Wertemengen einfach erklärt: Definitions- & Wertemenge

Wir berechnen die fehlenden y-Werte, indem wir die x-Werte in die Funktion $f(x)=1{,}5x^2-1$ einsetzen.

Für $x = -3$: $f(-3) = 1{,}5 \cdot (-3)^2 - 1$ $= 1{,}5 \cdot 9 - 1$ $= 13{,}5 - 1 = 12{,}5$

Für $x = -2$: $f(-2) = 1{,}5 \cdot (-2)^2 - 1$ $= 1{,}5 \cdot 4 - 1$ $= 6 - 1 = 5$

Für $x = 1$: $f(1) = 1{,}5 \cdot (1)^2 - 1$ $= 1{,}5 \cdot 1 - 1$ $= 1{,}5 - 1 = 0{,}5$

Für $x = 2$: $f(2) = 1{,}5 \cdot (2)^2 - 1$ $= 1{,}5 \cdot 4 - 1$ $= 6 - 1 = 5$

Für $x = 3$: $f(3) = 1{,}5 \cdot (3)^2 - 1$ $= 1{,}5 \cdot 9 - 1$ $= 13{,}5 - 1 = 12{,}5$

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline y=f(x) & 12{,}5 & 5 & 0{,}5 & -1 & 0{,}5 & 5 & 12{,}5 \\ \hline \end{array}$

Wir tragen die Punkte $(-3|12{,}5)$, $(-2|5)$, $(-1|0{,}5)$, $(0|-1)$, $(1|0{,}5)$, $(2|5)$ und $(3|12{,}5)$ ein und verbinden sie.

Die Funktion ist $g(x) = -2x + 3$. Die x-Werte sind -2, -1, 0, 1, 2.

$g(-2) = -2 \cdot (-2) + 3 = 4 + 3 = 7$

$g(-1) = -2 \cdot (-1) + 3 = 2 + 3 = 5$

$g(0) = -2 \cdot (0) + 3 = 0 + 3 = 3$

$g(1) = -2 \cdot (1) + 3 = -2 + 3 = 1$

$g(2) = -2 \cdot (2) + 3 = -4 + 3 = -1$

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline y=g(x) & 7 & 5 & 3 & 1 & -1 \\ \hline \end{array}$

Wir tragen die Punkte $(-2|7)$, $(-1|5)$, $(0|3)$, $(1|1)$ und $(2|-1)$ ein und verbinden sie zu einer Geraden.

Die Funktion ist $h(x) = x^3 - 2x$.

$h(-2) = (-2)^3 - 2 \cdot (-2) = -8 + 4 = -4$

$h(-1) = (-1)^3 - 2 \cdot (-1) = -1 + 2 = 1$

$h(0) = (0)^3 - 2 \cdot (0) = 0 - 0 = 0$

$h(1) = (1)^3 - 2 \cdot (1) = 1 - 2 = -1$

$h(2) = (2)^3 - 2 \cdot (2) = 8 - 4 = 4$

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline y=h(x) & -4 & 1 & 0 & -1 & 4 \\ \hline \end{array}$

Wir tragen die Punkte $(-2|-4)$, $(-1|1)$, $(0|0)$, $(1|-1)$ und $(2|4)$ ein und verbinden sie zu einer Kurve.

Die Funktion ist $k(x) = (x-1)^2$.

$k(-1) = (-1-1)^2 = (-2)^2 = 4$

$k(0) = (0-1)^2 = (-1)^2 = 1$

$k(1) = (1-1)^2 = (0)^2 = 0$

$k(2) = (2-1)^2 = (1)^2 = 1$

$k(3) = (3-1)^2 = (2)^2 = 4$

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline y=k(x) & 4 & 1 & 0 & 1 & 4 \\ \hline \end{array}$

Wir tragen die Punkte $(-1|4)$, $(0|1)$, $(1|0)$, $(2|1)$ und $(3|4)$ ein und verbinden sie zu einer Parabel.

