Volumen zusammengesetzter Körper einfach erklärt: Beispiele

Stell dir vor, du baust in einem Videospiel wie Minecraft ein riesiges Haus. Das Gebäude hat keine einfache Kastenform, sondern besteht aus vielen verschiedenen Blöcken, die clever zusammengesetzt sind. Wie findest du heraus, wie viel Platz (also welches Volumen) dein gesamtes Haus einnimmt?

In diesem Artikel lernen wir, wie man das Volumen zusammengesetzter Körper berechnet. Außerdem schauen wir uns an, wie man mit einem cleveren Trick das Gewicht von riesigen, echten Gegenständen – wie zum Beispiel einer großen Statue – schätzen kann, ohne sie jemals auf eine Waage zu stellen!

Vorwissen

• Volumen eines Quaders: Das Volumen $V$ berechnet sich aus Länge mal Breite mal Höhe ($V = a \cdot b \cdot c$).

  Beispiel: Ein Quader mit $5 \text{ cm}$ Länge, $2 \text{ cm}$ Breite und $3 \text{ cm}$ Höhe hat ein Volumen von $V = 5 \text{ cm} \cdot 2 \text{ cm} \cdot 3 \text{ cm} = 30 \text{ cm}^3$.

• Einheiten umrechnen: Um mit Längen zu rechnen, müssen alle Angaben in derselben Einheit stehen.

  Beispiel: $1 \text{ m} = 10 \text{ dm}$ und $1 \text{ dm} = 10 \text{ cm}$.

Aufgabentyp 1: Volumen durch Zerlegen und Abziehen berechnen

Ein zusammengesetzter Körper ist eine 3D-Figur, die aus mehreren einfachen Quadern besteht. Um das Volumen zusammengesetzter Körper zu berechnen, gibt es zwei einfache Tricks:

Trick 1: Die Plus-Methode (Zerlegen) Du zerschneidest den Körper gedanklich in zwei oder mehr einfache Quader. Dann berechnest du das Volumen von jedem einzelnen Quader und rechnest die Ergebnisse plus.

• Volumen von Teil 1 berechnen.
• Volumen von Teil 2 berechnen.
• Beide addieren: $V_{\text{gesamt}} = \textcolor{#08BFFF}{V_1} + \textcolor{#9570FF}{V_2}$.

Trick 2: Die Minus-Methode (Abziehen) Manchmal sieht ein Körper aus wie ein großer Kasten, aus dem ein Stück herausgeschnitten wurde. Hier stellst du dir vor, der Körper wäre komplett. Du berechnest das Volumen des großen, ganzen Quaders. Dann berechnest du das Volumen der Lücke und ziehst es ab.

• $V_{\text{gesamt}} = \textcolor{#08BFFF}{V_{\text{groß}}} - \textcolor{#9570FF}{V_{\text{Lücke}}}$.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Methode wählen: Entscheide, ob es einfacher ist, den Körper in kleinere Quader zu zerlegen (Plus-Methode) oder ihn zu einem großen Quader aufzufüllen (Minus-Methode).
2. Fehlende Seitenlängen herausfinden: Oft sind nicht alle Kantenlängen direkt angegeben. Nutze die parallelen Kanten, um fehlende Längen durch Plus- oder Minusrechnen herauszufinden.
3. Einzelne Volumina berechnen: Berechne das Volumen der einzelnen Quader mit der Formel $V = \text{Länge} \cdot \text{Breite} \cdot \text{Höhe}$.
4. Gesamtes Volumen berechnen: Addiere die Volumina (beim Zerlegen) oder subtrahiere das Volumen der Lücke (beim Abziehen).

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Berechne das Volumen des abgebildeten L-förmigen Körpers.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

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   Schritt 1 & 2
   Fehlende Seitenlängen herausfinden

   Der linke Quader hat eine Breite von $2 \text{ cm}$, eine Höhe von $4 \text{ cm}$ und eine Tiefe von $3 \text{ cm}$.

   Für den rechten Quader müssen wir die Breite berechnen. Die Gesamtbreite ist $5 \text{ cm}$. Der linke Teil nimmt davon $2 \text{ cm}$ ein. Also ist die Breite des rechten Quaders: $5 \text{ cm} - 2 \text{ cm} = 3 \text{ cm}$. Seine Höhe ist $2 \text{ cm}$ und die Tiefe ist ebenfalls $3 \text{ cm}$.

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   Schritt 3
   Einzelne Volumina berechnen

   Volumen des linken Quaders: $\textcolor{#08BFFF}{V_1} = 2 \text{ cm} \cdot 4 \text{ cm} \cdot 3 \text{ cm} = \textcolor{#08BFFF}{24 \text{ cm}^3}$

   Volumen des rechten Quaders: $\textcolor{#9570FF}{V_2} = 3 \text{ cm} \cdot 2 \text{ cm} \cdot 3 \text{ cm} = \textcolor{#9570FF}{18 \text{ cm}^3}$

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   Schritt 4 · Ergebnis
   Gesamtes Volumen berechnen

   Wir addieren beide Volumina: $V_{\text{gesamt}} = \textcolor{#08BFFF}{24 \text{ cm}^3} + \textcolor{#9570FF}{18 \text{ cm}^3} = 42 \text{ cm}^3$

Ergebnis:

Das Volumen des Körpers beträgt $42 \text{ cm}^3$.

