Brüche vergleichen und ordnen – einfach erklärt

Wir vergleichen $\frac{7}{12}$ und $\frac{5}{12}$.

Die Nenner sind beide 12, also gleich. Wir können die Zähler direkt vergleichen.

Wir vergleichen die Zähler: $7$ und $5$.

Da $7 > 5$ ist, ist der erste Bruch größer.

Wir vergleichen $\frac{3}{5}$ und $\frac{3}{8}$.

Die Zähler sind beide 3, also gleich. Wir vergleichen die Nenner. Hier gilt: Der Bruch mit dem kleineren Nenner ist der größere.

Wir vergleichen die Nenner: $5$ und $8$.

Da $5 < 8$ ist, ist der Bruch mit dem Nenner 5 der größere.

Wir vergleichen $\frac{2}{3}$ und $\frac{5}{8}$. Zähler und Nenner sind verschieden.

Wir brauchen den Hauptnenner von 3 und 8. Das kleinste gemeinsame Vielfache ist $3 \cdot 8 = 24$.

Wir erweitern beide Brüche auf den Nenner 24.

$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 8}{3 \cdot 8} = \frac{16}{24}$

$\frac{5}{8} = \frac{5 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{15}{24}$

Jetzt vergleichen wir die Zähler der neuen Brüche: $16$ und $15$.

Da $16 > 15$ ist, gilt:

$\frac{16}{24} > \frac{15}{24}$

Also ist auch $\frac{2}{3} > \frac{5}{8}$.

Wir vergleichen $\frac{13}{12}$ und $\frac{12}{13}$.

Hier können wir den Vergleich mit 1 nutzen.

• $\frac{13}{12}$: Der Zähler (13) ist größer als der Nenner (12). Das ist ein unechter Bruch, also ist sein Wert $> 1$.
• $\frac{12}{13}$: Der Zähler (12) ist kleiner als der Nenner (13). Das ist ein echter Bruch, also ist sein Wert $< 1$.

Eine Zahl, die größer als 1 ist, ist immer größer als eine Zahl, die kleiner als 1 ist.

Wir vergleichen $\frac{5}{6}$ und $\frac{7}{9}$. Zähler und Nenner sind verschieden.

Wir suchen das kgV von 6 und 9. Vielfache von 6: 6, 12, 18, 24, … Vielfache von 9: 9, 18, 27, … Der Hauptnenner ist 18.

Wir erweitern beide Brüche auf den Nenner 18.

$\frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 3}{6 \cdot 3} = \frac{15}{18}$

$\frac{7}{9} = \frac{7 \cdot 2}{9 \cdot 2} = \frac{14}{18}$

Wir vergleichen die Zähler: $15$ und $14$.

Da $15 > 14$ ist, gilt:

$\frac{15}{18} > \frac{14}{18}$

Also ist auch $\frac{5}{6} > \frac{7}{9}$.

$75\% = \frac{75}{100}$

Wir können Zähler und Nenner durch 25 teilen.

$\frac{75}{100} = \frac{75 : 25}{100 : 25} = \frac{3}{4}$

Jetzt vergleichen wir $\frac{3}{4}$ mit $\frac{3}{4}$. Die Brüche sind identisch.

$25\% = \frac{25}{100}$

$\frac{25}{100} = \frac{1}{4}$

Wir vergleichen nun $\frac{1}{5}$ und $\frac{1}{4}$. Die Zähler sind gleich (beide 1). Wir können die Nenner vergleichen. Der Bruch mit dem kleineren Nenner ist größer.

Da $4 < 5$ ist, gilt $\frac{1}{4} > \frac{1}{5}$.

$60\% = \frac{60}{100}$

Wir können durch 20 kürzen.

$\frac{60}{100} = \frac{3}{5}$

Wir vergleichen $\frac{2}{3}$ und $\frac{3}{5}$. Der Hauptnenner von 3 und 5 ist 15.

