LGS aufstellen mit gegebener Lösung – einfach erklärt

Ein LGS aufstellen bei gegebener Lösung klingt zunächst wie Detektivarbeit rückwärts: Anstatt die Lösung eines linearen Gleichungssystems zu suchen, kennst du das Zahlenpaar – z. B. $(2|5)$ – und sollst die passenden Gleichungen erst noch erfinden. Das ist wie ein Game-Designer, der ein Rätsel entwirft: Du kennst den geheimen Code, aber du musst die Hinweise dafür noch bauen. Diese Kernkompetenz zeigt, dass du die Regeln des LGS wirklich verstanden hast, nicht nur auswendig lernst. In diesem Artikel lernst du, wie das funktioniert.

Schnellantwort

Beim LGS aufstellen mit gegebener Lösung wählst du für jede benötigte Gleichung frei Koeffizienten $a$ und $b$, setzt die bekannten $x$- und $y$-Werte in die Form $ax + by = c$ ein und berechnest $c$. Für ein eindeutiges LGS brauchst du mindestens zwei solcher Gleichungen, deren Koeffizienten nicht vielfache voneinander sind – geometrisch gesprochen: zwei Geraden, die sich genau in dem einen Punkt schneiden.

Vorwissen

Bevor wir loslegen, wiederholen wir kurz die Grundlagen:

• Lineare Gleichung mit zwei Variablen: Das ist eine Gleichung, die man als Gerade in einem Koordinatensystem zeichnen kann. Die allgemeine Form ist $ax + by = c$.

  • Beispiel: $2x + 3y = 12$ ist eine lineare Gleichung.

• Lösung einer Gleichung: Ein Zahlenpaar $(x|y)$, das die Gleichung wahr macht, wenn man die Zahlen einsetzt.

  • Beispiel: Das Paar $(3|2)$ ist eine Lösung für $2x + 3y = 12$, denn $2 \cdot 3 + 3 \cdot 2 = 6 + 6 = 12$. Das stimmt!

• Lineares Gleichungssystem (LGS): Das sind mindestens zwei lineare Gleichungen, die zusammengehören.

  • Beispiel: $\text{(I)}: x + y = 5$

  $\text{(II)}: 2x - y = 4$

• Lösung eines LGS: Ein Zahlenpaar $(x|y)$, das alle Gleichungen im System gleichzeitig löst. Geometrisch ist das der Schnittpunkt der Geraden.

Aufgabentyp 1: LGS zu einer gegebenen Lösung aufstellen

Wenn wir ein lineares Gleichungssystem (LGS) für eine gegebene Lösung, z. B. das Zahlenpaar $(2|5)$, aufstellen sollen, müssen wir zwei (oder mehr) verschiedene lineare Gleichungen finden, für die dieses Paar eine Lösung ist.

Der Trick dabei ist, dass wir die Gleichungen selbst „erfinden" können. Das geht so:

1. Wir starten mit der allgemeinen Form einer linearen Gleichung: $ax + by = c$.
2. Wir denken uns einfache Zahlen für $a$ und $b$ aus (z. B. 1, 2, -1).
3. Wir setzen die gegebenen Werte für $x$ und $y$ sowie unsere ausgedachten Werte für $a$ und $b$ ein.
4. Damit berechnen wir den passenden Wert für $c$.

Das wiederholen wir mit anderen Werten für $a$ und $b$, um eine zweite Gleichung zu erhalten. Wichtig ist, dass die zweite Gleichung nicht nur ein Vielfaches der ersten ist, damit die Lösung wirklich eindeutig ist. Geometrisch bedeutet das, dass sich die beiden Geraden genau in diesem einen Punkt schneiden.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Erste Gleichung erstellen: Wähle einfache Koeffizienten $a$ und $b$ (z. B. 1 oder −1).
2. Werte einsetzen: Setze $a$, $b$ sowie die gegebenen $x$- und $y$-Werte in $ax + by = c$ ein.
3. c berechnen: Rechne die linke Seite aus, um den Wert für $c$ zu erhalten.
4. Zweite Gleichung erstellen: Wähle andere Koeffizienten $a$ und $b$ (kein Vielfaches der ersten Wahl) und wiederhole den Prozess.
5. LGS aufschreiben: Notiere beide Gleichungen als LGS mit den Bezeichnungen (I) und (II).

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Das Zahlenpaar $(2|5)$ ist die einzige Lösung eines linearen Gleichungssystems mit zwei Variablen. Bestimme ein solches Gleichungssystem.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

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   Schritt 1
   Erste Gleichung erstellen

   • Wähle Koeffizienten: Wir wählen einfache Zahlen, z. B. $a=1$ und $b=1$.

   • Setze alles ein: Wir verwenden die gegebene Lösung $x=2$ und $y=5$.

     $ax + by = c$

     $1 \cdot 2 + 1 \cdot 5 = c$

   • Berechne c:

     $2 + 5 = c$

     $c = 7$

   • Notiere die Gleichung: Unsere erste Gleichung lautet: $x + y = 7$.

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   Schritt 2
   Zweite Gleichung erstellen

   • Wähle andere Koeffizienten: Wir wählen z. B. $a=1$ und $b=2$.

   • Setze alles ein:

     $ax + by = c$

     $1 \cdot 2 + 2 \cdot 5 = c$

   • Berechne c:

     $2 + 10 = c$

     $c = 12$

   • Notiere die zweite Gleichung: Unsere zweite Gleichung lautet: $x + 2y = 12$.

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   Schritt 3 · Ergebnis
   LGS aufschreiben

   Das gesuchte lineare Gleichungssystem ist:

   $\text{(I)}: x + y = 7$

   $\text{(II)}: x + 2y = 12$

Ergebnis:

Das LGS mit den Gleichungen $x + y = 7$ und $x + 2y = 12$ hat genau $(2|5)$ als Lösung.

Wichtige Erkenntnisse

• Um eine lineare Gleichung zu einer gegebenen Lösung $(x|y)$ zu finden, wähle Koeffizienten $a$ und $b$ frei und berechne $c$ mit der Formel $ax + by = c$.
• Für ein LGS mit einer eindeutigen Lösung brauchst du zwei lineare Gleichungen.
• Wähle für die zweite Gleichung andere Koeffizienten als für die erste, um sicherzustellen, dass die Gleichungen nicht äquivalent sind (d. h. nicht dieselbe Gerade beschreiben).