Was sind mechanische Schwingungen im Abitur?

Mechanische Schwingungen sind periodische Bewegungen um eine Ruhelage, wie bei einem Fadenpendel oder Federpendel. In der Abiturvorbereitung geht es oft darum, die Schwingungsdauer T zu berechnen und aus Messdaten physikalische Konstanten wie die Fallbeschleunigung g oder die Richtgröße D zu ermitteln.

Wie linearisiert man Messdaten bei einem Pendel?

Um die Messdaten eines Fadenpendels zu linearisieren , trägst du nicht die Schwingungsdauer T gegen die Länge l auf, sondern T gegen die Wurzel der Länge √l . Dadurch entsteht im Diagramm eine Ursprungsgerade, deren Steigung du leicht ablesen und für weitere Berechnungen nutzen kannst.

Wie berechnet man die Fallbeschleunigung aus der Schwingungsdauer?

Aus dem linearisierten Diagramm ( T gegen √l ) bestimmst du die Steigung k der Ursprungsgeraden. Diese Steigung entspricht dem Vorfaktor der Pendelformel. Mit der umgestellten Formel g = 4π² / k² kannst du dann die Fallbeschleunigung direkt berechnen.

Abiturvorbereitung: Mechanische Schwingungen

Stell dir vor, du bist auf einem fremden Planeten gestrandet und möchtest die dortige Schwerkraft messen. Alles, was du hast, ist ein Schnürsenkel, ein Stein und eine Stoppuhr. Reicht das? Ja!

Mit einem einfachen Pendel und einem mathematischen Trick – der sogenannten Linearisierung – kannst du die Fallbeschleunigung extrem genau bestimmen. In dieser Lektion zur Abiturvorbereitung: Mechanische Schwingungen lernst du, wie du Messdaten aus dem Labor so auswertest, dass du am Ende echte physikalische Konstanten wie ein Profi berechnen kannst.

Vorwissen

Schwingungsdauer eines Fadenpendels: Die Zeit für eine volle Hin- und Herbewegung. Formel: $T = 2\pi \cdot \sqrt{\frac{l}{g}}$ Beispiel: Ein Pendel mit $1 \text{ m}$ Länge braucht auf der Erde etwa $2 \text{ s}$ für eine Schwingung.
Allgemeine Schwingungsgleichung: Gilt für alle harmonischen Schwingungen. Formel: $T = 2\pi \cdot \sqrt{\frac{m}{D}}$ Beispiel: Eine Masse $m$ an einer Feder mit der Härte $D$ schwingt mit dieser Periodendauer.
Ursprungsgerade: Eine gerade Linie im Diagramm, die im Punkt $(0|0)$ startet. Formel: $y = k \cdot x$ (wobei $k$ die Steigung ist) Beispiel: Wenn $y$ immer doppelt so groß wie $x$ ist, ist die Steigung $k = 2$ .

Aufgabentyp 1: Messdaten linearisieren und Konstanten bestimmen

Ein zentraler Bestandteil der Abiturvorbereitung für mechanische Schwingungen ist die Auswertung von Experimenten. Wenn wir im Labor die Länge $l$ eines Pendels verändern und die Schwingungsdauer $T$ messen, erhalten wir im Diagramm eine Kurve. Das liegt an der Wurzel in der Pendelformel. Kurven sind schwer auszuwerten, da man ihre genaue Form nicht auf einen Blick ablesen kann.

Hier hilft ein mathematischer Trick: Die Linearisierung.

Anstatt $T$ gegen $l$ aufzutragen, berechnen wir für jeden Messwert die Wurzel der Länge ( $\textcolor{#9570FF}{\sqrt{l}}$ ) und tragen $T$ gegen $\textcolor{#9570FF}{\sqrt{l}}$ auf.

Warum machen wir das? Schauen wir uns die Pendelformel an und ziehen die Wurzel mathematisch auseinander:

$\textcolor{#08BFFF}{T} = 2\pi \cdot \sqrt{\frac{l}{g}}$

$\textcolor{#08BFFF}{T} = \textcolor{#53E5D6}{\frac{2\pi}{\sqrt{g}}} \cdot \textcolor{#9570FF}{\sqrt{l}}$

Das entspricht exakt der mathematischen Gleichung für eine Ursprungsgerade ( $\textcolor{#08BFFF}{y} = \textcolor{#53E5D6}{k} \cdot \textcolor{#9570FF}{x}$ ):

$\textcolor{#08BFFF}{y}$ ist unsere Schwingungsdauer $\textcolor{#08BFFF}{T}$ .
$\textcolor{#9570FF}{x}$ ist die Wurzel der Länge $\textcolor{#9570FF}{\sqrt{l}}$ .
Die Steigung $\textcolor{#53E5D6}{k}$ der Geraden ist der gesamte Vorfaktor $\textcolor{#53E5D6}{\frac{2\pi}{\sqrt{g}}}$ .

Wenn wir also die Steigung $\textcolor{#53E5D6}{k}$ aus unserem Diagramm ablesen, können wir die Fallbeschleunigung $g$ berechnen, indem wir die Formel umstellen:

$\textcolor{#53E5D6}{k} = \frac{2\pi}{\sqrt{g}}$

$\textcolor{#53E5D6}{k}^{2} = \frac{4\pi^{2}}{g}$

$g = \frac{4\pi^{2}}{\textcolor{#53E5D6}{k}^{2}}$

Die Richtgröße $D$ des Pendels

Jedes schwingende System hat eine Rückstellkraft, die es in die Ruhelage zurückzieht. Bei einer Feder ist das die Federhärte, beim Pendel nennt man es die Richtgröße $D$ .

