Prisma Oberfläche berechnen: Schritt für Schritt erklärt

Aus der Aufgabe entnehmen wir:

• Seitenlänge der Grundfläche: $a = 4 \text{ cm}$
• Höhe des Prismas: $h = 10 \text{ cm}$
• Die Grundfläche ist ein Dreieck, also hat sie 3 Seiten.

Da es ein reguläres (gleichseitiges) Dreieck ist, sind alle drei Seiten gleich lang.

$U = 3 \cdot a$

$U = 3 \cdot 4 \text{ cm} = 12 \text{ cm}$

Wir setzen $U = 12 \text{ cm}$ und $h = 10 \text{ cm}$ in die Formel ein.

$M = U \cdot h$

$M = 12 \text{ cm} \cdot 10 \text{ cm}$

$M = 120 \text{ cm}^2$

• Seitenlänge der Grundfläche: $a = 5 \text{ cm}$
• Höhe des Prismas: $h = 8 \text{ cm}$
• Die Grundfläche ist ein Quadrat, also hat sie 4 Seiten.

Ein Quadrat hat vier gleich lange Seiten.

$U = 4 \cdot a$

$U = 4 \cdot 5 \text{ cm} = 20 \text{ cm}$

Wir setzen die berechneten und gegebenen Werte in die Formel ein.

$M = U \cdot h$

$M = 20 \text{ cm} \cdot 8 \text{ cm}$

$M = 160 \text{ cm}^2$

• Seitenlänge der Grundfläche: $a = 3 \text{ cm}$
• Höhe des Prismas: $h = 12 \text{ cm}$
• Die Grundfläche ist ein Sechseck, also hat sie 6 Seiten.

Da die Grundfläche ein regelmäßiges Sechseck ist, sind alle 6 Seiten gleich lang.

$U = 6 \cdot a$

$U = 6 \cdot 3 \text{ cm} = 18 \text{ cm}$

Wir verwenden die Formel für die Mantelfläche.

$M = U \cdot h$

$M = 18 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm}$

$M = 216 \text{ cm}^2$

• Seitenlänge der Grundfläche: $a = 2 \text{ cm}$
• Höhe des Prismas: $h = 150 \text{ cm}$
• Die Grundfläche ist ein Fünfeck, also hat sie 5 Seiten.

Die Grundfläche ist ein regelmäßiges Fünfeck.

$U = 5 \cdot a$

$U = 5 \cdot 2 \text{ cm} = 10 \text{ cm}$

Wir setzen die Werte in die Mantelflächenformel ein.

$M = U \cdot h$

$M = 10 \text{ cm} \cdot 150 \text{ cm}$

$M = 1500 \text{ cm}^2$

• Seitenlängen der Grundfläche: $a = 6 \text{ cm}$ und $b = 4 \text{ cm}$
• Höhe des Prismas: $h = 9 \text{ cm}$

Die Grundfläche ist ein Rechteck. Wir addieren alle vier Seitenlängen.

$U = a + b + a + b = 2 \cdot a + 2 \cdot b$

$U = 2 \cdot 6 \text{ cm} + 2 \cdot 4 \text{ cm} = 12 \text{ cm} + 8 \text{ cm} = 20 \text{ cm}$

Wir setzen $U$ und $h$ in die Formel ein.

$M = U \cdot h$

$M = 20 \text{ cm} \cdot 9 \text{ cm}$

$M = 180 \text{ cm}^2$

• Umfang der quadratischen Grundfläche: $U = 4 \cdot a = 4 \cdot 3 \text{ cm} = 12 \text{ cm}$.
• Mantelfläche: $M = U \cdot h = 12 \text{ cm} \cdot 7 \text{ cm} = 84 \text{ cm}^2$.

Die Grundfläche ist ein Quadrat mit der Seitenlänge $a = 3 \text{ cm}$.

$G = a^2$

$G = (3 \text{ cm})^2 = 9 \text{ cm}^2$

Wir setzen die Werte für G und M in die Oberflächenformel ein.

