Was ist ein Prisma und wie berechnet man sein Volumen?

Ein Prisma ist ein 3D-Körper mit zwei identischen, parallelen Grundflächen und rechteckigen Seitenflächen. Das Volumen berechnest du mit der Formel V = G · h k – also Grundfläche mal Körperhöhe. Die Grundfläche kann ein Dreieck, ein Trapez oder jede andere Vielecksform sein. Zum Prisma berechnen musst du erst G bestimmen (z. B. mit der Trapezformel) und dann mit der Länge des Körpers multiplizieren.

Wie berechnet man die Oberfläche eines Prismas?

Die Oberfläche eines Prismas berechnest du mit O = 2 · G + M . Dabei ist G der Flächeninhalt der Grundfläche und M die Mantelfläche – also die Summe aller rechteckigen Seitenflächen. Stell dir das aufgefaltete Netz vor: Du siehst zwei identische Vielecke (Grund- und Deckfläche) und mehrere Rechtecke (Mantel). Berechne alle Einzelflächen und addiere sie.

Was ist der Unterschied zwischen Grundfläche und Mantelfläche?

Die Grundfläche ( G ) ist die Fläche des Vielecks an der Ober- und Unterseite des Prismas – zum Beispiel ein Dreieck oder ein Trapez. Die Mantelfläche ( M ) ist die Summe aller rechteckigen Seitenflächen, die Grund- und Deckfläche miteinander verbinden. Bei der Oberflächenberechnung brauchst du immer beide: O = 2 · G + M .

Wie berechnet man die Masse eines Körpers aus Volumen und Dichte?

Wenn du das Volumen eines Körpers kennst, berechnest du seine Masse mit Masse = Volumen · Dichte . Wichtig: Die Einheiten müssen zusammenpassen. Ist das Volumen in cm³ und die Dichte in g/cm³ , erhältst du die Masse in Gramm. Ein großes Ergebnis wandelst du dann sinnvoll um – zum Beispiel von Gramm in Kilogramm (÷ 1000) oder von Kilogramm in Tonnen (÷ 1000).

Wie liest man Volumen und Oberfläche aus einem Netz ab?

Im Netz eines Prismas siehst du alle Flächen auf einen Blick. Die Oberfläche ist einfach die Summe aller Teilflächen im Netz – du berechnest jedes Dreieck und jedes Rechteck und addierst alles. Für das Volumen findest du im Netz die Grundfläche G (eines der identischen Vielecke) und die Körperhöhe h k (Höhe der Rechtecke). Dann gilt: V = G · h k .

Volumen und Oberfläche von Prismen

Stell dir vor, du planst ein riesiges Bauprojekt – wie einen Wolkenkratzer oder einen Hochwasserdamm. Ein kleiner Rechenfehler bei der Materialmenge kann Millionen kosten oder sogar zu einer Katastrophe führen. Oder denk an etwas Alltägliches: Du willst eine coole Geschenkverpackung basteln. Wie viel Pappe brauchst du genau? Genau hier kommt die Berechnung von Volumen und Oberfläche von Prismen ins Spiel. Das ist keine trockene Mathe für die Schule, sondern ein Werkzeug, mit dem du reale Probleme löst: Materialkosten sparen, sicherstellen, dass genug Beton für ein Fundament da ist, oder einfach nur das perfekte Zelt für den nächsten Campingausflug entwerfen. Wenn du das hier meisterst, kannst du die Welt um dich herum buchstäblich berechnen. Lass uns anfangen!

Schnellantwort

Ein Prisma ist ein 3D-Körper mit einer Grundfläche und einer dazu identischen, parallelen Deckfläche. Die Seitenflächen sind immer Rechtecke. Das Volumen berechnest du mit $V = G \cdot h_k$ (Grundfläche mal Körperhöhe), die Oberfläche mit $O = 2 \cdot G + M$ (zwei mal Grundfläche plus Mantelfläche). Die Form der Grundfläche – Trapez, Dreieck, Sechseck – bestimmt, wie du $G$ berechnest.

Vorwissen

Bevor wir in die 3D-Welt der Prismen eintauchen, sollten wir uns an ein paar Grundlagen zu 2D-Flächen erinnern:

Flächeninhalt eines Rechtecks
- Formel: $A = \text{Länge} \cdot \text{Breite}$
- Beispiel: Ein Rechteck mit den Seiten 5 cm und 3 cm hat eine Fläche von $5 \text{ cm} \cdot 3 \text{ cm} = 15 \text{ cm}^2$ .
Flächeninhalt eines Dreiecks
- Formel: $A = \frac{1}{2} \cdot \text{Grundseite} \cdot \text{Höhe}$
- Beispiel: Ein Dreieck mit einer Grundseite von 8 cm und einer Höhe von 5 cm hat eine Fläche von $\frac{1}{2} \cdot 8 \text{ cm} \cdot 5 \text{ cm} = 20 \text{ cm}^2$ .
Flächeninhalt eines Trapezes
- Formel: $A = \frac{a+c}{2} \cdot h$ (wobei a und c die parallelen Seiten sind)
- Beispiel: Ein Trapez mit parallelen Seiten von 4 cm und 6 cm und einer Höhe von 3 cm hat eine Fläche von $\frac{4 \text{ cm} + 6 \text{ cm}}{2} \cdot 3 \text{ cm} = 15 \text{ cm}^2$ .
Was ist ein Prisma?
- Ein Prisma ist ein 3D-Körper, der eine Grundfläche und eine dazu identische, parallele Deckfläche hat. Die Seitenflächen, die diese beiden verbinden, sind immer Rechtecke.

Prisma mit Grundfläche, Deckfläche und rechteckigen Seitenflächen

Aufgabentyp 1: Volumen eines Prismas mit Trapez als Grundfläche berechnen

Das Volumen eines Prismas gibt an, wie viel „Inhalt" in den Körper passt. Die Grundidee ist super einfach und gilt für alle Prismen, egal welche Form die Grundfläche hat.

Die allgemeine Formel lautet:

Volumen = Grundfläche (G) $\cdot$ Körperhöhe $(h_{\text{k}})$

Stell es dir so vor: Du hast ein Blatt Papier in Form eines Trapezes (Grundfläche). Wenn du ganz viele dieser Blätter aufeinander stapelst, bis der Stapel eine bestimmte Höhe (Körperhöhe) erreicht, erhältst du das Volumen des Prismas.

Bei einem Deich oder einem Graben ist die Grundfläche oft ein Trapez. Daher müssen wir zuerst die Fläche dieses Trapezes berechnen, bevor wir das Gesamtvolumen bestimmen können.

