Volumen zusammengesetzter Körper einfach erklärt

Wir zerlegen den Körper mit einem waagerechten Schnitt in einen unteren Quader (V1) und einen oberen Quader (V2).

• Unterer Quader (V1): Länge = $5\ \text{cm}$, Breite = $2\ \text{cm}$, Höhe = $2\ \text{cm}$.
• Oberer Quader (V2): Länge = $2\ \text{cm}$, Breite = $2\ \text{cm}$. Die Höhe ist die Gesamthöhe minus die Höhe des unteren Quaders: $6\ \text{cm} - 2\ \text{cm} = 4\ \text{cm}$.

• $V_1 = 5\ \text{cm} \cdot 2\ \text{cm} \cdot 2\ \text{cm} = 20\ \text{cm}^3$
• $V_2 = 2\ \text{cm} \cdot 2\ \text{cm} \cdot 4\ \text{cm} = 16\ \text{cm}^3$

$V_{\text{gesamt}} = V_1 + V_2$

$V_{\text{gesamt}} = 20\ \text{cm}^3 + 16\ \text{cm}^3 = 36\ \text{cm}^3$

Wir zerlegen die Treppe in eine untere Stufe (V1) und eine obere Stufe (V2).

• Untere Stufe (V1): Länge = $6\ \text{dm}$, Breite = $3\ \text{dm}$, Höhe = $2\ \text{dm}$.
• Obere Stufe (V2): Länge = $3\ \text{dm}$, Breite = $3\ \text{dm}$, Höhe = $2\ \text{dm}$.

• $V_1 = 6\ \text{dm} \cdot 3\ \text{dm} \cdot 2\ \text{dm} = 36\ \text{dm}^3$
• $V_2 = 3\ \text{dm} \cdot 3\ \text{dm} \cdot 2\ \text{dm} = 18\ \text{dm}^3$

$V_{\text{gesamt}} = V_1 + V_2$

$V_{\text{gesamt}} = 36\ \text{dm}^3 + 18\ \text{dm}^3 = 54\ \text{dm}^3$

Wir zerlegen den Träger in einen oberen Querbalken (V1) und einen unteren senkrechten Stamm (V2).

• Querbalken (V1): Länge = $8\ \text{cm}$, Breite = $3\ \text{cm}$, Höhe = $2\ \text{cm}$.
• Stamm (V2): Länge = $2\ \text{cm}$, Breite = $3\ \text{cm}$, Höhe = $6\ \text{cm}$.

• $V_1 = 8\ \text{cm} \cdot 3\ \text{cm} \cdot 2\ \text{cm} = 48\ \text{cm}^3$
• $V_2 = 2\ \text{cm} \cdot 3\ \text{cm} \cdot 6\ \text{cm} = 36\ \text{cm}^3$

$V_{\text{gesamt}} = V_1 + V_2$

$V_{\text{gesamt}} = 48\ \text{cm}^3 + 36\ \text{cm}^3 = 84\ \text{cm}^3$

Wir zerlegen das U in zwei seitliche Arme (V1 und V2) und ein unteres Verbindungsstück (V3).

• Linker Arm (V1): Länge = $2\ \text{mm}$, Breite = $3\ \text{mm}$. Höhe = $5\ \text{mm} - 2\ \text{mm} = 3\ \text{mm}$.
• Rechter Arm (V2): Die Maße sind identisch zum linken Arm. Länge = $2\ \text{mm}$, Breite = $3\ \text{mm}$, Höhe = $3\ \text{mm}$.
• Verbindungsstück (V3): Länge = $7\ \text{mm}$, Breite = $3\ \text{mm}$, Höhe = $2\ \text{mm}$.

• $V_1 = 2\ \text{mm} \cdot 3\ \text{mm} \cdot 3\ \text{mm} = 18\ \text{mm}^3$
• $V_2 = 2\ \text{mm} \cdot 3\ \text{mm} \cdot 3\ \text{mm} = 18\ \text{mm}^3$
• $V_3 = 7\ \text{mm} \cdot 3\ \text{mm} \cdot 2\ \text{mm} = 42\ \text{mm}^3$

$V_{\text{gesamt}} = V_1 + V_2 + V_3$

$V_{\text{gesamt}} = 18\ \text{mm}^3 + 18\ \text{mm}^3 + 42\ \text{mm}^3 = 78\ \text{mm}^3$

Der Körper besteht bereits aus drei klar getrennten Quadern: einem unteren (V1), einem mittleren (V2) und einem oberen (V3).

