Das Stefan-Boltzmann-Gesetz einfach erklärt: Formel & Beispiele

Wie finden Astronomen heraus, wie heiß ein Stern ist, der Millionen Lichtjahre entfernt ist? Oder woher wissen Stahlarbeiter, ob flüssiges Metall die richtige Temperatur hat, ohne dass ihr Thermometer schmilzt?

Sie berühren das Objekt nicht, sondern sie analysieren sein Licht! Wir wissen bereits, dass die Farbe eines glühenden Objekts uns seine Temperatur verrät. Aber auch die Helligkeit, also die Menge an abgestrahlter Energie, enthält ein Geheimnis. In dieser Lektion lernen wir, wie wir mit dem Stefan-Boltzmann-Gesetz aus der Strahlungsleistung eines Objekts seine exakte Temperatur berechnen können.

Vorwissen

• Wiensches Verschiebungsgesetz: Verknüpft die Temperatur mit der Wellenlänge des stärksten Lichts (Farbe). Formel: $\lambda_{\max} = \frac{2898 \, \mu\text{m} \cdot \text{K}}{T}$ Beispiel: Ein $5800 \text{ K}$ heißer Stern strahlt am stärksten bei etwa $0.5 \, \mu\text{m}$ (grünes Licht).
• Temperatur in Kelvin ($T$): Für Strahlungsgesetze muss die Temperatur immer in Kelvin angegeben werden. Regel: $T(\text{K}) = T(^\circ\text{C}) + 273.15$ Beispiel: $20 ^\circ\text{C}$ entsprechen $293.15 \text{ K}$.
• Leistung ($P$) und Fläche ($A$): Leistung wird in Watt ($\text{W}$) gemessen, Fläche in Quadratmetern ($\text{m}^{2}$).

Aufgabentyp 1: Kombinierte Strahlungsprobleme lösen

Wenn ein Objekt heißer wird, ändert sich nicht nur seine Farbe, es strahlt auch viel mehr Energie ab. Das Stefan-Boltzmann-Gesetz beschreibt genau diesen Zusammenhang für sogenannte Schwarze Körper (ideale Strahler, wie Sterne oder heiße Schmelzen).

Wir betrachten dabei die Leistungsdichte $\textcolor{#08BFFF}{S}$. Das ist die Strahlungsleistung pro Quadratmeter Oberfläche. Die Formel lautet:

$\textcolor{#08BFFF}{S} = \sigma \cdot \textcolor{#FF7D57}{T}^{4}$

• $\textcolor{#08BFFF}{S}$ ist die Leistungsdichte in $\text{W}/\text{m}^{2}$.
• $\sigma$ ist die Stefan-Boltzmann-Konstante: $5.67 \cdot 10^{-8} \text{ W}/(\text{m}^{2} \cdot \text{K}^{4})$.
• $\textcolor{#FF7D57}{T}$ ist die absolute Temperatur in Kelvin.

Das Besondere an dieser Formel ist das $\textcolor{#FF7D57}{T}^{4}$ (T hoch 4). Das bedeutet: Wenn sich die Temperatur eines Objekts verdoppelt, steigt seine abgestrahlte Leistung nicht auf das Doppelte, sondern auf das $2^{4}$-fache (also $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$-fache)!

Möchte man die gesamte Strahlungsleistung $P$ (in Watt) des ganzen Objekts wissen, multipliziert man die Leistungsdichte einfach mit der gesamten Oberfläche $A$ des Objekts:

$P = \textcolor{#08BFFF}{S} \cdot A$

Oft haben wir in der Physik ein komplexeres Problem: Wir messen mit einem Sensor die Leistungsdichte eines glühenden Objekts und wollen wissen, bei welcher Wellenlänge es am stärksten strahlt.

Wir können nicht direkt von der Leistungsdichte zur Wellenlänge springen. Wir brauchen eine Brücke: die Temperatur.

Um solche Probleme zu lösen, kombinieren wir zwei Gesetze:

