Parameter von LC-Schwingkreisen einfach erklärt: Abitur

Stell dir vor, du hältst deine Bankkarte an ein Lesegerät an der Kasse und es piept sofort. Woher weiß das Gerät genau, welche Karte es lesen soll? Es nutzt einen elektrischen Schwingkreis, der auf eine ganz bestimmte „Resonanzfrequenz“ eingestellt ist. In deiner Abitur-Vorbereitung rund um die Parameter von LC-Schwingkreisen wirst du oft zum Detektiv: Du bekommst ein Diagramm eines solchen Signals und musst herausfinden, wie der Schaltkreis im Inneren aufgebaut ist. In dieser Lektion lernen wir, wie du die Thomsonsche Gleichung nutzt, um aus einer einfachen Kurve die versteckten Bauteile einer Schaltung zu berechnen!

Vorwissen

• Thomsonsche Schwingungsgleichung: Berechnet die Resonanzfrequenz eines idealen LC-Schwingkreises. Formel: $f_0 = \frac{1}{2\pi \cdot \sqrt{L \cdot C}}$ Beispiel: Mit einer Spule ($L$) und einem Kondensator ($C$) lässt sich die Frequenz $f_0$ bestimmen.

• Zusammenschaltung von Bauteilen: Spulen verhalten sich bei der Zusammenschaltung genau wie Widerstände. Formel: Reihenschaltung: $L_{ges} = L_1 + L_2$. Parallelschaltung: $L_{ges} = \frac{1}{\frac{1}{L_1} + \frac{1}{L_2}}$ Beispiel: Zwei identische $10 \text{ mH}$ Spulen in Reihe ergeben $20 \text{ mH}$. Parallel ergeben sie $5 \text{ mH}$.

Aufgabentyp 1: Von der Resonanzkurve zur Schaltung

In Abituraufgaben zu den Parametern von LC-Schwingkreisen wird oft ein Diagramm gegeben, das die Spannung $U$ in Abhängigkeit von der Frequenz $f$ zeigt.

Der höchste Punkt in diesem Diagramm (der Peak) markiert die Resonanzfrequenz $f_0$. Bei dieser Frequenz schwingt der Kreis am stärksten.

Wenn wir diese Frequenz abgelesen haben und die Kapazität des Kondensators $C$ kennen, können wir die Thomsonsche Gleichung umstellen, um die unbekannte Induktivität $L$ der Spule zu berechnen.

Oft vergleicht man dann zwei verschiedene Schaltungen (z. B. Schaltung I mit einer Spule und Schaltung II mit zwei Spulen). Indem wir die berechnete Gesamtinduktivität der zweiten Schaltung mit der ersten vergleichen, können wir herausfinden, wie die Spulen verschaltet sind:

• Ist die Gesamtinduktivität doppelt so groß ($2 \cdot L$), sind die Spulen in Reihe geschaltet.
• Ist die Gesamtinduktivität halb so groß ($L/2$), sind sie parallel geschaltet.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Resonanzfrequenzen ablesen: Finde den höchsten Punkt im $U(f)$-Diagramm und lies die Frequenz auf der x-Achse ab.
2. Thomsonsche Gleichung umstellen: Löse die Formel nach der gesuchten Größe auf. Meistens ist das die Induktivität: $L = \frac{1}{4\pi^2 \cdot f_0^2 \cdot C}$.
3. Induktivitäten berechnen: Setze die abgelesenen Frequenzen und die gegebene Kapazität in die umgestellte Formel ein. Achte auf die Einheiten (z. B. $\mu\text{F}$ in $\text{F}$ umrechnen).
4. Ergebnisse vergleichen: Vergleiche die berechneten Werte. Prüfe, ob sich der Wert verdoppelt (Reihenschaltung) oder halbiert (Parallelschaltung) hat.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 0

Aufgabe

Gegeben sind zwei Resonanzkurven für zwei verschiedene Schaltungen mit demselben Kondensator ($C = 1 \, \mu\text{F}$).

Schaltung I enthält eine einzelne Spule. Das Diagramm zeigt ein Spannungsmaximum bei $f_{0,\text{I}} = 870 \text{ Hz}$.

Schaltung II enthält zwei identische Spulen der gleichen Bauart wie in Schaltung I. Das Diagramm zeigt ein Spannungsmaximum bei $f_{0,\text{II}} = 1225 \text{ Hz}$.