Trapezprisma mit eingezeichneter Grundfläche und Körperhöhe

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Grundfläche identifizieren und Formel finden: Schau dir den Körper genau an. Die Grundfläche ist hier ein Trapez. Notiere die Formel: $G = \frac{a+c}{2} \cdot h$ .
Flächeninhalt der Grundfläche (G) berechnen: Setze die gegebenen Längen der parallelen Seiten ( $a$ und $c$ ) und die Höhe des Trapezes ( $h$ ) in die Formel ein.
Körperhöhe ( $h_{\text{k}}$ ) und Einheiten prüfen: Finde die Länge des Prismas – das ist die Körperhöhe $h_k$ . Überprüfe, ob alle Maße dieselbe Einheit haben. Wenn nicht, wandle sie um!
Volumen berechnen: Setze die berechnete Grundfläche $G$ und die Körperhöhe $h_k$ in die Volumenformel $V = G \cdot h_k$ ein.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Ein 50 m langer Graben hat einen trapezförmigen Querschnitt. Die obere Breite beträgt 8 m, die Sohle (untere Breite) 4 m und die Tiefe 3 m. Wie viel Erde wurde ausgehoben? Gib das Volumen in m $^3$ an.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Grundfläche identifizieren und ihre Formel finden
Die Grundfläche ist der trapezförmige Querschnitt. Die Formel lautet: $G = \frac{a+c}{2} \cdot h$
Schritt 2
Flächeninhalt der Grundfläche (G) berechnen
Die parallelen Seiten sind $a = 8 \text{ m}$ und $c = 4 \text{ m}$ . Die Höhe des Trapezes (die Tiefe des Grabens) ist $h = 3 \text{ m}$ .

$G = \frac{8 \text{ m} + 4 \text{ m}}{2} \cdot 3 \text{ m}$

$G = \frac{12 \text{ m}}{2} \cdot 3 \text{ m}$

$G = 6 \text{ m} \cdot 3 \text{ m}$

$G = 18 \text{ m}^2$

Die Grundfläche beträgt $18 \text{ m}^2$ .
Schritt 3
Körperhöhe ($h_{\text{k}}$) und Einheiten prüfen
Die Körperhöhe ist die Länge des Grabens, also $h_k = 50 \text{ m}$ . Alle Einheiten sind in Metern, also passt alles.
Schritt 4 · Ergebnis
Volumen berechnen
Wir verwenden die Formel $V = G \cdot h_k$ .

$V = 18 \text{ m}^2 \cdot 50 \text{ m}$

$V = 900 \text{ m}^3$

Ergebnis:

Es wurden $900 \text{ m}^3$ Erde ausgehoben.

Beispiel 2

Aufgabe

Eine Viehtränke aus Beton ist 2 m lang. Der Querschnitt ist ein Trapez mit einer unteren Breite von 30 cm, einer oberen Breite von 50 cm und einer Höhe von 40 cm. Berechne das Volumen der Tränke in Litern (1 Liter = 1000 cm³).

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Grundfläche identifizieren und ihre Formel finden
Die Grundfläche ist ein Trapez. Die Formel ist $G = \frac{a+c}{2} \cdot h$ .
Schritt 2
Flächeninhalt der Grundfläche (G) berechnen
Die Maße des Trapezes sind $a = 50 \text{ cm}$ , $c = 30 \text{ cm}$ und $h = 40 \text{ cm}$ .

$G = \frac{50 \text{ cm} + 30 \text{ cm}}{2} \cdot 40 \text{ cm}$

$G = \frac{80 \text{ cm}}{2} \cdot 40 \text{ cm}$

$G = 40 \text{ cm} \cdot 40 \text{ cm}$

$G = 1600 \text{ cm}^2$

Die Grundfläche beträgt $1600 \text{ cm}^2$ .
Schritt 3
Körperhöhe ($h_k$) und Einheiten prüfen
Die Körperhöhe ist die Länge der Tränke, $2 \text{ m}$ . Die anderen Maße sind in cm. Wir müssen die Einheiten anpassen! Wir wandeln 2 m in cm um.

$h_k = 2 \text{ m} = 200 \text{ cm}$
Schritt 4 · Ergebnis
Volumen berechnen
Wir verwenden die Formel $V = G \cdot h_k$ .

$V = 1600 \text{ cm}^2 \cdot 200 \text{ cm}$

$V = 320000 \text{ cm}^3$

Die Aufgabe fragt nach dem Volumen in Litern. Da $1000 \text{ cm}^3 = 1 \text{ L}$ sind, teilen wir das Ergebnis durch 1000.

$V = 320000 \div 1000 = 320 \text{ L}$

Ergebnis:

Das Volumen der Tränke beträgt 320 Liter.

Beispiel 3

Aufgabe

Ein Damm mit einer Länge von 0,5 km hat ein trapezförmiges Profil. Die Dammkrone (oben) ist 5 m breit, die Basis (unten) ist 20 m breit und die Höhe beträgt 6 m. Berechne das benötigte Materialvolumen in m $^3$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Grundfläche identifizieren und ihre Formel finden
Die Grundfläche ist ein Trapez. Formel: $G = \frac{a+c}{2} \cdot h$ .
Schritt 2
Flächeninhalt der Grundfläche (G) berechnen
Gegeben sind $a = 5 \text{ m}$ , $c = 20 \text{ m}$ und $h = 6 \text{ m}$ .

$G = \frac{5 \text{ m} + 20 \text{ m}}{2} \cdot 6 \text{ m}$

$G = \frac{25 \text{ m}}{2} \cdot 6 \text{ m}$

$G = 12,5 \text{ m} \cdot 6 \text{ m}$

$G = 75 \text{ m}^2$

Die Grundfläche beträgt $75 \text{ m}^2$ .
Schritt 3
Körperhöhe ($h_{\text{k}}$) und Einheiten prüfen
Die Körperhöhe ist die Länge des Damms: $0,5 \text{ km}$ . Wir müssen dies in Meter umwandeln.

$h_k = 0,5 \text{ km} \cdot 1000 = 500 \text{ m}$
Schritt 4 · Ergebnis
Volumen berechnen
Wir verwenden die Formel $V = G \cdot h_k$ .

$V = 75 \text{ m}^2 \cdot 500 \text{ m}$

$V = 37500 \text{ m}^3$

Ergebnis:

Das benötigte Materialvolumen beträgt $37.500 \text{ m}^3$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Eine Rampe für einen Skatepark ist 4 m lang und hat einen trapezförmigen Querschnitt. Die Auffahrtsbreite beträgt 2 m, die obere Plattform ist 1,5 m breit. Die Höhe der Rampe ist 1 m. Welches Volumen hat die Rampe?

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Grundfläche identifizieren und ihre Formel finden
Die Grundfläche ist das Trapez an der Seite. Formel: $G = \frac{a+c}{2} \cdot h$ .
Schritt 2
Flächeninhalt der Grundfläche (G) berechnen
Die parallelen Seiten sind die Auffahrtsbreite und die Plattformbreite: $a = 2 \text{ m}$ und $c = 1,5 \text{ m}$ . Die Höhe des Trapezes ist die Höhe der Rampe: $h = 1 \text{ m}$ .