1. Zuerst nutzen wir das Stefan-Boltzmann-Gesetz, um aus der gemessenen Leistungsdichte die Temperatur zu berechnen. Dafür müssen wir die Formel nach $T$ umstellen, indem wir die vierte Wurzel ziehen.
2. Danach setzen wir diese berechnete Temperatur in das Wiensche Verschiebungsgesetz ein, um die maximale Wellenlänge zu finden.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Werte notieren und Einheiten prüfen: Schreibe die gegebene Leistungsdichte $\textcolor{#08BFFF}{S}$ auf und rechne sie in $\text{W}/\text{m}^{2}$ um, falls nötig.
2. Temperatur berechnen: Nutze die umgestellte Formel des Stefan-Boltzmann-Gesetzes $\textcolor{#FF7D57}{T} = \sqrt[4]{\frac{\textcolor{#08BFFF}{S}}{\sigma}}$, um die Temperatur zu finden.
3. Wellenlänge berechnen: Setze die berechnete Temperatur in das Wiensche Verschiebungsgesetz ein, um die Wellenlänge $\textcolor{#9570FF}{\lambda_{\max}}$ zu finden.
4. Ergebnis bewerten: Überprüfe, in welchem Bereich des elektromagnetischen Spektrums die berechnete Wellenlänge liegt.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Realer Kontext: Bei der Glasverarbeitung wird eine flüssige, gelbglühende Glasmasse (die wir als Schwarzen Körper annehmen) überwacht. Ein Sensor misst eine Leistungsdichte von $630 \text{ kW}/\text{m}^{2}$. Berechne die Wellenlänge, bei der die Glasmasse am stärksten strahlt.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

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   Schritt 1
   Werte notieren und Einheiten prüfen

   Gegeben: $\textcolor{#08BFFF}{S} = 630 \text{ kW}/\text{m}^{2}$. Wir müssen Kilowatt ($\text{kW}$) in Watt ($\text{W}$) umrechnen: $\textcolor{#08BFFF}{S} = 630000 \text{ W}/\text{m}^{2} = 6.3 \cdot 10^{5} \text{ W}/\text{m}^{2}$ Konstante: $\sigma = 5.67 \cdot 10^{-8} \text{ W}/(\text{m}^{2} \cdot \text{K}^{4})$ Gesucht: $\textcolor{#9570FF}{\lambda_{\max}} = ?$

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   Schritt 2
   Temperatur berechnen (Stefan-Boltzmann)

   Wir setzen die Werte in die umgestellte Formel ein: $\textcolor{#FF7D57}{T} = \sqrt[4]{\frac{\textcolor{#08BFFF}{S}}{\sigma}}$ $\textcolor{#FF7D57}{T} = \sqrt[4]{\frac{\textcolor{#08BFFF}{6.3 \cdot 10^{5} \text{ W}/\text{m}^{2}}}{5.67 \cdot 10^{-8} \text{ W}/(\text{m}^{2} \cdot \text{K}^{4})}}$ $\textcolor{#FF7D57}{T} = \sqrt[4]{1.111 \cdot 10^{13} \text{ K}^{4}}$ $\textcolor{#FF7D57}{T} \approx \textcolor{#FF7D57}{1826 \text{ K}}$

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   Schritt 3 · Ergebnis
   Wellenlänge berechnen (Wiensches Gesetz)

   Nun nutzen wir die berechnete Temperatur, um die Wellenlänge zu finden: $\textcolor{#9570FF}{\lambda_{\max}} = \frac{2898 \, \mu\text{m} \cdot \text{K}}{\textcolor{#FF7D57}{T}}$ $\textcolor{#9570FF}{\lambda_{\max}} = \frac{2898 \, \mu\text{m} \cdot \text{K}}{\textcolor{#FF7D57}{1826 \text{ K}}}$ $\textcolor{#9570FF}{\lambda_{\max}} \approx \textcolor{#9570FF}{1.587 \, \mu\text{m}}$ Da $1 \, \mu\text{m} = 1000 \text{ nm}$ sind, entspricht das $1587 \text{ nm}$.

Ergebnis:

Die Glasmasse strahlt am stärksten bei einer Wellenlänge von $\textcolor{#9570FF}{1587 \text{ nm}}$. Obwohl das Glas für das menschliche Auge gelb glüht, liegt das tatsächliche Strahlungsmaximum bei $1587 \text{ nm}$ im unsichtbaren Infrarotbereich (Wärmestrahlung), was für heiße Schmelzen physikalisch absolut sinnvoll ist.

Wichtige Erkenntnisse

• Das Stefan-Boltzmann-Gesetz ($\textcolor{#08BFFF}{S} = \sigma \cdot \textcolor{#FF7D57}{T}^{4}$) zeigt, dass die Strahlungsleistung extrem stark ansteigt, wenn ein Objekt heißer wird.
• Die Gesamtleistung $P$ erhält man, indem man die Leistungsdichte $\textcolor{#08BFFF}{S}$ mit der Fläche $A$ multipliziert.
• Um von der Leistungsdichte zur Wellenlänge zu gelangen, muss immer zuerst die Temperatur als Zwischenschritt berechnet werden.