Wertemenge bestimmen einfach erklärt: Graphen & Beispiele

Wenn du die Wertemenge bestimmen möchtest, hilft ein einfacher Vergleich: Stell dir ein Außenthermometer vor. Egal wie heiß oder kalt es wird, das Thermometer kann nur Temperaturen zwischen $-30^\circ\text{C}$ und $+50^\circ\text{C}$ anzeigen. Das ist sein absoluter Spielraum. Alles, was darüber oder darunter liegt, kann es nicht darstellen.

In der Mathematik haben Funktionen auch so einen Spielraum. Wir stecken Zahlen hinein und bekommen Ergebnisse heraus. Aber nicht jede Funktion kann jedes beliebige Ergebnis liefern! Die Menge aller Ergebnisse, die eine Funktion tatsächlich erreichen kann, nennen wir die Wertemenge. In diesem Artikel lernst du, wie du Graphen zeichnest, ihre Wertemenge abliest und verstehst, wie kleine Änderungen an der Funktion diesen Spielraum beeinflussen.

Schnellantwort

Was ist die Wertemenge? Die Wertemenge ist die Menge aller Ergebnisse (y-Werte), die eine Funktion tatsächlich erreichen kann, wenn man alle erlaubten x-Werte einsetzt.

Vorwissen

• Definitionsmenge ($\text{D}$): Die Menge aller $x$-Werte, die man in eine Funktion einsetzen darf. Beispiel: Bei $f(x) = \frac{1}{x}$ darf man die $0$ nicht einsetzen, also ist $\text{D} = \mathbb{R} \setminus \{0\}$.
• Funktionswerte berechnen: Man setzt einen konkreten $x$-Wert in die Funktionsgleichung ein, um den zugehörigen $y$-Wert zu erhalten. Beispiel: Für $f(x) = 2x + 1$ und $x = 3$ rechnet man $f(3) = 2 \cdot 3 + 1 = 7$.

Aufgabentyp 1: Berechnen und Einzeichnen der Wertetabelle

Bevor wir den Spielraum einer Funktion untersuchen können, müssen wir sie oft erst einmal sichtbar machen. Das tun wir, indem wir ihren Graphen zeichnen.

Um einen Graphen zu zeichnen, berechnen wir für verschiedene $\textcolor{#08BFFF}{x}$-Werte die passenden $\textcolor{#9570FF}{y}$-Werte (die Funktionswerte). Diese Wertepaare tragen wir übersichtlich in eine Wertetabelle ein. Jedes Paar $(x|y)$ aus der Tabelle entspricht einem Punkt im Koordinatensystem. Wenn wir diese Punkte einzeichnen und verbinden, entsteht der Graph der Funktion.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Schritt 1: Funktionswerte berechnen – Setze die vorgegebenen $x$-Werte nacheinander in die Funktionsgleichung ein und berechne das Ergebnis. Das ist dein $y$-Wert.
2. Schritt 2: Wertetabelle ausfüllen – Trage die berechneten $y$-Werte in die untere Zeile der Tabelle unter den passenden $x$-Wert ein.
3. Schritt 3: Punkte einzeichnen und verbinden – Zeichne jedes Wertepaar als Punkt in ein Koordinatensystem ein. Verbinde die Punkte anschließend in einer flüssigen Linie.

Durchgerechnete Beispiele

Aufgabentyp 2: Ablesen der Wertemenge

Jetzt, wo wir Graphen zeichnen können, schauen wir uns ihren Spielraum an, um die Wertemenge bestimmen zu können.

Erinnerung: Die $\textcolor{#08BFFF}{\text{Definitionsmenge (D)}}$ sagt uns, welche Werte wir auf der $x$-Achse ablesen können (was hineingeht). Die $\textcolor{#9570FF}{\text{Wertemenge (W)}}$ sagt uns, welche Werte der Graph auf der $y$-Achse annimmt (was herauskommt).

