Was sind rationale Zahlen und wie multipliziert man sie?

Rationale Zahlen sind alle Zahlen, die sich als Bruch darstellen lassen – also ganze Zahlen, Dezimalzahlen und negative Zahlen. Um sie zu multiplizieren, wandelst du zunächst alle Zahlen in Brüche um und wendest dann die Grundregel an: Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner . Bei negativen Vorzeichen zählst du die Minuszeichen: eine ungerade Anzahl ergibt ein negatives Ergebnis, eine gerade Anzahl ein positives.

Wie multiplizierst du Brüche Schritt für Schritt?

Gehe in vier Schritten vor: Alle Zahlen als Brüche schreiben (Dezimalzahlen und ganze Zahlen umwandeln). Vorzeichen bestimmen : gerade Anzahl Minus → positiv, ungerade → negativ. Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner multiplizieren. Den Ergebnisbruch vollständig kürzen . Tipp: Kürze schon vor dem Ausmultiplizieren über Kreuz, das spart Rechenarbeit.

Was bedeutet ein negativer Exponent bei einer Potenz?

Ein negativer Exponent bedeutet: bilde den Kehrwert und mache den Exponenten positiv. Die Regel lautet a −n = 1 / a n . Zum Beispiel ist 2 −3 = 1 / 2 3 = 1/8 . Der negative Exponent „verschiebt" die Potenz also vom Zähler in den Nenner und verliert dabei sein Minuszeichen.

Wie rechnest du mit gemischten Zahlen bei der Multiplikation?

Eine gemischte Zahl wie 2 ¼ muss vor dem Rechnen in einen unechten Bruch umgewandelt werden: Multipliziere die ganze Zahl mit dem Nenner und addiere den Zähler – 2 ¼ = (2·4+1)/4 = 9/4 . Danach kannst du ganz normal Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner rechnen. Ganze Zahlen schreibst du einfach mit Nenner 1, also 5 = 5/1 .

Warum solltest du beim Multiplizieren von Brüchen über Kreuz kürzen?

Über Kreuz kürzen heißt, du teilst den Zähler des einen Bruchs und den Nenner des anderen durch denselben Teiler, bevor du ausmultiplizierst. Das hält die Zwischenergebnisse klein und du musst am Ende weniger oder gar nicht mehr kürzen. Beispiel: Bei 3/5 · 5/3 kürzt du 3 mit 3 und 5 mit 5 – das Ergebnis ist sofort 1, ohne große Rechnung.

Rationale Zahlen und Potenzen multiplizieren

Rationale Zahlen und Potenzen multiplizieren klingt nach einem Regel-Dschungel aus Brüchen, negativen Zahlen und Potenzen – ist es aber nicht. Hinter all diesen Aufgaben steckt ein System, das sich wie ein Cheat-Code für Matheprüfungen anfühlt, sobald du es einmal verstanden hast. Du musst nicht raten, du kannst es einfach ausrechnen. In diesem Artikel zeigen wir dir die schnellsten Wege, um diese Aufgaben zu knacken: von der einfachen Bruchmultiplikation über gemischte Zahlen und Potenzen bis hin zu negativen Exponenten.

Vorwissen

Bevor wir loslegen, solltest du diese Grundlagen parat haben:

Bruch: Ein Bruch besteht aus einem Zähler (oben) und einem Nenner (unten). Er gibt einen Teil eines Ganzen an.
- Beispiel: Der Bruch $\frac{3}{4}$ bedeutet „drei von vier gleichen Teilen".
Dezimalzahl in Bruch umwandeln: Zähle die Nachkommastellen. Eine Stelle bedeutet Zehntel, zwei Stellen Hundertstel usw.
- Beispiel: $0{,}5 = \frac{5}{10}$ (kann zu $\frac{1}{2}$ gekürzt werden).
Gemischte Zahl in Bruch umwandeln: Multipliziere die ganze Zahl mit dem Nenner und addiere den Zähler. Der Nenner bleibt gleich.
- Beispiel: $2 \frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$ .
Potenz: Eine Potenz ist eine Kurzschreibweise für wiederholtes Multiplizieren derselben Zahl.
- Formel: $a^n = a \cdot a \cdot ... \cdot a$ ( $n$ -mal)
- Beispiel: $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ .

