Mathematik des Doppelspalt-Interferenzmusters einfach erklärt

Stell dir vor, du sollst die Länge einer Lichtwelle messen. Da sichtbares Licht winzig klein ist (weniger als ein Tausendstel Millimeter!), hilft dir ein normales Lineal hier nicht weiter. Die Mathematik des Doppelspalt-Interferenzmusters hilft uns dabei, dieses Problem zu lösen.

Der Doppelspalt funktioniert wie eine Lupe für die Quantenwelt. Er fächert das Licht auf und erzeugt ein riesiges Muster aus hellen und dunklen Punkten auf einer Wand. In dieser Lektion lernen wir die mathematischen Formeln kennen, mit denen wir aus dem Abstand dieser Punkte auf der Wand die exakte Größe der winzigen Lichtwellen berechnen können!

Vorwissen

• Gangunterschied ($\Delta s$): Bestimmt, ob ein Maximum (hell) oder Minimum (dunkel) entsteht. Bedingung Maximum: $\Delta s = n \cdot \lambda$ Bedingung Minimum: $\Delta s = \frac{2n-1}{2} \cdot \lambda$ Beispiel: Wenn der Gangunterschied genau eine Wellenlänge ($\lambda$) beträgt, entsteht das 1. Maximum ($n=1$).
• Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck: Sinus: $\sin(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$ Tangens: $\tan(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$ Beispiel: Wenn die Gegenkathete $3 \text{ m}$ und die Ankathete $4 \text{ m}$ lang ist, ist $\tan(\alpha) = \frac{3}{4}$.

Aufgabentyp 1: Exakte Berechnung mit zwei Dreiecken

Um die genaue Position eines Lichtpunktes auf dem Schirm zu berechnen, nutzen wir zwei rechtwinklige Dreiecke. Wir nehmen an, dass der Abstand zum Schirm ($e$) viel größer ist als der Spaltabstand ($g$). Dadurch verlaufen die Lichtstrahlen von beiden Spalten fast parallel.

Dreieck 1: Das Spalt-Dreieck (Die winzige Welt)

Hier ist der Spaltabstand $g$ die Hypotenuse und der Gangunterschied ist die Gegenkathete zum Winkel.

Es gilt: $\sin(\textcolor{#FF7D57}{\alpha}) = \frac{\textcolor{#08BFFF}{\Delta s}}{g}$

Dreieck 2: Das Schirm-Dreieck (Die große Welt)

Hier ist der Abstand zum Schirm $e$ die Ankathete und der Abstand des Maximums von der Mitte ist die Gegenkathete zum selben Winkel.

Es gilt: $\tan(\textcolor{#FF7D57}{\alpha}) = \frac{\textcolor{#53E5D6}{a_n}}{e}$

Da der Winkel in beiden Dreiecken gleich ist, verknüpft er die beiden Welten! Wenn wir die Formel für das Schirm-Dreieck nach $\textcolor{#FF7D57}{\alpha}$ auflösen, erhalten wir $\textcolor{#FF7D57}{\alpha} = \arctan\left(\frac{\textcolor{#53E5D6}{a_n}}{e}\right)$.

Setzen wir dies in das erste Dreieck ein und nutzen $\textcolor{#08BFFF}{\Delta s} = n \cdot \lambda$ für das n-te Maximum, erhalten wir die exakte Formel:

$n \cdot \frac{\lambda}{g} = \sin\left[\arctan\left(\frac{\textcolor{#53E5D6}{a_n}}{e}\right)\right]$

Für das n-te Minimum ersetzen wir einfach $n$ durch den Term $\frac{2n-1}{2}$.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Wandle alle Längen in die gleiche Einheit um: Nutze meistens Meter ($\text{m}$). Achte besonders auf Nanometer und Millimeter.
2. Bestimme den Gangunterschied: Prüfe, ob ein Maximum ($\textcolor{#08BFFF}{\Delta s} = n \cdot \lambda$) oder Minimum ($\textcolor{#08BFFF}{\Delta s} = \frac{2n-1}{2} \cdot \lambda$) vorliegt.
3. Wähle die passende Formel aus: Nutze für die exakte Lösung die Formel mit Sinus und Arkustangens.
4. Löse auf und berechne: Stelle die Gleichung nach der gesuchten Größe um, setze die Werte ein und berechne das Ergebnis.

