Umgehen mit Funktionsgraphen einfach erklärt: Graphen lesen

Stell dir vor, du beobachtest den Akkustand deines Smartphones über den Tag. Morgens ist er voll, in der Schule sinkt er, nachmittags liegt das Handy ungenutzt auf dem Tisch (der Akkustand bleibt gleich) und abends steckst du es ans Ladekabel (der Akku lädt schnell auf).

Genau diese „Geschichte“ deines Tages lässt sich als Bild zeichnen: als einen Funktionsgraphen. Graphen helfen uns, Zusammenhänge auf einen Blick zu verstehen, ohne lange Tabellen lesen zu müssen. In diesem Artikel lernst du das Umgehen mit Funktionsgraphen. Wir zeigen dir, wie du solche Graphen selbst zeichnest, wie du genaue Werte aus ihnen abliest und wie du erkennst, welche Geschichte ein Graph erzählt!

Vorwissen

• Das Koordinatensystem: Es besteht aus einer waagerechten $x$-Achse (nach rechts) und einer senkrechten $y$-Achse (nach oben). Beispiel: Die $x$-Achse könnte für die Zeit stehen, die $y$-Achse für die Temperatur.
• Punkte eintragen: Ein Punkt wird immer als $(x|y)$ angegeben. Man geht zuerst auf der $x$-Achse nach rechts oder links und dann parallel zur $y$-Achse nach oben oder unten. Beispiel: Für den Punkt $P(3|4)$ gehst du $3$ Schritte nach rechts und $4$ Schritte nach oben.

Aufgabentyp 1: Graphen aus einer Wertetabelle zeichnen

Oft haben wir Daten in einer Tabelle gesammelt und wollen diese als Graphen sichtbar machen. Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung. Das bedeutet: Einem bestimmten x-Wert wird genau ein y-Wert zugeordnet. Man schreibt das oft so: $\textcolor{#08BFFF}{x} \mapsto \textcolor{#9570FF}{y}$.

Wenn wir eine Wertetabelle haben, steht in der oberen Zeile meistens der $\textcolor{#08BFFF}{x}$-Wert und in der unteren Zeile der dazugehörige $\textcolor{#9570FF}{y}$-Wert. Diese beiden Werte bilden zusammen ein Wertepaar, also einen Punkt im Koordinatensystem: $(\textcolor{#08BFFF}{x}|\textcolor{#9570FF}{y})$.

Um den Graphen zu zeichnen, trägst du einfach alle Punkte aus der Tabelle in ein Koordinatensystem ein. Danach verbindest du die Punkte in der richtigen Reihenfolge (von links nach rechts) mit einer Linie.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Die Wertetabelle zeigt, wie viel Geld Tom in den ersten vier Monaten des Jahres gespart hat.

Zeichne mithilfe der Tabelle die Zuordnung $\text{Monat} \mapsto \text{Erspartes}$ als Graphen.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

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   Schritt 1
   Wertepaare bilden

   Wir lesen die Punkte aus der Tabelle ab. Der Monat ist unser $x$-Wert, das Ersparte ist unser $y$-Wert. Die Punkte sind: $(1|10)$, $(2|20)$, $(3|30)$ und $(4|40)$.

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   Schritt 2
   Achsen beschriften und Punkte eintragen

   Wir zeichnen ein Koordinatensystem. Die $x$-Achse beschriften wir mit "Monat", die $y$-Achse mit "Erspartes in €". Dann tragen wir die vier Punkte ein.

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   Schritt 3 · Ergebnis
   Punkte verbinden

   Zuletzt verbinden wir die Punkte mit einer Linie. Da Tom gleichmäßig spart, ergibt sich eine gerade Linie.

   

Ergebnis:

Der Graph zeigt eine gerade Linie, die Toms gleichmäßiges Sparen darstellt.

Aufgabentyp 2: Graphen im Sachkontext zeichnen (Füllgraphen)

Manchmal haben wir keine genauen Zahlen, sondern nur eine Situation aus dem echten Leben (einen Sachkontext). Ein klassisches Beispiel: Ein Gefäß wird mit einem gleichmäßigen Wasserstrahl gefüllt. Wir wollen zeichnen, wie sich die Füllhöhe im Laufe der Zeit verändert.

