Lineare Funktionen im Sachkontext zeichnen klingt komplizierter, als es ist. Stell dir vor, du könntest in die Zukunft schauen: Wie viele Follower wird dein Lieblings-Creator nächste Woche haben? Wann ist der Akku deines Handys leer, wenn du weiter so viel zockst? Das klingt nach Magie, ist aber simple Mathematik. Lineare Funktionen sind wie ein Cheat-Code für den Alltag. Wenn du weißt, wie man aus einer einfachen Textbeschreibung eine Gerade zeichnet, kannst du solche Vorhersagen treffen. Du verwandelst Text in ein Bild, das dir sofort Antworten gibt. Lass uns diesen Trick lernen!
Vorwissen
Bevor wir starten, wiederholen wir kurz zwei Grundlagen:
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Koordinatensystem: Es besteht aus einer horizontalen x-Achse (Rechts-Links-Wert) und einer vertikalen y-Achse (Hoch-Runter-Wert). Der Punkt, wo sie sich treffen, ist der Ursprung (0|0).
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Punkte einzeichnen: Ein Punkt hat immer zwei Werte: P(x|y). Um P(3|4) einzuzeichnen, gehst du 3 Schritte nach rechts auf der x-Achse und von dort 4 Schritte nach oben.
Aufgabentyp 1: Gerade aus einem Sachkontext zeichnen
In Sachaufgaben zu linearen Funktionen verstecken sich die Informationen für eine Gerade oft in einfachen Sätzen. Deine Aufgabe ist es, diese Informationen wie ein Detektiv zu finden und in die Sprache der Mathematik zu übersetzen.
Ein Satz wie „Nach 3 Stunden sind noch 50 Liter im Tank" ist nichts anderes als ein Punkt auf einer Geraden. Man nennt das ein Wertepaar.
- Der Zeitpunkt (3 Stunden) ist meistens der x-Wert.
- Der zugehörige Wert (50 Liter) ist der y-Wert.
Zusammen ergeben sie den Punkt .
Um eine Gerade zu zeichnen, brauchst du immer zwei solcher Punkte. Sobald du zwei Punkte aus dem Text extrahiert hast, kannst du sie in ein Koordinatensystem einzeichnen und mit einem Lineal verbinden.
Schritt-für-Schritt-Anleitung
- Zwei Punkte im Text finden: Lies die Aufgabe sorgfältig und finde zwei zusammengehörige Wertepaare. Notiere sie als Punkte P1(x1|y1) und P2(x2|y2).
- Koordinatensystem vorbereiten: Zeichne ein Koordinatensystem. Beschrifte die Achsen passend zum Sachverhalt (z. B. x-Achse: „Zeit in Stunden", y-Achse: „Wassermenge in Litern"). Wähle eine sinnvolle Skalierung, damit deine Punkte gut Platz haben.
- Punkte einzeichnen: Zeichne die beiden Punkte, die du in Schritt 1 gefunden hast, in dein Koordinatensystem ein.
- Gerade zeichnen: Lege ein Lineal an die beiden Punkte und verbinde sie zu einer geraden Linie. Zeichne die Linie ruhig etwas über die Punkte hinaus.
- Wert ablesen (falls gefragt): Wenn du einen Wert ablesen sollst, suche die gegebene Zahl auf der richtigen Achse. Gehe von dort senkrecht zur Geraden und dann waagerecht (bzw. umgekehrt) zur anderen Achse, um den gesuchten Wert abzulesen.
Durchgerechnete Beispiele
Beispiel 1
Wir betrachten die Influencerin Tamina und nehmen an, dass ihre Follower-Anzahl gleichmäßig steigt. Nach 10 Tagen hat Tamina 30.000 Follower und nach 15 Tagen bereits 35.000 Follower. Zeichne die dazugehörige Gerade und lies ab, wie viele Follower Tamina nach 7 Tagen hatte.
- Schritt 1Zwei Punkte im Text finden
- Wertepaar 1: 10 Tage → 30.000 Follower. Das ergibt den Punkt .
- Wertepaar 2: 15 Tage → 35.000 Follower. Das ergibt den Punkt .
- Schritt 2Koordinatensystem vorbereiten
- Die x-Achse stellt die „Zeit in Tagen" dar.
- Die y-Achse stellt die „Anzahl Follower" dar.
- Wir wählen eine passende Skalierung. Für die y-Achse fangen wir nicht bei 0 an, um Platz zu sparen, sondern z. B. bei 20.000.