Berechne die Induktivitäten für beide Schaltungen und begründe, ob die beiden Spulen in Schaltung II in Reihe oder parallel geschaltet sind.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

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   Schritt 1
   Resonanzfrequenzen ablesen

   Gegeben: Kapazität ($C$) = $1 \mu \text{ F} = 1 \cdot 10^{-6} \text{ F}$ Resonanzfrequenz I ($\textcolor{#08BFFF}{f_{0,\text{I}}}$) = $\textcolor{#08BFFF}{870 \text{ Hz}}$ Resonanzfrequenz II ($\textcolor{#08BFFF}{f_{0,\text{II}}}$) = $\textcolor{#08BFFF}{1225 \text{ Hz}}$

   Gesucht: Induktivitäten $\textcolor{#9570FF}{L_{\text{I}}}$ und $\textcolor{#9570FF}{L_{\text{II}}}$, sowie die Schaltungsart.

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   Schritt 2
   Thomsonsche Gleichung umstellen

   Wir starten mit der bekannten Formel: $f_0 = \frac{1}{2\pi \cdot \sqrt{L \cdot C}}$

   Wir quadrieren beide Seiten, um die Wurzel zu entfernen: $f_0^2 = \frac{1}{4\pi^2 \cdot L \cdot C}$

   Nun multiplizieren wir mit $L$ und teilen durch $f_0^2$, um nach $L$ aufzulösen: $\textcolor{#9570FF}{L} = \frac{1}{4\pi^2 \cdot \textcolor{#08BFFF}{f_0}^2 \cdot C}$

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   Schritt 3
   Induktivitäten berechnen

   Für Schaltung I setzen wir die Werte ein: $\textcolor{#9570FF}{L_{\text{I}}} = \frac{1}{4\pi^2 \cdot (\textcolor{#08BFFF}{870 \text{ Hz}})^2 \cdot 1 \cdot 10^{-6} \text{ F}}$ $\textcolor{#9570FF}{L_{\text{I}}} \approx 0.0335 \text{ H} = \textcolor{#9570FF}{33.5 \text{ mH}}$

   Für Schaltung II setzen wir die Werte ein: $\textcolor{#9570FF}{L_{\text{II}}} = \frac{1}{4\pi^2 \cdot (\textcolor{#08BFFF}{1225 \text{ Hz}})^2 \cdot 1 \cdot 10^{-6} \text{ F}}$ $\textcolor{#9570FF}{L_{\text{II}}} \approx 0.0169 \text{ H} \approx \textcolor{#9570FF}{17 \text{ mH}}$

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   Schritt 4 · Ergebnis
   Ergebnisse vergleichen

   Wir vergleichen die Gesamtinduktivität von Schaltung II mit der einzelnen Spule aus Schaltung I: $\textcolor{#9570FF}{17 \text{ mH}}$ ist ungefähr die Hälfte von $\textcolor{#9570FF}{33.5 \text{ mH}}$.

   Da $\textcolor{#9570FF}{L_{\text{II}}} \approx \frac{\textcolor{#9570FF}{L_{\text{I}}}}{2}$ gilt, hat sich die Gesamtinduktivität halbiert. Dies entspricht genau der Regel für die Parallelschaltung von zwei identischen Spulen.

Ergebnis:

Die beiden Spulen in Schaltung II sind also parallel geschaltet. Realitäts-Check: Eine höhere Resonanzfrequenz bedeutet, dass der Nenner in der Thomsonschen Gleichung kleiner sein muss. Eine kleinere Gesamtinduktivität erreicht man durch eine Parallelschaltung. Das Ergebnis ist physikalisch absolut sinnvoll.

Wichtige Erkenntnisse

• Die Resonanzfrequenz $f_0$ ist der höchste Punkt (Peak) im Spannungs-Frequenz-Diagramm.
• Umgestellt nach der Induktivität lautet die Thomsonsche Gleichung: $L = \frac{1}{4\pi^2 \cdot f_0^2 \cdot C}$.
• Zwei identische Spulen in Reihe verdoppeln die Gesamtinduktivität ($2L$).
• Zwei identische Spulen parallel halbieren die Gesamtinduktivität ($L/2$).