Was sind fortgeschrittene Rechenoperationen mit Brüchen?

Fortgeschrittene Bruchrechnung umfasst drei wichtige Aufgabentypen: Terme mit negativen Exponenten berechnen (z. B. 2⁻³ ), Produkte aus Brüchen, gemischten Zahlen und ganzen Zahlen vereinfachen sowie fehlende Faktoren in Multiplikations-Gleichungen finden. Diese Themen bauen auf der einfachen Bruchrechnung auf und sind typischer Stoff in der Oberstufe und bei Prüfungen.

Wie rechnest du mit negativen Exponenten bei Brüchen?

Eine Potenz mit negativem Exponenten ist der Kehrwert der entsprechenden positiven Potenz: a⁻ⁿ = 1 / aⁿ . Du wandelst zuerst alle negativen Exponenten in Brüche um, berechnest dann die Potenzen im Nenner und wendest anschließend die normalen Rechenregeln an – also Punkt vor Strich . Beispiel: 2⁻³ = 1/8 .

Wie multiplizierst du gemischte Zahlen mit Brüchen?

Wandle zunächst alle gemischten Zahlen (z. B. 2⅓ → 7/3 ) und alle ganzen Zahlen (z. B. 5 → 5/1 ) in unechte Brüche um. Danach kürze so früh wie möglich über Kreuz – also eine Zahl im Zähler gegen eine Zahl im Nenner eines beliebigen Bruchs. Erst dann multiplizierst du Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner.

Wie findest du einen fehlenden Faktor in einer Bruch-Gleichung?

Wenn Faktor · □ = Ergebnis , dann gilt □ = Ergebnis ÷ Faktor . Eine Division durch einen Bruch wird zur Multiplikation mit dessen Kehrwert – einfach Zähler und Nenner vertauschen. Ist der bekannte Faktor eine gemischte Zahl, wandle ihn vorher in einen unechten Bruch um. Anschließend kürze und multipliziere wie gewohnt.

Warum solltest du beim Brüche-Multiplizieren so früh wie möglich kürzen?

Frühzeitiges Kürzen hält die Zahlen klein und vermeidet unnötig große Zwischenergebnisse. Wenn du erst am Ende kürzest, rechnest du oft mit dreistelligen Zahlen, obwohl das Ergebnis ein einfacher Bruch ist. Über-Kreuz-Kürzen – eine Zahl im Zähler gegen eine im Nenner eines anderen Bruchs – ist vollkommen erlaubt und spart viel Rechenarbeit.

Bruchrechnung für Fortgeschrittene

Fortgeschrittene Bruchrechnung ist das Handwerkszeug für die Oberstufe: Wer negative Exponenten, Produkte aus gemischten Zahlen und das Finden fehlender Faktoren sicher beherrscht, löst Aufgaben, an denen andere verzweifeln, in Rekordzeit. In diesem Artikel zeigt dir Rocket Tutor die schnellsten Wege durch alle drei Aufgabentypen – damit du sicher durch jede Prüfung kommst. Lass uns diese Hürde nehmen – schnell und effizient.

Vorwissen

Bevor wir loslegen, solltest du diese Grundlagen sicher beherrschen:

Brüche multiplizieren: Man multipliziert Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner.
- Formel: $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$
- Beispiel: $\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 5} = \frac{8}{15}$
Brüche kürzen: Man teilt Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl. Das vereinfacht das Ergebnis.
- Beispiel: $\frac{6}{8}$ kann man mit 2 kürzen: $\frac{6 \div 2}{8 \div 2} = \frac{3}{4}$
Potenzen berechnen: Eine Zahl wird mehrmals mit sich selbst multipliziert.
- Beispiel: $3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$
Rechenregeln (Punkt vor Strich): Multiplikation und Division werden immer vor Addition und Subtraktion ausgeführt.
- Beispiel: $2 + 3 \cdot 4 = 2 + 12 = 14$

Aufgabentyp 1: Terme mit negativen Hochzahlen berechnen

Manchmal siehst du Potenzen mit einer negativen Hochzahl (Exponent), wie zum Beispiel $5^{-2}$ . Das sieht kompliziert aus, ist aber nur eine andere Schreibweise für einen Bruch.

