Anwendungsaufgaben Prisma einfach erklärt: Volumen berechnen

Die Grundfläche G ist die abgebildete Figur. Die Höhe h ist gegeben mit $h = 10 \text{ cm}$.

Wir zerlegen die Figur in ein mittleres Rechteck und zwei seitliche, rechtwinklige Dreiecke.

Wir lesen die Längen aus dem Gitter ab:

• Linkes Dreieck ($A_1$): Grundseite $g = 2 \text{ cm}$, Höhe $h_D = 4 \text{ cm}$. $A_1 = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h_D = \frac{1}{2} \cdot 2 \text{ cm} \cdot 4 \text{ cm} = 4 \text{ cm}^2$

• Mittleres Rechteck ($A_2$): Seite $a = 4 \text{ cm}$, Seite $b = 4 \text{ cm}$. $A_2 = a \cdot b = 4 \text{ cm} \cdot 4 \text{ cm} = 16 \text{ cm}^2$

• Rechtes Dreieck ($A_3$): Grundseite $g = 2 \text{ cm}$, Höhe $h_D = 4 \text{ cm}$. $A_3 = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h_D = \frac{1}{2} \cdot 2 \text{ cm} \cdot 4 \text{ cm} = 4 \text{ cm}^2$

Wir addieren die Teilflächen: $G = A_1 + A_2 + A_3$

$G = 4 \text{ cm}^2 + 16 \text{ cm}^2 + 4 \text{ cm}^2 = 24 \text{ cm}^2$

Wir setzen $G = 24 \text{ cm}^2$ und $h = 10 \text{ cm}$ in die Volumenformel ein: $V = G \cdot h$

$V = 24 \text{ cm}^2 \cdot 10 \text{ cm}$

$V = 240 \text{ cm}^3$

Die Grundfläche G ist die L-förmige Figur. Die Höhe h ist $h = 5 \text{ cm}$.

Wir können die L-Form in zwei Rechtecke zerlegen. Wir ziehen eine horizontale Linie.

• Oberes Rechteck ($A_1$): Seitenlängen $3 \text{ cm}$ und $3 \text{ cm}$. $A_1 = 3 \text{ cm} \cdot 3 \text{ cm} = 9 \text{ cm}^2$

• Unteres Rechteck ($A_2$): Seitenlängen $6 \text{ cm}$ und $2 \text{ cm}$. $A_2 = 6 \text{ cm} \cdot 2 \text{ cm} = 12 \text{ cm}^2$

$G = A_1 + A_2$

$G = 9 \text{ cm}^2 + 12 \text{ cm}^2 = 21 \text{ cm}^2$

$V = G \cdot h$

$V = 21 \text{ cm}^2 \cdot 5 \text{ cm}$

$V = 105 \text{ cm}^3$

Die Grundfläche G ist die „Haus"-Form. Die Höhe h ist $h = 20 \text{ cm}$.

Wir zerlegen die Figur in ein unteres Rechteck (der „Hauskörper") und ein oberes Dreieck (das „Dach").

• Unteres Rechteck ($A_1$): Seitenlängen $8 \text{ cm}$ und $4 \text{ cm}$. $A_1 = 8 \text{ cm} \cdot 4 \text{ cm} = 32 \text{ cm}^2$

• Oberes Dreieck ($A_2$): Grundseite $g = 8 \text{ cm}$, Höhe $h_D = 3 \text{ cm}$. $A_2 = \frac{1}{2} \cdot 8 \text{ cm} \cdot 3 \text{ cm} = 12 \text{ cm}^2$

$G = A_1 + A_2$

$G = 32 \text{ cm}^2 + 12 \text{ cm}^2 = 44 \text{ cm}^2$

$V = G \cdot h$

$V = 44 \text{ cm}^2 \cdot 20 \text{ cm}$

$V = 880 \text{ cm}^3$

Die Grundfläche G ist das Rechteck mit dem ausgeschnittenen Dreieck. Die Höhe h ist $h = 8 \text{ cm}$.

Hier ist es einfacher, die Fläche des ausgeschnittenen Dreiecks von der Fläche des großen Rechtecks abzuziehen.

• Großes Rechteck ($A_{Rechteck}$): Seitenlängen $10 \text{ cm}$ und $6 \text{ cm}$. $A_{Rechteck} = 10 \text{ cm} \cdot 6 \text{ cm} = 60 \text{ cm}^2$

• Ausgeschnittenes Dreieck ($A_{Dreieck}$): Die Grundseite des Dreiecks ist $8 \text{ cm} - 3 \text{ cm} = 5 \text{ cm}$ lang. Die Höhe des Dreiecks ist $6 \text{ cm} - 3 \text{ cm} = 3 \text{ cm}$. $A_{Dreieck} = \frac{1}{2} \cdot 5 \text{ cm} \cdot 3 \text{ cm} = 7{,}5 \text{ cm}^2$

$G = A_{Rechteck} - A_{Dreieck}$

$G = 60 \text{ cm}^2 - 7{,}5 \text{ cm}^2 = 52{,}5 \text{ cm}^2$

$V = G \cdot h$

$V = 52{,}5 \text{ cm}^2 \cdot 8 \text{ cm}$

$V = 420 \text{ cm}^3$

Die Grundfläche G ist die Kreuzform. Die Höhe h ist $h = 12 \text{ cm}$.

Wir zerlegen das Kreuz in ein zentrales Quadrat und vier anliegende Rechtecke.

