Lineare Gleichungssysteme (LGS) einfach erklärt: Einführung

Stell dir vor, du spielst ein Zahlenrätsel mit deinen Freunden. Jemand sagt: „Ich denke an zwei Zahlen. Zusammen ergeben sie 10, und ihr Unterschied ist 2.“ Wahrscheinlich kannst du die beiden Zahlen im Kopf erraten! (Es sind 6 und 4).

In der Mathematik nennen wir solche Rätsel mit zwei unbekannten Zahlen ein Lineares Gleichungssystem (LGS). In diesem Kapitel lernst du als Einführung, wie man systematisch überprüft, ob eine geratene Lösung wirklich stimmt, und wie man durch kluges Probieren auch schwierigere Zahlenrätsel knackt, ohne komplizierte Formeln zu kennen.

Vorwissen

• Werte in Terme einsetzen: Man ersetzt eine Variable (wie $x$) durch eine konkrete Zahl und rechnet das Ergebnis aus.

  Beispiel: Setze $x = 3$ in den Term $2x + 1$ ein: $2 \cdot 3 + 1 = 6 + 1 = 7$.

• Summe und Differenz: Die Summe ist das Ergebnis einer Plusaufgabe, die Differenz das Ergebnis einer Minusaufgabe.

  Beispiel: Die Summe von $5$ und $3$ ist $8$ ($5 + 3 = 8$). Die Differenz ist $2$ ($5 - 3 = 2$).

• Natürliche Zahlen: Das sind alle positiven, ganzen Zahlen ab der 1 (also $1, 2, 3, 4, \dots$).

Aufgabentyp 1: Eine Lösung überprüfen

Ein Lineares Gleichungssystem (kurz: LGS) besteht aus zwei Gleichungen, die gleichzeitig gelten müssen. Meistens haben wir zwei Variablen, zum Beispiel x und y. Damit wir die Gleichungen nicht verwechseln, geben wir ihnen Namen mit römischen Zahlen: $(I)$ für die erste und $(II)$ für die zweite Gleichung.

Ein Zahlenpaar $(\textcolor{#08BFFF}{x} \mid \textcolor{#9570FF}{y})$ ist nur dann eine gültige Lösung für das gesamte LGS, wenn es beide Gleichungen erfüllt. Das bedeutet: Wenn wir die Zahlen für x und y in die Gleichungen einsetzen, muss auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens das Gleiche stehen (eine „wahre Aussage“, wie $7 = 7$). Stimmt das Ergebnis bei auch nur einer Gleichung nicht (eine „falsche Aussage“, wie $4 = 7$), ist das Zahlenpaar keine Lösung.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Schritt 1: Setze den Wert für $x$ und den Wert für $y$ in die Gleichung $(I)$ ein. Rechne beide Seiten aus.
2. Schritt 2: Prüfe das Ergebnis. Steht auf beiden Seiten dieselbe Zahl? (Ja $\to$ Die Gleichung $(I)$ ist erfüllt. Mache weiter mit Schritt 3. Nein $\to$ Du kannst sofort abbrechen. Das Zahlenpaar ist keine Lösung.)
3. Schritt 3: Setze dieselben Werte für $x$ und $y$ in die Gleichung $(II)$ ein und rechne wieder aus.
4. Schritt 4: Wenn auch die Gleichung $(II)$ eine wahre Aussage ergibt, ist das Zahlenpaar die Lösung des gesamten Gleichungssystems.

Durchgerechnete Beispiele

Aufgabentyp 2: Systematisches Probieren

Oft haben wir kein Zahlenpaar vorgegeben, das wir einfach überprüfen können. Wir müssen die Lösung selbst finden! Wenn wir aus einem Texträtsel zwei Bedingungen herauslesen, können wir die Lösung durch Systematisches Probieren herausfinden.

Anstatt wild irgendwelche Zahlen zu raten, gehen wir schlau vor: Wir nehmen uns zuerst nur die erste Bedingung vor und schreiben alle Zahlenpaare auf, die diese Bedingung erfüllen. Danach nehmen wir diese Liste und testen jedes Paar an der zweiten Bedingung. Sobald ein Paar auch die zweite Bedingung erfüllt, haben wir unsere Lösung gefunden!

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Schritt 1: Finde Zahlenpaare, die die erste Regel aus dem Text erfüllen. Beginne systematisch bei der kleinstmöglichen Zahl (z.B. $1$) und arbeite dich Schritt für Schritt nach oben.
2. Schritt 2: Setze diese Zahlenpaare nacheinander in die zweite Regel ein.
3. Schritt 3: Sobald du ein Zahlenpaar findest, bei dem auch die zweite Regel eine wahre Aussage ergibt, hast du die Lösung gefunden.

Durchgerechnete Beispiele

Wichtige Erkenntnisse

• Ein Lineares Gleichungssystem (LGS) besteht aus zwei Gleichungen, die gleichzeitig wahr sein müssen.
• Ein Zahlenpaar $(x \mid y)$ ist nur dann eine Lösung, wenn es beim Einsetzen in beide Gleichungen eine wahre Aussage (z.B. $5 = 5$) ergibt.
• Beim Systematischen Probieren suchst du zuerst Zahlenpaare, die die erste Bedingung erfüllen, und testest diese dann der Reihe nach an der zweiten Bedingung.