Die Regel lautet: Eine Potenz mit negativem Exponenten ist dasselbe wie der Kehrwert der Potenz mit positivem Exponenten.

Die Formel dazu: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

Was bedeutet das? Wenn du $8^{-2}$ siehst, bedeutet das einfach $\frac{1}{8^2}$ .

$8^2$ ist $8 \cdot 8 = 64$ . Also ist $8^{-2} = \frac{1}{64}$ .

Wenn du solche Terme berechnest, wandelst du zuerst alle Potenzen mit negativen Exponenten in Brüche um. Danach befolgst du die normalen Rechenregeln, also „Punkt vor Strich".

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wandle alle Potenzen mit negativen Exponenten mithilfe von $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ in Brüche um.
Berechne die Potenzen, die jetzt im Nenner der neuen Brüche stehen.
Wende die Rechenregeln an: Führe zuerst alle Multiplikationen und Divisionen durch, dann Additionen und Subtraktionen (Punkt vor Strich).
Fasse alles zusammen und berechne das Endergebnis – gib es wenn möglich als gekürzten Bruch oder gemischte Zahl an.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Berechne den Wert des Terms: $2^{-3} \cdot 16 + 4^{-1}$

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Negative Exponenten in Brüche umwandeln
Wir wandeln $2^{-3}$ und $4^{-1}$ in Brüche um.

$2^{-3} = \frac{1}{2^3}$

$4^{-1} = \frac{1}{4^1} = \frac{1}{4}$
Schritt 2
Potenzen im Nenner ausrechnen
Wir berechnen $2^3$ .

$2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$

Also ist $2^{-3} = \frac{1}{8}$ .

Der Term lautet jetzt: $\frac{1}{8} \cdot 16 + \frac{1}{4}$
Schritt 3
Rechenregeln anwenden (Punkt vor Strich)
Wir berechnen zuerst die Multiplikation $\frac{1}{8} \cdot 16$ .

$\frac{1}{8} \cdot 16 = \frac{1 \cdot 16}{8} = \frac{16}{8}$

Das können wir kürzen:

$\frac{16}{8} = 2$

Der Term vereinfacht sich zu: $2 + \frac{1}{4}$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis berechnen
$2 + \frac{1}{4} = 2\frac{1}{4}$

Ergebnis:

Das Ergebnis ist $2\frac{1}{4}$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Berechne den Wert des Terms: $5^{-2} + 3^{-2} \cdot 18$

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Negative Exponenten in Brüche umwandeln
Wir wandeln $5^{-2}$ und $3^{-2}$ in Brüche um.

$5^{-2} = \frac{1}{5^2}$

$3^{-2} = \frac{1}{3^2}$
Schritt 2
Potenzen im Nenner ausrechnen
$5^2 = 25$ , also ist $5^{-2} = \frac{1}{25}$ .

$3^2 = 9$ , also ist $3^{-2} = \frac{1}{9}$ .

Der Term lautet jetzt: $\frac{1}{25} + \frac{1}{9} \cdot 18$
Schritt 3
Rechenregeln anwenden (Punkt vor Strich)
Wir berechnen zuerst die Multiplikation $\frac{1}{9} \cdot 18$ .

$\frac{1}{9} \cdot 18 = \frac{18}{9} = 2$

Der Term vereinfacht sich zu: $\frac{1}{25} + 2$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis berechnen
$\frac{1}{25} + 2 = 2\frac{1}{25}$

Ergebnis:

Das Ergebnis ist $2\frac{1}{25}$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Berechne den Wert des Terms: $10^{-1} \cdot 50 - 2^{-2}$

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Negative Exponenten in Brüche umwandeln
Wir wandeln $10^{-1}$ und $2^{-2}$ in Brüche um.