Leeres Koordinatensystem mit Achsenbeschriftung für Follower-Aufgabe - Schritt 3Punkte einzeichnen
Wir zeichnen die beiden Punkte und ein.
Koordinatensystem mit zwei eingezeichneten Punkten P1 und P2 - Schritt 4Gerade zeichnen
Wir verbinden die beiden Punkte mit einem Lineal.
Koordinatensystem mit eingezeichneter Geraden durch P1 und P2 - Schritt 5 · ErgebnisWert ablesen
Wir suchen 7 auf der x-Achse, gehen von dort hoch zur Geraden und dann nach links zur y-Achse. Wir landen bei 27.000.
Koordinatensystem mit abgelesener Follower-Anzahl bei Tag 7
Nach 7 Tagen hatte Tamina 27.000 Follower.
Beispiel 2
Ein Swimmingpool wird geleert. Nach 2 Stunden sind noch 8.000 Liter Wasser im Becken. Nach 6 Stunden sind es nur noch 2.000 Liter. Zeichne den Graphen und finde heraus, nach wie vielen Stunden der Pool komplett leer ist.
- Schritt 1Zwei Punkte im Text finden
- Wertepaar 1: 2 Stunden → 8.000 Liter. Das ergibt .
- Wertepaar 2: 6 Stunden → 2.000 Liter. Das ergibt .
- Schritt 2 & 3Koordinatensystem anlegen und Punkte einzeichnen
- x-Achse: „Zeit in Stunden". y-Achse: „Wasser in Litern".
- Wir zeichnen die Punkte und ein.
Koordinatensystem mit Punkten für die Swimmingpool-Aufgabe - Schritt 4Gerade zeichnen
Wir verbinden die Punkte. Da der Pool leer wird, ist die Gerade fallend.
Fallende Gerade im Koordinatensystem für Wasserstand im Pool - Schritt 5 · ErgebnisWert ablesen
„Komplett leer" bedeutet, dass der Wasserstand 0 Liter ist. Das ist der Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse. Wir lesen den x-Wert an dieser Stelle ab.
Gerade trifft x-Achse bei 8 Stunden, Pool ist leer
Der Pool ist nach 8 Stunden leer.
Beispiel 3
Der Akku eines Smartphones entlädt sich gleichmäßig. Um 14:00 Uhr beträgt der Akkustand 70 %. Um 17:00 Uhr sind es noch 40 %. Zeichne eine Gerade und bestimme den Akkustand um 12:00 Uhr.
- Schritt 1Zwei Punkte im Text finden
Wir wandeln die Uhrzeiten in Stunden seit Mitternacht um: 14:00 Uhr = 14, 17:00 Uhr = 17.
- Wertepaar 1: 14 Stunden → 70 %. Das ergibt .
- Wertepaar 2: 17 Stunden → 40 %. Das ergibt .
- Schritt 2, 3 & 4Koordinatensystem, Punkte und Gerade
- x-Achse: „Zeit in Stunden". y-Achse: „Akku in %".
- Wir zeichnen die Punkte ein und verbinden sie. Wir verlängern die Gerade nach links, da wir einen früheren Zeitpunkt suchen.
Koordinatensystem mit Geraden für Akkustand-Aufgabe - Schritt 5 · ErgebnisWert ablesen
Wir suchen 12:00 Uhr (also x = 12) auf der x-Achse, gehen hoch zur Geraden und dann nach rechts zur y-Achse.
Abgelesener Akkustand bei 12 Uhr auf der Geraden
Um 12:00 Uhr betrug der Akkustand 90 %.
Beispiel 4
Eine Kerze brennt gleichmäßig ab. Zu Beginn der Messung (Zeitpunkt 0) ist sie 20 cm hoch. Nach 4 Stunden ist ihre Höhe nur noch 12 cm. Zeichne den Graphen und bestimme die Höhe der Kerze nach 5 Stunden.
- Schritt 1Zwei Punkte im Text finden
- Wertepaar 1: 0 Stunden → 20 cm. Das ergibt .
- Wertepaar 2: 4 Stunden → 12 cm. Das ergibt .
- Schritt 2, 3 & 4Koordinatensystem, Punkte und Gerade
- x-Achse: „Zeit in Stunden". y-Achse: „Höhe in cm".
- Wir zeichnen die Punkte ein und verbinden sie zu einer Geraden.
Koordinatensystem mit eingezeichneter Geraden für Kerzen-Aufgabe - Schritt 5 · ErgebnisWert ablesen
Wir suchen 5 Stunden auf der x-Achse, gehen hoch zur Geraden und dann nach links zur y-Achse.
