Was ist das grafische Lösen eines LGS?

Das grafische Lösen eines LGS bedeutet, beide Gleichungen als Geraden in ein Koordinatensystem zu zeichnen. Die Lösung des Gleichungssystems ist der Schnittpunkt der beiden Geraden – also der Punkt, dessen Koordinaten beide Gleichungen gleichzeitig erfüllen. Diese Methode ist besonders anschaulich, weil du die Lösung direkt siehst, anstatt sie rein rechnerisch zu ermitteln.

Wie findest du den Schnittpunkt zweier Geraden grafisch?

Forme zuerst beide Gleichungen in die Form y = mx + b um. Berechne dann für jede Gerade zwei Punkte, indem du einfache x -Werte (z. B. 0 und 2) einsetzt. Zeichne beide Geraden mit einem Lineal in ein Koordinatensystem und lies die Koordinaten des Schnittpunkts ab – das ist die Lösung des LGS. Achtung: Bei ungenauen Lösungen kann das grafische Ablesen ungenau sein.

Wann hat ein LGS keine Lösung?

Ein LGS hat keine Lösung , wenn die beiden Geraden parallel zueinander sind. Das erkennst du daran, dass nach dem Umformen in die Form y = mx + b gilt: Die Steigungen sind gleich ( m₁ = m₂ ), aber die y-Achsenabschnitte sind unterschiedlich ( b₁ ≠ b₂ ). Parallele Geraden schneiden sich nie – wie zwei Bahngleise, die nebeneinander verlaufen.

Wann hat ein LGS unendlich viele Lösungen?

Ein LGS hat unendlich viele Lösungen , wenn beide Gleichungen dieselbe Gerade beschreiben. Nach dem Umformen in y = mx + b sind sowohl die Steigungen ( m₁ = m₂ ) als auch die y-Achsenabschnitte ( b₁ = b₂ ) identisch. Im Koordinatensystem ist dann nur eine einzige Linie sichtbar, weil beide Geraden exakt aufeinander liegen.

Was ist der Unterschied zwischen parallelen und identischen Geraden im LGS?

Parallele Geraden haben dieselbe Steigung, aber unterschiedliche y-Achsenabschnitte – sie verlaufen nebeneinander und schneiden sich nie, das LGS hat keine Lösung . Identische Geraden haben sowohl die gleiche Steigung als auch den gleichen y-Achsenabschnitt – sie liegen vollständig aufeinander, das LGS hat unendlich viele Lösungen .

LGS grafisch lösen: Schnittpunkt & Lösungsanzahl

Ein lineares Gleichungssystem (LGS) grafisch lösen ist einer der anschaulichsten Wege, um die Lösung direkt zu sehen – ohne langes Umrechnen. Stell dir vor, du vergleichst zwei Handyverträge: Vertrag A hat eine niedrige Grundgebühr, aber höhere Kosten pro Gigabyte. Vertrag B ist genau umgekehrt. Ab wie vielen Gigabyte wird Vertrag B günstiger als Vertrag A? Das ist ein typisches Problem, das man mit einem LGS löst. Anstatt nur mit Zahlen zu jonglieren, kannst du das Problem auch zeichnen – du zeichnest beide Verträge als Linien und siehst sofort den Punkt, an dem sie sich kreuzen. Das grafische Lösen ist wie eine Landkarte für deine Mathe-Aufgabe: die Lösung direkt vor Augen, anstatt sie mühsam auszurechnen.

Vorwissen

Bevor wir starten, wiederholen wir kurz die Grundlagen:

Lineare Gleichung (Geradengleichung): Eine Gleichung, deren Graph eine gerade Linie ist. Die häufigste Form ist $y = mx + b$ . Beispiel: Die Gleichung $y = 2x + 1$ beschreibt eine Gerade. Die Zahl vor dem $x$ (hier 2) ist die Steigung und die Zahl ohne $x$ (hier 1) ist der Punkt, an dem die Gerade die y-Achse schneidet.
Gleichungen umformen: Du kannst eine Gleichung verändern, solange du auf beiden Seiten dieselbe Rechenoperation durchführst. Das Ziel ist meist, die Gleichung nach einer Variablen (oft $y$ ) aufzulösen. Beispiel: Um $3x + y = 5$ nach $y$ aufzulösen, rechnest du auf beiden Seiten $-3x$ . Das Ergebnis ist $y = -3x + 5$ .
Punkte im Koordinatensystem: Ein Punkt hat immer eine x- und eine y-Koordinate, geschrieben als $(x|y)$ . Beispiel: Der Punkt $P(3|4)$ befindet sich 3 Einheiten rechts auf der x-Achse und 4 Einheiten oben auf der y-Achse.

Koordinatensystem mit eingezeichnetem Punkt P

Aufgabentyp 1: Ein LGS grafisch lösen und den Schnittpunkt finden

Ein lineares Gleichungssystem (LGS) mit zwei Gleichungen und zwei Variablen (wie $x$ und $y$ ) kann man sich als zwei Geraden in einem Koordinatensystem vorstellen. Die Lösung des Systems ist der Punkt, an dem sich diese beiden Geraden schneiden. Dieser Schnittpunkt $(x|y)$ erfüllt beide Gleichungen gleichzeitig.