Aufgabentyp 1: Rationale Zahlen multiplizieren

Rationale Zahlen und Potenzen multiplizieren beginnt mit der wichtigsten Grundlage: der Multiplikation von Brüchen. Rationale Zahlen sind alle Zahlen, die du als Bruch darstellen kannst (also auch ganze Zahlen, Dezimalzahlen und negative Zahlen). Die Multiplikation von Brüchen ist die Grundlage für alles Weitere.

Die Grundregel: Um zwei Brüche zu multiplizieren, multiplizierst du Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner.

$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$

Vorzeichenregeln: Wenn du mit negativen Zahlen rechnest, gelten die üblichen Regeln:

Plus $\cdot$ Plus $\to$ Plus
Minus $\cdot$ Plus $\to$ Minus
Minus $\cdot$ Minus $\to$ Plus

Andere Zahlenarten: Dezimalzahlen, gemischte Zahlen oder ganze Zahlen musst du immer zuerst in einen Bruch umwandeln, bevor du die Regel anwendest.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Alles in Brüche umwandeln – Stelle sicher, dass alle Zahlen als Bruch geschrieben sind. Das gilt für Dezimalzahlen, gemischte Zahlen und ganze Zahlen.
Vorzeichen des Ergebnisses bestimmen – Zähle die negativen Vorzeichen. Eine ungerade Anzahl (1, 3, ...) bedeutet, das Ergebnis ist negativ. Eine gerade Anzahl (0, 2, 4, ...) bedeutet, das Ergebnis ist positiv.
Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner – Wende die Grundregel an: Multipliziere alle Zähler miteinander und alle Nenner miteinander.
Kürzen und vereinfachen – Kürze den Ergebnisbruch so weit wie möglich. Oft ist es einfacher, schon vor dem Ausmultiplizieren „über Kreuz" zu kürzen.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Berechne: $\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5}$

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Alles in Brüche umwandeln
Beide Zahlen sind bereits Brüche. Wir können direkt loslegen.
Schritt 2
Vorzeichen des Ergebnisses bestimmen
Beide Brüche sind positiv, also ist das Ergebnis auch positiv.
Schritt 3
Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner
Wir multiplizieren die Zähler (2 und 4) und die Nenner (3 und 5).

$\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 5} = \frac{8}{15}$
Schritt 4 · Ergebnis
Kürzen und vereinfachen
Der Bruch $\frac{8}{15}$ kann nicht weiter gekürzt werden. Das ist das Endergebnis.

Ergebnis:

$\frac{8}{15}$

Beispiel 2

Aufgabe

Berechne: $\left(-\frac{3}{4}\right) \cdot \frac{5}{7}$

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Alles in Brüche umwandeln
Beide Zahlen sind bereits Brüche.
Schritt 2
Vorzeichen des Ergebnisses bestimmen
Wir haben ein negatives Vorzeichen. Minus mal Plus ergibt Minus. Das Ergebnis wird also negativ sein.
Schritt 3
Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner
Wir multiplizieren die Beträge der Brüche.

$-\frac{3}{4} \cdot \frac{5}{7} = -\frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 7} = -\frac{15}{28}$
Schritt 4 · Ergebnis
Kürzen und vereinfachen
Der Bruch $\frac{15}{28}$ kann nicht weiter gekürzt werden. Das Endergebnis ist $-\frac{15}{28}$ .

Ergebnis:

$-\frac{15}{28}$

Beispiel 3

Aufgabe

Berechne: $0{,}2 \cdot \frac{3}{5}$

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Alles in Brüche umwandeln
Die Dezimalzahl $0{,}2$ muss zuerst in einen Bruch umgewandelt werden. $0{,}2$ bedeutet „zwei Zehntel".

$0{,}2 = \frac{2}{10}$

Diesen Bruch können wir kürzen:

$\frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

Die Aufgabe lautet jetzt: $\frac{1}{5} \cdot \frac{3}{5}$
Schritt 2
Vorzeichen des Ergebnisses bestimmen
Beide Zahlen sind positiv, das Ergebnis ist positiv.
Schritt 3
Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner
$\frac{1}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{1 \cdot 3}{5 \cdot 5} = \frac{3}{25}$
Schritt 4 · Ergebnis
Kürzen und vereinfachen
Der Bruch $\frac{3}{25}$ ist bereits vollständig gekürzt.

Ergebnis:

$\frac{3}{25}$

Beispiel 4

Aufgabe

Berechne: $\left(\frac{2}{3}\right)^2$

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Alles in Brüche umwandeln
Die Potenz bedeutet, dass der Bruch mit sich selbst multipliziert wird.