Wenn eine Funktion alle möglichen Kommazahlen als Ergebnis liefern kann, ist die Wertemenge die Menge aller reellen Zahlen: $\text{W} = \mathbb{R}$.

Oft gibt es aber $y$-Werte, die der Graph niemals erreicht. Das passiert häufig bei Brüchen. Der Graph nähert sich dann einer unsichtbaren waagerechten Linie an, berührt sie aber nie. Diese Linie nennt man Asymptote. Den $y$-Wert dieser Linie müssen wir aus der Wertemenge ausschließen. Dafür nutzen wir das Zeichen $\setminus$ (gelesen als „ohne").

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Schritt 1: Die y-Achse scannen – Betrachte den Graphen und wandere mit den Augen die $y$-Achse von unten nach oben ab. Gibt es einen $y$-Wert, auf dessen Höhe der Graph eine Lücke hat oder den er nie berührt?
2. Schritt 2: Den fehlenden Wert identifizieren – Lies die Zahl auf der $y$-Achse ab, die der Graph auslässt (z. B. eine waagerechte Asymptote).
3. Schritt 3: Wertemenge notieren – Schreibe die Wertemenge auf. Wenn der Wert $1$ fehlt, schreibst du: $\text{W} = \mathbb{R} \setminus \{1\}$.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 2

Aufgabe

Gegeben ist der Graph der Funktion $f(x) = \frac{2}{x} + 1$. Bestimme die Wertemenge $\text{W}$ von $f$.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

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   Schritt 1 & 2
   Die y-Achse scannen und fehlenden Wert identifizieren

   Wir betrachten den Graphen und achten auf die $y$-Achse. Wir sehen, dass der Graph nach links und rechts immer flacher wird und sich einer waagerechten Linie annähert. Diese Linie liegt genau auf der Höhe $\textcolor{#9570FF}{y = 1}$. Der Graph berührt diesen Wert niemals.

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   Schritt 3 · Ergebnis
   Wertemenge notieren

   Da der Funktionswert $1$ nie erreicht wird, schließen wir ihn aus der Menge aller reellen Zahlen aus.

Ergebnis:

Die Wertemenge ist somit $\text{W} = \mathbb{R} \setminus \{\textcolor{#9570FF}{1}\}$.

Aufgabentyp 3: Einfluss der Funktionsanpassung

Was passiert, wenn wir die Funktionsgleichung leicht verändern? Betrachten wir Funktionen, die einen Parameter (einen Platzhalter) im Nenner haben, wie zum Beispiel $f(x) = \frac{1}{x - a}$.

Wenn wir für $a$ verschiedene Zahlen einsetzen, verschieben wir den gesamten Graphen im Koordinatensystem nach links oder rechts.

• Einfluss auf die Definitionsmenge: Da man nicht durch Null teilen darf, ist der Wert $x = a$ verboten. Wenn wir $a$ ändern, verschiebt sich die Lücke auf der $x$-Achse (die senkrechte Asymptote). Die Definitionsmenge ändert sich also: $\text{D} = \mathbb{R} \setminus \{\textcolor{#08BFFF}{a}\}$.
• Einfluss auf die Wertemenge: Wenn wir den Graphen nur nach links oder rechts schieben, bleibt seine Höhe völlig gleich. Die waagerechte Lücke auf der $y$-Achse bewegt sich nicht! Die Wertemenge bleibt also unbeeinflusst.

Durchgerechnete Beispiele

Wichtige Erkenntnisse

• Die Definitionsmenge ($\text{D}$) bezieht sich auf die $x$-Achse (Was darf ich einsetzen?).
• Die Wertemenge ($\text{W}$) bezieht sich auf die $y$-Achse (Welche Ergebnisse kommen heraus?).
• Fehlende Werte in der Wertemenge erkennst du im Graphen oft an waagerechten Asymptoten.
• Bei Funktionen der Form $f(x) = \frac{1}{x - a}$ verschiebt der Parameter $a$ den Graphen nur seitlich. Das ändert die Definitionsmenge, aber nicht die Wertemenge.