Wie überprüfst du, ob ein Zahlenpaar eine Lösung eines LGS ist?

Du setzt die gegebenen Werte für x und y nacheinander in jede Gleichung ein und rechnest beide Seiten aus. Entsteht bei Gleichung (I) eine wahre Aussage (z. B. 5 = 5 ), prüfst du Gleichung (II) auf dieselbe Weise. Nur wenn beide Gleichungen erfüllt sind, ist das Paar eine Lösung. Schlägt eine Prüfung fehl, kannst du sofort aufhören – das Paar ist keine Lösung.

Was bedeutet systematisches Probieren beim LGS?

Systematisches Probieren bedeutet, Möglichkeiten geordnet nach einem klaren Plan durchzugehen – kein wildes Raten. Du leitest aus der Aufgabe zwei Bedingungen ab, wählst einen Startwert für die erste Unbekannte, berechnest daraus die zweite und prüfst, ob die zweite Bedingung erfüllt ist. Ist sie es nicht, erhöhst du den Startwert um eins und wiederholst den Vorgang. Diese Methode eignet sich besonders gut, wenn nur natürliche Zahlen als Lösungen in Frage kommen.

Wann ist ein Zahlenpaar keine Lösung eines LGS?

Ein Zahlenpaar ist keine Lösung des LGS, wenn es mindestens eine der Gleichungen zu einer falschen Aussage macht – zum Beispiel 9 = 8 . Es reicht also nicht, nur eine Gleichung zu erfüllen. Erst wenn alle Gleichungen stimmen, spricht man von einer Lösung. Du kannst die Prüfung abbrechen, sobald eine Gleichung nicht aufgeht.

Warum braucht eine LGS-Lösung alle Gleichungen zu erfüllen?

Ein LGS stellt mehrere Bedingungen gleichzeitig, die alle wahr sein müssen. Würde ein Zahlenpaar nur eine Gleichung erfüllen, wäre es lediglich eine Lösung dieser einen Gleichung – nicht des gesamten Systems. Das Bild des Schlüssels hilft: Er muss in alle Schlösser passen, sonst öffnet sich die Tür nicht. Genau deshalb prüft man jede Gleichung einzeln und akzeptiert das Paar nur, wenn alle Überprüfungen eine wahre Aussage ergeben.

Lineares Gleichungssystem (LGS) erklärt

Q: Was ist ein lineares Gleichungssystem (LGS)?

Ein lineares Gleichungssystem (LGS) besteht aus mindestens zwei Gleichungen, die gleichzeitig gelten müssen. Gesucht ist ein Zahlenpaar – zum Beispiel für x und y – das jede einzelne Gleichung des Systems wahr macht. Man kann sich ein LGS wie zwei Hinweise in einem Detektivfall vorstellen: Nur ein Verdächtiger, der zu beiden Hinweisen passt, ist die richtige Lösung.

Ein lineares Gleichungssystem (LGS) ist wie ein Detektivfall: Du hast zwei Hinweise – die Gleichungen – und suchst ein Zahlenpaar für $x$ und $y$ , das zu beiden Hinweisen gleichzeitig passt. LGS einfach erklärt bedeutet: Du lernst nicht nur, Matheaufgaben zu lösen, sondern trainierst auch dein logisches Denken für Situationen, in denen mehrere Bedingungen auf einmal gelten müssen. In diesem Artikel zeigen wir dir, wie du eine Lösung überprüfst und wie du sie durch systematisches Probieren selbst findest – jeweils mit einer klaren Schritt-für-Schritt-Anleitung und durchgerechneten Beispielen.

Schnellantwort

Ein lineares Gleichungssystem (LGS) besteht aus mindestens zwei Gleichungen, die gleichzeitig gelten müssen. Eine Lösung des LGS ist ein Zahlenpaar (z. B. für $x$ und $y$ ), das jede einzelne Gleichung des Systems zu einer wahren Aussage macht. Stell es dir wie einen Schlüssel vor, der in zwei verschiedene Schlösser passen muss – passt er nur in eines, ist die Tür nicht offen.