• Zentrales Quadrat ($A_1$): Seitenlängen $2 \text{ cm}$ und $2 \text{ cm}$. $A_1 = 2 \text{ cm} \cdot 2 \text{ cm} = 4 \text{ cm}^2$

• Vier äußere Rechtecke ($A_2, A_3, A_4, A_5$): Jedes hat die Seitenlängen $2 \text{ cm}$ und $2 \text{ cm}$. $A_{Rechteck} = 2 \text{ cm} \cdot 2 \text{ cm} = 4 \text{ cm}^2$

$G = A_1 + 4 \cdot A_{Rechteck}$

$G = 4 \text{ cm}^2 + 4 \cdot 4 \text{ cm}^2 = 4 \text{ cm}^2 + 16 \text{ cm}^2 = 20 \text{ cm}^2$

$V = G \cdot h$

$V = 20 \text{ cm}^2 \cdot 12 \text{ cm}$

$V = 240 \text{ cm}^3$

Es geht um einen quaderförmigen Swimmingpool. Ein Quader ist ein spezielles Prisma mit einer rechteckigen Grundfläche.

• Der Körper ist ein Prisma.
• Die Grundfläche G ist der Boden des Pools: ein Rechteck mit den Seiten $10 \text{ m}$ und $5 \text{ m}$.
• Die Höhe h des Prismas ist die Tiefe des Pools: $2 \text{ m}$.

Alle Angaben sind in Metern. Keine Umrechnung nötig.

Die Grundfläche ist ein Rechteck. $G = a \cdot b$

$G = 10 \text{ m} \cdot 5 \text{ m} = 50 \text{ m}^2$

$V = G \cdot h$

$V = 50 \text{ m}^2 \cdot 2 \text{ m}$

$V = 100 \text{ m}^3$

Der Deich ist ein langer Körper mit gleichbleibendem trapezförmigen Querschnitt. Es handelt sich um ein liegendes Prisma.

• Der Körper ist ein Prisma.
• Die Grundfläche G ist der trapezförmige Querschnitt.
• Die Höhe h des Prismas ist die Länge des Deiches.

Die Maße des Trapezes sind in Metern, die Länge des Deiches in Kilometern. Wir müssen die Länge umrechnen. Länge $= 2 \text{ km} = 2 \cdot 1000 \text{ m} = 2000 \text{ m}$. Dies ist unsere Prismahöhe $h$.

Die Grundfläche ist ein Trapez mit $a=12 \text{ m}$, $c=4 \text{ m}$ und Trapezhöhe $h_T=5 \text{ m}$. $G = \frac{a+c}{2} \cdot h_T$

$G = \frac{12 \text{ m} + 4 \text{ m}}{2} \cdot 5 \text{ m} = \frac{16 \text{ m}}{2} \cdot 5 \text{ m} = 8 \text{ m} \cdot 5 \text{ m} = 40 \text{ m}^2$

$V = G \cdot h$

$V = 40 \text{ m}^2 \cdot 2000 \text{ m}$

$V = 80.000 \text{ m}^3$

Das Zelt wird als Prisma mit dreieckiger Grundfläche beschrieben.

• Der Körper ist ein Prisma.
• Die Grundfläche G ist die dreieckige Vorderseite.
• Die Höhe h des Prismas ist die Länge des Zeltes.

Alle Angaben sind in Metern. Keine Umrechnung nötig.

Die Grundfläche ist ein Dreieck mit Grundseite $g = 1{,}80 \text{ m}$ und Dreieckshöhe $h_D = 1{,}20 \text{ m}$. $G = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h_D$

$G = \frac{1}{2} \cdot 1{,}80 \text{ m} \cdot 1{,}20 \text{ m} = 1{,}08 \text{ m}^2$

Die Prismahöhe ist die Länge des Zeltes: $h = 2{,}50 \text{ m}$. $V = G \cdot h$

$V = 1{,}08 \text{ m}^2 \cdot 2{,}50 \text{ m}$

$V = 2{,}7 \text{ m}^3$

Der Träger ist ein langes Objekt mit konstantem quadratischem Querschnitt, also ein Prisma.

• Der Körper ist ein Prisma.
• Die Grundfläche G ist das Quadrat.
• Die Höhe h des Prismas ist die Länge des Trägers.

Die Kantenlänge ist in cm, die Länge in m. Wir rechnen alles in Meter um, da das Ergebnis in Kubikmetern verlangt wird. Kantenlänge $= 40 \text{ cm} = 0{,}4 \text{ m}$. Länge (Prismahöhe) $h = 5 \text{ m}$.

Die Grundfläche ist ein Quadrat mit der Seite $a = 0{,}4 \text{ m}$. $G = a^2$

$G = (0{,}4 \text{ m})^2 = 0{,}16 \text{ m}^2$

$V = G \cdot h$

$V = 0{,}16 \text{ m}^2 \cdot 5 \text{ m}$

$V = 0{,}8 \text{ m}^3$

Die Verpackung wird direkt als Prisma mit dreieckiger Grundfläche beschrieben.

• Der Körper ist ein Prisma.
• Die Grundfläche G ist das Dreieck.
• Die Höhe h des Prismas ist die Länge der Verpackung.

Alle Angaben sind in Zentimetern. Keine Umrechnung nötig.

Die Grundfläche ist ein Dreieck mit Grundseite $g = 4 \text{ cm}$ und Dreieckshöhe $h_D = 3{,}5 \text{ cm}$. $G = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h_D$

$G = \frac{1}{2} \cdot 4 \text{ cm} \cdot 3{,}5 \text{ cm} = 7 \text{ cm}^2$

Die Prismahöhe ist die Länge der Verpackung: $h = 20 \text{ cm}$. $V = G \cdot h$

$V = 7 \text{ cm}^2 \cdot 20 \text{ cm}$

$V = 140 \text{ cm}^3$