Um die Lösung grafisch zu finden, zeichnen wir einfach beide Geraden und lesen die Koordinaten des Schnittpunkts ab. Das funktioniert aber nur, wenn die Geraden sich auch wirklich schneiden.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Gleichungen in die Geradenform umformen: Löse beide Gleichungen des LGS nach $y$ auf, sodass du Steigung $m$ und y-Achsenabschnitt $b$ direkt ablesen kannst.
Zwei Punkte für jede Gerade berechnen: Erstelle für jede Gleichung eine kleine Wertetabelle. Setze einfache Zahlen für $x$ ein (z. B. 0 und 2) und berechne die dazugehörigen $y$ -Werte.
Geraden in ein Koordinatensystem zeichnen: Trage die berechneten Punkte ein und verbinde sie mit einem Lineal. Wiederhole das für die zweite Gerade.
Schnittpunkt ablesen: Finde den Kreuzungspunkt der beiden Geraden und lies seine x- und y-Koordinate ab. Das ist die Lösung des LGS.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Löse das folgende lineare Gleichungssystem grafisch:

$\text{(I): } y - 2x = 1$

$\text{(II): } y + x = 4$

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Gleichungen umformen
Die erste Gleichung nach $y$ auflösen:

$\text{(I): } y - 2x = 1 \quad | +2x$

$y = 2x + 1$

Die zweite Gleichung nach $y$ auflösen:

$\text{(II): } y + x = 4 \quad | -x$

$y = -x + 4$
2
Schritt 2
Zwei Punkte für jede Gerade berechnen
Für die erste Gerade $y = 2x + 1$ :
- Wenn $x=0$ , dann $y = 2 \cdot 0 + 1 = 1 \quad \to P_1(0|1)$
- Wenn $x=1$ , dann $y = 2 \cdot 1 + 1 = 3 \quad \to P_2(1|3)$
Für die zweite Gerade $y = -x + 4$ :
- Wenn $x=0$ , dann $y = -0 + 4 = 4 \quad \to Q_1(0|4)$
- Wenn $x=2$ , dann $y = -2 + 4 = 2 \quad \to Q_2(2|2)$
Schritt 3 & 4 · Ergebnis
Geraden zeichnen und Schnittpunkt ablesen
Wir zeichnen beide Geraden in ein Koordinatensystem und lesen den Schnittpunkt ab.

Zwei Geraden mit Schnittpunkt bei (1|3)

Der Schnittpunkt hat die Koordinaten $(1|3)$ .

Ergebnis:

Die Lösung des Gleichungssystems ist $(1|3)$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Löse das folgende lineare Gleichungssystem grafisch:

$\text{(I): } 2x + y = 5$

$\text{(II): } 3x - y = 0$

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Gleichungen umformen
$\text{(I): } 2x + y = 5 \quad | -2x$

$y = -2x + 5$

$\text{(II): } 3x - y = 0 \quad | +y$

$y = 3x$
2
Schritt 2
Zwei Punkte für jede Gerade berechnen
Für die erste Gerade $y = -2x + 5$ :
- Wenn $x=0$ , dann $y = -2 \cdot 0 + 5 = 5 \quad \to P_1(0|5)$
- Wenn $x=2$ , dann $y = -2 \cdot 2 + 5 = 1 \quad \to P_2(2|1)$
Für die zweite Gerade $y = 3x$ :
- Wenn $x=0$ , dann $y = 3 \cdot 0 = 0 \quad \to Q_1(0|0)$
- Wenn $x=1$ , dann $y = 3 \cdot 1 = 3 \quad \to Q_2(1|3)$
Schritt 3 & 4 · Ergebnis
Geraden zeichnen und Schnittpunkt ablesen
Zwei Geraden mit Schnittpunkt bei (1|3)

Der Schnittpunkt hat die Koordinaten $(1|3)$ .

Ergebnis:

Die Lösung des Gleichungssystems ist $(1|3)$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Löse das folgende lineare Gleichungssystem grafisch:

$\text{(I): } y = 4$

$\text{(II): } x + y = 6$

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Gleichungen umformen
Die erste Gleichung ist bereits in der richtigen Form. Es ist eine waagerechte Gerade.

$y = 4$

Die zweite Gleichung nach $y$ auflösen:

$\text{(II): } x + y = 6 \quad | -x$

$y = -x + 6$
2
Schritt 2
Zwei Punkte für jede Gerade berechnen
Für die erste Gerade $y = 4$ :
- Diese Gerade verläuft immer auf der Höhe $y=4$ . Wir können zwei beliebige Punkte wählen, z. B. $P_1(0|4)$ und $P_2(2|4)$ .
Für die zweite Gerade $y = -x + 6$ :
- Wenn $x=0$ , dann $y = -0 + 6 = 6 \quad \to Q_1(0|6)$
- Wenn $x=3$ , dann $y = -3 + 6 = 3 \quad \to Q_2(3|3)$
Schritt 3 & 4 · Ergebnis
Geraden zeichnen und Schnittpunkt ablesen
Waagerechte Gerade und fallende Gerade mit Schnittpunkt bei (2|4)

Der Schnittpunkt hat die Koordinaten $(2|4)$ .