Vorwissen

Bevor wir starten, wiederholen wir kurz ein paar Grundlagen:

Gleichung lösen: Das bedeutet, den Wert für eine Unbekannte (Variable) zu finden, sodass die Gleichung stimmt.
- Beispiel: In der Gleichung $x + 5 = 8$ ist die Lösung $x = 3$ , denn $3 + 5 = 8$ ist eine wahre Aussage.
Variable: Ein Buchstabe (wie $x$ oder $y$ ), der als Platzhalter für eine unbekannte Zahl dient.
Natürliche Zahlen ( $\mathbb{N}$ ): Das sind alle positiven, ganzen Zahlen, die wir zum Zählen verwenden.
- Beispiel: $1, 2, 3, 17, 100$ sind natürliche Zahlen. Aber $-5$ , $0{,}5$ oder $\frac{1}{2}$ sind es nicht.

Aufgabentyp 1: Eine Lösung überprüfen

Beim LGS Lösung überprüfen geht es darum festzustellen, ob ein gegebenes Zahlenpaar tatsächlich alle Gleichungen des Systems erfüllt.

Ein lineares Gleichungssystem (LGS) besteht aus mindestens zwei Gleichungen, die gleichzeitig gelten müssen. Eine Lösung des LGS ist ein Zahlenpaar (z. B. für $x$ und $y$ ), das jede einzelne Gleichung des Systems wahr macht.

Stell es dir wie einen Schlüssel vor, der in zwei verschiedene Schlösser passen muss. Wenn er nur in ein Schloss passt, aber nicht ins andere, hast du die Tür nicht geöffnet. Genauso muss ein Zahlenpaar beide Gleichungen erfüllen, um eine Lösung zu sein.

Um zu prüfen, ob ein Zahlenpaar eine Lösung ist, setzen wir die Werte für $x$ und $y$ in beide Gleichungen ein und schauen, ob am Ende eine wahre Aussage (wie z. B. $5 = 5$ ) herauskommt.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Werte identifizieren: Lies das Zahlenpaar $(x \mid y)$ ab und notiere, welcher Wert zu $x$ und welcher zu $y$ gehört.
In Gleichung (I) einsetzen: Ersetze jeden Buchstaben $x$ und $y$ durch die jeweiligen Werte.
Gleichung (I) prüfen: Rechne beide Seiten aus. Entsteht eine wahre Aussage (z. B. $10 = 10$ ), ist die erste Bedingung erfüllt. Entsteht eine falsche Aussage (z. B. $5 = 10$ ), ist das Paar keine Lösung.
In Gleichung (II) einsetzen: Wenn die erste Gleichung gestimmt hat, wiederhole Schritte 2 und 3 für die zweite Gleichung.
Fazit ziehen: Nur wenn das Zahlenpaar beide Gleichungen zu einer wahren Aussage macht, ist es eine Lösung des gesamten LGS.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Prüfe, ob das Zahlenpaar $(2 \mid 3)$ eine Lösung des linearen Gleichungssystems ist:

$\text{(I)}: \ y + x = 5$

$\text{(II)}: \ 2y - x = 4$

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Werte identifizieren
Aus dem Zahlenpaar $(2 \mid 3)$ lesen wir ab:

$x = 2$

$y = 3$
Schritt 2 & 3
In Gleichung (I) einsetzen und prüfen
Wir setzen die Werte in die erste Gleichung ein:

$\text{(I)}: \ y + x = 5$

$3 + 2 = 5$

$5 = 5$

Diese Aussage ist wahr. Die erste Bedingung ist erfüllt.
Schritt 4 · Ergebnis
In Gleichung (II) einsetzen und prüfen
Da die erste Prüfung erfolgreich war, machen wir mit der zweiten Gleichung weiter:

$\text{(II)}: \ 2y - x = 4$

$2 \cdot 3 - 2 = 4$

$6 - 2 = 4$

$4 = 4$

Diese Aussage ist ebenfalls wahr.

