Prozente umwandeln einfach erklärt: Brüche und Dezimalzahlen

Stell dir vor, du schaust auf dein Handy und der Akku zeigt genau $65 \%$ an. Aber was bedeutet dieses Zeichen eigentlich? Beim Prozente umwandeln geht es genau darum, dieses Alltagsphänomen mathematisch zu greifen.

Das Wort „Prozent“ kommt aus dem Lateinischen und bedeutet wörtlich übersetzt „von Hundert“. Wenn dein Akku also $65 \%$ hat, bedeutet das, dass er noch $65$ von $100$ möglichen Energie-Teilchen besitzt.

In der Mathematik können wir dieses „von Hundert“ ganz einfach als Bruch schreiben: $\frac{65}{100}$. In diesem Artikel lernst du, wie du solche Brüche blitzschnell in Kommazahlen (Dezimalzahlen) verwandelst und wie du sie so klein wie möglich machst (kürzt).

Vorwissen

• Brüche kürzen: Man teilt den Zähler (oben) und den Nenner (unten) durch dieselbe Zahl. Der Wert des Bruchs bleibt dabei gleich.

  Beispiel: $\frac{4}{8}$ gekürzt mit $4$ ist $\frac{4 : 4}{8 : 4} = \frac{1}{2}$.

• Stellenwerte bei Kommazahlen: Die erste Stelle nach dem Komma sind die Zehntel, die zweite Stelle sind die Hundertstel und die dritte Stelle sind die Tausendstel.

  Beispiel: Bei der Zahl $0{,}35$ ist die $3$ ein Zehntel und die $5$ ein Hundertstel.

Aufgabentyp 1: Brüche mit dem Nenner 100 umwandeln

Ein Bruch, der unten im Nenner eine $100$ stehen hat, ist besonders leicht in eine Dezimalzahl umzuwandeln. Die Regel ist ganz einfach: Die Zahl $100$ hat zwei Nullen. Deshalb hat die Dezimalzahl genau zwei Nachkommastellen.

Wir schreiben einfach den Zähler (die obere Zahl) hinter das Komma:

$\frac{45}{\textcolor{#08BFFF}{100}} = 0{,}\textcolor{#9570FF}{45}$

Oft wollen wir den Bruch aber nicht nur als Kommazahl schreiben, sondern ihn auch vollständig kürzen. Das bedeutet, wir suchen die größte Zahl, durch die wir Zähler und Nenner teilen können.

Schauen wir uns den Bruch $\frac{45}{100}$ an. Beide Zahlen enden auf $5$ oder $0$, also können wir sie durch $5$ teilen:

$\frac{45}{100} = \frac{45 : 5}{100 : 5} = \frac{9}{20}$

Da wir die $9$ und die $20$ nicht mehr durch dieselbe Zahl teilen können, ist der Bruch nun vollständig gekürzt.

Achtung bei einstelligen Zahlen! Wenn oben im Zähler nur eine Ziffer steht, musst du eine Null nach dem Komma einfügen, damit du wieder auf zwei Nachkommastellen kommst. „Sechs Hundertstel“ schreibt man so:

$\frac{6}{\textcolor{#08BFFF}{100}} = 0{,}0\textcolor{#9570FF}{6}$

Durchgerechnete Beispiele

Aufgabentyp 2: Dezimalzahlen in Brüche umwandeln

Jetzt drehen wir beim Prozente umwandeln den Spieß um! Wenn du eine Dezimalzahl hast und daraus einen Bruch machen möchtest, zählst du einfach die Nachkommastellen. Diese verraten dir, wie viele Nullen dein Nenner haben muss.

• 1 Nachkommastelle bedeutet Nenner $10$ (Zehntel).
• 2 Nachkommastellen bedeuten Nenner $100$ (Hundertstel).
• 3 Nachkommastellen bedeuten Nenner $1000$ (Tausendstel).

Die Zahl, die nach dem Komma steht, schreibst du einfach oben in den Zähler. Danach kürzt du den Bruch so weit wie möglich.

Schauen wir uns ein Beispiel an: $0{,}8$

Die Zahl hat eine Nachkommastelle. Also brauchen wir eine $10$ im Nenner:

$0{,}\textcolor{#9570FF}{8} = \frac{8}{\textcolor{#08BFFF}{10}}$

Jetzt kürzen wir den Bruch. Beide Zahlen sind gerade, also teilen wir durch $2$:

$\frac{8 : 2}{10 : 2} = \frac{4}{5}$

Noch ein Beispiel mit drei Stellen: $0{,}025$

Die Zahl hat drei Nachkommastellen. Also brauchen wir eine $1000$ im Nenner. Die Nullen vor der $25$ lassen wir im Zähler weg:

$0{,}\textcolor{#9570FF}{025} = \frac{25}{\textcolor{#08BFFF}{1000}}$

Wenn wir Zähler und Nenner durch $25$ teilen, erhalten wir den vollständig gekürzten Bruch $\frac{1}{40}$.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Nachkommastellen zählen: Schau dir die Dezimalzahl genau an und zähle, wie viele Ziffern rechts vom Komma stehen.
2. Den Nenner bestimmen: Schreibe einen Bruchstrich. Die Anzahl der Nachkommastellen aus Schritt 1 ist genau die Anzahl der Nullen, die du unten an die $1$ hängst (also $10$, $100$ oder $1000$).
3. Den Zähler eintragen: Schreibe die Ziffern der Dezimalzahl (ohne das Komma und ohne führende Nullen) oben in den Zähler.
4. Vollständig kürzen: Prüfe, ob du Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen kannst (oft durch $2$ oder $5$). Wiederhole das, bis es nicht mehr geht.

Durchgerechnete Beispiele

Wichtige Erkenntnisse

• Nenner 100 = 2 Nachkommastellen: Ein Bruch wie $\frac{15}{100}$ wird immer zu $0{,}15$.
• Die Nullen-Regel: Die Anzahl der Nachkommastellen einer Dezimalzahl ist genau gleich der Anzahl der Nullen im Nenner ($1$ Stelle = $10$, $2$ Stellen = $100$, $3$ Stellen = $1000$).
• Immer ans Kürzen denken: Prüfe am Ende immer, ob du die obere und untere Zahl des Bruchs noch durch dieselbe Zahl (z.B. $2$ oder $5$) teilen kannst.