$G = \frac{2 \text{ m} + 1,5 \text{ m}}{2} \cdot 1 \text{ m}$

$G = \frac{3,5 \text{ m}}{2} \cdot 1 \text{ m}$

$G = 1,75 \text{ m}^2$

Die Grundfläche beträgt $1,75 \text{ m}^2$ .
Schritt 3
Körperhöhe ($h_{\text{k}}$) und Einheiten prüfen
Die Körperhöhe ist die Länge der Rampe, also $h_k = 4 \text{ m}$ . Alle Einheiten sind in Metern.
Schritt 4 · Ergebnis
Volumen berechnen
Wir verwenden die Formel $V = G \cdot h_k$ .

$V = 1,75 \text{ m}^2 \cdot 4 \text{ m}$

$V = 7 \text{ m}^3$

Ergebnis:

Das Volumen der Rampe beträgt $7 \text{ m}^3$ .

Beispiel 5

Aufgabe

Ein Blumenkasten aus Plastik ist 80 cm lang. Sein Querschnitt ist ein Trapez. Oben ist er 25 cm breit, unten 15 cm. Die Höhe des Kastens beträgt 20 cm. Wie viel Liter Erde passen hinein? (1 Liter = 1000 cm $^3$ )

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Grundfläche identifizieren und ihre Formel finden
Die Grundfläche ist ein Trapez. Formel: $G = \frac{a+c}{2} \cdot h$ .
Schritt 2
Flächeninhalt der Grundfläche (G) berechnen
Die parallelen Seiten sind $a = 25 \text{ cm}$ und $c = 15 \text{ cm}$ . Die Höhe des Trapezes ist $h = 20 \text{ cm}$ .

$G = \frac{25 \text{ cm} + 15 \text{ cm}}{2} \cdot 20 \text{ cm}$

$G = \frac{40 \text{ cm}}{2} \cdot 20 \text{ cm}$

$G = 20 \text{ cm} \cdot 20 \text{ cm}$

$G = 400 \text{ cm}^2$

Die Grundfläche beträgt $400 \text{ cm}^2$ .
Schritt 3
Körperhöhe ($h_{\text{k}}$) und Einheiten prüfen
Die Körperhöhe ist die Länge des Kastens: $h_k = 80 \text{ cm}$ . Alle Einheiten sind in cm.
Schritt 4 · Ergebnis
Volumen berechnen
Wir verwenden die Formel $V = G \cdot h_k$ .

$V = 400 \text{ cm}^2 \cdot 80 \text{ cm}$

$V = 32000 \text{ cm}^3$

Um das Ergebnis in Litern anzugeben, teilen wir durch 1000.

$V = 32000 \div 1000 = 32 \text{ L}$

Ergebnis:

Es passen 32 Liter Erde in den Blumenkasten.

Aufgabentyp 2: Volumen eines Prismas mit dreieckiger Grundfläche berechnen

Viele Objekte in der Praxis haben die Form eines Prismas mit einer dreieckigen Grundfläche, zum Beispiel ein Zelt, ein Keil oder ein Schokoladenstück. Die Berechnung ihres Volumens folgt der gleichen Logik wie bei allen Prismen.

Die universelle Formel lautet:

Volumen = Grundfläche (G) $\cdot$ Körperhöhe $(h_{\text{k}})$

Der einzige Unterschied ist, dass wir hier die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks verwenden müssen, um die Grundfläche $G$ zu bestimmen.

Die Formel für die Dreiecksfläche ist: $G = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$ (wobei $g$ die Grundseite und $h$ die Höhe des Dreiecks ist).

Wichtiger Tipp: Bei einem rechtwinkligen Dreieck sind die beiden Seiten, die den rechten Winkel bilden (die Katheten), bereits Grundseite und Höhe füreinander. Das macht die Berechnung der Grundfläche besonders einfach!

Dreiecksprisma mit eingezeichneter Grundfläche und Körperhöhe

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Grundfläche als Dreieck erkennen: Identifiziere die dreieckige Grundfläche des Prismas. Notiere die Formel: $G = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$ .
Flächeninhalt der Grundfläche (G) berechnen: Setze die Längen der Grundseite ( $g$ ) und der Höhe ( $h$ ) des Dreiecks in die Formel ein. Bei einem rechtwinkligen Dreieck nimmst du die Längen der beiden Katheten.
Körperhöhe ( $h_{\text{k}}$ ) finden: Bestimme die Höhe des Prismas ( $h_k$ ). Das ist der Abstand zwischen den beiden dreieckigen Flächen.
Volumen berechnen: Multipliziere die berechnete Grundfläche $G$ mit der Körperhöhe $h_{\text{k}}$ : $V = G \cdot h_k$ .

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Ein Zelt hat die Form eines dreieckigen Prismas. Es ist 3 m lang. Die dreieckige Vorderseite hat eine Basis von 1,8 m und eine Höhe von 1,2 m. Wie groß ist das Volumen des Zeltes?

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Grundfläche als Dreieck erkennen
Die Grundfläche ist das Dreieck der Zeltöffnung. Die Formel ist $G = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$ .
Schritt 2
Flächeninhalt der Grundfläche (G) berechnen
Die Basis des Dreiecks ist $g = 1,8 \text{ m}$ und die Höhe ist $h = 1,2 \text{ m}$ .

$G = \frac{1}{2} \cdot 1,8 \text{ m} \cdot 1,2 \text{ m}$

$G = 0,9 \text{ m} \cdot 1,2 \text{ m}$

$G = 1,08 \text{ m}^2$

Die Grundfläche beträgt $1,08 \text{ m}^2$ .
Schritt 3
Körperhöhe ($h_{\text{k}}$) finden
Die Körperhöhe ist die Länge des Zeltes, also $h_k = 3 \text{ m}$ .
Schritt 4 · Ergebnis
Volumen berechnen
$V = G \cdot h_k$

$V = 1,08 \text{ m}^2 \cdot 3 \text{ m}$

$V = 3,24 \text{ m}^3$

Ergebnis:

Das Volumen des Zeltes beträgt $3,24 \text{ m}^3$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Ein Stück Toblerone-Schokolade ist ein Prisma mit dreieckiger Grundfläche. Das Dreieck hat eine Grundseite von 3 cm und eine Höhe von 2,6 cm. Das Schokoladenstück ist 2,8 cm dick (Körperhöhe). Berechne das Volumen.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Grundfläche als Dreieck erkennen
Die Grundfläche ist das Schokoladendreieck. Formel: $G = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$ .
Schritt 2
Flächeninhalt der Grundfläche (G) berechnen
Gegeben sind $g = 3 \text{ cm}$ und $h = 2,6 \text{ cm}$ .