Ergebnis:

Da das Zahlenpaar beide Gleichungen erfüllt, ist $(2 \mid 3)$ eine Lösung des LGS.

Beispiel 2

Aufgabe

Prüfe, ob das Zahlenpaar $(4 \mid 1)$ eine Lösung des linearen Gleichungssystems ist:

$\text{(I)}: \ y = x - 3$

$\text{(II)}: \ y + 2x = 8$

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Werte identifizieren
$x = 4$

$y = 1$
Schritt 2 & 3
In Gleichung (I) einsetzen und prüfen
$\text{(I)}: \ y = x - 3$

$1 = 4 - 3$

$1 = 1$

Diese Aussage ist wahr.
Schritt 4 · Ergebnis
In Gleichung (II) einsetzen und prüfen
$\text{(II)}: \ y + 2x = 8$

$1 + 2 \cdot 4 = 8$

$1 + 8 = 8$

$9 = 8$

Diese Aussage ist falsch.

Ergebnis:

Da das Zahlenpaar die zweite Gleichung nicht erfüllt, ist $(4 \mid 1)$ keine Lösung des LGS.

Beispiel 3

Aufgabe

Prüfe, ob das Zahlenpaar $(-1 \mid 5)$ eine Lösung des linearen Gleichungssystems ist:

$\text{(I)}: \ 3x + y = 2$

$\text{(II)}: \ y - x = 4$

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Werte identifizieren
$x = -1$

$y = 5$
Schritt 2 & 3
In Gleichung (I) einsetzen und prüfen
$\text{(I)}: \ 3x + y = 2$

$3 \cdot (-1) + 5 = 2$

$-3 + 5 = 2$

$2 = 2$

Diese Aussage ist wahr.
Schritt 4 · Ergebnis
In Gleichung (II) einsetzen und prüfen
$\text{(II)}: \ y - x = 4$

$5 - (-1) = 4$

$5 + 1 = 4$

$6 = 4$

Diese Aussage ist falsch.

Ergebnis:

Da die zweite Gleichung nicht erfüllt ist, ist $(-1 \mid 5)$ keine Lösung des LGS.

Beispiel 4

Aufgabe

Prüfe, ob das Zahlenpaar $(0 \mid 4)$ eine Lösung des linearen Gleichungssystems ist:

$\text{(I)}: \ y = -2x + 4$

$\text{(II)}: \ 3y + 6x = 12$

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Werte identifizieren
$x = 0$

$y = 4$
Schritt 2 & 3
In Gleichung (I) einsetzen und prüfen
$\text{(I)}: \ y = -2x + 4$

$4 = -2 \cdot 0 + 4$

$4 = 0 + 4$

$4 = 4$

Diese Aussage ist wahr.
Schritt 4 · Ergebnis
In Gleichung (II) einsetzen und prüfen
$\text{(II)}: \ 3y + 6x = 12$

$3 \cdot 4 + 6 \cdot 0 = 12$

$12 + 0 = 12$

$12 = 12$

Diese Aussage ist ebenfalls wahr.

Ergebnis:

Da das Zahlenpaar beide Gleichungen erfüllt, ist $(0 \mid 4)$ eine Lösung des LGS.

Beispiel 5

Aufgabe

Prüfe, ob das Zahlenpaar $(10 \mid -2)$ eine Lösung des linearen Gleichungssystems ist:

$\text{(I)}: \ x + y = 8$

$\text{(II)}: \ x - y = 12$

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Werte identifizieren
$x = 10$

$y = -2$
Schritt 2 & 3
In Gleichung (I) einsetzen und prüfen
$\text{(I)}: \ x + y = 8$

$10 + (-2) = 8$

$10 - 2 = 8$

$8 = 8$

Diese Aussage ist wahr.
Schritt 4 · Ergebnis
In Gleichung (II) einsetzen und prüfen
$\text{(II)}: \ x - y = 12$

$10 - (-2) = 12$

$10 + 2 = 12$

$12 = 12$

Diese Aussage ist ebenfalls wahr.

