Bruchvergleich für Fortgeschrittene einfach erklärt

Die unbekannte Zahl steht im Zähler. Wir vergleichen eine ganze Zahl mit einem Bruch.

Wir wandeln die ganze Zahl 3 in einen Bruch mit dem Nenner 5 um.

$3 = \frac{3}{1} = \frac{3 \cdot 5}{1 \cdot 5} = \frac{15}{5}$

Die Ungleichung lautet jetzt:

$\frac{15}{5} < \frac{\square}{5}$

Da die Nenner gleich sind, vergleichen wir die Zähler:

$15 < \square$

Die Zahl im Kästchen muss größer als 15 sein. Die gesuchten natürlichen Zahlen sind also $16, 17, 18, \dots$

Die unbekannte Zahl steht im Nenner. Wir vergleichen eine ganze Zahl mit einem Bruch.

Wir bringen die ganze Zahl 5 auf den gleichen Zähler wie der Bruch, also 30.

$5 = \frac{5}{1} = \frac{5 \cdot 6}{1 \cdot 6} = \frac{30}{6}$

Die Ungleichung lautet jetzt:

$\frac{30}{6} > \frac{30}{\square}$

Bei gleichem Zähler ist der Bruch größer, der den kleineren Nenner hat. Damit die linke Seite größer ist, muss der Nenner 6 kleiner sein als der Nenner auf der rechten Seite.

$6 < \square$

Die Zahl im Kästchen muss größer als 6 sein. Die gesuchten natürlichen Zahlen sind also $7, 8, 9, \dots$

Wir haben eine doppelte Ungleichung mit einer Unbekannten im Zähler.

Wir bringen alle drei Brüche auf einen gemeinsamen Nenner. Der Hauptnenner von 3, 12 und 4 ist 12.

• Linker Bruch: $\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{4}{12}$
• Rechter Bruch: $\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12}$

Die Ungleichung lautet jetzt:

$\frac{4}{12} < \frac{\square}{12} < \frac{9}{12}$

Wir vergleichen nur die Zähler:

$4 < \square < 9$

Die Zahl im Kästchen muss zwischen 4 und 9 liegen. Die gesuchten natürlichen Zahlen sind also $5, 6, 7, 8$.

Die Unbekannte steht im Zähler. Die Nenner sind verschieden.

Wir finden den Hauptnenner von 8 und 12. Das ist 24.

• Linker Bruch: $\frac{5}{8} = \frac{5 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{15}{24}$
• Rechter Bruch: $\frac{\square}{12} = \frac{\square \cdot 2}{12 \cdot 2} = \frac{2 \cdot \square}{24}$

Die Ungleichung lautet jetzt:

$\frac{15}{24} < \frac{2 \cdot \square}{24}$

Wir vergleichen die Zähler:

$15 < 2 \cdot \square$

Wir suchen natürliche Zahlen für das Kästchen, sodass ihr Doppeltes größer als 15 ist.

• Wenn $\square = 7$, ist $2 \cdot 7 = 14$. $15 < 14$ ist falsch.
• Wenn $\square = 8$, ist $2 \cdot 8 = 16$. $15 < 16$ ist richtig.

Die kleinste passende Zahl ist 8. Alle größeren Zahlen passen auch. Die gesuchten Zahlen sind $8, 9, 10, \dots$

Die Unbekannte steht im Nenner. Zähler und Nenner sind verschieden.

Wir können entweder die Nenner oder die Zähler gleich machen. Machen wir die Zähler gleich. Der Hauptzähler von 15 und 20 ist 60.

• Linker Bruch: $\frac{15}{\square} = \frac{15 \cdot 4}{\square \cdot 4} = \frac{60}{4 \cdot \square}$
• Rechter Bruch: $\frac{20}{12} = \frac{20 \cdot 3}{12 \cdot 3} = \frac{60}{36}$

Die Ungleichung lautet jetzt:

$\frac{60}{4 \cdot \square} > \frac{60}{36}$

Bei gleichem Zähler ist der Bruch größer, der den kleineren Nenner hat.

$4 \cdot \square < 36$

Wir teilen beide Seiten durch 4: $\square < 9$. Die natürlichen Zahlen, die kleiner als 9 sind, sind $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$.

• Anna: Teilmenge (Saft) = 200 ml. Gesamtmenge = 200 ml Saft + 300 ml Wasser = 500 ml.
• Ben: Teilmenge (Saft) = 300 ml. Gesamtmenge = 300 ml Saft + 500 ml Wasser = 800 ml.

Alle Angaben sind bereits in Milliliter (ml), also ist keine Umrechnung nötig.