$10^{-1} = \frac{1}{10^1} = \frac{1}{10}$

$2^{-2} = \frac{1}{2^2}$
Schritt 2
Potenzen im Nenner ausrechnen
$2^2 = 4$ , also ist $2^{-2} = \frac{1}{4}$ .

Der Term lautet jetzt: $\frac{1}{10} \cdot 50 - \frac{1}{4}$
Schritt 3
Rechenregeln anwenden (Punkt vor Strich)
Wir berechnen zuerst die Multiplikation $\frac{1}{10} \cdot 50$ .

$\frac{1}{10} \cdot 50 = \frac{50}{10} = 5$

Der Term vereinfacht sich zu: $5 - \frac{1}{4}$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis berechnen
$5 - \frac{1}{4} = 4\frac{3}{4}$

Ergebnis:

Das Ergebnis ist $4\frac{3}{4}$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Berechne den Wert des Terms: $6^{-1} \cdot 12 + (\frac{1}{2})^{-2}$

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Negative Exponenten in Brüche umwandeln
Wir wandeln $6^{-1}$ und $(\frac{1}{2})^{-2}$ um.

$6^{-1} = \frac{1}{6}$

Bei einem Bruch als Basis dreht man den Bruch einfach um und macht den Exponenten positiv: $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$ .

$(\frac{1}{2})^{-2} = (\frac{2}{1})^2 = 2^2$
Schritt 2
Potenzen ausrechnen
$2^2 = 4$

Der Term lautet jetzt: $\frac{1}{6} \cdot 12 + 4$
Schritt 3
Rechenregeln anwenden (Punkt vor Strich)
Wir berechnen zuerst die Multiplikation $\frac{1}{6} \cdot 12$ .

$\frac{1}{6} \cdot 12 = \frac{12}{6} = 2$

Der Term vereinfacht sich zu: $2 + 4$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis berechnen
$2 + 4 = 6$

Ergebnis:

Das Ergebnis ist $6$ .

Beispiel 5

Aufgabe

Berechne den Wert des Terms: $4^{-2} \cdot 32 - 3^{-1}$

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Negative Exponenten in Brüche umwandeln
Wir wandeln $4^{-2}$ und $3^{-1}$ in Brüche um.

$4^{-2} = \frac{1}{4^2}$

$3^{-1} = \frac{1}{3}$
Schritt 2
Potenzen im Nenner ausrechnen
$4^2 = 16$ , also ist $4^{-2} = \frac{1}{16}$ .

Der Term lautet jetzt: $\frac{1}{16} \cdot 32 - \frac{1}{3}$
Schritt 3
Rechenregeln anwenden (Punkt vor Strich)
Wir berechnen zuerst die Multiplikation $\frac{1}{16} \cdot 32$ .

$\frac{1}{16} \cdot 32 = \frac{32}{16} = 2$

Der Term vereinfacht sich zu: $2 - \frac{1}{3}$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis berechnen
$2 - \frac{1}{3} = 1\frac{2}{3}$

Ergebnis:

Das Ergebnis ist $1\frac{2}{3}$ .

Aufgabentyp 2: Produkte aus drei Brüchen, gemischten Zahlen und ganzen Zahlen

Wenn du mehrere Zahlen multiplizieren sollst, die eine Mischung aus Brüchen, gemischten Zahlen (z.B. $2\frac{1}{3}$ ) und ganzen Zahlen (z.B. $5$ ) sind, ist der erste Schritt immer, alles in eine einheitliche Form zu bringen: unechte Brüche.

1. Gemischte Zahlen in unechte Brüche umwandeln: Multipliziere die ganze Zahl mit dem Nenner und addiere den Zähler. Der Nenner bleibt gleich.