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Aufgabentyp 2: Das Gewicht von großen Objekten schätzen

Wie schwer ist ein großes Denkmal aus Stein? Wir können es nicht einfach auf eine Waage stellen. Aber wir können eine Überschlagsrechnung (auch Fermi-Rechnung genannt) machen!

Dafür nutzen wir ein Foto des Objekts mit einem Raster (Kästchen) und einem Maßstab. Wir stellen uns das komplizierte Objekt einfach als einen Turm aus Quadern vor. Wenn wir wissen, wie groß die Quader ungefähr sind, berechnen wir ihr Volumen.

Am Ende nutzen wir einen Hinweis aus der Natur: Wir wissen oft, wie viel ein Kubikmeter ($1 \text{ m}^3$) von einem bestimmten Material wiegt. Wenn wir das berechnete Volumen mit diesem Gewicht malnehmen, erhalten wir das geschätzte Gesamtgewicht des Objekts!

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Maßstab ablesen: Schau dir den Maßstabsbalken an. Finde heraus, welcher echten Länge genau ein Kästchen im Raster entspricht.
2. Objekt in Quader zerlegen und messen: Zerlege das Objekt gedanklich in einfache Quader. Zähle die Kästchen für Länge, Breite und Höhe jedes Quaders und rechne sie mit dem Maßstab in echte Längen (z. B. in Meter) um.
3. Volumen berechnen: Berechne das Volumen jedes Quaders und addiere sie zum Gesamtvolumen.
4. Volumen in Gewicht umrechnen: Multipliziere das Gesamtvolumen mit dem angegebenen Gewicht pro Kubikmeter (der sogenannten Dichte), um das Gesamtgewicht zu erhalten.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Schätze das Gewicht des abgebildeten steinernen Denkmals. Gehe davon aus, dass $1 \text{ m}^3$ dieses Steins $2500 \text{ kg}$ wiegt.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

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   Schritt 1
   Maßstab ablesen

   Der Maßstabsbalken zeigt, dass $2$ Kästchen einer Länge von $1 \text{ m}$ entsprechen. Das bedeutet, ein Kästchen ist genau $0{,}5 \text{ m}$ lang.

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   Schritt 2
   Objekt in Quader zerlegen und messen

   Wir zerlegen das Denkmal in zwei Quader: den Sockel (unten) und die Säule (oben).

   • Sockel:
     • Breite: $4$ Kästchen $\to 4 \cdot 0{,}5 \text{ m} = 2 \text{ m}$
     • Tiefe: $4$ Kästchen $\to 4 \cdot 0{,}5 \text{ m} = 2 \text{ m}$
     • Höhe: $2$ Kästchen $\to 2 \cdot 0{,}5 \text{ m} = 1 \text{ m}$
   • Säule:
     • Breite: $2$ Kästchen $\to 2 \cdot 0{,}5 \text{ m} = 1 \text{ m}$
     • Tiefe: $2$ Kästchen $\to 2 \cdot 0{,}5 \text{ m} = 1 \text{ m}$
     • Höhe: $6$ Kästchen $\to 6 \cdot 0{,}5 \text{ m} = 3 \text{ m}$
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   Schritt 3
   Volumen berechnen

   Wir berechnen die Volumina der beiden Quader: $V_{\text{Sockel}} = 2 \text{ m} \cdot 2 \text{ m} \cdot 1 \text{ m} = 4 \text{ m}^3$ $V_{\text{Säule}} = 1 \text{ m} \cdot 1 \text{ m} \cdot 3 \text{ m} = 3 \text{ m}^3$

   Das Gesamtvolumen ist: $4 \text{ m}^3 + 3 \text{ m}^3 = 7 \text{ m}^3$.

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   Schritt 4 · Ergebnis
   Volumen in Gewicht umrechnen

   Wir wissen, dass $1 \text{ m}^3$ Stein $2500 \text{ kg}$ wiegt. Wir multiplizieren unser Gesamtvolumen mit diesem Gewicht: $\text{Gewicht} = 7 \cdot 2500 \text{ kg} = 17500 \text{ kg}$

Ergebnis:

Das Denkmal wiegt schätzungsweise $17500 \text{ kg}$.

Wichtige Erkenntnisse

• Zusammengesetzte Körper: Du kannst das Volumen berechnen, indem du den Körper in einfache Quader zerlegst (Plus-Methode) oder ihn zu einem großen Quader auffüllst und die Lücke abziehst (Minus-Methode).
• Fehlende Längen: Achte genau auf die parallelen Kanten, um fehlende Seitenlängen durch Plus- oder Minusrechnen herauszufinden.
• Überschlagsrechnung: Um das Gewicht von großen Objekten zu schätzen, zerlegst du sie gedanklich in Quader, berechnest das Volumen mithilfe eines Maßstabs und multiplizierst es mit dem Gewicht pro Kubikmeter.