Was ist die Elektronenbeugung?

Die Elektronenbeugung ist ein quantenphysikalisches Phänomen, bei dem sich Elektronen wie Wellen verhalten. Wenn sie durch ein feines Kristallgitter geschossen werden, werden sie abgelenkt und erzeugen auf einem Leuchtschirm ein charakteristisches Muster aus hellen Ringen.

Wie berechnet man die Geschwindigkeit eines Elektrons?

Du nutzt die Energieerhaltung , indem du die elektrische Energie mit der kinetischen Energie gleichsetzt: e · U = 1/2 · m · v² . Wenn du diese Formel nach v auflöst, erhältst du die Geschwindigkeit in Abhängigkeit von der Beschleunigungsspannung U .

Was sagt die De-Broglie-Wellenlänge aus?

Die De-Broglie-Wellenlänge beschreibt die Welleneigenschaft von Materie. Sie besagt, dass jedem bewegten Teilchen eine Wellenlänge λ = h / (m · v) zugeordnet werden kann. Je schneller das Elektron fliegt, desto kürzer ist seine Wellenlänge.

Wie berechnet man den Radius der Beugungsringe?

Den Radius berechnest du mit der Beugungsgleichung in der Kleinwinkelnäherung: n · λ = (d · R) / L . Wenn du die Wellenlänge λ , den Netzebenenabstand d und den Abstand zum Schirm L kennst, kannst du die Formel einfach nach dem Radius R umstellen.

Elektronenbeugung berechnen

Stell dir vor, du wirfst einen Tennisball durch eine Wand mit zwei Schlitzen. Der Ball geht entweder durch den linken oder den rechten Schlitz und trifft dahinter auf einen einzigen Punkt. Logisch, oder?

In der Quantenphysik verhalten sich Elektronen aber völlig anders! Wenn wir sie durch ein feines Gitter schießen, verhalten sie sich plötzlich wie eine Welle und erzeugen ein Muster aus Ringen auf einem Schirm. Dieses Phänomen nennt man Elektronenbeugung. In dieser Lektion lernst du Schritt für Schritt, wie du für dein Abitur genau berechnest, wie schnell diese Elektronen sind und wie groß die Ringe auf dem Schirm werden. So wird das Thema Elektronenbeugung berechnen zum Kinderspiel!

Vorwissen

Kinetische Energie ( $E_{kin}$ ): Die Energie der Bewegung. Formel: $E_{kin} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2$ Beispiel: Ein Auto, das mit einer bestimmten Geschwindigkeit $v$ fährt, besitzt kinetische Energie.
Elektrische Energie ( $E_{el}$ ): Die Energie, die ein geladenes Teilchen in einem elektrischen Feld erhält. Formel: $E_{el} = e \cdot U$ Beispiel: Ein Elektron (Ladung $e$ ) gewinnt Energie, wenn es durch eine Spannung $U$ beschleunigt wird.

Aufgabentyp 1: Von der Spannung zur Welle

Um die Eigenschaften eines Elektrons zu berechnen, müssen wir zuerst wissen, wie schnell es ist. In einer Elektronenröhre wird ein Elektron aus dem Stillstand durch eine Beschleunigungsspannung ( $\textcolor{#08BFFF}{U_B}$ ) extrem schnell gemacht.

Dabei wandelt sich die gesamte elektrische Energie in Bewegungsenergie (kinetische Energie) um. Wir setzen also beide Formeln gleich (Energiebilanz):

$\frac{1}{2} \cdot m \cdot \textcolor{#9570FF}{v}^2 = e \cdot \textcolor{#08BFFF}{U_B}$

Wenn wir diese Gleichung nach der Geschwindigkeit ( $\textcolor{#9570FF}{v}$ ) auflösen, erhalten wir:

$\textcolor{#9570FF}{v} = \sqrt{\frac{2 \cdot e \cdot \textcolor{#08BFFF}{U_B}}{m}}$

Sobald das Elektron fliegt, verhält es sich wie eine Welle. Der Physiker Louis de Broglie hat herausgefunden, dass die Wellenlänge ( $\textcolor{#53E5D6}{\lambda}$ ) direkt von der Geschwindigkeit abhängt. Je schneller das Elektron, desto kürzer die Welle:

$\textcolor{#53E5D6}{\lambda} = \frac{h}{m \cdot \textcolor{#9570FF}{v}}$

Naturkonstanten, die du hierfür brauchst:

$e$ (Elementarladung) $\approx 1{,}60 \cdot 10^{-19} \text{ C}$
$m$ (Elektronenmasse) $\approx 9{,}11 \cdot 10^{-31} \text{ kg}$
$h$ (Plancksches Wirkungsquantum) $\approx 6{,}63 \cdot 10^{-34} \text{ Js}$

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Gegebene Werte und Konstanten notieren: Schreibe alle Werte aus der Aufgabe auf (Spannung $U_B$ ). Notiere dir auch die Konstanten $e$ , $m$ und $h$ .
Elektronengeschwindigkeit berechnen: Setze die Spannung in die umgestellte Energiegleichung ein: $v = \sqrt{\frac{2 \cdot e \cdot U_B}{m}}$ .
De-Broglie-Wellenlänge berechnen: Nutze die berechnete Geschwindigkeit, um die Wellenlänge zu finden: $\lambda = \frac{h}{m \cdot v}$ .