Hierbei kommt es nur auf die Form des Gefäßes an. Die Breite des Gefäßes bestimmt, wie schnell das Wasser steigt:

• Überall gleich breit (z.B. ein Zylinder): Das Wasser steigt immer gleich schnell. Der Graph ist eine gerade Linie nach oben.
• Wird nach oben hin breiter: Das Wasser braucht immer länger, um einen Zentimeter zu steigen, weil mehr Platz da ist. Die Füllhöhe steigt immer langsamer. Der Graph wird immer flacher.
• Wird nach oben hin schmaler: Das Wasser hat immer weniger Platz und steigt deshalb immer schneller. Der Graph wird immer steiler.

Die Steigung des Graphen zeigt uns also direkt, wie schnell sich etwas verändert!

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Achsen festlegen: Zeichne ein Koordinatensystem. Die $x$-Achse ist fast immer die Zeit ($t$). Die $y$-Achse ist die Größe, die sich verändert (hier: die Füllhöhe $h$).
2. Form des Gefäßes analysieren: Schau dir das Gefäß von unten nach oben an. Bleibt es gleich breit, wird es breiter oder schmaler?
3. Graphen skizzieren: Zeichne den Graphen fließend. Wenn sich die Form des Gefäßes in der Mitte ändert, ändert sich auch das Verhalten des Graphen an dieser Stelle.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Ein Erlenmeyerkolben wird mit einer konstanten Menge Wasser pro Sekunde gefüllt.

Skizziere einen möglichen Graphen, der die Füllhöhe in Abhängigkeit von der Zeit darstellt.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

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   Schritt 1
   Achsen festlegen

   Wir zeichnen ein Koordinatensystem. Die $x$-Achse ist die Zeit, die $y$-Achse ist die Füllhöhe.

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   Schritt 2
   Form des Gefäßes analysieren

   Wir betrachten das Gefäß von unten nach oben:

   1. Der untere Teil (Bauch): Das Gefäß ist unten sehr breit und wird nach oben hin immer schmaler. Das bedeutet, das Wasser steigt anfangs langsam und dann immer schneller. Der Graph muss also flach starten und immer steiler werden.
   2. Der obere Teil (Hals): Der Hals ist ein gerader Zylinder (überall gleich breit). Das Wasser steigt hier gleichmäßig schnell. Der Graph muss hier eine gerade Linie sein.
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   Schritt 3 · Ergebnis
   Graphen skizzieren

   Wir zeichnen zuerst eine Kurve, die immer steiler wird. Daran hängen wir nahtlos eine gerade, steile Linie an.

   

Ergebnis:

Der Graph startet als flache Kurve, die immer steiler wird, und geht dann in eine gerade, steile Linie über.

Aufgabentyp 3: Werte aus einem Graphen ablesen

Oft haben wir einen fertigen Graphen und wollen eine bestimmte Information herausfinden. Zum Beispiel: „Wie warm war es um 14 Uhr?“

Um einen Wert abzulesen, gehst du immer den gleichen Weg. Tipp: Zeichne dir diese Hilfslinien bei Aufgaben am besten leicht mit einem Bleistift ein. So verrutschst du nicht in der Zeile!

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Bekannten Wert suchen: Suche den bekannten Wert auf der richtigen Achse (z.B. 14 Uhr auf der Zeit-Achse).
2. Zum Graphen gehen: Gehe von dort aus senkrecht nach oben (oder unten), bis du den Graphen triffst.
3. Zur anderen Achse gehen: Gehe von diesem Treffpunkt waagerecht zur anderen Achse.
4. Wert ablesen: Lies dort den gesuchten Wert ab.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Der Graph zeigt die Geschwindigkeit eines Fahrradfahrers auf seiner Strecke.

Bestimme die Geschwindigkeit, die der Fahrradfahrer nach genau $1500 \text{ m}$ hat.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

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   Schritt 1
   Den Startwert auf der Achse finden

   Wir suchen die Geschwindigkeit bei $1500 \text{ m}$. Die Strecke ist auf der $x$-Achse aufgetragen. Wir suchen also die Zahl $1500$ auf der waagerechten Achse.

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   Schritt 2
   Zum Graphen gehen

   Von der $1500$ auf der $x$-Achse gehen wir senkrecht nach oben, bis wir die Linie des Graphen treffen.

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   Schritt 3 · Ergebnis
   Den Wert ablesen

   Von diesem Treffpunkt auf dem Graphen gehen wir waagerecht nach links zur $y$-Achse (Geschwindigkeit). Dort lesen wir den Wert ab.

