Definitionsmenge bestimmen einfach erklärt: So geht's

Stell dir einen Snackautomaten vor. Du kannst 1-Euro- oder 2-Euro-Münzen einwerfen, und er funktioniert perfekt. Aber wenn du einen Hosenknopf einwirfst, blockiert die Maschine!

Der Automat hat also eine ganz bestimmte Menge an „erlaubten“ Dingen, die man hineinstecken darf. Beim Umgehen mit Definitionsmengen bei mathematischen Funktionen ist das genauso. Die Definitionsmenge ist quasi die Liste aller Zahlen, die wir in eine Funktion „einwerfen“ dürfen, ohne dass die Mathematik kaputtgeht. Lass uns herausfinden, wie wir die verbotenen Zahlen aufspüren – sowohl durch Rechnen als auch durch Anschauen eines Graphen!

Vorwissen

• Lineare Gleichungen lösen: Man bringt Zahlen mit der Gegenoperation auf die andere Seite. Beispiel: Aus $x - 3 = 0$ wird durch $+ 3$ auf beiden Seiten $x = 3$.
• Mengen-Schreibweise: $\mathbb{Q}$ steht für alle rationalen Zahlen (alle Brüche und Kommazahlen). Das Zeichen $\setminus$ bedeutet „ohne“. Beispiel: $\mathbb{Q} \setminus \\{5\\}$ bedeutet „alle rationalen Zahlen außer der 5“.

Aufgabentyp 1: Bestimmen der Definitionsmenge: Rechnerisch

Bevor wir rechnen, müssen wir klären: Was ist überhaupt eine Definitionsmenge? Kurz gesagt ist die Definitionsmenge die Liste aller $x$-Werte, die wir in eine Funktion einsetzen dürfen, ohne dass es zu einem mathematischen Fehler kommt.

Wenn wir eine Funktion mit einem Bruch haben, gibt es eine eiserne Regel: Man darf niemals durch Null teilen!

Wenn wir also eine Funktion wie $f(x) = \frac{5}{\textcolor{#08BFFF}{x - 3}}$ haben, müssen wir aufpassen. Der untere Teil des Bruchs (der Nenner) darf nicht Null werden. Wenn wir für $x$ die Zahl $3$ einsetzen würden, stünde dort $\frac{5}{3 - 3} = \frac{5}{0}$. Das würde einen Fehler auf dem Taschenrechner erzeugen!

Um die Definitionsmenge zu bestimmen, suchen wir also wie Detektive nach der „verbotenen“ Zahl. Wir nehmen einfach den Nenner, setzen ihn gleich Null und rechnen aus, welches $x$ den Bruch kaputtmachen würde. Diese Zahl schließen wir dann aus unserer Menge aus.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Nenner gleich Null setzen: Nimm nur den unteren Teil des Bruchs (den Nenner) und schreibe eine Gleichung: $\text{Nenner} = 0$. Der Zähler (oben) ist uns dabei völlig egal!
2. Gleichung nach $x$ auflösen: Bringe alle Zahlen auf die andere Seite, sodass $x$ alleine steht. Das ist unsere verbotene Zahl (die Definitionslücke).
3. Definitionsmenge aufschreiben: Schreibe die Menge aller Zahlen (meistens $\mathbb{Q}$ oder $\mathbb{R}$) auf und ziehe die verbotene Zahl mit dem „ohne“-Zeichen ab: $\mathbb{D} = \mathbb{Q} \setminus \\{\text{Zahl}\\}$.

Durchgerechnete Beispiele

Aufgabentyp 2: Bestimmen der Definitionsmenge: Graphisch

Manchmal haben wir keine Funktionsgleichung zum Rechnen, sondern nur ein Bild der Funktion (den Graphen). Auch hier können wir die verbotenen Zahlen erkennen!

Wenn eine Zahl nicht in die Funktion eingesetzt werden darf, gibt es an dieser Stelle keinen Punkt auf dem Graphen. Das nennt man eine Definitionslücke. Im Graphen sieht das oft aus wie eine unsichtbare Wand (eine sogenannte Asymptote). Der Graph nähert sich dieser Wand von beiden Seiten an und schießt steil nach oben oder unten ab, aber er berührt oder kreuzt sie niemals.

Um die Definitionsmenge herauszufinden, müssen wir nur auf der $x$-Achse schauen, bei welcher Zahl sich diese unsichtbare Wand befindet.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Graphen entlang der $x$-Achse absuchen: Schau dir den Verlauf der Kurve an. Suche nach einer Stelle, an der die Kurve unterbrochen ist und steil nach oben oder unten weggeht.
2. Lücke auf der $x$-Achse ablesen: Lies genau ab, bei welchem $x$-Wert diese „unsichtbare Wand“ steht. Das ist die Definitionslücke.
3. Definitionsmenge aufschreiben: Schreibe wieder die Grundmenge auf und schließe die abgelesene Zahl aus: $\mathbb{D} = \mathbb{Q} \setminus \\{\text{Zahl}\\}$.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 0

Aufgabe

Gegeben ist der Graph der Funktion $g$. Bestimme die maximale Definitionsmenge von $g$ anhand des Graphen. Gehe davon aus, dass die Grundmenge alle rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$ sind.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

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   Schritt 1 & 2
   Lücke auf der $x$-Achse ablesen

   Wir betrachten den Graphen und suchen nach der Stelle, wo die Kurve unterbrochen ist.

   

   Wie im Bild an der markierten Linie zu sehen ist, hat der Graph bei $\textcolor{#08BFFF}{x = 2}$ eine unsichtbare Wand. Die Kurve geht dort steil nach oben und unten, berührt die Linie bei $x = 2$ aber nie. Die verbotene Zahl ist also die $2$.

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   Schritt 3 · Ergebnis
   Definitionsmenge aufschreiben

   Wir schließen die $2$ aus unserer Menge aus. Die maximale Definitionsmenge ist: $\mathbb{D}_{\text{max}} = \mathbb{Q} \setminus \\{2\\}$

Ergebnis:

Die maximale Definitionsmenge ist $\mathbb{D}_{\text{max}} = \mathbb{Q} \setminus \\{2\\}$.

Wichtige Erkenntnisse

• Die goldene Regel: Bei Brüchen darf der Nenner (unten) niemals Null sein!
• Rechnerisch: Setze den Nenner gleich Null, um die verbotene Zahl (Definitionslücke) zu finden. Der Zähler ist dabei egal.
• Graphisch: Eine Definitionslücke erkennst du im Graphen oft als „unsichtbare Wand“ (Asymptote), an der die Kurve unterbrochen ist.
• Schreibweise: $\mathbb{D} = \mathbb{Q} \setminus \\{x\\}$ bedeutet „Alle Zahlen aus $\mathbb{Q}$, außer $x$“.