$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{10}{15}$

$\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{9}{15}$

Da $10 > 9$ ist, ist $\frac{10}{15} > \frac{9}{15}$.

$90\% = \frac{90}{100}$

$\frac{90}{100} = \frac{9}{10}$

Wir vergleichen $\frac{7}{8}$ und $\frac{9}{10}$. Der Hauptnenner von 8 und 10 ist 40.

$\frac{7}{8} = \frac{7 \cdot 5}{8 \cdot 5} = \frac{35}{40}$

$\frac{9}{10} = \frac{9 \cdot 4}{10 \cdot 4} = \frac{36}{40}$

Da $35 < 36$ ist, ist $\frac{35}{40} < \frac{36}{40}$.

$33\% = \frac{33}{100}$

Wir vergleichen $\frac{3}{10}$ und $\frac{33}{100}$. Der Hauptnenner von 10 und 100 ist 100.

Wir müssen nur den ersten Bruch erweitern.

$\frac{3}{10} = \frac{3 \cdot 10}{10 \cdot 10} = \frac{30}{100}$

Wir vergleichen $\frac{30}{100}$ und $\frac{33}{100}$.

Da $30 < 33$ ist, ist $\frac{30}{100} < \frac{33}{100}$.

$60\% = \frac{60}{100} = \frac{3}{5}$

Unsere Liste ist jetzt: $\frac{1}{2}, \frac{3}{5}, \frac{3}{5}$.

Die Nenner sind 2 und 5. Der Hauptnenner ist 10.

$\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{5}{10}$

$\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{6}{10}$

Unsere erweiterte Liste ist: $\frac{5}{10}, \frac{6}{10}, \frac{6}{10}$.

Die Zähler sind 5, 6, 6. Die Reihenfolge ist $5 < 6 = 6$.

Die sortierten Brüche sind: $\frac{5}{10} < \frac{6}{10} = \frac{6}{10}$.

Wir ordnen die Originalzahlen entsprechend an.

$70\% = \frac{70}{100} = \frac{7}{10}$

Unsere Liste ist: $\frac{3}{4}, \frac{2}{3}, \frac{7}{10}$.

Die Nenner sind 4, 3 und 10. Das kgV ist 60.

$\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 15}{4 \cdot 15} = \frac{45}{60}$

$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 20}{3 \cdot 20} = \frac{40}{60}$

$\frac{7}{10} = \frac{7 \cdot 6}{10 \cdot 6} = \frac{42}{60}$

Die Zähler sind 45, 40, 42. Geordnet: $40 < 42 < 45$.

Die sortierten Brüche sind: $\frac{40}{60} < \frac{42}{60} < \frac{45}{60}$.

$20\% = \frac{20}{100} = \frac{1}{5}$

Unsere Liste ist: $\frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{3}{10}$.

Die Nenner sind 4, 5 und 10. Das kgV ist 20.

$\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \frac{5}{20}$

$\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{4}{20}$

$\frac{3}{10} = \frac{3 \cdot 2}{10 \cdot 2} = \frac{6}{20}$

Die Zähler sind 5, 4, 6. Geordnet: $4 < 5 < 6$.

Die sortierten Brüche sind: $\frac{4}{20} < \frac{5}{20} < \frac{6}{20}$.

$50\% = \frac{50}{100} = \frac{1}{2}$

Unsere Liste ist: $\frac{5}{8}, \frac{1}{2}, \frac{3}{5}$.

Die Nenner sind 8, 2 und 5. Das kgV ist 40.

$\frac{5}{8} = \frac{5 \cdot 5}{8 \cdot 5} = \frac{25}{40}$

$\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 20}{2 \cdot 20} = \frac{20}{40}$

$\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 8}{5 \cdot 8} = \frac{24}{40}$

Die Zähler sind 25, 20, 24. Geordnet: $25 > 24 > 20$.