$G = \frac{1}{2} \cdot 3 \text{ cm} \cdot 2,6 \text{ cm}$

$G = 1,5 \text{ cm} \cdot 2,6 \text{ cm}$

$G = 3,9 \text{ cm}^2$

Die Grundfläche beträgt $3,9 \text{ cm}^2$ .
Schritt 3
Körperhöhe ($h_{\text{k}}$) finden
Die Körperhöhe ist die Dicke des Stücks, also $h_k = 2,8 \text{ cm}$ .
Schritt 4 · Ergebnis
Volumen berechnen
$V = G \cdot h_k$

$V = 3,9 \text{ cm}^2 \cdot 2,8 \text{ cm}$

$V = 10,92 \text{ cm}^3$

Ergebnis:

Das Volumen des Schokoladenstücks beträgt $10,92 \text{ cm}^3$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Eine Auffahrrampe für Rollstühle ist 2,5 m lang. Ihr Querschnitt ist ein rechtwinkliges Dreieck. Die Rampe überwindet eine Höhe von 0,5 m und ist am Boden 2,4 m lang. Berechne das Volumen der Rampe.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Grundfläche als Dreieck erkennen
Die Grundfläche ist das seitliche, rechtwinklige Dreieck. Da es rechtwinklig ist, können wir die Katheten als Grundseite und Höhe verwenden. Formel: $G = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$ .
Schritt 2
Flächeninhalt der Grundfläche (G) berechnen
Die Katheten sind die Höhe (0,5 m) und die Länge am Boden (2,4 m).

$G = \frac{1}{2} \cdot 0,5 \text{ m} \cdot 2,4 \text{ m}$

$G = 0,25 \text{ m} \cdot 2,4 \text{ m}$

$G = 0,6 \text{ m}^2$

Die Grundfläche beträgt $0,6 \text{ m}^2$ .
Schritt 3
Körperhöhe ($h_{\text{k}}$) finden
Die Körperhöhe ist die Breite der Rampe. In der Aufgabe steht, sie ist 2,5 m lang – das ist hier missverständlich. Nehmen wir an, die Breite der Rampe (die „Länge" des Prismas) beträgt 1 m, eine Standardbreite für solche Rampen.

$h_k = 1 \text{ m}$
Schritt 4 · Ergebnis
Volumen berechnen
$V = G \cdot h_k$

$V = 0,6 \text{ m}^2 \cdot 1 \text{ m}$

$V = 0,6 \text{ m}^3$

Ergebnis:

Das Volumen der Rampe beträgt $0,6 \text{ m}^3$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Ein Glasprisma, das Licht bricht, ist 10 cm lang. Seine Grundfläche ist ein gleichseitiges Dreieck mit einer Seitenlänge von 4 cm und einer Höhe von ca. 3,5 cm. Berechne das Volumen des Glasprismas.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Grundfläche als Dreieck erkennen
Die Grundfläche ist das gleichseitige Dreieck. Formel: $G = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$ .
Schritt 2
Flächeninhalt der Grundfläche (G) berechnen
Gegeben sind die Grundseite $g = 4 \text{ cm}$ und die Höhe $h = 3,5 \text{ cm}$ .

$G = \frac{1}{2} \cdot 4 \text{ cm} \cdot 3,5 \text{ cm}$

$G = 2 \text{ cm} \cdot 3,5 \text{ cm}$

$G = 7 \text{ cm}^2$

Die Grundfläche beträgt $7 \text{ cm}^2$ .
Schritt 3
Körperhöhe ($h_{\text{k}}$) finden
Die Körperhöhe ist die Länge des Prismas, also $h_k = 10 \text{ cm}$ .
Schritt 4 · Ergebnis
Volumen berechnen
$V = G \cdot h_k$

$V = 7 \text{ cm}^2 \cdot 10 \text{ cm}$

$V = 70 \text{ cm}^3$

Ergebnis:

Das Volumen des Glasprismas beträgt $70 \text{ cm}^3$ .

Beispiel 5

Aufgabe

Ein Dachboden hat einen dreieckigen Querschnitt. Die Breite des Bodens beträgt 8 m, die Höhe bis zum Dachfirst ist 3 m. Der Dachboden ist 12 m lang. Wie viel Kubikmeter Luft sind auf dem Dachboden?

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Grundfläche als Dreieck erkennen
Die Grundfläche ist der dreieckige Querschnitt des Dachbodens. Formel: $G = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$ .
Schritt 2
Flächeninhalt der Grundfläche (G) berechnen
Die Grundseite ist die Breite des Bodens, $g = 8 \text{ m}$ . Die Höhe des Dreiecks ist $h = 3 \text{ m}$ .

$G = \frac{1}{2} \cdot 8 \text{ m} \cdot 3 \text{ m}$

$G = 4 \text{ m} \cdot 3 \text{ m}$

$G = 12 \text{ m}^2$

Die Grundfläche beträgt $12 \text{ m}^2$ .
Schritt 3
Körperhöhe ($h_{\text{k}}$) finden
Die Körperhöhe ist die Länge des Dachbodens, $h_k = 12 \text{ m}$ .
Schritt 4 · Ergebnis
Volumen berechnen
$V = G \cdot h_k$

$V = 12 \text{ m}^2 \cdot 12 \text{ m}$

$V = 144 \text{ m}^3$

Ergebnis:

Auf dem Dachboden sind $144 \text{ m}^3$ Luft.

Aufgabentyp 3: Die Oberfläche eines Prismas berechnen

Die Oberfläche eines Prismas ist die Summe aller seiner Außenflächen. Stell dir vor, du willst das Prisma anmalen – die Oberfläche ist die gesamte Fläche, die du mit Farbe bedecken müsstest.

Am einfachsten kann man sich das mit dem Netz des Körpers vorstellen. Wenn du ein Prisma auseinanderschneidest und flach hinlegst, siehst du alle seine Flächen auf einmal.

Die Oberfläche ( $O$ ) eines Prismas besteht immer aus zwei Teilen:

Zwei mal die Grundfläche (G): Grund- und Deckfläche sind identisch.
Die Mantelfläche (M): Das sind die rechteckigen Seitenflächen, die Grund- und Deckfläche verbinden.

Die Formel lautet also:

$O = 2 \cdot G + M$

Die Mantelfläche $M$ selbst ist die Summe der Flächen aller Seitenrechtecke. Bei einem dreiseitigen Prisma sind das drei Rechtecke.

Prismanetz mit Grund- und Deckfläche sowie Mantelfläche

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Netz vorstellen und Grundfläche berechnen: Stell dir das aufgefaltete Netz vor. Identifiziere die Grundfläche (z. B. ein Dreieck) und berechne ihren Flächeninhalt $G$ . Da es zwei davon gibt (Grund- und Deckfläche), berechne direkt $2 \cdot G$ .
Mantelfläche (M) berechnen: Die Mantelfläche besteht aus mehreren Rechtecken. Die Höhe jedes Rechtecks ist die Körperhöhe $h_k$ . Die Breite jedes Rechtecks entspricht einer der Seitenlängen der Grundfläche. Berechne die Fläche jedes einzelnen Rechtecks und addiere sie, um $M$ zu erhalten.
Gesamtoberfläche berechnen: Addiere die Ergebnisse: $O = (2 \cdot G) + M$ . Gib das Ergebnis mit der korrekten Einheit (z. B. cm²) an.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Ein Prisma mit einer Höhe von 12 cm hat ein rechtwinkliges Dreieck als Grundfläche. Die Katheten des Dreiecks sind 5 cm und 12 cm lang. Die dritte Seite (Hypotenuse) ist 13 cm lang. Berechne die Oberfläche des Prismas.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Netz vorstellen und Grundfläche berechnen
Die Grundfläche ist ein rechtwinkliges Dreieck. Die Katheten sind $a=5$ cm und $b=12$ cm.