Ergebnis:

Die Lösung des Gleichungssystems ist $(2|4)$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Löse das folgende lineare Gleichungssystem grafisch:

$\text{(I): } 4x + 2y = 8$

$\text{(II): } y - 3 = -2x$

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Gleichungen umformen
$\text{(I): } 4x + 2y = 8 \quad | -4x$

$2y = -4x + 8 \quad | \div 2$

$y = -2x + 4$

$\text{(II): } y - 3 = -2x \quad | +3$

$y = -2x + 3$
2
Schritt 2
Zwei Punkte für jede Gerade berechnen
Für die erste Gerade $y = -2x + 4$ :
- Wenn $x=0$ , dann $y = -2 \cdot 0 + 4 = 4 \quad \to P_1(0|4)$
- Wenn $x=2$ , dann $y = -2 \cdot 2 + 4 = 0 \quad \to P_2(2|0)$
Für die zweite Gerade $y = -2x + 3$ :
- Wenn $x=0$ , dann $y = -2 \cdot 0 + 3 = 3 \quad \to Q_1(0|3)$
- Wenn $x=1$ , dann $y = -2 \cdot 1 + 3 = 1 \quad \to Q_2(1|1)$
Schritt 3 & 4 · Ergebnis
Geraden zeichnen und Schnittpunkt ablesen
Zwei parallele Geraden ohne Schnittpunkt

Die Geraden sind parallel und schneiden sich nicht. Das bedeutet, es gibt keine Lösung. (Dies wird im nächsten Aufgabentyp genauer behandelt.)

Ergebnis:

Das Gleichungssystem hat keine Lösung.

Beispiel 5

Aufgabe

Löse das folgende lineare Gleichungssystem grafisch:

$\text{(I): } y = 0.5x - 1$

$\text{(II): } 2y = 4x - 10$

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Gleichungen umformen
Die erste Gleichung ist bereits in der richtigen Form.

$y = 0.5x - 1$

Die zweite Gleichung nach $y$ auflösen:

$\text{(II): } 2y = 4x - 10 \quad | \div 2$

$y = 2x - 5$
2
Schritt 2
Zwei Punkte für jede Gerade berechnen
Für die erste Gerade $y = 0.5x - 1$ :
- Wenn $x=0$ , dann $y = 0.5 \cdot 0 - 1 = -1 \quad \to P_1(0|-1)$
- Wenn $x=4$ , dann $y = 0.5 \cdot 4 - 1 = 1 \quad \to P_2(4|1)$
Für die zweite Gerade $y = 2x - 5$ :
- Wenn $x=2$ , dann $y = 2 \cdot 2 - 5 = -1 \quad \to Q_1(2|-1)$
- Wenn $x=3$ , dann $y = 2 \cdot 3 - 5 = 1 \quad \to Q_2(3|1)$
Schritt 3 & 4 · Ergebnis
Geraden zeichnen und Schnittpunkt ablesen
Zwei Geraden mit ungefährem Schnittpunkt bei (2,7|0,3)

Der Schnittpunkt ist hier schwer exakt abzulesen. Er liegt bei ungefähr $(2.7|0.3)$ . Das grafische Verfahren ist bei ungenauen Lösungen unpraktisch. Die exakte rechnerische Lösung wäre $(\frac{8}{3} | \frac{1}{3})$ .

Ergebnis:

Die ungefähre Lösung ist $(2.7|0.3)$ .

Aufgabentyp 2: Anzahl der Lösungen bestimmen – Ein Fall, kein Fall oder unendlich viele?

Manchmal musst du gar nicht die genaue Lösung finden, sondern nur sagen, wie viele Lösungen ein LGS hat. Beim grafischen Lösen gibt es drei Möglichkeiten, wie zwei Geraden zueinander liegen können:

Sie schneiden sich: Es gibt genau eine Lösung.
Sie sind parallel: Sie schneiden sich nie. Es gibt keine Lösung.
Sie sind identisch: Sie liegen aufeinander. Es gibt unendlich viele Lösungen.

Um das herauszufinden, schauen wir uns die Geradengleichungen $y = mx + b$ genau an.

Aufgabentyp 2.1: Genau eine Lösung

Zwei Geraden schneiden sich genau dann in einem Punkt, wenn sie unterschiedliche Steigungen haben.

Wenn du die beiden Gleichungen in die Form $y = m_1 x + b_1$ und $y = m_2 x + b_2$ umformst und siehst, dass $m_1 \neq m_2$ ist, dann weißt du sofort: Es gibt genau eine Lösung.

Der Wert von $b$ (der y-Achsenabschnitt) spielt hierbei keine Rolle.