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

In einer Elektronenbeugungsröhre werden Elektronen durch eine Spannung von $\textcolor{#08BFFF}{U_B} = 2900 \text{ V}$ beschleunigt. Berechne die resultierende Elektronengeschwindigkeit und die zugehörige De-Broglie-Wellenlänge.

Verwende: $e = 1{,}60 \cdot 10^{-19} \text{ C}$ , $m = 9{,}11 \cdot 10^{-31} \text{ kg}$ , $h = 6{,}63 \cdot 10^{-34} \text{ Js}$ .

Fortschritt

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Schritt 1
Gegebene Werte und Konstanten notieren
Gegeben: $\textcolor{#08BFFF}{U_B} = 2900 \text{ V}$
Schritt 2
Elektronengeschwindigkeit berechnen
Wir nutzen die Formel aus der Energieerhaltung:

$\textcolor{#9570FF}{v} = \sqrt{\frac{2 \cdot e \cdot \textcolor{#08BFFF}{U_B}}{m}}$

Wir setzen die Werte ein:

$\textcolor{#9570FF}{v} = \sqrt{\frac{2 \cdot 1{,}60 \cdot 10^{-19} \text{ C} \cdot \textcolor{#08BFFF}{2900 \text{ V}}}{9{,}11 \cdot 10^{-31} \text{ kg}}}$

$\textcolor{#9570FF}{v} = \sqrt{1{,}018 \cdot 10^{15} \text{ m}^2/\text{s}^2}$

$\textcolor{#9570FF}{v} \approx \textcolor{#9570FF}{3{,}19 \cdot 10^7 \text{ m/s}}$
Schritt 3 · Ergebnis
De-Broglie-Wellenlänge berechnen
Nun setzen wir die Geschwindigkeit in die De-Broglie-Formel ein:

$\textcolor{#53E5D6}{\lambda} = \frac{h}{m \cdot \textcolor{#9570FF}{v}}$

$\textcolor{#53E5D6}{\lambda} = \frac{6{,}63 \cdot 10^{-34} \text{ Js}}{9{,}11 \cdot 10^{-31} \text{ kg} \cdot \textcolor{#9570FF}{3{,}19 \cdot 10^7 \text{ m/s}}}$

$\textcolor{#53E5D6}{\lambda} \approx \textcolor{#53E5D6}{2{,}28 \cdot 10^{-11} \text{ m}}$

Ergebnis:

Die Elektronen haben eine Geschwindigkeit von $\textcolor{#9570FF}{3{,}19 \cdot 10^7 \text{ m/s}}$ und eine Wellenlänge von $\textcolor{#53E5D6}{2{,}28 \cdot 10^{-11} \text{ m}}$ . Realitätscheck: Die Geschwindigkeit ist extrem hoch (etwa 10% der Lichtgeschwindigkeit), was für beschleunigte Elektronen typisch ist. Die Wellenlänge ist winzig (im Pikometer-Bereich), was ebenfalls physikalisch sinnvoll ist.

Aufgabentyp 2: Die Ringe auf dem Schirm

Wenn unsere Elektronenwelle nun auf ein hauchdünnes Kristallgitter trifft, wird sie abgelenkt (gebeugt). Auf einem Leuchtschirm am Ende der Röhre entstehen dadurch helle Ringe (Beugungsmaxima).

Um den Radius ( $\textcolor{#FFCE51}{R}$ ) dieser Ringe zu berechnen, nutzen wir die Beugungsgleichung (in der Kleinwinkelnäherung):

$n \cdot \textcolor{#53E5D6}{\lambda} = \frac{d \cdot \textcolor{#FFCE51}{R}}{L}$

$n$ : Die Ordnung des Rings (z.B. $n=1$ für den ersten Ring, $n=2$ für den zweiten).
$d$ : Der Abstand der Atome im Kristall (Netzebenenabstand).
$L$ : Der Abstand zwischen dem Kristall und dem Schirm.