$G = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 5 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} = 30 \text{ cm}^2$

Für Grund- und Deckfläche zusammen gilt:

$2 \cdot G = 2 \cdot 30 \text{ cm}^2 = 60 \text{ cm}^2$
2
Schritt 2
Mantelfläche (M) berechnen
Die Mantelfläche besteht aus drei Rechtecken. Die Höhe aller Rechtecke ist die Körperhöhe $h_k = 12$ cm. Die Breiten sind die Seiten des Dreiecks: 5 cm, 12 cm und 13 cm.
- Rechteck 1: $5 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} = 60 \text{ cm}^2$
- Rechteck 2: $12 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} = 144 \text{ cm}^2$
- Rechteck 3: $13 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} = 156 \text{ cm}^2$
$M = 60 + 144 + 156 = 360 \text{ cm}^2$
Schritt 3 · Ergebnis
Gesamtoberfläche berechnen
$O = 2 \cdot G + M$

$O = 60 \text{ cm}^2 + 360 \text{ cm}^2$

$O = 420 \text{ cm}^2$

Ergebnis:

Die Oberfläche des Prismas beträgt $420 \text{ cm}^2$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Ein Zelt (dreieckiges Prisma) ist 2 m lang. Die dreieckige Vorderseite ist gleichschenklig mit einer Basis von 1,6 m und Schenkeln von je 1,7 m. Die Höhe des Dreiecks beträgt 1,5 m. Wie viel Zeltplane wird für die Außenhülle (Boden wird nicht mitgerechnet) benötigt?

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Grundfläche berechnen
Die Grundfläche ist das Dreieck. Basis $g=1,6$ m, Höhe $h=1,5$ m.

$G = \frac{1}{2} \cdot 1,6 \text{ m} \cdot 1,5 \text{ m} = 1,2 \text{ m}^2$
2
Schritt 2
Mantelfläche (M) berechnen
Die Mantelfläche besteht hier nur aus den beiden schrägen Dachseiten. Die Bodenseite zählt nicht. Die Körperhöhe (Länge des Zelts) ist $h_k = 2$ m. Die Seiten sind die Schenkel des Dreiecks, je 1,7 m.
- Dachseite 1: $1,7 \text{ m} \cdot 2 \text{ m} = 3,4 \text{ m}^2$
- Dachseite 2: $1,7 \text{ m} \cdot 2 \text{ m} = 3,4 \text{ m}^2$
$M = 3,4 + 3,4 = 6,8 \text{ m}^2$
Schritt 3 · Ergebnis
Gesamte Planenfläche berechnen
Gesamtfläche = G (Rückseite) + M (Dach)

$O = 1,2 \text{ m}^2 + 6,8 \text{ m}^2$

$O = 8,0 \text{ m}^2$

Ergebnis:

Es werden $8,0 \text{ m}^2$ Zeltplane benötigt.

Beispiel 3

Aufgabe

Eine Geschenkbox hat die Form eines Prismas mit einer Höhe von 20 cm. Die Grundfläche ist ein gleichseitiges Dreieck mit einer Seitenlänge von 10 cm und einer Höhe von ca. 8,7 cm. Wie viel Geschenkpapier wird mindestens benötigt, um die Box zu verpacken?

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Netz vorstellen und Grundfläche berechnen
Die Grundfläche ist ein gleichseitiges Dreieck. Seite $g=10$ cm, Höhe $h=8,7$ cm.

$G = \frac{1}{2} \cdot 10 \text{ cm} \cdot 8,7 \text{ cm} = 43,5 \text{ cm}^2$

Für Grund- und Deckfläche:

$2 \cdot G = 2 \cdot 43,5 \text{ cm}^2 = 87 \text{ cm}^2$
2
Schritt 2
Mantelfläche (M) berechnen
Die Mantelfläche besteht aus drei identischen Rechtecken, da die Grundfläche gleichseitig ist. Die Körperhöhe ist $h_k = 20$ cm. Die Breite jedes Rechtecks ist 10 cm.
- Rechteck 1: $10 \text{ cm} \cdot 20 \text{ cm} = 200 \text{ cm}^2$
- Rechteck 2: $10 \text{ cm} \cdot 20 \text{ cm} = 200 \text{ cm}^2$
- Rechteck 3: $10 \text{ cm} \cdot 20 \text{ cm} = 200 \text{ cm}^2$
$M = 200 + 200 + 200 = 600 \text{ cm}^2$
Schritt 3 · Ergebnis
Gesamtoberfläche berechnen
$O = 2 \cdot G + M$

$O = 87 \text{ cm}^2 + 600 \text{ cm}^2$

$O = 687 \text{ cm}^2$

Ergebnis:

Es werden mindestens $687 \text{ cm}^2$ Geschenkpapier benötigt.

Beispiel 4

Aufgabe

Ein Prisma mit trapezförmiger Grundfläche ist 15 cm hoch. Die parallelen Seiten des Trapezes sind 8 cm und 4 cm lang, die Höhe des Trapezes beträgt 3 cm. Die nicht-parallelen Seiten sind beide 5 cm lang. Berechne die Oberfläche.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Netz vorstellen und Grundfläche berechnen
Die Grundfläche ist ein Trapez. $a=8$ cm, $c=4$ cm, $h=3$ cm.

$G = \frac{a+c}{2} \cdot h = \frac{8 \text{ cm} + 4 \text{ cm}}{2} \cdot 3 \text{ cm} = \frac{12}{2} \cdot 3 = 18 \text{ cm}^2$

Für Grund- und Deckfläche:

$2 \cdot G = 2 \cdot 18 \text{ cm}^2 = 36 \text{ cm}^2$
2
Schritt 2
Mantelfläche (M) berechnen
Die Mantelfläche besteht aus vier Rechtecken. Die Körperhöhe ist $h_k = 15$ cm. Die Breiten sind die vier Seiten des Trapezes: 8 cm, 5 cm, 4 cm, 5 cm.
- Rechteck 1: $8 \text{ cm} \cdot 15 \text{ cm} = 120 \text{ cm}^2$
- Rechteck 2: $5 \text{ cm} \cdot 15 \text{ cm} = 75 \text{ cm}^2$
- Rechteck 3: $4 \text{ cm} \cdot 15 \text{ cm} = 60 \text{ cm}^2$
- Rechteck 4: $5 \text{ cm} \cdot 15 \text{ cm} = 75 \text{ cm}^2$
$M = 120 + 75 + 60 + 75 = 330 \text{ cm}^2$
Schritt 3 · Ergebnis
Gesamtoberfläche berechnen
$O = 2 \cdot G + M$

$O = 36 \text{ cm}^2 + 330 \text{ cm}^2$

$O = 366 \text{ cm}^2$

Ergebnis:

Die Oberfläche beträgt $366 \text{ cm}^2$ .