• Unterer Quader (V1): Länge = $10\ \text{m}$, Breite = $8\ \text{m}$, Höhe = $2\ \text{m}$.
• Mittlerer Quader (V2): Länge = $7\ \text{m}$, Breite = $8\ \text{m}$, Höhe = $2\ \text{m}$.
• Oberer Quader (V3): Länge = $4\ \text{m}$, Breite = $8\ \text{m}$, Höhe = $2\ \text{m}$.

• $V_1 = 10\ \text{m} \cdot 8\ \text{m} \cdot 2\ \text{m} = 160\ \text{m}^3$
• $V_2 = 7\ \text{m} \cdot 8\ \text{m} \cdot 2\ \text{m} = 112\ \text{m}^3$
• $V_3 = 4\ \text{m} \cdot 8\ \text{m} \cdot 2\ \text{m} = 64\ \text{m}^3$

$V_{\text{gesamt}} = V_1 + V_2 + V_3$

$V_{\text{gesamt}} = 160\ \text{m}^3 + 112\ \text{m}^3 + 64\ \text{m}^3 = 336\ \text{m}^3$

Wir stellen uns den Stein als massiven Block ohne Loch vor. Seine Außenmaße sind $50\ \text{cm} \times 30\ \text{cm} \times 25\ \text{cm}$.

$V_{\text{außen}} = 50\ \text{cm} \cdot 30\ \text{cm} \cdot 25\ \text{cm} = 37500\ \text{cm}^3$

Zuerst bestimmen wir die Maße des inneren Lochs. Wir ziehen von den Außenmaßen jeweils zweimal die Wandstärke ($5\ \text{cm}$) ab.

• Innere Länge: $50\ \text{cm} - 2 \cdot 5\ \text{cm} = 40\ \text{cm}$
• Innere Breite: $30\ \text{cm} - 2 \cdot 5\ \text{cm} = 20\ \text{cm}$
• Die Höhe des Lochs ist die Höhe des Steins: $25\ \text{cm}$.

$V_{\text{innen}} = 40\ \text{cm} \cdot 20\ \text{cm} \cdot 25\ \text{cm} = 20000\ \text{cm}^3$

$V_{\text{Beton}} = V_{\text{außen}} - V_{\text{innen}}$

$V_{\text{Beton}} = 37500\ \text{cm}^3 - 20000\ \text{cm}^3 = 17500\ \text{cm}^3$

Der volle Balken wäre ein Quader mit den Maßen $0,2\ \text{m} \times 0,2\ \text{m} \times 2\ \text{m}$.

$V_{\text{außen}} = 0,2\ \text{m} \cdot 0,2\ \text{m} \cdot 2\ \text{m} = 0,08\ \text{m}^3$

Der Hohlraum ist ein Quader mit den Maßen $0,1\ \text{m} \times 0,1\ \text{m} \times 2\ \text{m}$.

$V_{\text{innen}} = 0,1\ \text{m} \cdot 0,1\ \text{m} \cdot 2\ \text{m} = 0,02\ \text{m}^3$

$V_{\text{Holz}} = V_{\text{außen}} - V_{\text{innen}}$

$V_{\text{Holz}} = 0,08\ \text{m}^3 - 0,02\ \text{m}^3 = 0,06\ \text{m}^3$

Wir berechnen das Volumen des vollen Quaders mit den Außenmaßen.

$V_{\text{außen}} = 40\ \text{cm} \cdot 30\ \text{cm} \cdot 20\ \text{cm} = 24000\ \text{cm}^3$

Wir bestimmen die Innenmaße. Achtung: Da der Behälter oben offen ist, ziehen wir die Wandstärke von der Höhe nur einmal (für den Boden) ab.

• Innere Länge: $40\ \text{cm} - 2 \cdot 1\ \text{cm} = 38\ \text{cm}$
• Innere Breite: $30\ \text{cm} - 2 \cdot 1\ \text{cm} = 28\ \text{cm}$
• Innere Höhe: $20\ \text{cm} - 1\ \text{cm} = 19\ \text{cm}$

$V_{\text{innen}} = 38\ \text{cm} \cdot 28\ \text{cm} \cdot 19\ \text{cm} = 20216\ \text{cm}^3$

$V_{\text{Kunststoff}} = V_{\text{außen}} - V_{\text{innen}}$

$V_{\text{Kunststoff}} = 24000\ \text{cm}^3 - 20216\ \text{cm}^3 = 3784\ \text{cm}^3$

$V_{\text{außen}} = 0,5\ \text{m} \cdot 0,4\ \text{m} \cdot 3\ \text{m} = 0,6\ \text{m}^3$

$V_{\text{innen}} = 0,4\ \text{m} \cdot 0,3\ \text{m} \cdot 3\ \text{m} = 0,36\ \text{m}^3$

$V_{\text{Beton}} = V_{\text{außen}} - V_{\text{innen}}$

$V_{\text{Beton}} = 0,6\ \text{m}^3 - 0,36\ \text{m}^3 = 0,24\ \text{m}^3$

Wir berechnen das Volumen des vollen äußeren Quaders.