   

   Wir landen genau bei der $20$. Der Fahrradfahrer hat nach $1500 \text{ m}$ also eine Geschwindigkeit von $20 \text{ km/h}$.

Ergebnis:

Der Fahrradfahrer hat nach $1500 \text{ m}$ eine Geschwindigkeit von $20 \text{ km/h}$.

Aufgabentyp 4: Graphen einer Situation zuordnen

Manchmal hast du einen Graphen und mehrere Geschichten (oder Bilder) zur Auswahl. Du musst dann herausfinden, welche Geschichte perfekt zum Graphen passt.

Dafür musst du den Graphen wie einen Text lesen. Achte besonders auf diese drei Dinge:

• Der Graph steigt: Der gemessene Wert wird größer (z.B. ein Auto wird schneller, ein Bergsteiger gewinnt an Höhe).
• Der Graph verläuft waagerecht: Der Wert bleibt konstant (z.B. das Auto fährt mit gleicher Geschwindigkeit weiter, der Bergsteiger macht eine Pause).
• Der Graph fällt: Der Wert wird kleiner (z.B. das Auto bremst, der Bergsteiger läuft bergab).

Wenn du den Graphen in solche einzelnen Phasen unterteilst, kannst du ihn Schritt für Schritt mit der Geschichte vergleichen.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Achsen verstehen: Mache dir klar, was gemessen wird. Was steht auf der $x$-Achse und was steht auf der $y$-Achse?
2. Den Graphen in Phasen einteilen: Suche nach markanten Punkten. Wo hört der Graph auf zu steigen? Wo beginnt er zu fallen? Teile den Graphen gedanklich in Abschnitte ein.
3. Phasen übersetzen und vergleichen: Übersetze jeden Abschnitt in Worte und vergleiche diese Beschreibung mit den vorgegebenen Situationen.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Der Graph zeigt das Höhenprofil einer Wanderung (Höhe über die Zeit).

Welcher der drei Wanderwege passt zu diesem Graphen?

• Weg A: Man wandert stetig bergauf bis zu einer Hütte und geht auf der anderen Seite des Berges sofort wieder langsam bergab.
• Weg B: Man wandert bergauf, läuft dann eine Weile flach an einem See entlang und steigt am Ende steil ins Tal ab.
• Weg C: Man startet auf einem Berg, läuft steil ins Tal, macht dort eine Pause und klettert am Ende wieder steil hinauf.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

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   Schritt 1
   Achsen verstehen

   Auf der $y$-Achse ist die Höhe aufgetragen. Wenn der Graph steigt, geht man bergauf. Wenn er fällt, geht man bergab. Wenn er waagerecht ist, bleibt man auf der gleichen Höhe.

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   Schritt 2
   Den Graphen in Phasen einteilen

   Wir können den Graphen in drei Phasen unterteilen:

   1. Der Graph steigt an.
   2. Der Graph verläuft waagerecht.
   3. Der Graph fällt steil ab.
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   Schritt 3 · Ergebnis
   Phasen übersetzen und vergleichen

   Wir übersetzen die Phasen: Zuerst geht es bergauf, dann bleibt die Höhe für eine Weile gleich (es ist flach), und am Ende geht es steil bergab.

   Wir vergleichen das mit den Wegen:

   • Weg A hat kein flaches Stück in der Mitte. (Falsch)
   • Weg C startet bergab, unser Graph startet aber bergauf. (Falsch)
   • Weg B passt perfekt: Bergauf $\to$ flach am See $\to$ steil bergab.

Ergebnis:

Der Graph gehört zu Weg B.

Wichtige Erkenntnisse

• Wertetabellen: Ein Wertepaar aus der Tabelle bildet immer einen Punkt $(x|y)$ im Koordinatensystem.
• Füllgraphen: Die Form des Gefäßes bestimmt den Graphen. Gleich breit = gerade Linie. Wird breiter = Kurve wird flacher. Wird schmaler = Kurve wird steiler.
• Werte ablesen: Nutze gestrichelte Hilfslinien, um von der einen Achse über den Graphen zur anderen Achse zu gelangen.
• Graphen interpretieren: Teile den Graphen in Phasen ein (steigt, fällt, waagerecht) und übersetze diese in die reale Situation.