Beispiel: $2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{6+1}{3} = \frac{7}{3}$

2. Ganze Zahlen in Brüche umwandeln: Schreibe die ganze Zahl einfach über eine 1.

Beispiel: $5 = \frac{5}{1}$

Sobald alles ein Bruch ist, kannst du multiplizieren. Der wichtigste Trick dabei ist, so früh wie möglich zu kürzen. Das bedeutet, du suchst eine Zahl im Zähler und eine Zahl im Nenner (egal von welchem Bruch), die denselben Teiler haben. Das macht die Zahlen kleiner und die Rechnung viel einfacher.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wandle jede gemischte Zahl und jede ganze Zahl in einen unechten Bruch um.
Schreibe die neue Aufgabe mit allen unechten Brüchen auf.
Kürze über Kreuz: Suche nach Zahlen im Zähler und im Nenner, die du gegeneinander kürzen kannst. Wiederhole das, bis nichts mehr gekürzt werden kann.
Multipliziere alle übrig gebliebenen Zähler miteinander und alle übrig gebliebenen Nenner miteinander.
Vereinfache das Ergebnis: Falls nötig, wandle den unechten Bruch wieder in eine gemischte Zahl um.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Berechne das Produkt: $1\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot 8$

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Alles in unechte Brüche umwandeln
$1\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$

$8 = \frac{8}{1}$
Schritt 2
Die Multiplikationsaufgabe aufschreiben
$\frac{3}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{8}{1}$
Schritt 3
Über Kreuz kürzen
Wir können die $8$ im Zähler mit der $4$ im Nenner kürzen (beide durch 4).

$\frac{3}{2} \cdot \frac{3}{\cancel{4}_1} \cdot \frac{\cancel{8}^2}{1} = \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{1} \cdot \frac{2}{1}$

Jetzt können wir die $2$ im Zähler mit der $2$ im Nenner kürzen.

$\frac{3}{\cancel{2}_1} \cdot \frac{3}{1} \cdot \frac{\cancel{2}^1}{1} = \frac{3}{1} \cdot \frac{3}{1} \cdot \frac{1}{1}$
Schritt 4
Zähler und Nenner multiplizieren
$\frac{3 \cdot 3 \cdot 1}{1 \cdot 1 \cdot 1} = \frac{9}{1}$
Schritt 5 · Ergebnis
Ergebnis vereinfachen
$\frac{9}{1} = 9$

Ergebnis:

Das Ergebnis ist $9$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Berechne das Produkt: $2\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{7} \cdot 5$

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Alles in unechte Brüche umwandeln
$2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$

$5 = \frac{5}{1}$
Schritt 2
Die Multiplikationsaufgabe aufschreiben
$\frac{7}{3} \cdot \frac{1}{7} \cdot \frac{5}{1}$
Schritt 3
Über Kreuz kürzen
Wir können die $7$ im Zähler mit der $7$ im Nenner kürzen.

$\frac{\cancel{7}^1}{3} \cdot \frac{1}{\cancel{7}_1} \cdot \frac{5}{1} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{1} \cdot \frac{5}{1}$
Schritt 4
Zähler und Nenner multiplizieren
$\frac{1 \cdot 1 \cdot 5}{3 \cdot 1 \cdot 1} = \frac{5}{3}$
Schritt 5 · Ergebnis
Ergebnis vereinfachen
$\frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}$

Ergebnis:

Das Ergebnis ist $1\frac{2}{3}$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Berechne das Produkt: $\frac{3}{5} \cdot 2\frac{1}{4} \cdot 1\frac{1}{9}$

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Alles in unechte Brüche umwandeln
$2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$

$1\frac{1}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 1}{9} = \frac{10}{9}$
Schritt 2
Die Multiplikationsaufgabe aufschreiben
$\frac{3}{5} \cdot \frac{9}{4} \cdot \frac{10}{9}$
3
Schritt 3
Über Kreuz kürzen
- Die $9$ im Zähler und die $9$ im Nenner heben sich auf.
- Die $10$ im Zähler und die $5$ im Nenner können wir durch 5 kürzen.
$\frac{3}{\cancel{5}_1} \cdot \frac{\cancel{9}^1}{4} \cdot \frac{\cancel{10}^2}{\cancel{9}_1} = \frac{3}{1} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{1}$

Jetzt können wir noch die $2$ im Zähler und die $4$ im Nenner durch 2 kürzen.