$\left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3}$
Schritt 2
Vorzeichen des Ergebnisses bestimmen
Alle Zahlen sind positiv, das Ergebnis ist positiv.
Schritt 3
Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner
Man kann auch sagen: Der Exponent bezieht sich auf den Zähler und den Nenner.

$\left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 3} = \frac{4}{9}$
Schritt 4 · Ergebnis
Kürzen und vereinfachen
Der Bruch $\frac{4}{9}$ kann nicht gekürzt werden.

Ergebnis:

$\frac{4}{9}$

Beispiel 5

Aufgabe

Berechne: $\left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \left(-\frac{4}{5}\right)$

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Alles in Brüche umwandeln
Beide Zahlen sind bereits Brüche.
Schritt 2
Vorzeichen des Ergebnisses bestimmen
Wir multiplizieren Minus mal Minus. Das Ergebnis ist also positiv.
Schritt 3
Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner
Wir können die Vorzeichen jetzt ignorieren und rechnen:

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5} = \frac{1 \cdot 4}{2 \cdot 5} = \frac{4}{10}$
Schritt 4 · Ergebnis
Kürzen und vereinfachen
Der Bruch $\frac{4}{10}$ kann gekürzt werden. Wir teilen Zähler und Nenner durch 2.

$\frac{4 : 2}{10 : 2} = \frac{2}{5}$

Das Endergebnis ist $\frac{2}{5}$ .

Ergebnis:

$\frac{2}{5}$

Aufgabentyp 2: Multiplikation mit gemischten Zahlen und Potenzen

Bei Aufgaben mit gemischten Zahlen, ganzen Zahlen oder Potenzen von Brüchen ist die Vorbereitung entscheidend. Die Regel „Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner" funktioniert nur für einfache Brüche. Daher müssen wir zuerst alles in diese Form bringen.

Gemischte Zahlen: Eine gemischte Zahl wie $2 \frac{1}{3}$ muss immer in einen unechten Bruch umgewandelt werden, bevor du rechnest. $2 \frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$

Ganze Zahlen: Eine ganze Zahl wie $5$ kann als Bruch geschrieben werden, indem man eine 1 in den Nenner setzt. $5 = \frac{5}{1}$

Potenzen von Brüchen: Eine Potenz wie $\left(\frac{2}{5}\right)^2$ muss zuerst ausgerechnet werden. $\left(\frac{2}{5}\right)^2 = \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} = \frac{4}{25}$

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Potenzen auflösen – Falls Potenzen von Brüchen vorkommen, berechne diese zuerst.
Gemischte und ganze Zahlen in Brüche umwandeln – Wandle alle gemischten Zahlen in unechte Brüche und alle ganzen Zahlen in Brüche mit Nenner 1 um.
Brüche multiplizieren – Multipliziere nun alle Brüche nach der Regel: Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner. Tipp: Kürze über Kreuz, bevor du ausmultiplizierst, das spart Arbeit!
Ergebnis kürzen – Stelle sicher, dass der Ergebnisbruch vollständig gekürzt ist.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Berechne: $\frac{3}{5} \cdot 1 \frac{2}{3}$

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Potenzen auflösen
Es gibt keine Potenzen in dieser Aufgabe.
Schritt 2
Gemischte und ganze Zahlen in Brüche umwandeln
Wir wandeln die gemischte Zahl $1 \frac{2}{3}$ in einen unechten Bruch um.

$1 \frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{5}{3}$

Die Aufgabe lautet jetzt: $\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{3}$
Schritt 3
Brüche multiplizieren
Wir multiplizieren die Brüche. Hier können wir perfekt über Kreuz kürzen.

$\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{3} = \frac{\cancel{3}^1}{\cancel{5}_1} \cdot \frac{\cancel{5}^1}{\cancel{3}_1} = \frac{1 \cdot 1}{1 \cdot 1} = \frac{1}{1} = 1$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis kürzen
Das Ergebnis ist 1 und kann nicht weiter vereinfacht werden.

Ergebnis:

$1$

Beispiel 2

Aufgabe

Berechne: $\left(\frac{1}{2}\right)^3 \cdot 16$

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Potenzen auflösen
Wir berechnen zuerst die Potenz $\left(\frac{1}{2}\right)^3$ .

$\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1^3}{2^3} = \frac{1 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 2 \cdot 2} = \frac{1}{8}$
Schritt 2
Gemischte und ganze Zahlen in Brüche umwandeln
Wir wandeln die ganze Zahl $16$ in einen Bruch um.