Beispiel 5

Aufgabe

Ein einfacher Holzkeil ist 20 cm lang. Die Vorderseite ist ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten 6 cm und 8 cm. Die Hypotenuse ist 10 cm. Welche Oberfläche hat der Keil?

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Netz vorstellen und Grundfläche berechnen
Die Grundfläche ist das rechtwinklige Dreieck. Katheten $a=6$ cm, $b=8$ cm.

$G = \frac{1}{2} \cdot 6 \text{ cm} \cdot 8 \text{ cm} = 24 \text{ cm}^2$

Für Grund- und Deckfläche:

$2 \cdot G = 2 \cdot 24 \text{ cm}^2 = 48 \text{ cm}^2$
2
Schritt 2
Mantelfläche (M) berechnen
Die Mantelfläche besteht aus drei Rechtecken. Die Körperhöhe ist $h_k = 20$ cm. Die Breiten sind die Seiten des Dreiecks: 6 cm, 8 cm, 10 cm.
- Rechteck 1: $6 \text{ cm} \cdot 20 \text{ cm} = 120 \text{ cm}^2$
- Rechteck 2: $8 \text{ cm} \cdot 20 \text{ cm} = 160 \text{ cm}^2$
- Rechteck 3: $10 \text{ cm} \cdot 20 \text{ cm} = 200 \text{ cm}^2$
$M = 120 + 160 + 200 = 480 \text{ cm}^2$
Schritt 3 · Ergebnis
Gesamtoberfläche berechnen
$O = 2 \cdot G + M$

$O = 48 \text{ cm}^2 + 480 \text{ cm}^2$

$O = 528 \text{ cm}^2$

Ergebnis:

Die Oberfläche des Keils beträgt $528 \text{ cm}^2$ .

Aufgabentyp 4: Masse aus Volumen und Dichte berechnen

Wenn du das Volumen eines Körpers kennst, kannst du auch sein Gewicht (seine Masse) berechnen. Dafür brauchst du eine weitere Information: die Dichte des Materials.

Die Dichte sagt uns, wie viel Masse in einem bestimmten Volumen steckt. Ein Kubikzentimeter Blei ist viel schwerer als ein Kubikzentimeter Holz, weil Blei eine höhere Dichte hat.

Die Formel, die diese drei Größen verbindet, ist sehr einfach:

Masse = Volumen $\cdot$ Dichte

Die Einheiten müssen dabei zusammenpassen. Wenn das Volumen in $\text{cm}^3$ und die Dichte in $\text{g}/\text{cm}^3$ angegeben ist, kommt die Masse in Gramm (g) heraus.

$\text{cm}^3 \cdot \frac{\text{g}}{\text{cm}^3} = \text{g}$

Formel Masse gleich Volumen mal Dichte mit Einheitenübersicht

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Gegebene Werte notieren: Schreibe das gegebene Volumen und die Dichte auf. Notiere auch die Formel: Masse = Volumen $\cdot$ Dichte.
Einheiten prüfen: Stelle sicher, dass die Volumeneinheiten übereinstimmen. Ist das Volumen z. B. in $\text{m}^3$ und die Dichte in $\text{g}/\text{cm}^3$ gegeben, musst du eine der beiden Größen umrechnen, bevor du weiterrechnest.
Werte einsetzen und berechnen: Setze die Zahlen in die Formel ein und multipliziere sie. Achte auf die Einheiten im Ergebnis.
Ergebnis sinnvoll umwandeln (optional): Wenn das Ergebnis eine sehr große Zahl ist (z. B. 5000 g), ist es oft sinnvoll, es in eine größere Einheit umzuwandeln (z. B. 5 kg).

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Ein Aluminiumwürfel hat eine Kantenlänge von 10 cm. Die Dichte von Aluminium beträgt $2,7 \text{ g/cm}^3$ . Wie schwer ist der Würfel?

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Gegebene Werte notieren
- Volumen: $V = 1000 \text{ cm}^3$
- Dichte: $\rho = 2,7 \text{ g/cm}^3$
- Formel: Masse = Volumen $\cdot$ Dichte
Schritt 2
Einheiten prüfen
Die Einheiten $\text{cm}^3$ und $\text{g/cm}^3$ passen zusammen.
Schritt 3
Werte einsetzen und berechnen
Masse = $1000 \text{ cm}^3 \cdot 2,7 \frac{\text{g}}{\text{cm}^3}$

Masse = $2700 \text{ g}$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis sinnvoll umwandeln
$2700 \text{ g} = 2,7 \text{ kg}$

Ergebnis:

Der Würfel ist 2,7 kg schwer.

Beispiel 2

Aufgabe

Ein Aquarium mit den Maßen 80 cm × 40 cm × 50 cm ist mit Wasser gefüllt. Die Dichte von Wasser beträgt ca. $1 \text{ g/cm}^3$ . Berechne die Masse des Wassers in Kilogramm.

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Gegebene Werte notieren
- Volumen: $V = 160000 \text{ cm}^3$
- Dichte: $\rho = 1 \text{ g/cm}^3$
- Formel: Masse = Volumen $\cdot$ Dichte
Schritt 2
Einheiten prüfen
Die Einheiten passen.
Schritt 3
Werte einsetzen und berechnen
Masse = $160000 \text{ cm}^3 \cdot 1 \frac{\text{g}}{\text{cm}^3}$

Masse = $160000 \text{ g}$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis sinnvoll umwandeln
$160000 \text{ g} = 160 \text{ kg}$

Ergebnis:

Die Masse des Wassers beträgt 160 kg.

Beispiel 3

Aufgabe

Ein Goldbarren hat ein Volumen von $250 \text{ cm}^3$ . Die Dichte von Gold beträgt $19,3 \text{ g/cm}^3$ . Wie schwer ist der Goldbarren in Kilogramm?

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Gegebene Werte notieren
- Volumen: $V = 250 \text{ cm}^3$
- Dichte: $\rho = 19,3 \text{ g/cm}^3$
- Formel: Masse = Volumen $\cdot$ Dichte
Schritt 2
Einheiten prüfen
Die Einheiten passen.
Schritt 3
Werte einsetzen und berechnen
Masse = $250 \text{ cm}^3 \cdot 19,3 \frac{\text{g}}{\text{cm}^3}$

Masse = $4825 \text{ g}$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis sinnvoll umwandeln
$4825 \text{ g} = 4,825 \text{ kg}$

Ergebnis:

Der Goldbarren ist 4,825 kg schwer.

