

$f(4) = 0{,}5 \cdot 4 + 1$

$= 2 + 1$

$= 3$

Der Funktionswert an der Stelle $x=4$ ist $3$ .
Schritt 3
Werte vergleichen
Wir vergleichen $y_C$ mit $f(4)$ :

$3 = 3$
Schritt 4 · Ergebnis
Schlussfolgerung ziehen
Da die y-Koordinate des Punktes gleich dem Funktionswert ist, liegt der Punkt $C$ auf dem Graphen der Funktion $f(x)$ .

Ergebnis:

Der Punkt $C(4|3)$ liegt auf dem Graphen von $f(x)=0{,}5x+1$ .

Wichtige Erkenntnisse

Um die Lage eines Punktes $P(x_P|y_P)$ zu einem Funktionsgraphen $f(x)$ zu prüfen, gehst du immer gleich vor:

Einsetzen: Setze den x-Wert des Punktes ( $x_P$ ) in die Funktion $f(x)$ ein und berechne das Ergebnis.
Vergleichen: Vergleiche den y-Wert des Punktes ( $y_P$ ) mit dem berechneten Funktionswert.
Regeln:
- $y_P > f(x_P) \to$ Der Punkt liegt über dem Graphen.
- $y_P < f(x_P) \to$ Der Punkt liegt unter dem Graphen.
- $y_P = f(x_P) \to$ Der Punkt liegt auf dem Graphen.

Punktprobe einfach erklärt: Lage von Punkten bestimmen

Vorwissen

Aufgabentyp 1: Punktprobe: Liegt ein Punkt auf, über oder unter dem Graphen?

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Wichtige Erkenntnisse

Häufige Fragen

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