• Anna: $\frac{200}{500}$
• Ben: $\frac{300}{800}$

• Anna: $\frac{200}{500} = \frac{2}{5}$
• Ben: $\frac{300}{800} = \frac{3}{8}$

Wir vergleichen $\frac{2}{5}$ und $\frac{3}{8}$. Der Hauptnenner von 5 und 8 ist 40.

• Anna: $\frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 8}{5 \cdot 8} = \frac{16}{40}$
• Ben: $\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 5}{8 \cdot 5} = \frac{15}{40}$

Da $16 > 15$ ist, gilt $\frac{16}{40} > \frac{15}{40}$.

Annas Schorle hat den höheren Saftanteil, da ihr Anteil von $\frac{16}{40}$ größer ist als Bens Anteil von $\frac{15}{40}$.

• T-Shirt: Teil (Reduzierung) = 5 €. Ganzes (Originalpreis) = 25 €.
• Hose: Teil (Reduzierung) = 8 €. Ganzes (Originalpreis) = 40 €.

Alle Angaben sind in Euro, keine Umrechnung nötig.

• T-Shirt: $\frac{5}{25}$
• Hose: $\frac{8}{40}$

• T-Shirt: $\frac{5}{25} = \frac{1}{5}$
• Hose: $\frac{8}{40} = \frac{1}{5}$

Beide Brüche sind nach dem Kürzen identisch: $\frac{1}{5} = \frac{1}{5}$.

Beide Artikel wurden anteilig gleich stark reduziert. Die Reduzierung beträgt in beiden Fällen $\frac{1}{5}$ des Originalpreises.

• Lena: Teil (Treffer) = 9. Ganzes (Versuche) = 15.
• Tom: Teil (Treffer) = 8. Ganzes (Versuche) = 12.

Es gibt keine Einheiten, die umgerechnet werden müssen.

• Lena: $\frac{9}{15}$
• Tom: $\frac{8}{12}$

• Lena: $\frac{9}{15} = \frac{9 : 3}{15 : 3} = \frac{3}{5}$
• Tom: $\frac{8}{12} = \frac{8 : 4}{12 : 4} = \frac{2}{3}$

Wir vergleichen $\frac{3}{5}$ und $\frac{2}{3}$. Der Hauptnenner von 5 und 3 ist 15.

• Lena: $\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{9}{15}$
• Tom: $\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{10}{15}$

Da $10 > 9$ ist, gilt $\frac{10}{15} > \frac{9}{15}$.

Tom hatte die bessere Trefferquote, da sein Anteil von $\frac{10}{15}$ größer ist als Lenas Anteil von $\frac{9}{15}$.

Wir wollen den Ertrag pro Hektar vergleichen. Der Bruch ist hier $\frac{\text{Ernte}}{\text{Fläche}}$.

• Feld 1: Ernte = 14 Tonnen. Fläche = 4 Hektar.
• Feld 2: Ernte = 20 Tonnen. Fläche = 6 Hektar.

Die Einheiten sind konsistent (Tonnen und Hektar).

• Feld 1: $\frac{14}{4}$
• Feld 2: $\frac{20}{6}$

• Feld 1: $\frac{14}{4} = \frac{7}{2}$
• Feld 2: $\frac{20}{6} = \frac{10}{3}$

Wir vergleichen $\frac{7}{2}$ und $\frac{10}{3}$. Der Hauptnenner von 2 und 3 ist 6.

• Feld 1: $\frac{7}{2} = \frac{7 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{21}{6}$
• Feld 2: $\frac{10}{3} = \frac{10 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{20}{6}$

Da $21 > 20$ ist, gilt $\frac{21}{6} > \frac{20}{6}$.

Das erste Feld war ertragreicher, da es einen Ertrag von $\frac{21}{6}$ Tonnen pro Hektar hatte, während das zweite Feld nur $\frac{20}{6}$ Tonnen pro Hektar erbrachte.

• Klasse 7a: Teil (bezahlt) = 18. Ganzes (Schüler) = 24.
• Klasse 7b: Teil (bezahlt) = 21. Ganzes (Schüler) = 28.

Keine Einheiten vorhanden.

• Klasse 7a: $\frac{18}{24}$
• Klasse 7b: $\frac{21}{28}$

• Klasse 7a: $\frac{18}{24} = \frac{18 : 6}{24 : 6} = \frac{3}{4}$
• Klasse 7b: $\frac{21}{28} = \frac{21 : 7}{28 : 7} = \frac{3}{4}$

Beide Brüche sind nach dem Kürzen identisch: $\frac{3}{4} = \frac{3}{4}$.