$\frac{3}{1} \cdot \frac{1}{\cancel{4}_2} \cdot \frac{\cancel{2}^1}{1} = \frac{3}{1} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1}$
Schritt 4
Zähler und Nenner multiplizieren
$\frac{3 \cdot 1 \cdot 1}{1 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{3}{2}$
Schritt 5 · Ergebnis
Ergebnis vereinfachen
$\frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$

Ergebnis:

Das Ergebnis ist $1\frac{1}{2}$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Berechne das Produkt: $4 \cdot 1\frac{3}{8} \cdot \frac{1}{11}$

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Alles in unechte Brüche umwandeln
$4 = \frac{4}{1}$

$1\frac{3}{8} = \frac{1 \cdot 8 + 3}{8} = \frac{11}{8}$
Schritt 2
Die Multiplikationsaufgabe aufschreiben
$\frac{4}{1} \cdot \frac{11}{8} \cdot \frac{1}{11}$
3
Schritt 3
Über Kreuz kürzen
- Die $11$ im Zähler und die $11$ im Nenner heben sich auf.
- Die $4$ im Zähler und die $8$ im Nenner können wir durch 4 kürzen.
$\frac{\cancel{4}^1}{1} \cdot \frac{\cancel{11}^1}{\cancel{8}_2} \cdot \frac{1}{\cancel{11}_1} = \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1}$
Schritt 4
Zähler und Nenner multiplizieren
$\frac{1 \cdot 1 \cdot 1}{1 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{1}{2}$
Schritt 5 · Ergebnis
Ergebnis vereinfachen
Das Ergebnis ist bereits ein einfacher Bruch.

Ergebnis:

Das Ergebnis ist $\frac{1}{2}$ .

Beispiel 5

Aufgabe

Berechne das Produkt: $2\frac{2}{3} \cdot 1\frac{1}{5} \cdot \frac{5}{8}$

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Alles in unechte Brüche umwandeln
$2\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{8}{3}$

$1\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{6}{5}$
Schritt 2
Die Multiplikationsaufgabe aufschreiben
$\frac{8}{3} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{5}{8}$
3
Schritt 3
Über Kreuz kürzen
- Die $8$ im Zähler und die $8$ im Nenner heben sich auf.
- Die $5$ im Nenner und die $5$ im Zähler heben sich auf.
- Die $6$ im Zähler und die $3$ im Nenner können wir durch 3 kürzen.
$\frac{\cancel{8}^1}{\cancel{3}_1} \cdot \frac{\cancel{6}^2}{\cancel{5}_1} \cdot \frac{\cancel{5}^1}{\cancel{8}_1} = \frac{1}{1} \cdot \frac{2}{1} \cdot \frac{1}{1}$
Schritt 4
Zähler und Nenner multiplizieren
$\frac{1 \cdot 2 \cdot 1}{1 \cdot 1 \cdot 1} = \frac{2}{1}$
Schritt 5 · Ergebnis
Ergebnis vereinfachen
$\frac{2}{1} = 2$

Ergebnis:

Das Ergebnis ist $2$ .

Aufgabentyp 3: Fehlenden Faktor in einer Multiplikation finden

Aufgaben wie $\frac{3}{5} \cdot \square = -\frac{9}{10}$ sehen aus wie Lückenrätsel. In Wirklichkeit sind es aber einfache Gleichungen. Du suchst eine unbekannte Zahl.

Um die Unbekannte zu finden, musst du die Umkehroperation der Multiplikation verwenden: die Division.

Die Gleichung $\frac{3}{5} \cdot \square = -\frac{9}{10}$ bedeutet also: $\square = -\frac{9}{10} \div \frac{3}{5}$ .

