Lambert-Beersches Gesetz einfach erklärt: Formel & Beispiele

Warum sieht ein starker Früchtetee viel dunkler aus als ein schwacher? Je mehr Teeteilchen im Wasser schwimmen, desto mehr Licht blockieren sie. Das Getränk wirkt dunkler.

In dieser Lektion lernen wir, wie Chemiker dieses einfache Prinzip für die quantitative Analyse mithilfe des Lambert-Beerschen Gesetzes nutzen. Mit einem Gerät namens Photometer messen wir genau, wie viel Licht von einer Lösung "geschluckt" wird. Daraus können wir dann mit dem Lambert-Beerschen Gesetz die exakte Konzentration eines Stoffes berechnen.

Vorwissen

• Direkte Proportionalität: Wenn sich ein Wert verdoppelt, verdoppelt sich auch der andere.

  Beispiel: Doppelt so viele Teeblätter bedeuten eine doppelt so dunkle Farbe.

• Dekadischer Logarithmus ($\lg$): Die Umkehrung der Zehnerpotenz. Er beantwortet die Frage: "10 hoch wie viel ergibt diese Zahl?"

  Beispiel: Da $10^2 = 100$ ist, gilt $\lg(100) = 2$.

Aufgabentyp 1: Das Lambert-Beersche Gesetz und Kalibrierkurven

Wenn Licht durch eine farbige Lösung scheint, "schlucken" (absorbieren) die gelösten Teilchen einen Teil des Lichts. Das Maß dafür, wie viel Licht insgesamt absorbiert wird, nennen wir Extinktion ($\textcolor{#08BFFF}{E}$).

Das Lambert-Beersche Gesetz beschreibt, dass die Extinktion direkt proportional zu zwei Dingen ist:

1. Der Konzentration ($\textcolor{#53E5D6}{c}$) der Teilchen.

2. Der Schichtdicke ($\textcolor{#9570FF}{d}$) des Gefäßes (der Küvette), durch die das Licht wandert.

Die Formel lautet:

$\textcolor{#08BFFF}{E} = \varepsilon \cdot \textcolor{#53E5D6}{c} \cdot \textcolor{#9570FF}{d}$

• $\textcolor{#08BFFF}{E}$ = Extinktion (keine Einheit)

• $\varepsilon$ = Molarer Extinktionskoeffizient (gibt an, wie stark ein bestimmter Stoff Licht absorbiert, Einheit: $\text{l}/(\text{mol}\cdot\text{cm})$)

• $\textcolor{#53E5D6}{c}$ = Konzentration (Einheit: $\text{mol}/\text{l}$)

• $\textcolor{#9570FF}{d}$ = Schichtdicke der Küvette (meist $1 \text{ cm}$)

In der Praxis kennen wir oft die Konzentration einer Probe nicht. Um sie herauszufinden, erstellen wir eine Kalibriergerade:

1. Wir messen die Extinktion von mehreren Lösungen, deren Konzentrationen wir bereits kennen.

2. Wir zeichnen diese Werte in ein Diagramm ein (Extinktion nach oben, Konzentration nach rechts). Es entsteht eine gerade Linie.

3. Nun messen wir die Extinktion unserer unbekannten Probe.

4. Anhand der Geraden im Diagramm können wir nun ganz einfach ablesen, welche Konzentration zu diesem Extinktionswert gehört.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Finde die Extinktion ($E$), die Schichtdicke ($d$) und den Extinktionskoeffizienten ($\varepsilon$) im Text.
2. Stelle das Lambert-Beersche Gesetz nach der gesuchten Konzentration ($c$) um: $c = \frac{E}{\varepsilon \cdot d}$.
3. Setze die Zahlen mit ihren Einheiten ein und berechne das Ergebnis.

Durchgerechnete Beispiele

Aufgabentyp 2: Transmission, Absorption und Extinktion

Wie kommt das Photometer eigentlich auf den Wert für die Extinktion? Das Gerät misst in Wirklichkeit nur Lichtintensitäten:

• Einfallendes Licht ($\textcolor{#FFCE51}{I_0}$): Intensität des Lichts, das in die Probe hineinstrahlt.

• Durchgelassenes Licht ($\textcolor{#FF7D57}{I_{tr}}$): Intensität des Lichts, das auf der anderen Seite wieder herauskommt (transmittiert wird).

Daraus lassen sich zwei wichtige Werte berechnen:

• Transmissionsgrad ($\tau$): Der Anteil des Lichts, der durchgelassen wird.

  $\tau = \frac{\textcolor{#FF7D57}{I_{tr}}}{\textcolor{#FFCE51}{I_0}}$

• Absorptionsgrad ($\alpha$): Der Anteil des Lichts, der von der Lösung "geschluckt" wird.

  $\alpha = \frac{I_{abs}}{\textcolor{#FFCE51}{I_0}}$

Es gilt immer: $\alpha + \tau = 1$ (oder $100 \text{ \%}$). Wenn $30 \text{ \%}$ des Lichts absorbiert werden, kommen $70 \text{ \%}$ durch.

Warum brauchen wir dann noch die Extinktion ($E$)?

Wenn wir die Konzentration einer Lösung verdoppeln, halbiert sich die Transmission nicht einfach, sondern sie nimmt exponentiell ab. Das ist unpraktisch zum Rechnen.

Um einen schönen, linearen Zusammenhang (wie im Lambert-Beerschen Gesetz) zu bekommen, verwenden Chemiker den negativen dekadischen Logarithmus der Transmission. Das ist die Extinktion ($E$):

$E = -\lg(\tau) = \lg\left(\frac{\textcolor{#FFCE51}{I_0}}{\textcolor{#FF7D57}{I_{tr}}}\right)$

Durch diesen mathematischen Trick wird aus der exponentiellen Kurve eine gerade Linie!

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Finde die Werte für das einfallende Licht ($I_0$) und das durchgelassene Licht ($I_{tr}$). Oft werden diese in Prozent angegeben (dann ist $I_0 = 100 \text{ \%}$).
2. Teile das durchgelassene Licht durch das einfallende Licht: $\tau = \frac{I_{tr}}{I_0}$.
3. Ziehe den negativen dekadischen Logarithmus aus der Transmission: $E = -\lg(\tau)$.

Durchgerechnete Beispiele

Wichtige Erkenntnisse

• Die Extinktion ($\textcolor{#08BFFF}{E}$) ist ein logarithmisches Maß dafür, wie viel Licht von einer Probe absorbiert wird.

• Das Lambert-Beersche Gesetz ($\textcolor{#08BFFF}{E} = \varepsilon \cdot \textcolor{#53E5D6}{c} \cdot \textcolor{#9570FF}{d}$) zeigt, dass die Extinktion direkt proportional zur Konzentration und zur Schichtdicke ist.

• Eine Kalibriergerade hilft dabei, die Konzentration einer unbekannten Probe grafisch zu ermitteln.

• Der Transmissionsgrad ($\tau$) gibt an, welcher Anteil des Lichts durch die Probe hindurchkommt ($\tau = \frac{\textcolor{#FF7D57}{I_{tr}}}{\textcolor{#FFCE51}{I_0}}$).