In beiden Klassen ist der Anteil der bezahlenden Schüler gleich groß. Er beträgt jeweils $\frac{3}{4}$.

• $\frac{99}{100}$: Der Zähler (99) ist kleiner als der Nenner (100). Das ist ein echter Bruch, also ist sein Wert kleiner als 1.
• $\frac{101}{100}$: Der Zähler (101) ist größer als der Nenner (100). Das ist ein unechter Bruch, also ist sein Wert größer als 1.

Da eine Zahl kleiner als 1 und die andere größer als 1 ist, steht die Reihenfolge sofort fest.

Beide Brüche sind echte Brüche, also kleiner als 1. Wir brauchen eine feinere Methode.

• Dem Bruch $\frac{16}{17}$ fehlt $\frac{1}{17}$ bis zur 1.
• Dem Bruch $\frac{12}{13}$ fehlt $\frac{1}{13}$ bis zur 1.

Jetzt vergleichen wir die fehlenden Stücke: $\frac{1}{17}$ und $\frac{1}{13}$. Bei gleichem Zähler (1) ist der Bruch mit dem größeren Nenner kleiner. Also ist $\frac{1}{17} < \frac{1}{13}$.

Dem Bruch $\frac{16}{17}$ fehlt also das kleinere Stück zur 1. Daher ist er näher an der 1 und somit der größere Bruch.

• $\frac{31}{32}$: Echter Bruch, also kleiner als 1.
• $4$: Eine ganze Zahl.
• $4\frac{1}{8}$: Eine gemischte Zahl, also größer als 4.

Die grobe Sortierung ergibt bereits die vollständige Reihenfolge.

Alle drei sind unechte Brüche, also größer als 1. Wir brauchen eine feinere Methode.

Wir wandeln die unechten Brüche in gemischte Zahlen um:

• $\frac{17}{5}$: $17 : 5 = 3$ Rest 2 $\to 3\frac{2}{5}$
• $\frac{23}{7}$: $23 : 7 = 3$ Rest 2 $\to 3\frac{2}{7}$
• $\frac{13}{4}$: $13 : 4 = 3$ Rest 1 $\to 3\frac{1}{4}$

Alle haben die gleiche ganze Zahl (3). Wir müssen also die Bruchteile $\frac{2}{5}$, $\frac{2}{7}$ und $\frac{1}{4}$ vergleichen.

• Vergleich von $\frac{2}{5}$ und $\frac{2}{7}$: Gleicher Zähler, also ist $\frac{2}{5} > \frac{2}{7}$ (weil 5 < 7).
• Vergleich von $\frac{2}{5}$ und $\frac{1}{4}$: $\frac{2}{5} = 0{,}4$ und $\frac{1}{4} = 0{,}25$. Also ist $\frac{2}{5} > \frac{1}{4}$.
• Vergleich von $\frac{2}{7}$ und $\frac{1}{4}$: Hauptnenner 28. $\frac{2}{7} = \frac{8}{28}$ und $\frac{1}{4} = \frac{7}{28}$. Also ist $\frac{2}{7} > \frac{1}{4}$.

Die Reihenfolge der Bruchteile ist: $\frac{1}{4} < \frac{2}{7} < \frac{2}{5}$.

Die Reihenfolge der ursprünglichen Brüche ist dieselbe wie die ihrer Bruchteile.

Alle Zahlen sind größer als 1.

Wir haben zwei gemischte Zahlen und einen unechten Bruch. Wir wandeln den unechten Bruch um:

• $\frac{11}{3}$: $11 : 3 = 3$ Rest 2 $\to 3\frac{2}{3}$

Jetzt vergleichen wir $5\frac{1}{2}$, $3\frac{2}{3}$ und $5\frac{1}{4}$.

Zuerst vergleichen wir die ganzen Zahlen: 3 ist kleiner als 5. Also ist $3\frac{2}{3}$ (also $\frac{11}{3}$) die kleinste Zahl.

Jetzt vergleichen wir die übrigen Zahlen: $5\frac{1}{2}$ und $5\frac{1}{4}$. Die ganzen Zahlen sind gleich (5). Wir vergleichen die Bruchteile $\frac{1}{2}$ und $\frac{1}{4}$.

Da $\frac{1}{2} > \frac{1}{4}$ ist, ist $5\frac{1}{2} > 5\frac{1}{4}$.

Die kleinste Zahl ist $\frac{11}{3}$, gefolgt von $5\frac{1}{4}$ und dann $5\frac{1}{2}$.