Jetzt kommt die wichtigste Regel für die Division von Brüchen: Man dividiert durch einen Bruch, indem man mit seinem Kehrwert multipliziert.

Der Kehrwert eines Bruchs ist einfach der Bruch, bei dem Zähler und Nenner vertauscht sind. Der Kehrwert von $\frac{3}{5}$ ist $\frac{5}{3}$ .

Unsere Rechnung wird also zu: $\square = -\frac{9}{10} \cdot \frac{5}{3}$

Das kannst du jetzt wie eine normale Multiplikation lösen.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Verstehe die Aufgabe als Divisionsaufgabe: $\text{Faktor 1} \cdot \square = \text{Ergebnis}$ wird zu $\square = \text{Ergebnis} \div \text{Faktor 1}$ .
Wandle den bekannten Faktor in einen unechten Bruch um, falls er eine gemischte Zahl ist.
Bilde den Kehrwert des bekannten Faktors: Tausche Zähler und Nenner.
Multipliziere das Ergebnis der ursprünglichen Gleichung mit dem Kehrwert. Kürze, wenn möglich.
Berechne das Endergebnis und vereinfache.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Vervollständige die Gleichung: $\frac{2}{3} \cdot \square = \frac{8}{9}$

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Die Aufgabe als Divisionsaufgabe verstehen
Wir suchen die Zahl $\square = \frac{8}{9} \div \frac{2}{3}$ .
Schritt 2
Bekannten Faktor in einen unechten Bruch umwandeln
Der Faktor $\frac{2}{3}$ ist bereits ein einfacher Bruch.
Schritt 3
Kehrwert des bekannten Faktors bilden
Der Kehrwert von $\frac{2}{3}$ ist $\frac{3}{2}$ .
Schritt 4
Ergebnis mit dem Kehrwert multiplizieren
Wir rechnen: $\square = \frac{8}{9} \cdot \frac{3}{2}$

Jetzt kürzen wir: Die 8 mit der 2 (durch 2) und die 9 mit der 3 (durch 3).

$\frac{\cancel{8}^4}{\cancel{9}_3} \cdot \frac{\cancel{3}^1}{\cancel{2}_1} = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{1}$
Schritt 5 · Ergebnis
Ergebnis berechnen und vereinfachen
$\square = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$

Ergebnis:

Die gesuchte Zahl ist $1\frac{1}{3}$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Vervollständige die Gleichung: $-\frac{1}{4} \cdot \square = \frac{5}{12}$

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Die Aufgabe als Divisionsaufgabe verstehen
Wir suchen die Zahl $\square = \frac{5}{12} \div (-\frac{1}{4})$ .
Schritt 2
Bekannten Faktor in einen unechten Bruch umwandeln
Der Faktor $-\frac{1}{4}$ ist bereits ein einfacher Bruch.
Schritt 3
Kehrwert des bekannten Faktors bilden
Der Kehrwert von $-\frac{1}{4}$ ist $-\frac{4}{1}$ .
Schritt 4
Ergebnis mit dem Kehrwert multiplizieren
Wir rechnen: $\square = \frac{5}{12} \cdot (-\frac{4}{1})$

Wir kürzen die 12 mit der 4 (durch 4).

$\frac{5}{\cancel{12}_3} \cdot (-\frac{\cancel{4}^1}{1}) = \frac{5}{3} \cdot (-\frac{1}{1})$
Schritt 5 · Ergebnis
Ergebnis berechnen und vereinfachen
$\square = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3}$

Ergebnis:

Die gesuchte Zahl ist $-1\frac{2}{3}$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Vervollständige die Gleichung: $3\frac{1}{2} \cdot \square = \frac{7}{4}$

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Die Aufgabe als Divisionsaufgabe verstehen
Wir suchen die Zahl $\square = \frac{7}{4} \div 3\frac{1}{2}$ .
Schritt 2
Bekannten Faktor in einen unechten Bruch umwandeln
Der Faktor ist $3\frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{7}{2}$ .