Ergebnis:

Da das Zahlenpaar beide Gleichungen erfüllt, ist $(10 \mid -2)$ eine Lösung des LGS.

Aufgabentyp 2: Lösung durch systematisches Probieren finden

Beim LGS systematisch lösen musst du die Lösung nicht überprüfen, sondern selbst herausfinden – und das geordnet Schritt für Schritt.

Manchmal bekommst du die Lösung nicht direkt vorgegeben, sondern musst sie selbst finden. Eine einfache Methode dafür ist das systematische Probieren.

Das ist kein wildes Raten! „Systematisch" bedeutet, dass du die Möglichkeiten geordnet und nach einem klaren Plan durchgehst. Diese Methode funktioniert besonders gut, wenn es nur eine begrenzte Anzahl von sinnvollen Lösungen gibt, zum Beispiel wenn nach natürlichen Zahlen gefragt wird.

Du nimmst dir eine der Bedingungen (Gleichungen), setzt einen logischen Startwert ein, berechnest den zweiten Wert und überprüfst dann mit diesem Paar, ob auch die zweite Bedingung erfüllt ist. Wenn nicht, nimmst du den nächsten logischen Wert und wiederholst den Prozess.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Bedingungen aus dem Text ableiten: Lies die Aufgabe genau durch und übersetze die Informationen in zwei mathematische Regeln oder Gleichungen. Nenne die unbekannten Zahlen z. B. $a$ und $b$ .
Zahlenbereich beachten: Prüfe, ob es Einschränkungen gibt. Wenn z. B. nur natürliche Zahlen gesucht sind, musst du keine negativen Zahlen oder Kommazahlen testen.
Systematische Tabelle anlegen: Erstelle eine Tabelle mit Spalten für deine erste Zahl (z. B. $a$ ), die daraus berechnete zweite Zahl (z. B. $b$ ) und die Überprüfung der zweiten Bedingung.
Werte testen: Wähle einen Startwert für $a$ . Berechne mit der ersten Bedingung den passenden Wert für $b$ .
Zweite Bedingung prüfen: Setze das Zahlenpaar $(a \mid b)$ in die zweite Bedingung ein und prüfe, ob sie erfüllt ist.
Lösung finden oder weitermachen: Wenn die zweite Bedingung stimmt, hast du die Lösung gefunden! Wenn nicht, erhöhe $a$ um eins und wiederhole die Schritte 4 und 5, bis du die Lösung findest.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Ich denke mir zwei natürliche Zahlen. Die Summe der beiden Zahlen ist 15, ihr Produkt ist 50. Welche Zahlen sind das?

Fortschritt

3 / 3

1
Schritt 1
Bedingungen ableiten
Wir nennen die beiden Zahlen $a$ und $b$ .
- Bedingung 1 (Summe): $a + b = 15$
- Bedingung 2 (Produkt): $a \cdot b = 50$
Schritt 2
Zahlenbereich beachten
Gesucht sind natürliche Zahlen, also $1, 2, 3, ...$
Schritt 3 & 4 · Ergebnis
Systematisch probieren
Wir wählen Werte für $a$ , berechnen $b$ aus der ersten Bedingung und prüfen die zweite.

$\begin{array}{l|l|l|l} \text{Versuch für } a & \text{Berechne } b \text{ mit } a+b=15 & \text{Prüfe Produkt } a \cdot b = 50 & \text{Ergebnis} \\ \hline 1 & b = 15 - 1 = 14 & 1 \cdot 14 = 14 & \text{Falsch (14 } \neq \text{ 50)} \\ 2 & b = 15 - 2 = 13 & 2 \cdot 13 = 26 & \text{Falsch (26 } \neq \text{ 50)} \\ ... & ... & ... & ... \\ 5 & b = 15 - 5 = 10 & 5 \cdot 10 = 50 & \textbf{Richtig!} \\ \end{array}$

Ergebnis:

Die gesuchten Zahlen sind 5 und 10.