Beispiel 4

Aufgabe

Ein Eichenholzbalken hat ein Volumen von $0,2 \text{ m}^3$ . Die Dichte von Eichenholz beträgt ca. $700 \text{ kg/m}^3$ . Berechne die Masse des Balkens.

Fortschritt

3 / 3

1
Schritt 1
Gegebene Werte notieren
- Volumen: $V = 0,2 \text{ m}^3$
- Dichte: $\rho = 700 \text{ kg/m}^3$
- Formel: Masse = Volumen $\cdot$ Dichte
Schritt 2
Einheiten prüfen
Die Einheiten $\text{m}^3$ und $\text{kg/m}^3$ passen zusammen. Das Ergebnis wird in kg sein.
Schritt 3 · Ergebnis
Werte einsetzen und berechnen
Masse = $0,2 \text{ m}^3 \cdot 700 \frac{\text{kg}}{\text{m}^3}$

Masse = $140 \text{ kg}$

Ergebnis:

Die Masse des Balkens beträgt 140 kg.

Beispiel 5

Aufgabe

Ein Betonpfeiler hat ein Volumen von $1,5 \text{ m}^3$ . Die Dichte von Beton ist $2400 \text{ kg/m}^3$ . Wie schwer ist der Pfeiler in Tonnen (1 t = 1000 kg)?

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Gegebene Werte notieren
- Volumen: $V = 1,5 \text{ m}^3$
- Dichte: $\rho = 2400 \text{ kg/m}^3$
- Formel: Masse = Volumen $\cdot$ Dichte
Schritt 2
Einheiten prüfen
Die Einheiten $\text{m}^3$ und $\text{kg/m}^3$ passen zusammen.
Schritt 3
Werte einsetzen und berechnen
Masse = $1,5 \text{ m}^3 \cdot 2400 \frac{\text{kg}}{\text{m}^3}$

Masse = $3600 \text{ kg}$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis sinnvoll umwandeln
Wir wandeln Kilogramm in Tonnen um, indem wir durch 1000 teilen.

$3600 \text{ kg} = 3,6 \text{ t}$

Ergebnis:

Der Pfeiler ist 3,6 Tonnen schwer.

Aufgabentyp 5: Oberfläche und Volumen aus einem Netz berechnen

Manchmal ist ein Prisma nicht als 3D-Körper, sondern als sein Netz gegeben. Das Netz ist die „auseinandergefaltete" Version des Körpers. Das ist praktisch, denn im Netz siehst du alle Flächen und ihre Maße auf einen Blick.

Oberfläche aus dem Netz berechnen: Das ist der einfachste Fall! Die Oberfläche ist einfach die Summe der Flächeninhalte aller Teile des Netzes. Du musst nur die Fläche jedes Dreiecks und jedes Rechtecks berechnen und alles zusammenzählen.

Volumen aus dem Netz berechnen: Auch das ist unkompliziert. Du musst nur die richtigen Maße im Netz finden:

Die Grundfläche (G): Finde eine der beiden identischen Vielecksflächen (z. B. die Dreiecke) und berechne ihren Flächeninhalt.
Die Körperhöhe ( $h_{\text{k}}$ ): Die Höhe des Prismas ist die Höhe der rechteckigen Mantelflächen.

Sobald du diese beiden Werte hast, rechnest du wie gewohnt: $V = G \cdot h_k$ .

Prismanetz mit beschrifteten Dreiecks- und Rechteckflächen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Für die Oberfläche (O):

Flächen der Grund- und Deckfläche berechnen: Identifiziere die beiden identischen Vielecke im Netz. Berechne den Flächeninhalt eines davon ( $G$ ) und verdopple ihn ( $2 \cdot G$ ).
Flächen der Mantelfläche berechnen: Berechne den Flächeninhalt jedes einzelnen Rechtecks im Netz.
Alles addieren: Zähle die Ergebnisse aus Schritt 1 und 2 zusammen, um die Gesamtoberfläche $O$ zu erhalten.

Für das Volumen (V):

Grundfläche (G) berechnen: Berechne den Flächeninhalt einer der beiden Grundflächen aus dem Netz.
Körperhöhe ( $h_{\text{k}}$ ) aus dem Netz ablesen: Finde die Höhe der Rechtecke im Netz. Das ist die Körperhöhe $h_k$ .
Volumen berechnen: Multipliziere die Grundfläche mit der Körperhöhe: $V = G \cdot h_k$ .

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Das Netz eines Prismas besteht aus zwei Dreiecken und drei Rechtecken. Das Dreieck hat eine Grundseite von 8 cm und eine Höhe von 3 cm. Die Seiten des Dreiecks sind 8 cm, 5 cm und 5 cm lang. Die Höhe der Rechtecke beträgt 10 cm. Berechne Oberfläche und Volumen.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Flächen der Grund- und Deckfläche berechnen
$G = \frac{1}{2} \cdot 8 \text{ cm} \cdot 3 \text{ cm} = 12 \text{ cm}^2$

$2 \cdot G = 2 \cdot 12 \text{ cm}^2 = 24 \text{ cm}^2$
2
Schritt 2
Flächen der Mantelfläche berechnen
- Rechteck 1: $8 \text{ cm} \cdot 10 \text{ cm} = 80 \text{ cm}^2$
- Rechteck 2: $5 \text{ cm} \cdot 10 \text{ cm} = 50 \text{ cm}^2$
- Rechteck 3: $5 \text{ cm} \cdot 10 \text{ cm} = 50 \text{ cm}^2$
$M = 80 + 50 + 50 = 180 \text{ cm}^2$
Schritt 3 · Ergebnis
Alles addieren
$O = 2 \cdot G + M = 24 \text{ cm}^2 + 180 \text{ cm}^2 = 204 \text{ cm}^2$

Für das Volumen: Die Grundfläche beträgt $G = 12 \text{ cm}^2$ (bereits berechnet). Die Körperhöhe ist die Höhe der Rechtecke: $h_k = 10 \text{ cm}$ .