$O = 2 \cdot G + M$

$O = 2 \cdot 9 \text{ cm}^2 + 84 \text{ cm}^2$

$O = 18 \text{ cm}^2 + 84 \text{ cm}^2 = 102 \text{ cm}^2$

• Umfang der dreieckigen Grundfläche: $U = 3 \cdot a = 3 \cdot 4 \text{ cm} = 12 \text{ cm}$.
• Mantelfläche: $M = U \cdot h = 12 \text{ cm} \cdot 20 \text{ cm} = 240 \text{ cm}^2$.

Wir verwenden die gegebene Formel für die Fläche des gleichseitigen Dreiecks.

$G = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2$

$G = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot (4 \text{ cm})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 16 \text{ cm}^2 = 4\sqrt{3} \text{ cm}^2 \approx 6{,}93 \text{ cm}^2$

Wir setzen die berechneten Werte in die Formel ein.

$O = 2 \cdot G + M$

$O = 2 \cdot 6{,}93 \text{ cm}^2 + 240 \text{ cm}^2$

$O = 13{,}86 \text{ cm}^2 + 240 \text{ cm}^2 = 253{,}86 \text{ cm}^2$

• Umfang der Grundfläche: $U = a + b + c = 3 \text{ cm} + 4 \text{ cm} + 5 \text{ cm} = 12 \text{ cm}$.
• Mantelfläche: $M = U \cdot h = 12 \text{ cm} \cdot 10 \text{ cm} = 120 \text{ cm}^2$.

Die Grundfläche ist ein rechtwinkliges Dreieck. Die Fläche ist $\frac{1}{2} \cdot \text{Kathete} \cdot \text{Kathete}$.

$G = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$

$G = \frac{1}{2} \cdot 3 \text{ cm} \cdot 4 \text{ cm} = 6 \text{ cm}^2$

Wir setzen die Werte in die Oberflächenformel ein.

$O = 2 \cdot G + M$

$O = 2 \cdot 6 \text{ cm}^2 + 120 \text{ cm}^2$

$O = 12 \text{ cm}^2 + 120 \text{ cm}^2 = 132 \text{ cm}^2$

• Umfang der rechteckigen Grundfläche: $U = 2 \cdot (8 \text{ cm} + 5 \text{ cm}) = 2 \cdot 13 \text{ cm} = 26 \text{ cm}$.
• Mantelfläche: $M = U \cdot h = 26 \text{ cm} \cdot 4 \text{ cm} = 104 \text{ cm}^2$.

Die Grundfläche ist ein Rechteck.

$G = 8 \text{ cm} \cdot 5 \text{ cm} = 40 \text{ cm}^2$

Wir setzen die berechneten Werte ein.

$O = 2 \cdot G + M$

$O = 2 \cdot 40 \text{ cm}^2 + 104 \text{ cm}^2$

$O = 80 \text{ cm}^2 + 104 \text{ cm}^2 = 184 \text{ cm}^2$

• Umfang der sechseckigen Grundfläche: $U = 6 \cdot a = 6 \cdot 2 \text{ m} = 12 \text{ m}$.
• Mantelfläche: $M = U \cdot h = 12 \text{ m} \cdot 0{,}5 \text{ m} = 6 \text{ m}^2$.

Wir verwenden die gegebene Formel für die Fläche des Sechsecks.

$G = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot a^2$

$G = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot (2 \text{ m})^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 4 \text{ m}^2 = 6\sqrt{3} \text{ m}^2 \approx 10{,}39 \text{ m}^2$

Wir setzen die Werte in die Oberflächenformel ein.

$O = 2 \cdot G + M$

$O = 2 \cdot 10{,}39 \text{ m}^2 + 6 \text{ m}^2$

$O = 20{,}78 \text{ m}^2 + 6 \text{ m}^2 = 26{,}78 \text{ m}^2$