Beispiel 2

Aufgabe

Ein Rechteck hat einen Umfang von 20 cm. Die Länge ist um 4 cm größer als die Breite. Finde die Länge und Breite des Rechtecks durch systematisches Probieren.

Fortschritt

3 / 3

1
Schritt 1
Bedingungen ableiten
Wir nennen die Breite $b$ und die Länge $l$ .
- Bedingung 1 (Umfang): $2b + 2l = 20$
- Bedingung 2 (Verhältnis): $l = b + 4$
Schritt 2
Zahlenbereich beachten
Längen müssen positive Zahlen sein.
Schritt 3 & 4 · Ergebnis
Systematisch probieren
Wir wählen Werte für die Breite $b$ , berechnen die Länge $l$ mit der zweiten Bedingung und prüfen dann die erste Bedingung (Umfang).

$\begin{array}{l|l|l|l} \text{Versuch für } b & \text{Berechne } l \text{ mit } l=b+4 & \text{Prüfe Umfang } 2b+2l=20 & \text{Ergebnis} \\ \hline 1 & l = 1 + 4 = 5 & 2(1)+2(5) = 12 & \text{Falsch } (12 \neq 20) \\ 2 & l = 2 + 4 = 6 & 2(2)+2(6) = 16 & \text{Falsch } (16 \neq 20) \\ 3 & l = 3 + 4 = 7 & 2(3)+2(7) = 20 & \textbf{Richtig!} \\ \end{array}$

Ergebnis:

Die Breite ist 3 cm und die Länge ist 7 cm.

Beispiel 3

Aufgabe

In einem Korb sind Äpfel und Birnen. Zusammen sind es 12 Früchte. Es gibt doppelt so viele Äpfel wie Birnen. Wie viele Äpfel und Birnen sind es?

Fortschritt

3 / 3

1
Schritt 1
Bedingungen ableiten
Wir nennen die Anzahl der Äpfel $a$ und die der Birnen $b$ .
- Bedingung 1 (Gesamt): $a + b = 12$
- Bedingung 2 (Verhältnis): $a = 2 \cdot b$
Schritt 2
Zahlenbereich beachten
Die Anzahl der Früchte muss eine natürliche Zahl sein.
Schritt 3 & 4 · Ergebnis
Systematisch probieren
Wir wählen Werte für die Anzahl der Birnen $b$ , berechnen die Anzahl der Äpfel $a$ mit der zweiten Bedingung und prüfen dann die erste Bedingung.

$\begin{array}{l|l|l|l} \text{Versuch für } b & \text{Berechne } a \text{ mit } a=2b & \text{Prüfe Summe } a+b=12 & \text{Ergebnis} \\ \hline 1 & a = 2 \cdot 1 = 2 & 2+1 = 3 & \text{Falsch } (3 \neq 12) \\ 2 & a = 2 \cdot 2 = 4 & 4+2 = 6 & \text{Falsch } (6 \neq 12) \\ 3 & a = 2 \cdot 3 = 6 & 6+3 = 9 & \text{Falsch } (9 \neq 12) \\ 4 & a = 2 \cdot 4 = 8 & 8+4 = 12 & \textbf{Richtig!} \\ \end{array}$

Ergebnis:

Es sind 8 Äpfel und 4 Birnen.

Beispiel 4

Aufgabe

Die Differenz zweier natürlicher Zahlen ist 3. Addiert man zum Dreifachen der kleineren Zahl die größere Zahl, erhält man 23. Finde die beiden Zahlen.

