Rationale Zahlen und Potenzen multiplizieren einfach erklärt

Stell dir vor, von deiner Lieblingspizza ist noch genau eine halbe Pizza übrig. Dein bester Freund bittet dich nun um die Hälfte von diesem Rest. Wie viel von der ganzen Pizza bekommt er?

Wenn du die Hälfte von einer Hälfte nimmst, rechnest du eigentlich $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$. Das Ergebnis ist ein Viertel der ganzen Pizza! In diesem Artikel lernst du, wie du nicht nur einfache Brüche, sondern auch Kommazahlen, gemischte Zahlen und sogar Potenzen ganz leicht miteinander multiplizieren kannst.

Vorwissen

• Gemischte Zahlen umwandeln: Eine ganze Zahl und ein Bruch werden zu einem einzigen Bruch zusammengefasst.

  Beispiel: $1 \frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{5}{3}$

• Dezimalzahlen umwandeln: Die Nachkommastellen bestimmen den Nenner (Zehntel, Hundertstel etc.).

  Beispiel: $0{,}4 = \frac{4}{10}$, was gekürzt $\frac{2}{5}$ ergibt.

• Vorzeichenregeln: Gleiche Vorzeichen ergeben Plus, unterschiedliche Vorzeichen ergeben Minus.

  Beispiel: $(+) \cdot (-) = (-)$ und $(-) \cdot (-) = (+)$

Aufgabentyp 1: Verschiedene Zahlenarten multiplizieren

Um Brüche zu multiplizieren, gibt es eine einfache goldene Regel: Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner. Das sieht in der Mathematik so aus:

$\frac{\textcolor{#08BFFF}{2}}{\textcolor{#9570FF}{3}} \cdot \frac{\textcolor{#08BFFF}{4}}{\textcolor{#9570FF}{5}} = \frac{\textcolor{#08BFFF}{2} \cdot \textcolor{#08BFFF}{4}}{\textcolor{#9570FF}{3} \cdot \textcolor{#9570FF}{5}} = \frac{\textcolor{#08BFFF}{8}}{\textcolor{#9570FF}{15}}$

Aber was passiert, wenn wir Kommazahlen, gemischte Zahlen oder negative Zahlen haben? Der Trick ist: Wir verwandeln zuerst alles in ganz normale Brüche!

Wenn du zum Beispiel $0{,}5 \cdot 1 \frac{1}{2}$ rechnen sollst, wandelst du zuerst die Kommazahl in $\frac{1}{2}$ und die gemischte Zahl in $\frac{3}{2}$ um. Erst danach wendest du die goldene Regel an. So wird jede noch so komplizierte Aufgabe zu einer ganz einfachen Bruch-Multiplikation.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Alles in Brüche umwandeln: Wandle alle Kommazahlen, gemischten Zahlen oder Potenzen in normale Brüche um.
2. Vorzeichen bestimmen: Schau dir die Vorzeichen an. Ein positives und ein negatives Vorzeichen ergeben zusammen ein Minus für das Endergebnis.
3. Kürzen (wenn möglich): Prüfe, ob du eine Zahl im Zähler (oben) und eine Zahl im Nenner (unten) durch dieselbe Zahl teilen kannst. Das macht die Zahlen kleiner und das Rechnen leichter.
4. Multiplizieren: Rechne Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner.

Durchgerechnete Beispiele

Aufgabentyp 2: Potenzen mit negativen Exponenten

Bisher kennst du Potenzen wie $3^2 = 3 \cdot 3 = 9$. Aber was bedeutet ein Minus im Exponenten, wie bei $3^{\textcolor{#FF7D57}{-}2}$?

Das Minuszeichen ist wie ein Fahrstuhl-Kommando. Es sagt der Potenz: 'Fahre nach unten unter einen Bruchstrich!'

Sobald die Potenz im Nenner (unten) angekommen ist, verschwindet das Minuszeichen. Oben im Zähler bleibt eine $1$ stehen:

$3^{\textcolor{#FF7D57}{-}2} = \frac{1}{3^2}$

Danach rechnest du die Potenz im Nenner einfach ganz normal aus: $3^2 = 9$. Das Endergebnis ist also $\frac{1}{9}$.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. In einen Bruch umwandeln: Schreibe eine $1$ in den Zähler. Schreibe die Potenz in den Nenner und lasse dabei das Minuszeichen im Exponenten weg.
2. Nenner ausrechnen: Berechne die normale Potenz im Nenner, um das Endergebnis zu erhalten.

Durchgerechnete Beispiele

Wichtige Erkenntnisse

• Die goldene Regel: Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner.
• Vorbereitung ist alles: Wandle Kommazahlen und gemischte Zahlen immer zuerst in normale Brüche um, bevor du multiplizierst.
• Negative Exponenten: Ein Minus im Exponenten schiebt die Potenz in den Nenner: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.