Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) einfach erklärt

Der gesuchte Stein liegt über den Steinen mit den Zahlen 6 und 10. Wir müssen also das kgV von 6 und 10 finden. Wir zerlegen beide Zahlen in ihre Primfaktoren.

• $6 = 2 \cdot 3$
• $10 = 2 \cdot 5$

Die vorkommenden Primfaktoren sind 2, 3 und 5.

• Höchste Potenz von 2: $2^1$ (kommt in beiden vor)
• Höchste Potenz von 3: $3^1$ (kommt in der 6 vor)
• Höchste Potenz von 5: $5^1$ (kommt in der 10 vor)

Wir multiplizieren diese Potenzen.

$\text{kgV}(6, 10) = 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$

Wir suchen den ersten Zeitpunkt, an dem sich die Abfahrtszeiten wieder treffen. Das ist genau das kleinste gemeinsame Vielfache der beiden Zeitintervalle.

• $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$
• $15 = 3 \cdot 5 = 3 \cdot 5$

Die vorkommenden Primfaktoren sind 2, 3 und 5.

• Höchste Potenz von 2: $2^2$
• Höchste Potenz von 3: $3^1$
• Höchste Potenz von 5: $5^1$

$\text{kgV}(12, 15) = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 4 \cdot 3 \cdot 5 = 60$

Wir suchen die kleinste Zahl, die sowohl durch 6 als auch durch 8 teilbar ist. Das ist das kgV von 6 und 8.

• $6 = 2 \cdot 3 = 2 \cdot 3$
• $8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$

Die vorkommenden Primfaktoren sind 2 und 3.

• Höchste Potenz von 2: $2^3$
• Höchste Potenz von 3: $3^1$

$\text{kgV}(6, 8) = 2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24$

Wir wenden das Schema für drei Zahlen an.

• $18 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2 \cdot 3^2$
• $24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$
• $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5 = 2 \cdot 3 \cdot 5$

Die vorkommenden Primfaktoren sind 2, 3 und 5.

• Höchste Potenz von 2: $2^3$
• Höchste Potenz von 3: $3^2$
• Höchste Potenz von 5: $5^1$

$\text{kgV}(18, 24, 30) = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 = 8 \cdot 9 \cdot 5 = 72 \cdot 5 = 360$

Wir suchen das kleinste gemeinsame Vielfache der beiden Intervalle.

• $9 = 3 \cdot 3 = 3^2$
• $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$

Die vorkommenden Primfaktoren sind 2 und 3.

• Höchste Potenz von 2: $2^2$
• Höchste Potenz von 3: $3^2$

$\text{kgV}(9, 12) = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$

Beide Brüche, $\frac{5}{6}$ und $\frac{7}{8}$, sind bereits vollständig gekürzt.

Wir suchen das kgV der Nenner 6 und 8.

• $6 = 2 \cdot 3$
• $8 = 2^3$
• $\text{kgV}(6, 8) = 2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24$

Der Hauptnenner ist 24.

• Für $\frac{5}{6}$: Erweiterungsfaktor ist $24 : 6 = 4$. $\frac{5 \cdot 4}{6 \cdot 4} = \frac{20}{24}$.
• Für $\frac{7}{8}$: Erweiterungsfaktor ist $24 : 8 = 3$. $\frac{7 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{21}{24}$.

Wir vergleichen die Zähler: $20 < 21$. Also ist $\frac{20}{24} < \frac{21}{24}$.

Alle drei Brüche sind bereits gekürzt.

Wir suchen das kgV der Nenner 5, 10 und 15.

• $5 = 5$
• $10 = 2 \cdot 5$
• $15 = 3 \cdot 5$
• $\text{kgV}(5, 10, 15) = 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$

Der Hauptnenner ist 30.

• Für $\frac{4}{5}$: $30 : 5 = 6 \to \frac{4 \cdot 6}{5 \cdot 6} = \frac{24}{30}$.
• Für $\frac{7}{10}$: $30 : 10 = 3 \to \frac{7 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \frac{21}{30}$.
• Für $\frac{13}{15}$: $30 : 15 = 2 \to \frac{13 \cdot 2}{15 \cdot 2} = \frac{26}{30}$.

$21 < 24 < 26$. Also gilt: $\frac{21}{30} < \frac{24}{30} < \frac{26}{30}$.

Hier können wir die Arbeit vereinfachen!

• $\frac{10}{12}$ kann mit 2 gekürzt werden: $\frac{10 : 2}{12 : 2} = \frac{5}{6}$.
• $\frac{15}{20}$ kann mit 5 gekürzt werden: $\frac{15 : 5}{20 : 5} = \frac{3}{4}$.
• $\frac{3}{5}$ ist bereits gekürzt.

Wir müssen jetzt $\frac{5}{6}$, $\frac{3}{4}$ und $\frac{3}{5}$ ordnen.

Wir suchen das kgV der neuen Nenner 6, 4 und 5.

• $6 = 2 \cdot 3$
• $4 = 2^2$
• $5 = 5$
• $\text{kgV}(6, 4, 5) = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 4 \cdot 3 \cdot 5 = 60$

Der Hauptnenner ist 60.

• Für $\frac{5}{6}$: $60 : 6 = 10 \to \frac{5 \cdot 10}{6 \cdot 10} = \frac{50}{60}$.
• Für $\frac{3}{4}$: $60 : 4 = 15 \to \frac{3 \cdot 15}{4 \cdot 15} = \frac{45}{60}$.
• Für $\frac{3}{5}$: $60 : 5 = 12 \to \frac{3 \cdot 12}{5 \cdot 12} = \frac{36}{60}$.

$36 < 45 < 50$. Also gilt: $\frac{36}{60} < \frac{45}{60} < \frac{50}{60}$.

Beide Brüche sind bereits gekürzt.

Wir suchen das kgV der Nenner 16 und 20.

• $16 = 2^4$
• $20 = 2^2 \cdot 5$
• $\text{kgV}(16, 20) = 2^4 \cdot 5 = 16 \cdot 5 = 80$

Der Hauptnenner ist 80.

• Für $\frac{9}{16}$: $80 : 16 = 5 \to \frac{9 \cdot 5}{16 \cdot 5} = \frac{45}{80}$.
• Für $\frac{11}{20}$: $80 : 20 = 4 \to \frac{11 \cdot 4}{20 \cdot 4} = \frac{44}{80}$.

$45 > 44$. Also ist $\frac{45}{80} > \frac{44}{80}$.

Alle drei Brüche sind bereits vollständig gekürzt.

Wir suchen das kgV der Nenner 15, 25 und 12.

• $15 = 3 \cdot 5$
• $25 = 5^2$
• $12 = 2^2 \cdot 3$
• $\text{kgV}(15, 25, 12) = 2^2 \cdot 3 \cdot 5^2 = 4 \cdot 3 \cdot 25 = 300$

Der Hauptnenner ist 300.

• Für $\frac{8}{15}$: $300 : 15 = 20 \to \frac{8 \cdot 20}{15 \cdot 20} = \frac{160}{300}$.
• Für $\frac{13}{25}$: $300 : 25 = 12 \to \frac{13 \cdot 12}{25 \cdot 12} = \frac{156}{300}$.
• Für $\frac{7}{12}$: $300 : 12 = 25 \to \frac{7 \cdot 25}{12 \cdot 25} = \frac{175}{300}$.

$156 < 160 < 175$. Also gilt: $\frac{156}{300} < \frac{160}{300} < \frac{175}{300}$.