Die sortierten Brüche sind: $\frac{25}{40} > \frac{24}{40} > \frac{20}{40}$.

$88\% = \frac{88}{100} = \frac{22}{25}$

Unsere Liste ist: $\frac{9}{10}, \frac{22}{25}, \frac{7}{8}$.

Die Nenner sind 10, 25 und 8. Das kgV ist 200.

$\frac{9}{10} = \frac{9 \cdot 20}{10 \cdot 20} = \frac{180}{200}$

$\frac{22}{25} = \frac{22 \cdot 8}{25 \cdot 8} = \frac{176}{200}$

$\frac{7}{8} = \frac{7 \cdot 25}{8 \cdot 25} = \frac{175}{200}$

Die Zähler sind 180, 176, 175. Geordnet: $175 < 176 < 180$.

Die sortierten Brüche sind: $\frac{175}{200} < \frac{176}{200} < \frac{180}{200}$.

Der Hauptnenner von 2 und 3 ist 6.

$\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{3}{6}$

$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{4}{6}$

Wir suchen einen Bruch zwischen $\frac{3}{6}$ und $\frac{4}{6}$. Zwischen den Zählern 3 und 4 gibt es keine ganze Zahl. Wir müssen weiter erweitern.

Wir erweitern beide Brüche mit 2.

$\frac{3}{6} = \frac{3 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{6}{12}$

$\frac{4}{6} = \frac{4 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{8}{12}$

Zwischen $\frac{6}{12}$ und $\frac{8}{12}$ liegt ein Bruch. Die Zahl zwischen den Zählern 6 und 8 ist 7.

Der Hauptnenner von 5 und 6 ist 30.

$\frac{1}{5} = \frac{6}{30}$

$\frac{1}{6} = \frac{5}{30}$

Wir suchen Brüche zwischen $\frac{5}{30}$ und $\frac{6}{30}$. Es gibt keine Lücke zwischen den Zählern 5 und 6.

Wir brauchen Platz für drei Brüche. Erweitern mit 2 würde nur eine Lücke schaffen ($\frac{10}{60}, \frac{12}{60}$). Erweitern wir also mit 4, um sicherzugehen.

$\frac{5}{30} = \frac{5 \cdot 4}{30 \cdot 4} = \frac{20}{120}$

$\frac{6}{30} = \frac{6 \cdot 4}{30 \cdot 4} = \frac{24}{120}$

Zwischen den Zählern 20 und 24 liegen die Zahlen 21, 22 und 23.

Der Hauptnenner von 4 und 5 ist 20.

$\frac{3}{4} = \frac{15}{20}$

$\frac{4}{5} = \frac{16}{20}$

Zwischen den Zählern 15 und 16 gibt es keine ganze Zahl.

Wir erweitern mit 2.

$\frac{15}{20} = \frac{30}{40}$

$\frac{16}{20} = \frac{32}{40}$

Zwischen den Zählern 30 und 32 liegt die 31.

Der Hauptnenner von 9 und 10 ist 90.

$\frac{8}{9} = \frac{80}{90}$

$\frac{9}{10} = \frac{81}{90}$

Zwischen 80 und 81 gibt es keine ganze Zahl.

Wir brauchen Platz für zwei Brüche, also erweitern wir mit 3.

$\frac{80}{90} = \frac{80 \cdot 3}{90 \cdot 3} = \frac{240}{270}$

$\frac{81}{90} = \frac{81 \cdot 3}{90 \cdot 3} = \frac{243}{270}$

Zwischen 240 und 243 liegen die Zähler 241 und 242.

Die Brüche $\frac{1}{100}$ und $\frac{2}{100}$ sind bereits gleichnamig.

Zwischen den Zählern 1 und 2 gibt es keine ganze Zahl.

Wir erweitern mit 2.

$\frac{1}{100} = \frac{2}{200}$

$\frac{2}{100} = \frac{4}{200}$

Zwischen den Zählern 2 und 4 liegt die 3.