Grundlagen der Nernst-Gleichung erklärt: Zellspannung

Kennst du das? Dein Handy-Akku ist fast leer und plötzlich schaltet sich das Gerät ab, obwohl noch 2 % angezeigt wurden. Warum liefert eine Batterie nicht immer die gleiche Spannung, bis sie komplett leer ist? Genau hier kommen die Grundlagen der Nernst-Gleichung ins Spiel.

Bisher hast du gelernt, dass jede galvanische Zelle eine feste Spannung liefert, die man aus den Standardpotentialen berechnet. Diese Standardwerte gelten aber nur, wenn die Konzentration der Ionen genau $1 \text{ mol/L}$ beträgt. In einer echten Batterie wird diese Konzentration beim Entladen immer geringer, und dadurch sinkt auch die Spannung. In diesem Artikel lernst du die Nernst-Gleichung kennen. Mit ihr kannst du genau berechnen, wie stark die Spannung bei jeder beliebigen Konzentration ist.

Vorwissen

• Standardpotential ($E^\circ$): Das Redoxpotential einer Halbzelle unter Standardbedingungen (Konzentration $1 \text{ mol/L}$, $25 \text{ }^\circ\text{C}$).

  Beispiel: Das Standardpotential von Kupfer ist $E^\circ = +0,34 \text{ V}$.

• Galvanische Zelle: Besteht aus zwei Halbzellen. Die Spannung entsteht durch die Differenz der Potentiale.

  Beispiel: Die Zink-Kupfer-Zelle liefert unter Standardbedingungen $1,10 \text{ V}$.

• Zehnerlogarithmus ($\lg$): Beantwortet die Frage: „10 hoch wie viel ergibt diese Zahl?“

  Beispiel: $\lg(100) = 2$ (weil $10^2 = 100$) und $\lg(0,1) = -1$ (weil $10^{-1} = 0,1$).

Aufgabentyp 1: Aufstellen der Nernst-Gleichung für Halbzellen

Um die Grundlagen der Nernst-Gleichung anzuwenden und das tatsächliche Potential ($E$) einer Halbzelle zu berechnen, wenn die Konzentration nicht $1 \text{ mol/L}$ ist, verwenden wir die allgemeine Nernst-Gleichung:

$E = E^\circ + \frac{0,059 \text{ V}}{\textcolor{#53E5D6}{z}} \cdot \lg\left(\frac{\textcolor{#08BFFF}{c(\text{Ox})}}{c(\text{Red})}\right)$

Lass uns die Variablen entschlüsseln:

• $E^\circ$ ist das Standardpotential aus der Tabelle.

• $\textcolor{#53E5D6}{z}$ ist die Anzahl der übertragenen Elektronen (z. B. bei $\text{Cu}^{2+}$ ist $\textcolor{#53E5D6}{z = 2}$).

• $\textcolor{#08BFFF}{c(\text{Ox})}$ ist die Konzentration der oxidierten Form (meist die gelösten Ionen im Wasser).

• $c(\text{Red})$ ist die Konzentration der reduzierten Form (meist das feste Metall).

Der geniale Trick für Metallelektroden:

In den meisten Aufgaben hast du ein festes Metall (wie ein Stück Kupfer oder Zink), das in eine Lösung taucht. Für feste Stoffe und ungelöste Gase ist die Konzentration immer konstant. Wir setzen sie in der Formel einfach auf den Wert $1$.

Wenn wir $c(\text{Red}) = 1$ setzen, verschwindet der Bruch im Logarithmus. Die Gleichung wird dadurch viel einfacher. Für eine normale Metall-Halbzelle (Metall/Metallion) lautet die vereinfachte Nernst-Gleichung:

$E = E^\circ + \frac{0,059 \text{ V}}{\textcolor{#53E5D6}{z}} \cdot \lg(\textcolor{#08BFFF}{c(\text{Metallion})})$

Eine wichtige Regel für die Stöchiometrie:

Manchmal steht in einer Reaktionsgleichung eine Zahl vor dem Ion, zum Beispiel $2 \text{ Ag}^+$. Genau wie beim Massenwirkungsgesetz wird diese Zahl in der Nernst-Gleichung zu einer Hochzahl (Exponent). Du müsstest dann $\lg(\textcolor{#08BFFF}{c}^2)$ rechnen.

Aufgabentyp 2: Berechnung von Zellspannungen und unbekannten Konzentrationen

Wenn du zwei Halbzellen miteinander verbindest, erhältst du eine galvanische Zelle (eine Batterie). Die Gesamtspannung dieser Zelle nennt man Zellspannung ($U$). Sie ist einfach der Unterschied zwischen den beiden Halbzellenpotentialen.

Die Formel dafür lautet:

$U = E(\text{Kathode}) - E(\text{Anode})$

Wie findest du heraus, was Kathode und was Anode ist?

Das ist ganz einfach: Du berechnest zuerst das Potential ($E$) für beide Halbzellen mit der Nernst-Gleichung.

• Die Halbzelle mit dem größeren (positiveren) Wert ist immer die Kathode (Pluspol).

• Die Halbzelle mit dem kleineren (negativeren) Wert ist immer die Anode (Minuspol).

Unbekannte Konzentrationen berechnen:

Manchmal ist in einer Aufgabe die Zellspannung ($U$) bereits vorgegeben, aber die Konzentration einer Lösung fehlt. In diesem Fall setzt du die bekannte Spannung in die Formel ein und formst die Gleichung Schritt für Schritt um, bis das $\textcolor{#08BFFF}{c}$ alleine auf einer Seite steht. Dafür musst du am Ende den Logarithmus auflösen, indem du $10^{\text{Zahl}}$ rechnest.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Nutze diesen Plan, wenn du die Spannung einer Zelle bei beliebigen Konzentrationen berechnen sollst:

1. Suche die Standardpotentiale ($E^\circ$) der beiden Metalle in der elektrochemischen Spannungsreihe. Notiere dir auch, wie viele Elektronen ($\textcolor{#53E5D6}{z}$) jeweils übertragen werden.
2. Setze die Werte für beide Halbzellen getrennt in die vereinfachte Nernst-Gleichung ein: $E = E^\circ + \frac{0,059 \text{ V}}{\textcolor{#53E5D6}{z}} \cdot \lg(\textcolor{#08BFFF}{c})$.
3. Vergleiche die beiden berechneten Ergebnisse aus Schritt 2. Der größere Wert ist die Kathode, der kleinere Wert ist die Anode.
4. Ziehe das Potential der Anode vom Potential der Kathode ab: $U = E(\text{Kathode}) - E(\text{Anode})$.

Durchgerechnete Beispiele

Wichtige Erkenntnisse

• Die Nernst-Gleichung berechnet das Potential einer Halbzelle bei beliebigen Konzentrationen.

• Für feste Metalle wird die Konzentration in der Formel immer auf $1$ gesetzt.

• Die Zellspannung berechnet sich immer aus: $U = E(\text{Kathode}) - E(\text{Anode})$.

• Die Kathode ist immer die Halbzelle mit dem größeren (positiveren) Potentialwert.