Der Abitur-Trick (Die zusammengesetzte Gleichung): Oft wird in Prüfungen verlangt, den Radius direkt aus der Spannung zu berechnen, ohne Zwischenschritte. Dafür setzt man die Formel für $\textcolor{#53E5D6}{\lambda}$ und $\textcolor{#9570FF}{v}$ direkt in die Beugungsgleichung ein und löst nach $\textcolor{#FFCE51}{R}$ auf. Das sieht dann so aus:

$\textcolor{#FFCE51}{R} = \frac{n \cdot h \cdot L}{d \cdot \sqrt{2 \cdot m \cdot e \cdot \textcolor{#08BFFF}{U_B}}}$

Keine Panik vor dieser großen Formel! Sie macht genau das Gleiche, als würdest du die Schritte einzeln nacheinander rechnen.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Gegebene Werte notieren: Schreibe den Abstand $L$ , den Gitterabstand $d$ und die Ordnung $n$ auf.
Radius des Beugungsrings berechnen: Stelle die Beugungsgleichung nach $R$ um ( $R = \frac{n \cdot \lambda \cdot L}{d}$ ) und setze deine Wellenlänge ein, oder nutze direkt die zusammengesetzte Gleichung.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 2

Aufgabe

Berechne den Radius des Beugungsmaximums zweiter Ordnung ( $n=2$ ) für Elektronen, die mit $\textcolor{#08BFFF}{U_B} = 4000 \text{ V}$ beschleunigt wurden. Der Abstand zum Schirm beträgt $L = 0{,}11 \text{ m}$ und der Netzebenenabstand des Kristalls ist $d = 123 \cdot 10^{-12} \text{ m}$ .

Verwende die zusammengesetzte Gleichung. Konstanten: $e = 1{,}60 \cdot 10^{-19} \text{ C}$ , $m = 9{,}11 \cdot 10^{-31} \text{ kg}$ , $h = 6{,}63 \cdot 10^{-34} \text{ Js}$ .

Fortschritt

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Schritt 1
Formel aufstellen und umstellen
Wir starten mit der Beugungsgleichung:

$n \cdot \lambda = \frac{d \cdot \textcolor{#FFCE51}{R}}{L}$

Wir lösen nach dem gesuchten Radius $\textcolor{#FFCE51}{R}$ auf, indem wir mit $L$ multiplizieren und durch $d$ teilen:

$\textcolor{#FFCE51}{R} = \frac{n \cdot \lambda \cdot L}{d}$

Nun ersetzen wir $\lambda$ durch die erweiterte De-Broglie-Beziehung ( $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2 \cdot m \cdot e \cdot U_B}}$ ), um die zusammengesetzte Gleichung zu erhalten:

$\textcolor{#FFCE51}{R} = \frac{n \cdot h \cdot L}{d \cdot \sqrt{2 \cdot m \cdot e \cdot \textcolor{#08BFFF}{U_B}}}$

Zusammengesetzte Formel
Schritt 2 · Ergebnis
Werte einsetzen und berechnen
Jetzt setzen wir alle gegebenen Werte vorsichtig ein:

$\textcolor{#FFCE51}{R} = \frac{2 \cdot 6{,}63 \cdot 10^{-34} \text{ Js} \cdot 0{,}11 \text{ m}}{123 \cdot 10^{-12} \text{ m} \cdot \sqrt{2 \cdot 9{,}11 \cdot 10^{-31} \text{ kg} \cdot 1{,}60 \cdot 10^{-19} \text{ C} \cdot \textcolor{#08BFFF}{4000 \text{ V}}}}$

Wir berechnen zuerst den Wert unter der Wurzel (den Nenner):

$\sqrt{1{,}166 \cdot 10^{-45}} \approx 3{,}41 \cdot 10^{-23}$

Nun setzen wir das zurück in den Bruch ein:

$\textcolor{#FFCE51}{R} = \frac{1{,}458 \cdot 10^{-34}}{123 \cdot 10^{-12} \cdot 3{,}41 \cdot 10^{-23}}$

$\textcolor{#FFCE51}{R} = \frac{1{,}458 \cdot 10^{-34}}{4{,}19 \cdot 10^{-33}}$

$\textcolor{#FFCE51}{R} \approx \textcolor{#FFCE51}{0{,}0348 \text{ m}}$

Ergebnis:

Der Radius des Beugungsmaximums zweiter Ordnung beträgt ca. $\textcolor{#FFCE51}{0{,}035 \text{ m}}$ (oder $3{,}5 \text{ cm}$ ). Realitätscheck: Ein Radius von $3{,}5 \text{ cm}$ auf einem Schirm, der $11 \text{ cm}$ entfernt ist, ist eine realistische und gut sichtbare Größe für ein Laborexperiment.

Wichtige Erkenntnisse

Der Ablauf: Spannung erzeugt Geschwindigkeit $\to$ Geschwindigkeit bestimmt Wellenlänge $\to$ Wellenlänge bestimmt den Radius der Ringe.
Energiebilanz: $\frac{1}{2} \cdot m \cdot \textcolor{#9570FF}{v}^2 = e \cdot \textcolor{#08BFFF}{U_B}$
De-Broglie-Wellenlänge: $\textcolor{#53E5D6}{\lambda} = \frac{h}{m \cdot \textcolor{#9570FF}{v}}$
Beugungsgleichung: $n \cdot \textcolor{#53E5D6}{\lambda} = \frac{d \cdot \textcolor{#FFCE51}{R}}{L}$

Elektronenbeugung berechnen einfach erklärt: Abiturvorbereitung