Die Funktion ist $m(x) = 4$. Das bedeutet, für jeden x-Wert ist der y-Wert immer 4.

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline y=m(x) & 4 & 4 & 4 & 4 & 4 & 4 & 4 \\ \hline \end{array}$

Wir tragen einige Punkte ein, z.B. $(-3|4)$, $(0|4)$ und $(3|4)$, und verbinden sie. Es entsteht eine waagerechte Gerade.

Wir schauen uns die y-Achse an, um zu sehen, welche Werte angenommen werden.

Wir sehen, dass der Graph sich der waagerechten Linie bei $y=1$ annähert, sie aber niemals berührt oder kreuzt. Der Graph verläuft sowohl oberhalb als auch unterhalb dieser Linie. Alle anderen y-Werte werden angenommen.

Der Wert $1$ wird ausgelassen. Die Wertemenge ist also die Menge aller rationalen Zahlen ohne die 1.

$\text{W} = \mathbb{Q} \setminus \{1\}$

Wir betrachten die y-Achse.

Der tiefste Punkt des Graphen ist der Scheitelpunkt bei $(2|1)$. Der y-Wert ist hier $1$. Alle anderen Punkte des Graphen liegen darüber. Es werden also nur y-Werte angenommen, die größer oder gleich 1 sind.

Die Wertemenge enthält alle Zahlen, die größer oder gleich $1$ sind.

$\text{W} = \{y \in \mathbb{Q} \mid y \ge 1\}$

Wir schauen auf die y-Achse.

Der höchste Punkt des Graphen ist der Scheitelpunkt bei $(0|3)$. Der y-Wert ist hier $3$. Alle anderen Punkte des Graphen liegen darunter. Es werden also nur y-Werte angenommen, die kleiner oder gleich 3 sind.

Die Wertemenge enthält alle Zahlen, die kleiner oder gleich $3$ sind.

$\text{W} = \{y \in \mathbb{Q} \mid y \le 3\}$

Wir betrachten die y-Achse.

Die Gerade läuft ohne Unterbrechung von links unten nach rechts oben. Sie steigt und fällt unendlich weiter. Es gibt keine Lücken und keine Start- oder Endpunkte. Jeder y-Wert wird irgendwann vom Graphen erreicht.

Da alle y-Werte angenommen werden, ist die Wertemenge die Menge aller rationalen Zahlen.

$\text{W} = \mathbb{Q}$

Wir schauen auf die y-Achse.

Der Graph ist eine waagerechte Gerade. Der einzige y-Wert, der jemals angenommen wird, ist $-2$.

Die Wertemenge besteht nur aus der Zahl $-2$.

$\text{W} = \{-2\}$

Die Funktion lautet $f(x)=\frac{1}{x-2}$.

• Bedingung: Der Nenner darf nicht Null sein. $x-2 = 0$
• Gleichung lösen: $x = 2$. Die Definitionslücke ist bei $x=2$.
• Notieren: $\text{D} = \mathbb{Q} \setminus \{2\}$

Der Graph nähert sich der x-Achse ($y=0$), berührt sie aber nie. Ein Bruch der Form $\frac{1}{\text{etwas}}$ kann niemals Null werden.

$\text{W} = \mathbb{Q} \setminus \{0\}$

• Definitionsmenge: Die Definitionslücke liegt immer dort, wo der Nenner Null wird: $x-a=0$, also bei $x=a$. Wenn sich $a$ ändert, verschiebt sich die Definitionslücke mit. $\text{D} = \mathbb{Q} \setminus \{a\}$.
• Wertemenge: Der Parameter $a$ verschiebt den Graphen nur nach links oder rechts. Die Höhe (also die y-Werte) wird nicht beeinflusst. Die Wertemenge $\text{W} = \mathbb{Q} \setminus \{0\}$ bleibt für jeden Wert von $a$ gleich.

Die Funktion lautet $f(x)=\frac{1}{x}+3$.