Die Aufgabe lautet also: $\square = \frac{7}{4} \div \frac{7}{2}$
Schritt 3
Kehrwert des bekannten Faktors bilden
Der Kehrwert von $\frac{7}{2}$ ist $\frac{2}{7}$ .
Schritt 4
Ergebnis mit dem Kehrwert multiplizieren
Wir rechnen: $\square = \frac{7}{4} \cdot \frac{2}{7}$

Wir kürzen: Die 7 mit der 7 und die 4 mit der 2.

$\frac{\cancel{7}^1}{\cancel{4}_2} \cdot \frac{\cancel{2}^1}{\cancel{7}_1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1}$
Schritt 5 · Ergebnis
Ergebnis berechnen und vereinfachen
$\square = \frac{1}{2}$

Ergebnis:

Die gesuchte Zahl ist $\frac{1}{2}$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Vervollständige die Gleichung: $5 \cdot \square = \frac{2}{3}$

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Die Aufgabe als Divisionsaufgabe verstehen
Wir suchen die Zahl $\square = \frac{2}{3} \div 5$ .
Schritt 2
Bekannten Faktor in einen unechten Bruch umwandeln
Der Faktor ist $5 = \frac{5}{1}$ .

Die Aufgabe lautet also: $\square = \frac{2}{3} \div \frac{5}{1}$
Schritt 3
Kehrwert des bekannten Faktors bilden
Der Kehrwert von $\frac{5}{1}$ ist $\frac{1}{5}$ .
Schritt 4
Ergebnis mit dem Kehrwert multiplizieren
Wir rechnen: $\square = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{5}$

Hier kann nichts gekürzt werden.
Schritt 5 · Ergebnis
Ergebnis berechnen und vereinfachen
$\square = \frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 5} = \frac{2}{15}$

Ergebnis:

Die gesuchte Zahl ist $\frac{2}{15}$ .

Beispiel 5

Aufgabe

Vervollständige die Gleichung: $\square \cdot 1\frac{1}{5} = -6$

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Die Aufgabe als Divisionsaufgabe verstehen
Wir suchen die Zahl $\square = -6 \div 1\frac{1}{5}$ .
Schritt 2
Bekannten Faktor und Ergebnis in unechte Brüche umwandeln
Der Faktor ist $1\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{6}{5}$ .

Das Ergebnis ist $-6 = -\frac{6}{1}$ .

Die Aufgabe lautet also: $\square = -\frac{6}{1} \div \frac{6}{5}$
Schritt 3
Kehrwert des bekannten Faktors bilden
Der Kehrwert von $\frac{6}{5}$ ist $\frac{5}{6}$ .
Schritt 4
Ergebnis mit dem Kehrwert multiplizieren
Wir rechnen: $\square = -\frac{6}{1} \cdot \frac{5}{6}$

Wir kürzen die 6 mit der 6.

$-\frac{\cancel{6}^1}{1} \cdot \frac{5}{\cancel{6}_1} = -\frac{1}{1} \cdot \frac{5}{1}$
Schritt 5 · Ergebnis
Ergebnis berechnen und vereinfachen
$\square = -\frac{5}{1} = -5$

Ergebnis:

Die gesuchte Zahl ist $-5$ .

Wichtige Erkenntnisse

Negative Hochzahl: Eine negative Hochzahl bedeutet, dass du den Kehrwert der Potenz bildest. Die Formel ist $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ .
Alles in Brüche: Bevor du multiplizierst oder dividierst, wandle alle gemischten Zahlen und ganzen Zahlen in unechte Brüche um.
Frühzeitig kürzen: Kürze immer, bevor du multiplizierst. Das hält die Zahlen klein und vermeidet Rechenfehler.
Durch Bruch teilen: Um eine fehlende Zahl in einer Multiplikation zu finden, teilst du durch den bekannten Faktor. Das ist dasselbe wie mit dem Kehrwert zu multiplizieren.

Bruchrechnung für Fortgeschrittene: Negative Exponenten & mehr