$V_{\text{außen}} = 30\ \text{cm} \cdot 25\ \text{cm} \cdot 2\ \text{cm} = 1500\ \text{cm}^3$

Wir berechnen das Volumen des inneren, leeren Raums.

$V_{\text{innen}} = 22\ \text{cm} \cdot 17\ \text{cm} \cdot 2\ \text{cm} = 748\ \text{cm}^3$

$V_{\text{Holz}} = V_{\text{außen}} - V_{\text{innen}}$

$V_{\text{Holz}} = 1500\ \text{cm}^3 - 748\ \text{cm}^3 = 752\ \text{cm}^3$

Maßstab ist $1:200$. Wir multiplizieren alle Längen mit $200$.

• Äußere Länge: $12\ \text{cm} \cdot 200 = 2400\ \text{cm}$
• Äußere Breite: $8\ \text{cm} \cdot 200 = 1600\ \text{cm}$
• Innere Länge: $10\ \text{cm} \cdot 200 = 2000\ \text{cm}$
• Innere Breite: $6\ \text{cm} \cdot 200 = 1200\ \text{cm}$

Wir rechnen in Meter um.

• Äußere Länge: $2400\ \text{cm} = 24\ \text{m}$
• Äußere Breite: $1600\ \text{cm} = 16\ \text{m}$
• Innere Länge: $2000\ \text{cm} = 20\ \text{m}$
• Innere Breite: $1200\ \text{cm} = 12\ \text{m}$

Wir berechnen das Volumen, indem wir das innere Volumen vom äußeren abziehen und dann mit der Tiefe multiplizieren.

• $V_{\text{außen}} = 24\ \text{m} \cdot 16\ \text{m} \cdot 1,5\ \text{m} = 576\ \text{m}^3$
• $V_{\text{innen}} = 20\ \text{m} \cdot 12\ \text{m} \cdot 1,5\ \text{m} = 360\ \text{m}^3$

$V_{\text{Aushub}} = 576\ \text{m}^3 - 360\ \text{m}^3 = 216\ \text{m}^3$

Das Volumen ist gegeben: $V = 80\ \text{m}^3$.

$\text{Masse} = \text{Volumen} \cdot \text{Dichte}$

$\text{Masse} = 80\ \text{m}^3 \cdot 1,6\ \frac{\text{t}}{\text{m}^3} = 128\ \text{t}$

$\text{Anzahl} = \frac{\text{Gesamtmasse}}{\text{Ladekapazität}}$

$\text{Anzahl} = \frac{128\ \text{t}}{10\ \text{t}} = 12,8$

Das Ergebnis ist $12,8$. Da 12 Fuhren nicht ausreichen, um alles zu transportieren, muss der LKW ein 13. Mal fahren. Wir runden auf.

Das Haus ist bereits in zwei Teile zerlegt: den Hauptkörper (Quader) und das Dach (Prisma).

Die Maße sind in der Aufgabe gegeben.

• Volumen des Hauptkörpers (Quader): $V_{\text{Körper}} = 12\ \text{m} \cdot 8\ \text{m} \cdot 6\ \text{m} = 576\ \text{m}^3$

• Volumen des Dachs (Prisma): Zuerst die Grundfläche des Dreiecks: $G = \frac{1}{2} \cdot \text{Breite} \cdot \text{Höhe} = \frac{1}{2} \cdot 8\ \text{m} \cdot 3\ \text{m} = 12\ \text{m}^2$. Das Volumen ist Grundfläche mal Länge: $V_{\text{Dach}} = 12\ \text{m}^2 \cdot 12\ \text{m} = 144\ \text{m}^3$.

$V_{\text{gesamt}} = V_{\text{Körper}} + V_{\text{Dach}}$

$V_{\text{gesamt}} = 576\ \text{m}^3 + 144\ \text{m}^3 = 720\ \text{m}^3$