Fortschritt

3 / 3

1
Schritt 1
Bedingungen ableiten
Wir nennen die größere Zahl $g$ und die kleinere Zahl $k$ .
- Bedingung 1 (Differenz): $g - k = 3$
- Bedingung 2 (Summe): $3k + g = 23$
Schritt 2
Zahlenbereich beachten
Gesucht sind natürliche Zahlen.
Schritt 3 & 4 · Ergebnis
Systematisch probieren
Wir wählen Werte für $k$ , berechnen $g$ aus der ersten Bedingung ( $g = k + 3$ ) und prüfen die zweite.

$\begin{array}{l|l|l|l} \text{Versuch für } k & \text{Berechne } g \text{ mit } g=k+3 & \text{Prüfe } 3k+g=23 & \text{Ergebnis} \\ \hline 1 & g = 1 + 3 = 4 & 3(1)+4 = 7 & \text{Falsch (} 7 \neq 23 \text{)} \\ 2 & g = 2 + 3 = 5 & 3(2)+5 = 11 & \text{Falsch (} 11 \neq 23 \text{)} \\ 3 & g = 3 + 3 = 6 & 3(3)+6 = 15 & \text{Falsch (} 15 \neq 23 \text{)} \\ 4 & g = 4 + 3 = 7 & 3(4)+7 = 19 & \text{Falsch (} 19 \neq 23 \text{)} \\ 5 & g = 5 + 3 = 8 & 3(5)+8 = 23 & \textbf{Richtig!} \\ \end{array}$

Ergebnis:

Die beiden Zahlen sind 5 und 8.

Beispiel 5

Aufgabe

Auf einem Bauernhof gibt es Hühner und Kaninchen. Zusammen haben die Tiere 10 Köpfe und 28 Beine. Wie viele Hühner und Kaninchen gibt es? (Hinweis: Hühner haben 2 Beine, Kaninchen 4)

Fortschritt

3 / 3

1
Schritt 1
Bedingungen ableiten
Wir nennen die Anzahl der Hühner $h$ und die der Kaninchen $k$ .
- Bedingung 1 (Köpfe): $h + k = 10$
- Bedingung 2 (Beine): $2h + 4k = 28$
Schritt 2
Zahlenbereich beachten
Die Anzahl der Tiere muss eine natürliche Zahl sein.
Schritt 3 & 4 · Ergebnis
Systematisch probieren
Wir wählen Werte für $h$ , berechnen $k$ aus der ersten Bedingung und prüfen die zweite.

$\begin{array}{l|l|l|l} \text{Versuch für } h & \text{Berechne } k \text{ mit } h+k=10 & \text{Prüfe Beine } 2h+4k=28 & \text{Ergebnis} \\ \hline 1 & k = 10 - 1 = 9 & 2(1)+4(9) = 38 & \text{Falsch (} 38 \neq 28 \text{)} \\ 2 & k = 10 - 2 = 8 & 2(2)+4(8) = 36 & \text{Falsch (} 36 \neq 28 \text{)} \\ ... & ... & ... & ... \\ 6 & k = 10 - 6 = 4 & 2(6)+4(4) = 12+16=28 & \textbf{Richtig!} \\ \end{array}$

Ergebnis:

Es gibt 6 Hühner und 4 Kaninchen auf dem Bauernhof.

Wichtige Erkenntnisse

Eine Lösung eines linearen Gleichungssystems (LGS) muss immer alle Gleichungen des Systems erfüllen.
Um eine Lösung zu überprüfen, setzt du die gegebenen Werte für $x$ und $y$ in jede Gleichung ein und rechnest es aus.
Wenn auch nur eine Gleichung zu einer falschen Aussage führt (z. B. $3 = 5$ ), ist das Zahlenpaar keine Lösung.
Systematisches Probieren ist eine gute Methode, um eine Lösung zu finden, wenn es nur wenige Möglichkeiten gibt (z. B. bei natürlichen Zahlen).

Lineares Gleichungssystem einfach erklärt: LGS lösen

Schnellantwort

Vorwissen

Aufgabentyp 1: Eine Lösung überprüfen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 2: Lösung durch systematisches Probieren finden

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Wichtige Erkenntnisse

Häufige Fragen

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