Abgelesene Kerzenhöhe nach 5 Stunden auf der Geraden
Nach 5 Stunden ist die Kerze 10 cm hoch.
Beispiel 5
Ein Taxitarif besteht aus einer Grundgebühr und einem Preis pro Kilometer. Eine Fahrt von 3 km kostet 9,50 €. Eine Fahrt von 5 km kostet 13,50 €. Zeichne den Graphen und bestimme die Höhe der Grundgebühr (Preis für 0 km).
- Schritt 1Zwei Punkte im Text finden
- Wertepaar 1: 3 km → 9,50 €. Das ergibt .
- Wertepaar 2: 5 km → 13,50 €. Das ergibt .
- Schritt 2, 3 & 4Koordinatensystem, Punkte und Gerade
- x-Achse: „Strecke in km". y-Achse: „Preis in €".
- Wir zeichnen die Punkte ein und verbinden sie. Wir verlängern die Gerade nach links bis zur y-Achse.
Koordinatensystem mit Geraden für Taxitarif-Aufgabe - Schritt 5 · ErgebnisWert ablesen
Die „Grundgebühr" ist der Preis bei 0 km. Das ist der Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse. Wir lesen den y-Wert an dieser Stelle ab.
Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse zeigt Grundgebühr
Die Grundgebühr beträgt 3,50 €.
Wichtige Erkenntnisse
- In Sachaufgaben sind Punkte oft als Wertepaare in Sätzen versteckt (z. B. „nach X Stunden passiert Y").
- Die Zeit oder die Ursache kommt fast immer auf die x-Achse. Die Menge oder die Wirkung kommt auf die y-Achse.
- Du brauchst immer zwei Punkte, um eine eindeutige Gerade zu zeichnen.
- Beschrifte deine Achsen immer, damit du weißt, welche Werte du abliest.
Häufige Fragen
Was ist eine lineare Funktion im Sachkontext?
Eine lineare Funktion im Sachkontext beschreibt einen gleichmäßigen Zusammenhang zwischen zwei Größen aus dem Alltag – zum Beispiel zwischen Zeit und Wasserstand oder zwischen Kilometern und Kosten. Ihr Graph ist eine Gerade im Koordinatensystem. Du erkennst sie daran, dass sich eine Größe immer um denselben Betrag ändert, wenn die andere Größe um eine feste Einheit wächst.
Wie findest du Wertepaare in einer Sachaufgabe?
Lies die Aufgabe sorgfältig und suche nach Sätzen, die zwei zusammengehörige Größen nennen – zum Beispiel „Nach 3 Stunden sind noch 50 Liter im Tank". Der erste Wert (3 Stunden) ist der x-Wert, der zweite Wert (50 Liter) der y-Wert. Zusammen bilden sie ein Wertepaar, also einen Punkt auf der Geraden. Du brauchst mindestens zwei solche Wertepaare, um die Gerade eindeutig zeichnen zu können.
Wie zeichnest du eine Gerade aus einem Sachkontext Schritt für Schritt?
Gehe in fünf Schritten vor:
- Finde zwei Wertepaare im Text und notiere sie als Punkte.
- Zeichne ein Koordinatensystem und wähle eine sinnvolle Skalierung.
- Beschrifte die Achsen mit den passenden Größen und Einheiten.
- Zeichne die beiden Punkte ein.
- Verbinde sie mit einem Lineal zu einer Geraden und verlängere sie bei Bedarf.
Warum musst du die Achsen im Koordinatensystem beschriften?
Die Achsenbeschriftung zeigt dir, welche Größe auf welcher Achse abgetragen ist – zum Beispiel „Zeit in Stunden" auf der x-Achse und „Wasser in Litern" auf der y-Achse. Ohne Beschriftung weißt du nicht, welchen Wert du abließt. Außerdem verlangst du in Prüfungen fast immer eine vollständige Beschriftung, damit die Lösung nachvollziehbar ist.
Wie liest du einen Wert aus dem Graphen einer linearen Funktion ab?
Suche den gesuchten Wert auf der entsprechenden Achse. Gehe von dort senkrecht zur Geraden und dann waagerecht zur anderen Achse. Dort liest du den gesuchten Wert ab. Willst du zum Beispiel den Akkustand um 12 Uhr wissen, gehst du bei x = 12 senkrecht hoch bis zur Geraden und dann waagerecht zur y-Achse.