$16 = \frac{16}{1}$

Die Aufgabe lautet jetzt: $\frac{1}{8} \cdot \frac{16}{1}$
Schritt 3
Brüche multiplizieren
Wir multiplizieren und kürzen.

$\frac{1}{8} \cdot \frac{16}{1} = \frac{1 \cdot 16}{8 \cdot 1} = \frac{16}{8}$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis kürzen
Der Bruch $\frac{16}{8}$ kann gekürzt werden. $16$ geteilt durch $8$ ist $2$ .

$\frac{16}{8} = 2$

Das Endergebnis ist 2.

Ergebnis:

$2$

Beispiel 3

Aufgabe

Berechne: $\frac{7}{10} \cdot 5$

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Potenzen auflösen
Es gibt keine Potenzen.
Schritt 2
Gemischte und ganze Zahlen in Brüche umwandeln
Wir wandeln die ganze Zahl $5$ in einen Bruch um.

$5 = \frac{5}{1}$

Die Aufgabe lautet jetzt: $\frac{7}{10} \cdot \frac{5}{1}$
Schritt 3
Brüche multiplizieren
$\frac{7}{10} \cdot \frac{5}{1} = \frac{7 \cdot 5}{10 \cdot 1} = \frac{35}{10}$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis kürzen
Wir können den Bruch $\frac{35}{10}$ mit 5 kürzen.

$\frac{35 : 5}{10 : 5} = \frac{7}{2}$

Das Ergebnis ist $\frac{7}{2}$ . Man könnte es auch als $3 \frac{1}{2}$ oder $3{,}5$ schreiben.

Ergebnis:

$\frac{7}{2}$

Beispiel 4

Aufgabe

Berechne: $2 \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{9}$

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Potenzen auflösen
Es gibt keine Potenzen.
Schritt 2
Gemischte und ganze Zahlen in Brüche umwandeln
Wir wandeln die gemischte Zahl $2 \frac{1}{4}$ um.

$2 \frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$

Die Aufgabe lautet jetzt: $\frac{9}{4} \cdot \frac{2}{9}$
Schritt 3
Brüche multiplizieren
Wir kürzen über Kreuz.

$\frac{9}{4} \cdot \frac{2}{9} = \frac{\cancel{9}^1}{\cancel{4}_2} \cdot \frac{\cancel{2}^1}{\cancel{9}_1} = \frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2}$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis kürzen
Das Ergebnis $\frac{1}{2}$ ist bereits vollständig gekürzt.

Ergebnis:

$\frac{1}{2}$

Beispiel 5

Aufgabe

Berechne: $\left(\frac{3}{2}\right)^2 \cdot \frac{8}{27}$

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Potenzen auflösen
Wir berechnen $\left(\frac{3}{2}\right)^2$ .

$\left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{3^2}{2^2} = \frac{9}{4}$
Schritt 2
Gemischte und ganze Zahlen in Brüche umwandeln
Es gibt keine gemischten oder ganzen Zahlen.

Die Aufgabe lautet jetzt: $\frac{9}{4} \cdot \frac{8}{27}$
Schritt 3
Brüche multiplizieren
Wir multiplizieren und kürzen.

$\frac{9}{4} \cdot \frac{8}{27} = \frac{\cancel{9}^1}{\cancel{4}_1} \cdot \frac{\cancel{8}^2}{\cancel{27}_3} = \frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 3} = \frac{2}{3}$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis kürzen
Das Ergebnis $\frac{2}{3}$ ist vollständig gekürzt.

Ergebnis:

$\frac{2}{3}$

Aufgabentyp 3: Potenzen mit negativem Exponenten

Ein negativer Exponent sieht kompliziert aus, folgt aber einer einfachen Regel. Er bedeutet „Bilde den Kehrwert und mache den Exponenten positiv".

Die Regel: Eine Zahl $a$ hoch einem negativen Exponenten $-n$ ist dasselbe wie 1 geteilt durch die Zahl $a$ hoch dem positiven Exponenten $n$ .

$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

Beispiel: $3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$

Im Grunde „verschiebt" der negative Exponent die Potenz vom Zähler in den Nenner (oder umgekehrt) und verliert dabei sein Minuszeichen.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Regel für negative Exponenten anwenden – Schreibe die Potenz als Bruch, indem du eine 1 in den Zähler und die Potenz mit positivem Exponenten in den Nenner schreibst: $a^{-n} \to \frac{1}{a^n}$ .
Potenz im Nenner berechnen – Rechne die Potenz im Nenner des neuen Bruchs aus.
Ergebnis notieren – Der resultierende Bruch ist dein Endergebnis. Er ist immer vollständig gekürzt, wenn die Basis eine ganze Zahl ist.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Berechne den Wert von $2^{-3}$ .

