Eindimensionaler unendlicher Potenzialtopf einfach erklärt

Stell dir vor, du zupfst eine Gitarrensaite. Weil die Saite an beiden Enden fest eingespannt ist, kann sie nicht beliebig schwingen. Sie bildet ganz bestimmte, harmonische Schwingungen – sogenannte stehende Wellen.

In der Quantenphysik passiert etwas Erstaunliches, wenn wir ein Elektron in einen winzigen, undurchdringlichen Käfig einsperren: Das Modell des eindimensionalen unendlichen Potenzialtopfs beschreibt genau dieses Phänomen. Da sich Elektronen wie Wellen verhalten, benehmen sie sich genau wie die Gitarrensaite! In diesem Artikel entdecken wir, warum ein eingesperrtes Elektron nur ganz bestimmte Wellenformen annehmen kann und wie du berechnen kannst, wie viel Energie es dabei besitzt.

Vorwissen

• De-Broglie-Wellenlänge: Bewegte Teilchen (wie Elektronen) haben eine Wellenlänge $\lambda$, die von ihrer Masse $m$ und Geschwindigkeit $v$ abhängt.

  Formel: $\lambda = \frac{h}{m \cdot v}$ (wobei $h$ das Plancksche Wirkungsquantum ist).

  Beispiel: Ein schnelles Elektron hat eine kürzere Wellenlänge als ein langsames Elektron.

• Kinetische Energie ($E_{\text{kin}}$): Die Bewegungsenergie eines Objekts.

  Formel: $E_{\text{kin}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2$

  Beispiel: Ein Auto mit der Masse $1000 \text{ kg}$, das sich mit $10 \text{ m/s}$ bewegt, hat eine kinetische Energie von $50000 \text{ J}$.

Aufgabentyp 1: Energieniveaus im Potenzialtopf berechnen

Wir betrachten ein Modell, das eindimensionaler unendlicher Potenzialtopf genannt wird. Stell dir eine winzige Strecke der Länge $a$ vor. An den Rändern ($x=0$ und $x=a$) gibt es unendlich hohe Wände. Das bedeutet: Das Elektron kann diese Wände unmöglich durchdringen. Außerhalb des Topfes ist das Elektron niemals zu finden.

Weil das Elektron nicht entkommen kann, wird seine Materiewelle an den Wänden reflektiert. Es überlagern sich hin- und rücklaufende Wellen, und es entstehen stehende Wellen. Genau wie bei der Gitarrensaite passen nur bestimmte Wellen in den Topf: Es muss immer ein ganzzahliges Vielfaches der halben Wellenlänge hineinpassen.

Die erlaubten Wellenlängen berechnen sich so:

$\lambda_n = \frac{2 \cdot a}{n} \quad (n = 1, 2, 3, \dots)$

Die Wellenfunktion und die Wahrscheinlichkeit

In der Quantenphysik beschreiben wir diese stehende Welle mit einer mathematischen Funktion, der Wellenfunktion $\psi$ (griechischer Buchstabe Psi). Außerhalb des Topfes ist $\psi = 0$. Innerhalb des Topfes sieht sie aus wie eine Sinuswelle.

Aber was bedeutet diese Welle physikalisch? Die Welle selbst sagt uns noch nicht, wo das Elektron ist. Erst wenn wir die Wellenfunktion quadrieren ($|\psi|^2$), erhalten wir die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte. Sie verrät uns, wie wahrscheinlich es ist, das Elektron an einem bestimmten Ort zu finden.

Wenn du dir den Zustand $n=2$ ansiehst, fällt etwas Verrücktes auf: In der Mitte der Box ist die Wahrscheinlichkeit exakt null! Solche Stellen nennt man Knotenpunkte. Das Elektron kann sich links oder rechts aufhalten, aber niemals genau in der Mitte.

Quantisierung der Energie im Potenzialtopf

Da das Elektron im Topf keine potenzielle Energie besitzt (es gibt keine Kräfte im Inneren), besteht seine gesamte Energie nur aus seiner kinetischen Energie (Bewegungsenergie).

Klassisch gilt: $E = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2$

Wir wissen aus der De-Broglie-Gleichung, dass die Geschwindigkeit $v$ mit der Wellenlänge zusammenhängt: $v = \frac{h}{m \cdot \lambda}$. Wenn wir das in die Energieformel einsetzen, erhalten wir:

$E = \frac{1}{2} \cdot m \cdot \left(\frac{h}{m \cdot \lambda}\right)^2 = \frac{h^2}{2 \cdot m \cdot \lambda^2}$

Jetzt kommt der entscheidende Schritt: Wir haben gelernt, dass nur ganz bestimmte Wellenlängen in den Topf passen ($\lambda_n = \frac{2 \cdot a}{n}$). Wenn wir das für $\lambda$ einsetzen, erhalten wir die Formel für die Energieniveaus:

$\textcolor{#9570FF}{E_n} = \frac{h^2}{2 \cdot m \cdot \left(\frac{2 \cdot a}{n}\right)^2} = \textcolor{#9570FF}{\frac{h^2}{8 \cdot m \cdot a^2} \cdot n^2}$

Weil $n$ nur ganze Zahlen ($1, 2, 3, \dots$) annehmen kann, kann das Elektron nicht jede beliebige Energie haben. Die Energie ist gequantelt. Das Elektron kann sich auf dem Energieniveau $E_1$ oder $E_2$ befinden, aber es kann niemals eine Energie dazwischen haben. Es ist wie auf einer Leiter: Du kannst auf der ersten oder zweiten Sprosse stehen, aber nicht in der Luft dazwischen.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Gegebene Werte identifizieren: Notiere die Masse des Teilchens $m$ (für Elektronen meist $9,1 \cdot 10^{-31} \text{ kg}$), die Breite des Topfes $a$ (in Metern!) und die Quantenzahl $n$.
2. Werte in die Energieformel einsetzen: Nutze die Formel: $E_n = \frac{h^2}{8 \cdot m \cdot a^2} \cdot n^2$. Setze das Plancksche Wirkungsquantum $h = 6,63 \cdot 10^{-34} \text{ J s}$ ein und berechne das Ergebnis. Das Ergebnis hat die Einheit Joule ($\text{J}$).
3. In Elektronenvolt (eV) umrechnen (falls gefordert): In der Quantenphysik sind Energien in Joule extrem klein. Daher nutzt man oft Elektronenvolt ($\text{eV}$). Teile dein Ergebnis in Joule durch die Elementarladung $e = 1,602 \cdot 10^{-19} \text{ J/eV}$.

Durchgerechnete Beispiele

Wichtige Erkenntnisse

• Ein Elektron in einem unendlichen Potenzialtopf bildet stehende Materiewellen.
• Das Quadrat der Wellenfunktion ($|\psi|^2$) gibt die Aufenthaltswahrscheinlichkeit an. An den Knotenpunkten der Welle ist die Wahrscheinlichkeit, das Elektron zu finden, gleich null.
• Weil nur bestimmte Wellenlängen in den Topf passen, ist die Energie des Elektrons gequantelt. Es kann nur bestimmte, diskrete Energiewerte annehmen: $\textcolor{#9570FF}{E_n} = \textcolor{#9570FF}{\frac{h^2}{8 \cdot m \cdot a^2} \cdot n^2}$.