Wir können $D$ ganz einfach finden, indem wir die allgemeine Schwingungsformel mit der Pendelformel vergleichen:

Allgemein: $T = 2\pi \cdot \sqrt{\frac{m}{D}}$

Pendel: $T = 2\pi \cdot \sqrt{\frac{l}{g}}$

Da beide Formeln $T$ berechnen, muss der Bruch unter der Wurzel das gleiche Verhältnis haben:

$\frac{m}{D} = \frac{l}{g}$

Wenn wir das nach $D$ umstellen, erhalten wir die Formel für die Richtgröße eines Pendels:

$D = \frac{m \cdot g}{l}$

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Schritt 1: Messdaten linearisieren Berechne für jede gemessene Pendellänge $l$ den Wert $\sqrt{l}$ .
Schritt 2: Diagramm zeichnen und Steigung bestimmen Zeichne ein Diagramm mit $\sqrt{l}$ auf der x-Achse und $T$ auf der y-Achse. Zeichne eine Ausgleichsgerade durch die Punkte und bestimme ihre Steigung $k = \frac{\Delta T}{\Delta \sqrt{l}}$ .
Schritt 3: Fallbeschleunigung berechnen Setze die ermittelte Steigung $k$ in die umgestellte Formel ein: $g = \frac{4\pi^{2}}{k^{2}}$ .
Schritt 4: Richtgröße berechnen Nutze die Masse $m$ des Pendelkörpers, die Länge $l$ und dein berechnetes $g$ , um die Richtgröße zu bestimmen: $D = \frac{m \cdot g}{l}$ .

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 0

Aufgabe

Ein Fadenpendel mit einer Masse von $m = 50 \text{ g}$ wird im Experiment untersucht. Du hast die Messwerte bereits linearisiert und ein Diagramm gezeichnet, in dem die Schwingungsdauer $T$ gegen $\sqrt{l}$ aufgetragen ist. Die Steigung der Ausgleichsgeraden beträgt $k = 2{,}0 \frac{\text{s}}{\sqrt{\text{m}}}$ .

Berechne die Fallbeschleunigung $g$ an diesem Ort.

Berechne anschließend die Richtgröße $D$ des Pendels für eine Fadenlänge von $l = 40 \text{ cm}$ .

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Gegebene Werte notieren und Einheiten anpassen
Masse $m = 50 \text{ g} = 0{,}05 \text{ kg}$ Länge $l = 40 \text{ cm} = 0{,}4 \text{ m}$ Steigung $k = 2{,}0 \frac{\text{s}}{\sqrt{\text{m}}}$
Schritt 2
Fallbeschleunigung berechnen
Wir nutzen die Formel für die Fallbeschleunigung und setzen die Steigung ein: $g = \frac{4\pi^{2}}{k^{2}}$ $g = \frac{4\pi^{2}}{\left(2{,}0 \frac{\text{s}}{\sqrt{\text{m}}}\right)^{2}}$ $g = \frac{4\pi^{2}}{4{,}0 \frac{\text{s}^{2}}{\text{m}}}$ $g \approx 9{,}87 \frac{\text{m}}{\text{s}^{2}}$
Schritt 3 · Ergebnis
Richtgröße berechnen
Wir nutzen die Formel für die Richtgröße: $D = \frac{m \cdot g}{l}$ Wir setzen die bekannten Werte ein: $D = \frac{0{,}05 \text{ kg} \cdot 9{,}87 \frac{\text{m}}{\text{s}^{2}}}{0{,}4 \text{ m}}$ $D \approx 1{,}23 \frac{\text{N}}{\text{m}}$ (Hinweis: Die Einheit $\text{kg} \cdot \frac{\text{m}}{\text{s}^{2}}$ ist genau das Gleiche wie Newton $\text{N}$ .)

Ergebnis:

Die Fallbeschleunigung beträgt $9{,}87 \frac{\text{m}}{\text{s}^{2}}$ und die Richtgröße des Pendels ist $1{,}23 \frac{\text{N}}{\text{m}}$ . Realitäts-Check: Der Wert für die Fallbeschleunigung liegt sehr nah am Literaturwert für die Erde ( $9{,}81 \frac{\text{m}}{\text{s}^{2}}$ ). Das Ergebnis ist also physikalisch absolut sinnvoll.

Wichtige Erkenntnisse

Linearisierung: Wenn man $T$ gegen $\sqrt{l}$ aufträgt, wird aus der Kurve eine Ursprungsgerade. Das macht die Auswertung viel einfacher.
Steigung nutzen: Die Steigung $k$ dieser Geraden entspricht dem Vorfaktor $\frac{2\pi}{\sqrt{g}}$ .
Fallbeschleunigung: Mit der umgestellten Formel $g = \frac{4\pi^{2}}{k^{2}}$ lässt sich die Schwerkraft aus dem Experiment berechnen.
Richtgröße: Die Rückstellkraft eines Pendels wird durch die Richtgröße $D = \frac{m \cdot g}{l}$ beschrieben.

Abiturvorbereitung: Mechanische Schwingungen einfach erklärt