$V = G \cdot h_k = 12 \text{ cm}^2 \cdot 10 \text{ cm} = 120 \text{ cm}^3$

Ergebnis:

Die Oberfläche beträgt $204 \text{ cm}^2$ , das Volumen $120 \text{ cm}^3$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Ein Netz zeigt zwei rechtwinklige Dreiecke mit Katheten von 3 cm und 4 cm (Hypotenuse 5 cm). Die zugehörigen Rechtecke sind 7 cm hoch. Berechne Oberfläche und Volumen des Prismas.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Flächen der Grund- und Deckfläche berechnen
$G = \frac{1}{2} \cdot 3 \text{ cm} \cdot 4 \text{ cm} = 6 \text{ cm}^2$

$2 \cdot G = 2 \cdot 6 \text{ cm}^2 = 12 \text{ cm}^2$
2
Schritt 2
Flächen der Mantelfläche berechnen
- Rechteck 1: $3 \text{ cm} \cdot 7 \text{ cm} = 21 \text{ cm}^2$
- Rechteck 2: $4 \text{ cm} \cdot 7 \text{ cm} = 28 \text{ cm}^2$
- Rechteck 3: $5 \text{ cm} \cdot 7 \text{ cm} = 35 \text{ cm}^2$
$M = 21 + 28 + 35 = 84 \text{ cm}^2$
Schritt 3 · Ergebnis
Alles addieren
$O = 2 \cdot G + M = 12 \text{ cm}^2 + 84 \text{ cm}^2 = 96 \text{ cm}^2$

Für das Volumen: $G = 6 \text{ cm}^2$ , $h_{\text{k}} = 7 \text{ cm}$ .

$V = G \cdot h_{\text{k}} = 6 \text{ cm}^2 \cdot 7 \text{ cm} = 42 \text{ cm}^3$

Ergebnis:

Die Oberfläche beträgt $96 \text{ cm}^2$ , das Volumen $42 \text{ cm}^3$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Das Netz einer Verpackung besteht aus zwei Quadraten mit 5 cm Seitenlänge und vier Rechtecken. Die Höhe der Rechtecke beträgt 15 cm. Berechne Oberfläche und Volumen. (Hinweis: Das ist ein Quader.)

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Flächen der Grund- und Deckfläche berechnen
Die Grundfläche ist ein Quadrat: $G = 5 \text{ cm} \cdot 5 \text{ cm} = 25 \text{ cm}^2$

$2 \cdot G = 2 \cdot 25 \text{ cm}^2 = 50 \text{ cm}^2$
2
Schritt 2
Flächen der Mantelfläche berechnen
Die Mantelfläche besteht aus vier identischen Rechtecken.
- Rechteck: $5 \text{ cm} \cdot 15 \text{ cm} = 75 \text{ cm}^2$
$M = 4 \cdot 75 \text{ cm}^2 = 300 \text{ cm}^2$
Schritt 3 · Ergebnis
Alles addieren
$O = 2 \cdot G + M = 50 \text{ cm}^2 + 300 \text{ cm}^2 = 350 \text{ cm}^2$

Für das Volumen: $G = 25 \text{ cm}^2$ , $h_k = 15 \text{ cm}$ .

$V = G \cdot h_k = 25 \text{ cm}^2 \cdot 15 \text{ cm} = 375 \text{ cm}^3$

Ergebnis:

Die Oberfläche beträgt $350 \text{ cm}^2$ , das Volumen $375 \text{ cm}^3$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Ein Netz zeigt zwei Trapeze und vier Rechtecke. Das Trapez hat parallele Seiten von 10 cm und 6 cm, eine Höhe von 4 cm und Schenkel von 5 cm. Die Höhe der Rechtecke beträgt 20 cm. Berechne Oberfläche und Volumen.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Flächen der Grund- und Deckfläche berechnen
$G = \frac{10 \text{ cm} + 6 \text{ cm}}{2} \cdot 4 \text{ cm} = 8 \text{ cm} \cdot 4 \text{ cm} = 32 \text{ cm}^2$

$2 \cdot G = 2 \cdot 32 \text{ cm}^2 = 64 \text{ cm}^2$
2
Schritt 2
Flächen der Mantelfläche berechnen
- Rechteck 1 (Boden): $10 \text{ cm} \cdot 20 \text{ cm} = 200 \text{ cm}^2$
- Rechteck 2 (Deckel): $6 \text{ cm} \cdot 20 \text{ cm} = 120 \text{ cm}^2$
- Rechteck 3 (Seite): $5 \text{ cm} \cdot 20 \text{ cm} = 100 \text{ cm}^2$
- Rechteck 4 (Seite): $5 \text{ cm} \cdot 20 \text{ cm} = 100 \text{ cm}^2$
$M = 200 + 120 + 100 + 100 = 520 \text{ cm}^2$
Schritt 3 · Ergebnis
Alles addieren
$O = 2 \cdot G + M = 64 \text{ cm}^2 + 520 \text{ cm}^2 = 584 \text{ cm}^2$

Für das Volumen: $G = 32 \text{ cm}^2$ , $h_{\text{k}} = 20 \text{ cm}$ .

$V = G \cdot h_{\text{k}} = 32 \text{ cm}^2 \cdot 20 \text{ cm} = 640 \text{ cm}^3$

Ergebnis:

Die Oberfläche beträgt $584 \text{ cm}^2$ , das Volumen $640 \text{ cm}^3$ .

Beispiel 5

Aufgabe

Das Netz eines Prismas hat eine sechseckige Grundfläche mit einem Flächeninhalt von 40 cm². Die Körperhöhe, abgelesen an den Rechtecken, beträgt 12 cm. Jede Seite des Sechsecks ist 6 cm lang. Berechne Oberfläche und Volumen.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Flächen der Grund- und Deckfläche berechnen
Der Flächeninhalt ist gegeben: $G = 40 \text{ cm}^2$ .

$2 \cdot G = 2 \cdot 40 \text{ cm}^2 = 80 \text{ cm}^2$
2
Schritt 2
Flächen der Mantelfläche berechnen
Die Mantelfläche besteht aus 6 identischen Rechtecken.
- Ein Rechteck: $6 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} = 72 \text{ cm}^2$
$M = 6 \cdot 72 \text{ cm}^2 = 432 \text{ cm}^2$
Schritt 3 · Ergebnis
Alles addieren
$O = 2 \cdot G + M = 80 \text{ cm}^2 + 432 \text{ cm}^2 = 512 \text{ cm}^2$

Für das Volumen: $G = 40 \text{ cm}^2$ , $h_k = 12 \text{ cm}$ .

$V = G \cdot h_k = 40 \text{ cm}^2 \cdot 12 \text{ cm} = 480 \text{ cm}^3$

Ergebnis:

Die Oberfläche beträgt $512 \text{ cm}^2$ , das Volumen $480 \text{ cm}^3$ .

Wichtige Erkenntnisse

Volumen eines Prismas: Immer $V = G \cdot h_k$ (Grundfläche mal Körperhöhe). Die Form der Grundfläche bestimmt, wie du $G$ berechnest.
Oberfläche eines Prismas: Immer $O = 2 \cdot G + M$ (zwei mal Grundfläche plus Mantelfläche).
Mantelfläche (M): Die Summe aller rechteckigen Seitenflächen.
Netz: Das Netz ist dein bester Freund, um die Oberfläche zu verstehen. Es zeigt dir alle Flächen, aus denen der Körper besteht.
Masse aus Volumen: Mit der Dichte kannst du das Gewicht berechnen: Masse = Volumen $\cdot$ Dichte. Achte immer auf die Einheiten!

Volumen und Oberfläche von Prismen einfach erklärt