• Bedingung: Der Nenner $x$ darf nicht Null sein. $x = 0$.
• Gleichung lösen: Die Lücke ist bei $x = 0$.
• Notieren: $\text{D} = \mathbb{Q} \setminus \{0\}$

Der Teil $\frac{1}{x}$ kann nie Null werden. Daher kann der ganze Ausdruck $f(x) = \frac{1}{x} + 3$ niemals genau $3$ werden. Der Graph hat eine waagerechte Asymptote bei $y=3$.

$\text{W} = \mathbb{Q} \setminus \{3\}$

• Definitionsmenge: Der Parameter $a$ steht nicht im Nenner. Die Definitionslücke ist immer bei $x=0$, egal was $a$ ist. $\text{D}$ wird von $a$ nicht beeinflusst.
• Wertemenge: Der Parameter $a$ verschiebt den Graphen nach oben oder unten. Die Wertlücke liegt immer bei $y=a$. $\text{W} = \mathbb{Q} \setminus \{a\}$.

Die Funktion lautet $f(x) = (x-1)^2$.

• Bedingung: Es gibt keinen Bruch und keine Wurzel. Man darf jede Zahl für $x$ einsetzen.
• Notieren: $\text{D} = \mathbb{Q}$

Das Ergebnis einer quadrierten Zahl $(...)^2$ ist immer größer oder gleich Null. Der kleinste Wert, den die Funktion annehmen kann, ist $0$ (beim Scheitelpunkt).

$\text{W} = \{y \in \mathbb{Q} \mid y \ge 0\}$

• Definitionsmenge: Die Definitionsmenge ist immer $\mathbb{Q}$, egal was $a$ ist. Sie wird nicht beeinflusst.
• Wertemenge: Der Parameter $a$ verschiebt die Parabel nach links oder rechts. Der Scheitelpunkt bleibt aber immer auf der x-Achse. Die Wertemenge $\text{W} = \{y \in \mathbb{Q} \mid y \ge 0\}$ bleibt für jeden Wert von $a$ gleich.

Die Funktion lautet $f(x) = x^2 + 4$.

• Bedingung: Kein Bruch, keine Wurzel. Alle x-Werte sind erlaubt.
• Notieren: $\text{D} = \mathbb{Q}$

Der Teil $x^2$ ist immer $\ge 0$. Der kleinste Wert von $x^2$ ist 0. Der kleinste Wert der gesamten Funktion ist also $0 + 4 = 4$.

$\text{W} = \{y \in \mathbb{Q} \mid y \ge 4\}$

• Definitionsmenge: Die Definitionsmenge ist immer $\mathbb{Q}$ und wird von $a$ nicht beeinflusst.
• Wertemenge: Der Parameter $a$ verschiebt die Parabel nach oben oder unten. Der Scheitelpunkt liegt bei $(0|a)$. Die Wertemenge hängt also direkt von $a$ ab: $\text{W} = \{y \in \mathbb{Q} \mid y \ge a\}$.

Die Funktion lautet $f(x) = \frac{2}{x}$.

• Bedingung: Der Nenner darf nicht Null sein: $x = 0$.
• Lücke: Die Lücke ist bei $x = 0$.
• Notieren: $\text{D} = \mathbb{Q} \setminus \{0\}$

Ein Bruch mit einer Zahl ungleich Null im Zähler (hier 2) kann niemals den Wert $0$ annehmen. Die x-Achse ist eine Asymptote.

$\text{W} = \mathbb{Q} \setminus \{0\}$

• Definitionsmenge: Der Parameter $a$ steht im Zähler. Die Definitionslücke bei $x=0$ bleibt immer gleich, solange der Nenner $x$ ist. $\text{D}$ wird von $a$ nicht beeinflusst.
• Wertemenge: Solange $a \neq 0$ ist, kann der Bruch niemals Null werden. Die Wertemenge $\text{W} = \mathbb{Q} \setminus \{0\}$ bleibt also für jedes $a \neq 0$ gleich. (Wenn $a=0$ wäre, wäre die Funktion $f(x)=0$ und die Wertemenge wäre nur $\{0\}$.)