Durchgerechnete Beispiele

Aufgabentyp 2: Die Kleinwinkelnäherung (Der Mathe-Trick)

Die exakte Formel mit Sinus und Arkustangens ist ziemlich kompliziert. Zum Glück gibt es einen Trick bei der Mathematik des Doppelspalt-Interferenzmusters!

Wenn der Winkel sehr klein ist (kleiner als $5^\circ$), sind die Werte für Sinus und Tangens fast identisch. Probier es im Taschenrechner aus: $\sin(1^\circ) \approx 0.01745$ und $\tan(1^\circ) \approx 0.01746$.

Wir dürfen also für kleine Winkel sagen: $\sin(\textcolor{#FF7D57}{\alpha}) \approx \tan(\textcolor{#FF7D57}{\alpha})$.

Dadurch können wir die beiden Brüche aus unseren Dreiecken direkt gleichsetzen:

$\frac{\textcolor{#08BFFF}{\Delta s}}{g} = \frac{\textcolor{#53E5D6}{a_n}}{e}$

Wenn wir nun wieder $\textcolor{#08BFFF}{\Delta s} = n \cdot \lambda$ für ein Maximum einsetzen, erhalten wir eine wunderbar einfache, lineare Formel:

$n \cdot \lambda = g \cdot \frac{\textcolor{#53E5D6}{a_n}}{e}$

Diese Formel wird in den meisten Aufgaben verwendet, da der Schirmabstand $e$ meistens im Meter-Bereich liegt, während $\textcolor{#53E5D6}{a_n}$ nur wenige Zentimeter beträgt. Der Winkel ist also fast immer klein genug!

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Wandle alle Längen in die gleiche Einheit um: Nutze meistens Meter ($\text{m}$). Achte besonders auf Nanometer und Millimeter.
2. Bestimme den Gangunterschied: Prüfe, ob ein Maximum ($\textcolor{#08BFFF}{\Delta s} = n \cdot \lambda$) oder Minimum ($\textcolor{#08BFFF}{\Delta s} = \frac{2n-1}{2} \cdot \lambda$) vorliegt.
3. Wähle die passende Formel aus: Nutze für den Standardfall die einfache Kleinwinkelnäherung: $\frac{\textcolor{#08BFFF}{\Delta s}}{g} = \frac{\textcolor{#53E5D6}{a_n}}{e}$.
4. Löse auf und berechne: Stelle die Gleichung nach der gesuchten Größe um, setze die Werte ein und berechne das Ergebnis.

Durchgerechnete Beispiele

Wichtige Erkenntnisse

• Die Position von Maxima und Minima lässt sich über zwei rechtwinklige Dreiecke berechnen, die über den Winkel $\textcolor{#FF7D57}{\alpha}$ verbunden sind.
• Exakte Formel: Nutzt Sinus und Arkustangens. Sie gilt immer, ist aber aufwendiger zu berechnen.
• Kleinwinkelnäherung: Für kleine Winkel gilt $\sin(\textcolor{#FF7D57}{\alpha}) \approx \tan(\textcolor{#FF7D57}{\alpha})$. Das vereinfacht die Formel zu $\frac{\textcolor{#08BFFF}{\Delta s}}{g} = \frac{\textcolor{#53E5D6}{a_n}}{e}$.
• Achte immer darauf, ob in der Aufgabe ein Maximum ($\textcolor{#08BFFF}{\Delta s} = n \cdot \lambda$) oder ein Minimum ($\textcolor{#08BFFF}{\Delta s} = \frac{2n-1}{2} \cdot \lambda$) gesucht ist!