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Regel für negative Exponenten anwenden
Wir wandeln die Potenz mit dem negativen Exponenten in einen Bruch um.

$2^{-3} = \frac{1}{2^3}$
Schritt 2
Potenz im Nenner berechnen
Jetzt berechnen wir den Wert von $2^3$ im Nenner.

$2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$
Schritt 3 · Ergebnis
Ergebnis notieren
Wir setzen das Ergebnis in den Bruch ein.

$\frac{1}{8}$

Ergebnis:

Der Wert von $2^{-3}$ ist $\frac{1}{8}$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Berechne den Wert von $5^{-2}$ .

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Regel für negative Exponenten anwenden
Wir formen die Potenz um.

$5^{-2} = \frac{1}{5^2}$
Schritt 2
Potenz im Nenner berechnen
Wir berechnen $5^2$ .

$5^2 = 5 \cdot 5 = 25$
Schritt 3 · Ergebnis
Ergebnis notieren
Das Ergebnis ist der Bruch.

$\frac{1}{25}$

Ergebnis:

$\frac{1}{25}$

Beispiel 3

Aufgabe

Berechne den Wert von $10^{-4}$ .

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Regel für negative Exponenten anwenden
Wir formen die Potenz um.

$10^{-4} = \frac{1}{10^4}$
Schritt 2
Potenz im Nenner berechnen
Wir berechnen $10^4$ .

$10^4 = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10000$
Schritt 3 · Ergebnis
Ergebnis notieren
Das Ergebnis ist der Bruch.

$\frac{1}{10000}$

Ergebnis:

$\frac{1}{10000}$

Beispiel 4

Aufgabe

Berechne den Wert von $1^{-7}$ .

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Regel für negative Exponenten anwenden
Wir formen die Potenz um.

$1^{-7} = \frac{1}{1^7}$
Schritt 2
Potenz im Nenner berechnen
Wir berechnen $1^7$ . Eins hoch irgendetwas ist immer eins.

$1^7 = 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$
Schritt 3 · Ergebnis
Ergebnis notieren
Wir setzen das Ergebnis ein.

$\frac{1}{1} = 1$

Ergebnis:

Der Wert von $1^{-7}$ ist $1$ .

Beispiel 5

Aufgabe

Berechne den Wert von $4^{-1}$ .

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Regel für negative Exponenten anwenden
Wir formen die Potenz um.

$4^{-1} = \frac{1}{4^1}$
Schritt 2
Potenz im Nenner berechnen
Wir berechnen $4^1$ . Jede Zahl hoch 1 ist die Zahl selbst.

$4^1 = 4$
Schritt 3 · Ergebnis
Ergebnis notieren
Das Ergebnis ist der Bruch.

$\frac{1}{4}$

Ergebnis:

$\frac{1}{4}$

Aufgabentyp 4: Negative Potenzen mit Brüchen multiplizieren

Jetzt kombinieren wir, was wir gelernt haben. Wenn du eine Potenz mit einem negativen Exponenten mit einem Bruch multiplizieren sollst, ist der erste Schritt immer derselbe: Wandle die Potenz in einen Bruch um. Danach hast du eine einfache Multiplikation von zwei Brüchen, die du bereits kennst.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Potenz mit negativem Exponenten in einen Bruch umwandeln – Wende die Regel $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ an und rechne die Potenz im Nenner aus.
Die beiden Brüche multiplizieren – Setze den neuen Bruch in die ursprüngliche Aufgabe ein und multipliziere ihn mit dem anderen Bruch (Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner).
Ergebnis kürzen – Vereinfache den Ergebnisbruch so weit wie möglich.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Berechne: $2^{-2} \cdot \frac{8}{5}$

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Potenz mit negativem Exponenten in einen Bruch umwandeln
Wir wandeln zuerst $2^{-2}$ um.

$2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$
Schritt 2
Die beiden Brüche multiplizieren
Jetzt setzen wir diesen Bruch in die Aufgabe ein.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{8}{5}$

Wir multiplizieren und kürzen dabei.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{8}{5} = \frac{1 \cdot 8}{4 \cdot 5} = \frac{8}{20}$
Schritt 3 · Ergebnis
Ergebnis kürzen
Wir kürzen den Bruch $\frac{8}{20}$ mit dem größten gemeinsamen Teiler, der 4 ist.

$\frac{8 : 4}{20 : 4} = \frac{2}{5}$

Ergebnis:

$\frac{2}{5}$

Beispiel 2

Aufgabe

Berechne: $3^{-1} \cdot \frac{12}{7}$

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Potenz mit negativem Exponenten in einen Bruch umwandeln
Wir wandeln $3^{-1}$ um.

$3^{-1} = \frac{1}{3^1} = \frac{1}{3}$
Schritt 2
Die beiden Brüche multiplizieren
Wir setzen den Bruch in die Aufgabe ein.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{12}{7}$

Wir multiplizieren und kürzen.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{12}{7} = \frac{1 \cdot 12}{3 \cdot 7} = \frac{12}{21}$
Schritt 3 · Ergebnis
Ergebnis kürzen
Wir kürzen den Bruch $\frac{12}{21}$ mit 3.

$\frac{12 : 3}{21 : 3} = \frac{4}{7}$

Ergebnis:

$\frac{4}{7}$

Beispiel 3

Aufgabe

Berechne: $5^{-2} \cdot 50$

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Potenz mit negativem Exponenten in einen Bruch umwandeln
Wir wandeln $5^{-2}$ um.

$5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$
Schritt 2
Die beiden Brüche multiplizieren
Wir setzen den Bruch ein und schreiben 50 als Bruch $\frac{50}{1}$ .

$\frac{1}{25} \cdot \frac{50}{1}$

Wir multiplizieren.

$\frac{1}{25} \cdot \frac{50}{1} = \frac{1 \cdot 50}{25 \cdot 1} = \frac{50}{25}$
Schritt 3 · Ergebnis
Ergebnis kürzen
Wir teilen 50 durch 25.

$\frac{50}{25} = 2$

Ergebnis:

$2$

Beispiel 4

Aufgabe

Berechne: $10^{-3} \cdot \frac{100}{3}$

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Potenz mit negativem Exponenten in einen Bruch umwandeln
Wir wandeln $10^{-3}$ um.

$10^{-3} = \frac{1}{10^3} = \frac{1}{1000}$
Schritt 2
Die beiden Brüche multiplizieren
Wir setzen den Bruch in die Aufgabe ein.

$\frac{1}{1000} \cdot \frac{100}{3}$

Wir multiplizieren.

$\frac{1}{1000} \cdot \frac{100}{3} = \frac{1 \cdot 100}{1000 \cdot 3} = \frac{100}{3000}$
Schritt 3 · Ergebnis
Ergebnis kürzen
Wir können den Bruch $\frac{100}{3000}$ mit 100 kürzen.

$\frac{100 : 100}{3000 : 100} = \frac{1}{30}$

Ergebnis:

$\frac{1}{30}$

Beispiel 5

Aufgabe

Berechne: $4^{-2} \cdot \frac{16}{3}$

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Potenz mit negativem Exponenten in einen Bruch umwandeln
Wir wandeln $4^{-2}$ um.

$4^{-2} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16}$
Schritt 2
Die beiden Brüche multiplizieren
Wir setzen den Bruch in die Aufgabe ein.

$\frac{1}{16} \cdot \frac{16}{3}$

Wir multiplizieren und können direkt kürzen.

$\frac{1}{\cancel{16}_1} \cdot \frac{\cancel{16}^1}{3} = \frac{1 \cdot 1}{1 \cdot 3} = \frac{1}{3}$
Schritt 3 · Ergebnis
Ergebnis kürzen
Das Ergebnis $\frac{1}{3}$ ist bereits vollständig gekürzt.

Ergebnis:

$\frac{1}{3}$

Wichtige Erkenntnisse

Grundregel der Multiplikation: Immer Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner.
Vorbereitung ist alles: Wandle Dezimalzahlen, gemischte Zahlen und ganze Zahlen immer zuerst in Brüche um.
Potenzen zuerst: Berechne Potenzen, bevor du multiplizierst. $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$ .
Negative Exponenten: Ein negativer Exponent bedeutet „Kehrwert bilden". Die Regel lautet: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ .
Kürzen spart Zeit: Kürze Brüche so früh wie möglich, am besten schon vor dem Ausmultiplizieren über Kreuz.

Rationale Zahlen und Potenzen multiplizieren – einfach erklärt